2.1一階線性微分方程ppt課件

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 200612.4 一階線性微分方程一階線性微分方程First Order Linear Equations四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006一、線性方程一、線性方程四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 200610( )( )( )a xadyydxf xx標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：( )( )P xdyyxQ xd( )0Q x 對(duì)應(yīng)齊次線性方程：對(duì)應(yīng)齊次線性方程：( )0ddPyx yx自由項(xiàng)自由項(xiàng)一次冪一次冪四川大

2、學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006線性方程的例子：線性方程的例子：sindyyxxdx22yxxy非線性方程：非線性方程：2sindyyxdx2xyxyy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )0ddPyx yx可分離變量可分離變量( )( )P xdyyxQ xd對(duì)應(yīng)齊次線性方程：對(duì)應(yīng)齊次線性方程：四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )0ddPyx yx分離變量：分離變量：1( )dyP x dxy 積分：積分：1( )dyP x

3、 dxy ln y( )P x dx lnC取消對(duì)數(shù)：取消對(duì)數(shù)：y( )P x dxeC對(duì)應(yīng)齊次方對(duì)應(yīng)齊次方程的通解程的通解( )dyP x ydx 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )P x dxyCe現(xiàn)求原方程現(xiàn)求原方程( )( )P xdyyxQ xd的通解的通解令原方程的通解為：令原方程的通解為：( )( )P x dxyeC x其中其中 C(x) 為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )P x dxyeC x求導(dǎo)：求導(dǎo)：y( )( )P x

4、 dxC x e( )( )P x dxeC x( )( )P x dxC x e( )()(P x dxeP x dxC x( )( )P x dxC x e( )( )( )P x dxP xeC x( )( )P x dxC x e( )P x y四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )(P x dxPyyCexx( )( )P x dxeyC x( )( )P xdyyxQ xd代入原方程：代入原方程：( )Pdydxxy( )( )( )P x dxeyC xP x( )yP x( )Q x( )( )P x dxx eC

5、( )Q x( )C x( )( )P x dxQ x e四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )C x( )( )P x dxQ x e( )C x( )( )P x dxQ x edxC原方程的通解：原方程的通解：( )( )P x dxyeC x( )( )( )P x dxP x dxeQ x edxC( )( )P x dxyeC x四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )( )()dxdxP xP xyexx eCQd( )P xdyyxQ xd一階線性方程一階線性

6、方程的通解：的通解：以上求一階線性微分方程的通解的方法稱以上求一階線性微分方程的通解的方法稱為常數(shù)變易法為常數(shù)變易法它是求解線性齊次微分方程的一種方法它是求解線性齊次微分方程的一種方法( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC一階線性方程的解的結(jié)構(gòu)一階線性方程的解的結(jié)構(gòu)( )P x dxyCe( )( )( )P x dxP x dxeQ x edx對(duì)應(yīng)齊次方程的通解對(duì)應(yīng)齊次方程的通解原方程的一個(gè)特解原方程的一個(gè)特解*yyy

7、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006例例 1解方程：解方程：72(1)2(1)xyyx解解這是一個(gè)線性方程這是一個(gè)線性方程標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式:通解通解:211522(1)()dxdxxxyexedxC5221(1)xyyx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解通解:211522(1)()dxdxxxyexedxC522211()1)dxdxxxeedxxC2ln(1)xe2ln(1)52()(1)xedxxC2(1)x5221()(1)(1dxCxx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Revised March 2006通解通解:2(1)yx5221()(1)(1dxCxx212() ()1(1xdxCx3222(1)(1)3xxC四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛June 2005http:/Rev