系統(tǒng)的穩(wěn)定性 -自用2015(15)

1、第四章第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性1. 引言引言2. 李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3. 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法5. 線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4. 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6. 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定7. 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析引引 言言 李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問題的研究歸納為兩種方法。 第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第

2、二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。的信息。 對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別對于非線性、時變、多輸入多輸出系統(tǒng)來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。 這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時間變化的特性來研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過一個例子來說明。引引 言言例例 4-1 一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動由如一個彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。

3、系統(tǒng)的運(yùn)動由如下微分方程描述。下微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量xx 112xxx 則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為212fxkxx21xx （2）引引 言言在任意時刻，系統(tǒng)的總能量在任意時刻，系統(tǒng)的總能量2122212121),(kxxxxE（3）顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時時 ， 而當(dāng)而當(dāng) 時時0 x0)(xE0 x0)(0E而總能量隨時間的變化率為而總能量隨時間的變化率為222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可見，只有在可見，只有在 時，時， 。在其他各處均有。在其他各處均有 ，這表明系統(tǒng)總能量是

4、衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。引引 言言平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ，其初始狀態(tài)，其初始狀態(tài)為為 。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線 是隨時間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)是隨時間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)（當(dāng) tt0 ）則稱）則稱 為系統(tǒng)平衡。為系統(tǒng)平衡。),(txfx )(0tx)(txexx exex 如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過非奇異線性變換，使如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過非奇異線性變換，使 ，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問

5、題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問題。0ex李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義1 穩(wěn)定的定義穩(wěn)定的定義nxx1x則則221nxxx非線性時變系統(tǒng)非線性時變系統(tǒng)0ex),(txfx （4）（6）（5）0),(tetxx)(0),(0t定義定義 對于任意給定的實(shí)數(shù)對于任意給定的實(shí)數(shù) ，都對應(yīng)存在實(shí)數(shù)，都對應(yīng)存在實(shí)數(shù) ，使，使0滿足滿足的任意初始狀態(tài)的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的軌線出發(fā)的軌線 有有00)(xxt)(txetxx)( （對所有（對所有 t t0）成立，則稱成立，則稱 為為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。意義下是穩(wěn)定的。0

6、ex表示求歐幾里德范數(shù)。表示求歐幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）（即：表示空間距離）2022-5-32022-5-37 7（6）（5）0),(tetxx)(0),(0t定義定義 對于任意給定的實(shí)數(shù)對于任意給定的實(shí)數(shù) ，都對應(yīng)存在實(shí)數(shù)，都對應(yīng)存在實(shí)數(shù) ，使，使0滿足滿足的任意初始狀態(tài)的任意初始狀態(tài) 出發(fā)的軌線出發(fā)的軌線 有有00)(xxt)(txetxx)( （對所有（對所有 t t0）成立，則稱成立，則稱 為為Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。意義下是穩(wěn)定的。0ex李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義0ex如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個充是穩(wěn)

7、定的。從平衡狀態(tài)的某個充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線 ，當(dāng)，當(dāng) 時，收斂時，收斂于于 ，則稱，則稱 為漸近穩(wěn)定。為漸近穩(wěn)定。0ex)(txt0ex2 漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定2022-5-32022-5-39 9漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定Lyapunov意義下穩(wěn)定李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義更精密的敘述如下：更精密的敘述如下：0exetxx )()(tx0ex如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài) ，對于，對于 ，存在，存在 和和，當(dāng)，當(dāng) 時，從時，從 出發(fā)的出發(fā)的 ，都有，都有并且并且 充分大時，充分大時， 就充分小。則稱就充分小。則稱 為為Lyapunov意

8、義下意義下漸近穩(wěn)定。當(dāng)漸近穩(wěn)定。當(dāng) 與與 、 無關(guān)時無關(guān)時 ，則稱，則稱 為一致漸近穩(wěn)定。為一致漸近穩(wěn)定。0tT Tt etxx)(0T0ex0tT李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3 大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定如果如果 是整個狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有是整個狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。意義下全局漸近穩(wěn)定。00)(xxtettxx)(lim當(dāng)穩(wěn)定性與當(dāng)穩(wěn)定性與 的選擇無關(guān)時，稱一致全局漸近穩(wěn)定。的選擇無關(guān)時，稱一致全局漸近穩(wěn)定。0t李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義不

9、穩(wěn)定4 不穩(wěn)定不穩(wěn)定對于某個給定的實(shí)數(shù)對于某個給定的實(shí)數(shù) ，存在一個實(shí)，存在一個實(shí)數(shù)數(shù) ，不論，不論 取的多么小，在滿足不取的多么小，在滿足不等式等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個初始狀態(tài)態(tài) ，由此出發(fā)的軌線，由此出發(fā)的軌線 ，滿足，滿足00exx00 x)(txexx稱稱 為為Lyapunov意義下不穩(wěn)定意義下不穩(wěn)定0ex李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時，時， ；僅當(dāng)；僅當(dāng) 時，時， ；則稱；則稱 為正定的。除了為正定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半正定的。為半正定

10、的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定義定義 如果標(biāo)量函數(shù)如果標(biāo)量函數(shù) ，并且當(dāng)，并且當(dāng) 時，時， ；僅當(dāng)；僅當(dāng) 時，時， ；則稱；則稱 為負(fù)定的。除了為負(fù)定的。除了 以外，還有以外，還有狀態(tài)使?fàn)顟B(tài)使 ，稱，稱 為半負(fù)定的。為半負(fù)定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為負(fù)定。為負(fù)定。 則則 為為一致

11、漸近一致漸近穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法例例 4-2 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx選取選取Lyapunov函數(shù)，顯然是正定的，即滿足函數(shù)，顯然是正定的，即滿足( )00( )00 xxxxV VV V可見，可

12、見， 是負(fù)定的，即滿足是負(fù)定的，即滿足)(xV00)(00)(xxxxVV因此，因此， 是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。x)(xV定理定理4-24-2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為為半負(fù)定半負(fù)定；3）除了）除了 平衡狀態(tài)外，平衡狀態(tài)外，還有還有 的點(diǎn)，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有的

13、點(diǎn)，但是不會在整條狀態(tài)軌線上有 則則 為為一致漸近穩(wěn)定的一致漸近穩(wěn)定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。 0ex)(xV0)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法例例 4-3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而221122)(xxxxVx將狀態(tài)方程代入上式，化簡

14、后得將狀態(tài)方程代入上式，化簡后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可見，當(dāng)可見，當(dāng) 和任意的和任意的 時，有時，有 ，而，而 和任意和任意 時，時， 。又因為。又因為 ，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有在整條狀態(tài)軌線上不會有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0ex當(dāng)當(dāng) ，有，有 ，故系統(tǒng)，故系統(tǒng) 是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。0exx)(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法定理定理4-34-3 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為)(xfx 0ex)(xVx0e

15、x)(xV)(xV0ex在平衡狀態(tài)在平衡狀態(tài) 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：數(shù)，并且滿足：1） 為正定；為正定；2） 為為半負(fù)定半負(fù)定； 則則 為為一致穩(wěn)定一致穩(wěn)定的。的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致穩(wěn)定的。是大范圍一致穩(wěn)定的。 )(xV李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法)(xV因為因為 0則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有則系統(tǒng)可能存在閉合曲線（極限環(huán)），在上面恒有 ，則系，則系統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此統(tǒng)可能收斂到極限環(huán)，而不收斂到平衡點(diǎn)。因此 是一致穩(wěn)是一致穩(wěn)定的。定的。0)(xV0ex李亞普諾夫第

16、二法李亞普諾夫第二法例例 4-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為1221xxkxx其中，其中， k 為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 為為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。意義下一致穩(wěn)定。 0ex李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法定理定理4-44-4 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

17、)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù) 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。)(xV例例 4-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為21221xxxxx分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex選取選取Lyapunov函數(shù)：函數(shù)：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而222221212

18、211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。 0ex 應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造應(yīng)該指出：到目前為止，人類還沒有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)函數(shù)的一般方法。因為的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的分條件。因此，對于某個系統(tǒng)來說，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，函數(shù)，既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該既不能說系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說無法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。線性

19、連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對線性對線性時變時變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為xAx)(t其解為其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。)(),()(00ttttxx 首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣nnnnnnqqqqqqqqq212222111211Q當(dāng)它的所有主子式均大于零時，則當(dāng)它的所有主子式均大于零時，則Q是正定是正定的。即：的。即：011q022211211qqqq,0212222111211

20、nnnnnnqqqqqqqqq對線性對線性定常定常系統(tǒng)系統(tǒng) ，可以用，可以用Lyapunov第二法。第二法。 x=Ax線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果方陣如果方陣Q 是正定的，則是正定的，則Q 就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù)函數(shù) 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 的二次型函數(shù)，即的二次型函數(shù)，即)(xVxPxxxTV)(如果如果P 為為 維正定的對稱常數(shù)矩陣，則維正定的對稱常數(shù)矩陣，則 為正定的。為正定的。nn)(xVxPAPAxPxxx)()(dd)(TTTtV令令 ，其中，其中Q 為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿足為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿

21、足 QxxxTV)(QPAPAT如果給定如果給定Q陣，能夠推出陣，能夠推出P 為正定的，則系統(tǒng)在為正定的，則系統(tǒng)在 為穩(wěn)定的。并為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。0ex線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例4-6 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為xx1110-判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPAPAT1001111011102221121122211211PPPPPPPP解得解

22、得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有有可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為)() 1(kkGxx（8）0ex系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為0ex假設(shè)假設(shè)G 為為 維非奇異常數(shù)陣，維非奇異常數(shù)陣， 是唯一的平衡狀態(tài)。是唯一的平衡狀態(tài)。nn選取選取Lyapunov函數(shù)函數(shù))()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 為為 正定的對稱常矩陣，因此正定的對稱常矩陣，因此 是正定的。是

23、正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分為的差分為)()()()() 1() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 處漸近穩(wěn)定，要求處漸近穩(wěn)定，要求 為負(fù)定的。所以為負(fù)定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 為正定。為正定。給定一個正定對稱常數(shù)陣給定一個正定對稱常數(shù)陣Q ，求，求P 陣，并驗證其正定性。陣，并驗證其正定性。QP-PGGT（10）線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例4-7 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。)(0

24、2110) 1(kkxx解解 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即0380035可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。0ex有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定1 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定

25、義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱定義：對于初始松弛系統(tǒng)，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為為BIBO系統(tǒng)。系統(tǒng)。如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 uu1K如果輸入出如果輸入出 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK 可以取可以取001()( ) d() dHuHt tt tt tt tt tK Kt t 外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性0() ( )dyHut tt tt t 有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定定理定理4-54-5 由方程由方程

26、描述的線性定常系統(tǒng)，為初始松弛描述的線性定常系統(tǒng)，為初始松弛CxyBuAxx系統(tǒng)。其輸出向量的解為系統(tǒng)。其輸出向量的解為ttttd)()()(0uHy（11）BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)穩(wěn)定的充分必要條件是存在一個常數(shù)K3，有，有td)(0H3K或者對于或者對于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定其中，其中，a 為一個非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為為一個非負(fù)的實(shí)數(shù)，而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為例例 4-8 線性定常系統(tǒng)方程為線性定常系統(tǒng)方程為uaxxcxy atcthe)(分析系統(tǒng)是否分析系統(tǒng)是否BIBO穩(wěn)定。穩(wěn)定。

27、解解001dd)(00aaacecha可見，只有當(dāng)可見，只有當(dāng) 時，才有有限值時，才有有限值 存在，系統(tǒng)才是存在，系統(tǒng)才是BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。3K0a有界輸入有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定2 BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系穩(wěn)定與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性之間的關(guān)系對于對于線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)CxyBuAxx（12）平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 的漸近穩(wěn)定性的漸近穩(wěn)定性由由A 的特征值的特征值決定。決定。而而BIBO的穩(wěn)定性是由的穩(wěn)定性是由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)決定的。決定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有極點(diǎn)都是的所有極點(diǎn)都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值

28、并不一定都是 的極點(diǎn)?？赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對消。所以，的極點(diǎn)?？赡艽嬖诹銟O點(diǎn)對消。所以， 處的漸近穩(wěn)定就包含處的漸近穩(wěn)定就包含了了BIBO穩(wěn)定，而穩(wěn)定，而BIBO穩(wěn)定卻可能不是穩(wěn)定卻可能不是 處的漸近穩(wěn)定。處的漸近穩(wěn)定。)(sG那么在什么條件下，那么在什么條件下，BIBO穩(wěn)定才有平衡狀態(tài)穩(wěn)定才有平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定呢？漸近穩(wěn)定呢？結(jié)論是：如果（結(jié)論是：如果（12）式所描述的線性定常系統(tǒng)是）式所描述的線性定常系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定，且系穩(wěn)定，且系統(tǒng)是統(tǒng)是既能控又能觀測的既能控又能觀測的，則系統(tǒng)在，則系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的。處是漸近穩(wěn)定的。0ex0ex非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1 用用Lya

29、punov第二法分析第二法分析非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性穩(wěn)定性到目前為止，尚沒有構(gòu)造到目前為止，尚沒有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗，用試湊法。都是根據(jù)經(jīng)驗，用試湊法。克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為00)()(fxfx 其中其中 和和 均為均為n維向量。維向量。 為非線性多為非線性多元函數(shù)，對各元函數(shù)，對各 都都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析構(gòu)造構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下函

30、數(shù)如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 為為 正定對稱常數(shù)矩陣正定對稱常數(shù)矩陣nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xxfxJ其中其中稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣（16）非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如

31、果如果 是負(fù)定的，則是負(fù)定的，則 是負(fù)定的。而是負(fù)定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致漸近穩(wěn)定的。如果是一致漸近穩(wěn)定的。如果 ， ，則，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡便，通常取 ，這時，這時)(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例例4-9 非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為3221211xxxxxx試分析試分析 的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。0ex解解13122( )f xx xxxxxxx雅可比矩陣雅可比矩陣222212211131101)()(xxfxfxfxfxxfxJ選擇選擇 W=I 則則222222621123110131011)()()(x