高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽大專組

1、2003 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽（大專組）D 題（搶渡長江）參考答案注意：以下答案是命題人給出的， 僅供參考。各評閱組應根據(jù)對題目的理解及學生的解答，自主地進行評閱。設競渡在平面區(qū)域進行, 且參賽者可看成質點沿游泳路線(x( t),y(t) 以速度u(t)(u cos (t )，u sin(t ) 前進，其中游速 大 小u不 變 。 要 求 參 賽 者 在 流 速v (t) (v, 0) 給定的情況下控制(t) 找到適當?shù)穆肪€以最短的時間T 從起點 (0,0)游到終點 (L, H )，如圖 1。 這是一個最優(yōu)控制問題 :Min TyHuvs.t.dx(t )v, x( 0)0, x(T

2、 )Lu cosdt0Lxdy(t),y(0)0, y(T )Hu sindt圖 1可以證明，若(t) 為連續(xù)函數(shù) ,則(t) 等于常數(shù)時上述問題有最優(yōu)解。證明見:George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981.pp. 130 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根據(jù)題意，該內(nèi)容不要求同學知道。）1. 設游泳者的速度大小和方向均不隨時間變化，即令u(t ) ( u cos ，u sin ) ，而流速v (t)(v, 0) ， 其中 u 和 v 為

3、常數(shù) ,為游泳者和x 軸正向間的夾角。于是游泳者的路線 (x(t), y(t) 滿足dxv, x(0)0, x(T)Lu cosdt（ 1）dyy(0)0, y(T )Hu sin ,dtT 是到達終點的時刻。令 z cos ，如果 (1) 有解 , 則x(t ) (uz v)t,L T (uz v)y(t ) u 1 z2（2）t , H Tu 1 z2即游泳者的路徑一定是連接起、終點的直線，且LHH 2L2（ 3）Tv u1 z2u22uzv v2uz若已知 L, H, v, T,由（ 3）可得LvT,LvT（4）z( LuzTH 2vT ) 2由（ 3）消去T 得到Lu1z2H (uz

4、v)（ 5）給定 L, H,u , v 的值， z 滿足二次方程（ H 2L2 )u2 z22H 2uvzH 2v 2L2 u20（ 6）（6）的解為zz1，2H 2v L (H 2L2 )u2H 2v2（ 7）( H 2L2 )u方程有實根的條件為uvH（ 8）H 2L2為使（ 3）表示的 T 最小，由于當 L, u, v給定時 , dT0 ，所以 (7)中 z 取較大的根 ,dz即取正號。將（7）的 z1 代入（ 3）即得 T，或可用已知量表為( H 2 L2 )u2H 2v 2Lv（ 9）Tv2u2以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成績T

5、=848 s 代入（4），得 z= -0.641,即=117.50， u=1.54 m/s。以 H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和 u=1.5 m/s 代入（ 7），（ 3），得 z= -0.527, 即=122 0， T=910s，即 15 分 10 秒。2.游泳者始終以和岸邊垂直的方向（ y 軸正向）游 , 即 z = 0,由（ 3）得 T =L/v 529s, u=H/T 2.19 m/s。游泳者速度不可能這么快，因此永遠游不到終點, 被沖到終點的下游去了。注：男子1500 米自由泳世界記錄為14 分 41 秒 66, 其平均速度為 1.7 m/s

6、。式（ 8）給出 了能夠成功到達終點的選手的速度，對于 2002 年的數(shù)據(jù)， H = 1160 m, L = 1000m, v= 1.89 m/s ，需要 u >1.43 m/s。假設1934 年競渡的直線距離為5000 m, 垂直距離仍為H = 1160 m, 則 L=4864 m, 仍設v= 1.89 m/s ，則游泳者的速度只要滿足u >0.44 m/s，就可以選到合適的角度游到終點。(游5000 米很多人可以做到 )D3. 如圖2，H 分為 H=H1+H2+H 33 段， H1=v3uH3H3=200m, H 2=760m, v1= v3=1.47 m/s， v2=3C2.

7、11m/s,游泳者的速度仍為常數(shù)v2H 2u= 1.5 m/s, 有 v1， v3< u, v 2> u , 相應的游泳方u向1， 2 為常數(shù)。 路線為 ABCD, AB平行 CD。2L 分為 L=L1+L2+L3,L 1=L3, 據(jù)（8），對于 v2>v1 uBH 1u, L 2 應滿足1AH 2v22u2L1L 2L 1L2（ 752m)（ 10）u2圖 2因為 v1< u,故對 L1 無要求。對于確定的L 1， L 2，仍可用1 中的公式計算游泳的方向和時間。為確定使總的時間最小的路線 ABCD, 注意到 L 1=L3= ( L -L 2)/2，由 (9) 知所需

8、要的總時間為(H 22L22 )u2H 22v22L2v2( H 12 （ L L2 ) 2 / 4)u 2H 12v12 （ L L2 )v2 / 2Tu2v2222v12u（ 11）求 L2 使 T 最小。編程計算可得： L2= 806.33 m 時 T = 904.02s 15 分 4 秒。將得到的L2= 806 m ，L1=L 3= 97 m 代入（ 7）可得 1=1260 ，2=1180，即最佳的方向。也可以用枚舉法作近似計算：將L 2 從 760 m 到 1000 m 每 20 m 一段劃分，相應的 L 1，L3 從 120 m 到 0 m 每 10 m 一段劃分。編程計算得下表，

9、其中1, 3, 2 和 T1, T3, T2 分別為 3段中游泳的方向和時間，而T=T1+ T2+ T3 為總的時間。L 1, L 3 (m)T1, T3 (s)1, 3(0)L2 (m)T2 (s)2 (0)T (s)0670.03168.521000.00509.0795.571849.1210.00525.87165.31980.00510.8597.341562.5920.00419.90161.49960.00513.2699.191353.0630.00344.10157.20940.00516.39101.131204.5940.00290.02152.63920.00520.3

10、8103.181100.4150.00250.95147.91900.00525.41105.351027.3060.00222.22143.13880.00531.72107.66976.1670.00200.73138.38860.00539.65110.14941.1180.00184.40133.69840.00549.73112.83918.5290.00171.84129.11820.00562.79115.81906.47100.00162.10124.66800.00580.37119.19904.58110.00154.52120.36780.00605.97123.2791

11、5.01120.00148.62116.21760.00652.68129.08949.91可知 L 1=L3=100(m) ，L2 =800(m)時 T=904.58(s) 最小， 即成績?yōu)?5 分 5 秒，相應的游泳方向1=3=124.66 0， 2=119.190。4. H 仍分為 3 段，對于流速連續(xù)變化的第1 段 H 1=200 m，方程（ 1）變?yōu)閐xu cosv y, x(0)0, x(T1 )L1dtH 1（ 12）dyu sin ,y(0)0, y(T1 )H1dt其中 v（ =2.28m/s）為常數(shù) , 仍設游泳者的速度大小和方向均不隨時間變化，及若(1) 有解，則zcos

12、，x(t )uv1z2t 2uzt,L1x(T1 )2H 1（ 13）y(t )u1z2 t,H 1y(T1 )是一條拋物線。類似于1 中的作法得到，給定L, H, u , v 的值， z 滿足二次方程4（H12L12 )u 2 z24H 12 uvzH 12v 24L12 u20（14）取絕對值較小的根，為zH 12v L1 4(H 12L12 )u 2H 12 v2（ 15）2(H12L12 )u有實根的條件為uvH1（ 16）H 12L122將（ 15）的 z 代入（ 13）得第1 段的時間T1H 1（ 17）u1z2因 u>v/2，由（ 16）對 L1 無要求。對于第2 段 H2

13、=760 m ，仍用（ 9），（ 10），應有 L 2> 870 m ，且第 2 段的時間T2(H22L22 )u 2H 22 v2L2vu2v2（18）注意到 L1=L3= ( L -L 2)/2，T1=T3,得總的時間為TT22T1（ 19）將給定的 L, H 1, H 2, u 和 v=2.28 m/s 代入（ 15），（ 17），（ 18），（19），求 L 2 使 T 最小。編程計算可得： L 2= 922.9 m 時 T =892.5s 14分 53秒。將 L 2= 923 m， L 1=L 3= 38.5 m 分別代入（ 7）和（ 15）可得 1=127.70 ， 2=11

14、4.50，即最佳的方向。類似 3，也可以用枚舉法作近似計算：將L 2 從 880 m 到 1000 m 每 20 m 一段劃分，相應的 L 1， L 3 從 60 m 到 0 m 每 10 m 一段劃分，編程計算得下表。L 1, L 3 (m)T1, T3 (s)1, 3(0)L2 (m)T2 (s)2 (0)T (s)0205.15139.461000.00522.45104.12932.7610.00193.76136.52980.00528.33106.46915.8520.00183.58133.42960.00535.89109.01903.0530.00174.56130.20940.00545.80111.83894.9340.00166.67126.87920.00559.23115.04892.5650.00159.83123.47900.00578