數(shù)學(xué)分析.-3ppt課件

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧C上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn) BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點(diǎn)點(diǎn)得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線， 一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念3 3、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) |,| |,|max|1n1i11iiTiiniMMSMMT 記記它們成為它們成為C的一個(gè)分割，記為的一個(gè)分割，記為T,最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度折線的總長(zhǎng)度折線的總長(zhǎng)度定義定義1對(duì)于曲線對(duì)于曲線C,無論怎樣的分割無論怎樣的分割T,假如假如,lim0|sSTT 則稱曲線則稱曲線C是可求長(zhǎng)的，并把是可求

2、長(zhǎng)的，并把s定義為曲線的長(zhǎng)度。定義為曲線的長(zhǎng)度。定義定義2, , )()(: ttyytxxC設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線，不不同同時(shí)時(shí)為為有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且，在在0)(),()(),(tytxtytx 則稱則稱C是一條光滑曲線。是一條光滑曲線。定理定理1, , )()(: ttyytxxC設(shè)設(shè)平平面面曲曲線線且且C是光滑曲線，是光滑曲線， 則則C是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為.)()(22dttytxs 證：證：參數(shù)方程下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。參數(shù)方程下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。即證：即證：TTSs0|lim iniiiTtyx )()(lim1220| 的的任任意意分分割割，是是曲曲線線CT的的

3、任任意意分分割割，是是 T 對(duì)對(duì)C作任意的分割作任意的分割T=P0, P1, Pn,且且對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)設(shè)設(shè), , 0 tPtPn, 1, 2 , 1),(),(),( nitytxyxPiiiii的的一一個(gè)個(gè)分分割割：，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)地地得得到到則則與與 T.:10 ntttT的的內(nèi)內(nèi)接接折折線線總總長(zhǎng)長(zhǎng)為為：則則曲曲線線 C 122 niiiTyxS上上，由由微微分分中中值值定定理理，所所屬屬的的每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間在在,1iiittT , ,)()()(1iiiiiiitxtxtxx , ,)()()(1iiiiiiitytytyy 故故 122 niiiTyxS. )()(122iniiit

4、yx 有有連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，光光滑滑，當(dāng)當(dāng))(0)(txxtxC , 00 tx時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，同同理理，當(dāng)當(dāng)0)( ty, 00 ty，有，有由由. 0, 0|221 iiiiityxPP必必有有故故當(dāng)當(dāng). 0|01 iiiPPt，顯顯然然有有反反之之，當(dāng)當(dāng). 0|0| TTC等價(jià)于等價(jià)于光滑時(shí)，光滑時(shí)，當(dāng)當(dāng)連連續(xù)續(xù)，從從而而可可積積，在在,)()(22 tytx 要證要證iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim).)()(22dttytx )()()()(2222iiiiiyxyx 記記)()()()()()()()( 22222222iiiiiiii

5、yxyxyxyx 由由三三角角不不等等式式，有有|)(| )(|iiiyy |,)()(|iiyy )(ix )(iy )(iy iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim 要證要證iiniiiTtyxs )()(122 則則，上上連連續(xù)續(xù)，從從而而一一致致連連續(xù)續(xù)在在,)( ty 有有只只要要當(dāng)當(dāng),|, 0, 0iiiT ,| )(|)(| iiyy,| i從從而而| )()(| 122iniiiTtyxs 得得|1 niiit niiit1| . iniiiTtyxs )()( i122 由由iniiiTtyx )()(lim1220| TTS0|lim 即即證畢。證畢

6、。.)()(22dttytx dttytxds)()(22 ,| )()(|122 iniiiTtyxs解解星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 1 1 求求星星形形線線 3/23/23/2ayx )0( a 的的全全長(zhǎng)長(zhǎng). a aoyx.)()(22dttytxs 設(shè)設(shè) 曲曲 線線 弧弧 為為)( xfy )(bxa ， 其其 中中)( xf在在,ba上上 有有 一一 階階 連連 續(xù)續(xù) 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 二、直角坐標(biāo)情形二、直角坐標(biāo)情形,

7、)(baxxfyxx 看作參數(shù)方程：看作參數(shù)方程：則則C是光滑曲線，且是光滑曲線，且直角坐標(biāo)下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。直角坐標(biāo)下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到 b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度. 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab.12dxysba 曲線曲線C為為)( )( rr 其其中中)( r在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).且且)( r和和)( r 不不同同為為 0。 sin)(cos)(ryrx)( 22)()( yx ,)()(22 drr 弧

8、長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 三、極坐標(biāo)情形三、極坐標(biāo)情形則則C是光滑曲線，且是光滑曲線，且極坐標(biāo)下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。極坐標(biāo)下弧長(zhǎng)的計(jì)算公式。例例 4 4 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng). 解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 .)()(22 drrs 四、弧微分四、弧微分.)()(22dttytxs .)()()(22 dyxtst 曲線由端點(diǎn)曲線由端點(diǎn)p0到動(dòng)點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)P(x(t),y(x) 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)，,)()(22dtdydtdxdtds 22dydxds

9、弧微分?；∥⒎?。NMTRxdxx xyodxdydsdxMR dyTR dsMT 22dydxds 以切線的長(zhǎng)度近似代替局部曲線的長(zhǎng)以切線的長(zhǎng)度近似代替局部曲線的長(zhǎng)度，其誤差是關(guān)于度，其誤差是關(guān)于dx 的高階無窮小量。的高階無窮小量。,dss 五、曲率及其計(jì)算公式五、曲率及其計(jì)算公式曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量曲率是描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大越大,轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同轉(zhuǎn)角相同,弧段越弧段越短彎曲程度越大短彎曲程度越大1、曲率的定義、曲率的定義1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均

10、曲率為的平均曲率為弧段弧段（設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點(diǎn)點(diǎn)M, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 2、曲率的計(jì)算公式、曲率的計(jì)算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)倒數(shù),半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds )）)0( RRs1 ,),()

11、,(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例5 橢圓橢圓 上哪些點(diǎn)處上哪些點(diǎn)處曲率最大？曲率最大？,cos2tx tysin3 解解232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此時(shí)此時(shí) 最大，最大，k六、曲率圓與曲率半徑六、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓（密切圓）處的曲率圓（密切圓）稱此圓為曲線在點(diǎn)

12、稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)曲線在該點(diǎn)處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一

13、點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).（相同的切線、相同的曲率、相同的凸性）（相同的切線、相同的曲率、相同的凸性）4.運(yùn)用微分學(xué)的理論運(yùn)用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性質(zhì)的研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停).(1),(,的半徑的半徑為圓弧軌道為圓弧軌道到到率連續(xù)地由零過渡率連續(xù)地由零過渡使曲使曲如圖如圖緩沖段緩沖段彎道之間接入一段彎道之間接入一段穩(wěn)，往往在直道和穩(wěn)，往往在直道和駛平駛平容易發(fā)生事故，為了行容易發(fā)生事

14、故，為了行的曲率突然改變的曲率突然改變道時(shí)，若接頭處道時(shí)，若接頭處鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎RR例例2 2.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似為的曲率近似為時(shí)，在終端時(shí)，在終端很小很小并且當(dāng)并且當(dāng)為零為零的曲率的曲率在始端在始端的長(zhǎng)度，驗(yàn)證緩沖段的長(zhǎng)度，驗(yàn)證緩沖段為為，其中，其中緩沖段緩沖段作為作為，通常用三次拋物線通常用三次拋物線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClxyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證證如圖如圖的的負(fù)負(fù)半半軸軸表表示示直直道道，x.,是是圓圓弧弧軌軌道道是是緩緩沖沖段段 ABOA（在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly