高等數(shù)學(xué)第一節(jié) 原函數(shù)與不定積分ppt課件

1、定義一定義一,)(上上定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)Mxf),(xF如果存在函數(shù)如果存在函數(shù)都有都有對于任一點對于任一點,Mx ,d)()(d )()(xxfxFxfxF 或或上的一個上的一個在在是是則稱函數(shù)則稱函數(shù)MxfxF)()(.原原函函數(shù)數(shù),21,),(2xx 有有內(nèi)內(nèi)例例如如在在.),(21,2內(nèi)的一個原函數(shù)內(nèi)的一個原函數(shù)在在是是所以所以xx.),(21, 121,22內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù)在在也也是是顯顯然然 xCxx定理定理則則上上有有原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)),()(xFMxf)()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCxF 的的任任一一個個原原函函數(shù)數(shù)均均可可且且上上的的

2、原原函函數(shù)數(shù)在在也也是是)(,)(xfMxf.)(的的形形式式表表示示成成CxF 證明證明,顯然的顯然的定理的前一部分結(jié)論是定理的前一部分結(jié)論是事實上事實上).()(xfCxF .現(xiàn)證后一部分現(xiàn)證后一部分,)()(上的另一個原函數(shù)上的另一個原函數(shù)在在是是設(shè)設(shè)MxfxG),()()(xFxGx 令令)()()( xFxGx 則則, 0)()( xfxf),()(,5常常數(shù)數(shù)得得定定理理三三根根據(jù)據(jù)第第三三章章Cx .)()( CxFxG 即即定義二定義二,)()(上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間是是若若MxfxF那么表達(dá)式那么表達(dá)式)()(為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCxF ,)(上的不定積分

3、上的不定積分在在稱為稱為Mxf,d)( xxf記作記作,)(d)(CxFxxf 即即,)(,稱為被積函數(shù)稱為被積函數(shù)稱為積分變量稱為積分變量其中其中xfx.,d)(稱稱為為積積分分號號稱稱為為積積分分常常數(shù)數(shù)稱稱為為被被積積分分式式 Cxxf,),(212的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)內(nèi)是內(nèi)是在在例如例如xx.21d2Cxxx 所所以以,1ln ), 0(),0(1)(ln,的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是內(nèi)內(nèi)即在區(qū)間即在區(qū)間又如又如xxxxx ).0(lnd1 xCxxx所以所以得得又又),0(1 )ln( xxx),0()ln(d1 xCxxx即即以上兩式可合并為一個以上兩式可合并為一個 ,).0|

4、(|lnd1 xCxxx:何上表示為何上表示為原函數(shù)之間的關(guān)系在幾原函數(shù)之間的關(guān)系在幾,)(向向上上或或向向下下平平行行移移動動把把曲曲線線xFy .)(CxFy 就就得得到到曲曲線線.21)(142的的圖圖形形的的原原函函數(shù)數(shù)是是函函數(shù)數(shù)圖圖Cxxxf 14 圖圖oxy:由不定積分定義可得由不定積分定義可得 );(d)(xfxxf ;d)(d)(dxxfxxf ;)(d)(CxFxxF .)()(dCxFxF 或或記記為為.,是互逆運(yùn)算是互逆運(yùn)算則微分運(yùn)算與積分運(yùn)算則微分運(yùn)算與積分運(yùn)算如果不記積分常數(shù)如果不記積分常數(shù).,得到其積分公式得到其積分公式式式很容易從函數(shù)的微分公很容易從函數(shù)的微分公

5、根據(jù)不定積分的定義根據(jù)不定積分的定義:),1(11得積分公式得積分公式例如例如 xx).1(1d1 Cxxx :,cossin得得積積分分公公式式又又如如xx .sindcosCxxx .,要要求求熟熟記記叫叫做做基基本本積積分分表表下下面面給給出出的的一一些些積積分分).(d為為常常數(shù)數(shù)kCkxxk ).1(11d1 Cxxx.lnd1Cxxx .sindcosCxxx .cosdsinCxxx .tandsec2Cxxx .cotdcsc2Cxxx .secdtansecCxxxx .cscdcotcscCxxxx .ln1dCaaxaxx .edeCxxx .arcsin1d2Cxxx

6、.arctan1d2Cxxx ),(d)(d)(為為非非零零常常數(shù)數(shù)kxxfkxxkf .d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf.,行行只只要要兩兩邊邊的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相等等就就的的上上述述兩兩式式的的證證明明是是容容易易有有事實上事實上, ),(d)(xkfxxkf ).(d)(xkfxxfk .同同樣樣可可以以證證明明式式成成立立所所以以例例1 1.d)1cos31(2 xxxx計算計算解解 xxxxd)1cos31(2 xxxxxxd1dcos3d12 11Cx 2sin3Cx 3|lnCx 故故數(shù)數(shù)可可以以合合并并為為一一個個積積分分常常,321CCC xxxxd)1cos31(

7、2x1 xsin3 .|lnCx ,不必分別加積分常不必分別加積分常分時分時今后在計算各項不定積今后在計算各項不定積為簡便計為簡便計.只只需需最最后后加加一一個個就就行行了了例例2 2.d)1)( xxxxx求求解解 xxxxxd)1)( xxxxxd xxxxdd2121.2322123Cxx 例例3 3.d)11e (2 xxx求求解解 xxxd)11e (2.arctaneCxx 例例4 4 設(shè)曲線經(jīng)過點設(shè)曲線經(jīng)過點0 0，2 2，且其上任一點處的，且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的正弦值，求此曲線方程切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的正弦值，求此曲線方程. .解解 設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為

8、),(xfy 根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，,sin xdxdy xxdsin又又由于曲線經(jīng)過點由于曲線經(jīng)過點(0,2), 2)0( f所以，所求曲線方程為所以，所求曲線方程為. 3cos xy,sin)(的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是即即xxfy , 21 0 C即即, 30 C曲線上恣意點曲線上恣意點x, y處的斜率為處的斜率為,cosCx )(xf,cos0Cx 求不定積分求不定積分解解.)1(122dxxxxx 原原式式dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112xarctan |ln x .C 1 1、本節(jié)根本要求、本節(jié)根本要求 了解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握根本積分了解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握根本積分表，掌握不定積分的性質(zhì)，會計算較簡單的不定積表，掌握不定積分的性質(zhì)，會計算較簡單的不定積分分. .2 2、本節(jié)重點、難點、本節(jié)重點、難點 重點：不定積分的計算重點：不定積分的計算. . 難點：不定積分的概念與計算難點：