流體力學A 12

1、1提 示積極主動復習總結迎接期末考試2上次課主要內容第五次習題課關于第十一章n 作業(yè)方面點評n 主要內容復習n 課堂例題與練習3第十二章 相似原理及量綱分析引言：1. “相似”指什么？”，“相似原理”包括那些內容？2. 何為“量綱”？“量綱分析”是什么樣的分析？3. 為什么要學習這章內容？（模型試驗的需要）4第十二章 相似原理及量綱分析n 流動相似相似的概念概念n 相似原理相似原理n 量綱量綱分析與定理定理512-1 相似的概念一、相似的概念1. 在流體力學的研究中，所謂相似相似，主要是 指流動的力學相似力學相似。2. 力學相似的定義定義和內容內容 1）定義：在原型原型和模型模型的流動空間各對

2、流動空間各對應點應點和各對應時刻各對應時刻，表征流動過程流動過程的所有物所有物理量理量之間互相平行互相平行，并保持一定的比例一定的比例關系。 2）內容：主要包括以下三個方面 幾何幾何相似，運動運動相似，動力動力相似。第十二章 相似原理及量綱分析612-1 相似的概念二、幾何幾何相似1.定義(空間相似) ：模型和原型流動有相似的邊界形狀相似的邊界形狀， 所有對應線性尺寸成同一比對應線性尺寸成同一比例例，對應角度相等對應角度相等。1pL2pL原型流動AB1mL2mL模型流動ba2.例如：3.長度比例尺長度比例尺：1212ppmmLLLL=常數(shù)lC 1212ppmmLLLL=常數(shù)第十二章 相似原理及

3、量綱分析712-1 相似的概念面積比例尺面積比例尺： 2211222AlALCCAL=常數(shù) 1)幾何相似幾何相似時，原型與模型的對應面積對應面積、對應體積對應體積也必分別互成一定比例分別互成一定比例，且有第十二章 相似原理及量綱分析4.說明： 體積比例尺體積比例尺： 3311322VlVLCCVL=常數(shù)812-1 相似的概念2) 在這三個比例尺中只有長度比例尺是獨只有長度比例尺是獨立的立的；3) 嚴格地說，幾何相似還包括原型和模型表面的粗糙度相似表面的粗糙度相似，但這一點一般情況下不易做到不易做到；4) 已知原型長度，可按長度比例尺，求出求出模型長度模型長度。反之亦然反之亦然。第十二章 相似原

4、理及量綱分析912-1 相似的概念三、運動運動相似1.定義：在幾何相似前提幾何相似前提下，原型與模型流場的所有對應點所有對應點上，對應時刻對應時刻的同名速度同名速度方向相同方向相同，大小成比例大小成比例。2.例如：3.速度比例尺速度比例尺：1212ppmmvvvv=常數(shù)1mv2mv1pv2pvvC 1212ppmmvvvv=常數(shù)第十二章 相似原理及量綱分析1012-1 相似的概念 4. 說明： 1) 運動相似時運動相似時，原型與模型的對應時間對應時間、對應加速度對應加速度，對應流量對應流量和轉速轉速也必分別必分別互成一定比例互成一定比例，且有第十二章 相似原理及量綱分析時間比例尺時間比例尺：

5、111222tlvtL vCC CtL v=常數(shù)加速度比例尺加速度比例尺： 111222avtav tCCCav t=常數(shù)1112-1 相似的概念2)在這些比例尺中只有長度比例尺只有長度比例尺和速度比速度比例尺例尺是獨立獨立的。流量比例尺流量比例尺： 3311322vqltL tCCCL t=常數(shù)轉速比例尺轉速比例尺： 1122111ntntCCnt=常數(shù)第十二章 相似原理及量綱分析1212-1 相似的概念四、動力動力相似（這時力多邊形力多邊形也相似）1. 定義：在幾何相似前提幾何相似前提下，原型與模型流動中，對應點對應點的同名同名力力方向相同方向相同，大小互成比例大小互成比例。同同名力名力是

6、指具有同一力學性質的力具有同一力學性質的力。 2.力比例尺力比例尺：pGpFmGmF32211 11 1 1222222lalvFmaVaC C CC C CFm aV a=常數(shù)FC第十二章 相似原理及量綱分析1312-1 相似的概念 3. 說明： 1) 當F為各種其它力時為各種其它力時，如，總壓力、切向力、重力、慣性力或它們的合力時，得到不同力比例尺得到不同力比例尺。 2) 當C 一定一定時，CF =常數(shù)常數(shù)當且僅當當且僅當Cv =常常數(shù)數(shù)。第十二章 相似原理及量綱分析1412-1 相似的概念五、總結:1. 在上述所有的相似比例尺上述所有的相似比例尺中，只有三個只有三個各自獨立的基本比例尺各

7、自獨立的基本比例尺Cl、Cv、C ；2. 以上三種相似三種相似是互相聯(lián)系互相聯(lián)系的。流場的幾流場的幾何相似何相似是流動力學相似流動力學相似的前提條件前提條件，動動力相似力相似是決定運動相似決定運動相似的主導因素主導因素，而運動相似運動相似是幾何相似幾何相似和動力相似動力相似的表現(xiàn)表現(xiàn)；第十二章 相似原理及量綱分析1512-1 相似的概念3. 除了上述三個相似除了上述三個相似外，實際上還有還有兩個流動的物性條件物性條件、邊界條件邊界條件與初始條件初始條件相似。 總之，符合符合上述全部條件全部條件的這種物理相物理相似似才稱為流動的力學相似流動的力學相似。第十二章 相似原理及量綱分析1612-2 相

8、似原理一、力學相似準則力學相似準則（根據(jù)動力相似推出）參看孔瓏書P871. 重力相似準則重力相似準則(佛汝德(W.Froude)相似準則) 2rvFgl(重力作用下的相似；慣性力與重力之比)第十二章 相似原理及量綱分析1712-2 相似原理2. 粘性力相似準則粘性力相似準則 (雷諾相似準則) RevLv粘性力作用下的相似，慣性力與粘性力之比。第十二章 相似原理及量綱分析3.壓力相似準則壓力相似準則 (歐拉相似準則) 2upEv壓力作用下的相似，總壓力與慣性力之比1812-2 相似原理4. 說明：除上述相似準則除上述相似準則外，對非定常流動，還有時間相似準則時間相似準則，對可壓縮流體流動，還有彈

9、性力相似準則彈性力相似準則，等等等等。第十二章 相似原理及量綱分析1912-2 相似原理二、相似第一、第二定理相似第一、第二定理1.相似第一定理第一定理(相似性質)1)內容： “彼此相似的現(xiàn)象彼此相似的現(xiàn)象，同名準則數(shù)同名準則數(shù)必定相等必定相等”（因為準則數(shù)是動力相似的結果）2)說明： 相似第一定理又稱為相似正定理相似正定理；第十二章 相似原理及量綱分析2012-2 相似原理 第一定理指出第一定理指出了實驗時實驗時應該測量哪些物測量哪些物理量的問題理量的問題。即，判定兩個流動是否相似，除幾何相似與運動相似除幾何相似與運動相似外，還應該還應該滿足相似第一定理滿足相似第一定理，即作用在兩個流動流體

10、上的所有外力相似所有外力相似； 在模型實驗模型實驗中，只要主要的相似準則數(shù)只要主要的相似準則數(shù)相等相等，這個實驗就可進行下去實驗就可進行下去（要求全全部準則數(shù)相等是困難部準則數(shù)相等是困難的）。第十二章 相似原理及量綱分析2112-2 相似原理2. 相似第二定理第二定理(相似條件)1) 內容：“凡同一種類現(xiàn)象凡同一種類現(xiàn)象(即可用同一微分方程組描述的現(xiàn)象)，若單值性條件單值性條件（后面有詳細描述后面有詳細描述）相似相似，并且由單值由單值性條件中性條件中的物理量物理量所組成的相似準則相似準則在數(shù)值上相等數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象一定相似這些現(xiàn)象一定相似?！?（由力學相似的定義和內容證明，本書從略。）第

11、十二章 相似原理及量綱分析2212-2 相似原理2)說明： 相似第二定理相似第二定理又稱為相似逆定理相似逆定理； 第二定理指出第二定理指出了模型實驗應遵守的條模型實驗應遵守的條件件，即對于可用同一微分方程組描述的現(xiàn)對于可用同一微分方程組描述的現(xiàn)象象，單值性條件相似單值性條件相似和相似準則數(shù)相等相似準則數(shù)相等。第十二章 相似原理及量綱分析2312-2 相似原理3)單值性條件單值性條件由下列各項下列各項組成： 幾何幾何條件，即流動空間的幾何形狀幾何形狀、尺尺寸大小寸大小，例如對管內流動，管內直徑管內直徑d及管管長長l； 物性物性條件，例如流體的密度密度、粘度粘度； 邊界邊界條件，例如進出口進出口及

12、壁面處流速壁面處流速及溫度分布溫度分布；第十二章 相似原理及量綱分析2412-2 相似原理 初始初始條件，例如初始狀態(tài)的速度初始狀態(tài)的速度、溫溫度分布度分布等。在定常流動定常流動的條件下，如果模模型型與原型原型采用同樣的流體同樣的流體，則單值性條件單值性條件就是幾何條件幾何條件與邊界條件邊界條件。第十二章 相似原理及量綱分析2512-2 相似原理三、模型試驗模型試驗的近似相似近似相似1. 在模型實驗中模型實驗中，要求全部準則數(shù)相等要求全部準則數(shù)相等是困難困難的，甚至是不可能不可能的。工程上常采用近似的模型試驗近似的模型試驗，即只考慮只考慮那些對流動對流動過程起主導作用起主導作用的，忽略忽略那些

13、對過程影響較對過程影響較小小的定性準則數(shù)定性準則數(shù)，亦即只考慮只考慮兩流動的近兩流動的近似相似似相似。第十二章 相似原理及量綱分析2612-2 相似原理2.例如：1)一般而言一般而言，管內流動是在壓差作用壓差作用下克服克服管內流體摩擦摩擦的流動，粘性力決定壓差粘性力決定壓差的大小，而其它力其它力均是無足輕重次要因素無足輕重次要因素，因此，主要相似準則主要相似準則即雷諾準則雷諾準則。第十二章 相似原理及量綱分析2712-2 相似原理2)另外，對于通道流動，當雷諾數(shù)雷諾數(shù)ReRe大于大于某一數(shù)值某一數(shù)值時，通常還存在流動存在流動“自模化自?；碧匦蕴匦浴＠缥闪鞔植诠芷椒絽^(qū)紊流粗糙管平方區(qū)為“自自

14、模化?；眳^(qū)區(qū)，只要相對粗糙度相等即可相對粗糙度相等即可。3)對泵與風機內泵與風機內流動，只要幾何相似只要幾何相似、運運動相似動相似且Re106 即可即可。第十二章 相似原理及量綱分析28課堂例題與練習例12-1 若設計一大型通風管大型通風管，管上裝有一直徑為d1的噴嘴噴嘴作為出口出口，若要求保證空氣以給定的速度v1流入大氣，且可把氣流看作是氣流看作是不可壓流體不可壓流體?，F(xiàn)擬定在水力實驗室擬定在水力實驗室縮制通風縮制通風管模型管模型，試問用水進行實驗用水進行實驗時，如要保持保持模型出流速度v2與原型出流速度v1相等相等，則模模型比例尺應如何選取型比例尺應如何選?。恳阎c空氣溫度均為20，空

15、氣運動黏度1 =1.5710-5m2/s，水的運動黏度為2=1.0210-6m2/s。第十二章 相似原理及量綱分析29課堂例題與練習解：對本題而言，起主要作用起主要作用的是粘性阻粘性阻力力，因此，要使兩流動相似要使兩流動相似，其主要的相主要的相似準則似準則即雷諾準則雷諾準則。若選取的噴嘴直徑d 代表特征長度l，則有Re1=Re2 即第十二章 相似原理及量綱分析222111dvdv30課堂例題與練習由前提條件，v1=v2 ，則151064. 01057. 11001. 1561212dd因此，本題中可取本題中可取Cl=1/15來縮制模型來縮制模型進行水力實驗。#第十二章 相似原理及量綱分析311

16、2-3 量綱分析與定理引言1.必須必須借助科學實驗科學實驗；2.必須合理必須合理地選擇實驗變量選擇實驗變量；3.怎樣確定怎樣確定實驗中的無量綱數(shù)無量綱數(shù)？ 需要量綱分析量綱分析的知識以及定理定理。第十二章 相似原理及量綱分析3212-3 量綱分析與定理一、量綱分析法量綱分析法瑞利(Rayleigh)法1. 量綱量綱：(也稱為因次)即物理量單位物理量單位的種類種類。2. 例如例如： 時間量綱時間量綱：小時、分、秒，用T表示。 長度量綱長度量綱：米、厘米、毫米，用L表示。 質量量綱質量量綱：噸、千克、克，用M表示。 溫度量綱溫度量綱：用 表示。第十二章 相似原理及量綱分析3312-3 量綱分析與定

17、理3. 基本量綱基本量綱和導出量綱導出量綱：在國際單位制國際單位制中，T、L、M、 稱為基本量綱基本量綱，其它物理量其它物理量的量綱的量綱稱為導出量綱導出量綱。第十二章 相似原理及量綱分析3412-3 量綱分析與定理4. 結論結論：1) 其它物理量其它物理量的量綱，均可用基本量綱均可用基本量綱的不同指數(shù)冪乘積形式不同指數(shù)冪乘積形式來表示表示。例如，速度=長度時間=L/T= LT-1 ；力=質量加速度=MLT-2 。2) 一個物理方程式一個物理方程式的等式兩邊等式兩邊應該具有相具有相同的量綱同的量綱。否則否則，不是正確的物理方程不是正確的物理方程式式 物理方程量綱一致性量綱一致性（量綱和諧性）原

18、則原則。第十二章 相似原理及量綱分析3512-3 量綱分析與定理5. 量綱分析法量綱分析法：以上述結論為基礎以上述結論為基礎分析問題的方法方法。詳細分析過程參見下面的例子。111111111222111222 a b ca b cXa b ca b cX第十二章 相似原理及量綱分析36課堂例題與練習例12-2 已知不可壓粘性不可壓粘性流體在水平圓管水平圓管中的壓強損失壓強損失p與管內徑管內徑d、管壁絕對粗糙度管壁絕對粗糙度，管長管長l、流速流速v、動力黏度動力黏度以及流體的流體的密度密度有關，試用量綱分析法用量綱分析法求圓管壓強損壓強損失失p的表達式的表達式。第十二章 相似原理及量綱分析37課

19、堂例題與練習解：根據(jù)題意，p與其它物理量之間的函數(shù)關系為( , , ,)pf dl v （a）第十二章 相似原理及量綱分析式中，a、b、c、e、f、g為待定指數(shù)待定指數(shù)，K為常數(shù)。由于所有物理量的量綱均能表現(xiàn)為均能表現(xiàn)為基本量綱不同指數(shù)冪的乘積不同指數(shù)冪的乘積形式，因此上式可改寫為gfecbavlKdp（b）38課堂例題與練習第十二章 相似原理及量綱分析寫出各物理量的量綱如下：p122221LMTLTMLLN d l v LLLLT-1ML-1T-1ML-339課堂例題與練習代入前式，得到量綱關系式量綱關系式gfecbaMLTMLLTLLLLMT311112第十二章 相似原理及量綱分析 由于一

20、個物理方程式兩邊的量綱應該相兩邊的量綱應該相同同，因此有：對M對T對Lf+g=1-e-f=-2a+b+c+e-f-3g=-140課堂例題與練習由于上面三個方程中含有6個未知數(shù)個未知數(shù)，故我們把其中三個未知數(shù)b、c、f 作為待定值待定值，則可解得g=1-f e=2-f a=-b-c-f第十二章 相似原理及量綱分析將上述結果代入（b）式，可得212vvddldKvlKdpfcbfffcbfcb 41課堂例題與練習第十二章 相似原理及量綱分析實驗證明實驗證明，管路兩端壓差p與l/d是線性關線性關系系，因此c=1，又由于Re1vd2Re,2vdldfp 若取K=1/2，則上式可改寫為 Re,df根據(jù)達

21、西達西- -威斯巴赫公式威斯巴赫公式，可知42課堂例題與練習第十二章 相似原理及量綱分析#22vdlp對于水平管路，則管路沿程流動損失管路沿程流動損失為gvdlgphf22稱為沿程損失系數(shù)沿程損失系數(shù)，則達西達西-威斯巴赫公式威斯巴赫公式4312-3 量綱分析與定理二、定理定理( (相似第三定理相似第三定理) )1.當影響流動的參數(shù)較多時參數(shù)較多時，量綱分析法在在指數(shù)的選取上指數(shù)的選取上存在著存在著一定的困難一定的困難；2.為了解決量綱分析法存在的上述不足解決量綱分析法存在的上述不足，柏柏金漢金漢(E.Bucking.Ham)(E.Bucking.Ham)提出了改進的量綱改進的量綱分析法分析法

22、，這就是著名的著名的定理定理。第十二章 相似原理及量綱分析4412-3 量綱分析與定理3.定理定理(相似第三定理相似第三定理或柏金漢定理柏金漢定理)1)內容內容：某一物理現(xiàn)象某一物理現(xiàn)象中，共有共有i個物理量個物理量x1，x2 ，xi，這些物理量之間存在函數(shù)物理量之間存在函數(shù)關系關系 f(x1，x2，xi)=0。若這些物理量的基本量綱為基本量綱為j個個，則可用（可用（i-j）個無量）個無量綱量綱量1，2，i-j來表示上述物理現(xiàn)表示上述物理現(xiàn)象象，并存在以下函數(shù)關系式并存在以下函數(shù)關系式 F(1，2，i-j)=0第十二章 相似原理及量綱分析4512-3 量綱分析與定理2) 應用關鍵應用關鍵 確定

23、確定j：i個物理量所涉及的全部基本量全部基本量綱綱； 生成生成i-j：當選定選定j個基本量后個基本量后，剩下的剩下的i-j個變量用這個變量用這j 個變量表示個變量表示，表示式的表示式的倍數(shù)倍數(shù)就是生成的i-j (由量綱分析法確定由量綱分析法確定出出) ；第十二章 相似原理及量綱分析4612-3 量綱分析與定理基本量（重復變量）的選取思路基本量（重復變量）的選取思路是：為保保證幾何相似證幾何相似，常選擇一個長度量綱選擇一個長度量綱，例如管長l或管內徑d；為保證運動相似保證運動相似，常選選擇一個速度量綱擇一個速度量綱，例如管內平均流速v；為保證動力相似保證動力相似，通常選擇一個與質量有選擇一個與質

24、量有關的量關的量，例如流體的密度。第十二章 相似原理及量綱分析47課堂例題與練習例12-3 試用試用定理定理求例例12-2中圓管內壓強中圓管內壓強損失損失p的的表達式。第十二章 相似原理及量綱分析48課堂例題與練習解： 根據(jù)題意，已知本題中有本題中有7個物理量個物理量，即i=7。這些物理量的函數(shù)關系為物理量的函數(shù)關系為0),(vldpf選定重復變量選定重復變量3個個，它們是v，d，即j=3，i-j=4，根據(jù)根據(jù)定理定理，可得下述關系式得下述關系式1234(,)0F （a）（b）第十二章 相似原理及量綱分析49課堂例題與練習4443332221114321cbacbacbacbadvldvdvp

25、dv第十二章 相似原理及量綱分析 而上述四個無量綱量上述四個無量綱量可分別用重復變量重復變量的冪函數(shù)的冪函數(shù)與某物理量乘積的形式某物理量乘積的形式來表示表示，即則用基本量綱表示用基本量綱表示的1的量綱表達式的量綱表達式為)()()()(2131000111TMLLMLLTMTLcba50課堂例題與練習由上式可得對L對T對Ma1-3b1+c1-1=0-a1-2=0b1+1=0由上式得 a1=-2，b1=-1， c1=0第十二章 相似原理及量綱分析代入1得Euvppv212151課堂例題與練習用同樣的方法可求得Re1432vddld第十二章 相似原理及量綱分析代入式（b），可得函數(shù)關系式得函數(shù)關系式：(,Re)0lF E