隨機過程第一章

1、主講教師：何松華 教授聯(lián)系電話：(0731）82687718子信箱：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程( (通信專業(yè)通信專業(yè)) )Applied Statistics and Random ProcessApplied Statistics and Random Process湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述1. 概 述兼概率論復(fù)習(xí) (6學(xué)時)1.1不確定性事件不確定性事件1.2通信與電子系統(tǒng)中的不確定性通信與電子系統(tǒng)中的不確定性1.3含噪信號的最優(yōu)處理問題含噪信號的最優(yōu)處理問題1.4隨機變量及其數(shù)字特征隨機變量及其數(shù)字特征1.5隨機變量函數(shù)的概率密

2、度分布隨機變量函數(shù)的概率密度分布1.6隨機變量的特征函數(shù)隨機變量的特征函數(shù)不確定性事件不確定性事件1.1客觀世界中的兩大類規(guī)律：客觀世界中的兩大類規(guī)律：1.1.確定性事件中蘊涵的確定性規(guī)律2.2.不確定性事件中蘊涵的統(tǒng)計性規(guī)律確定性事件及確定性規(guī)律：確定性事件及確定性規(guī)律：1.1.因果律 確定的原因產(chǎn)生確定的可預(yù)知的結(jié)果“如果蘋果從樹上掉下(B),則肯定往下掉到地上(A)” if B then A ProbA|B=100%, Prob|B=0%湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述2.2.排中律 事物歸屬關(guān)系的確定性,非此即彼 “我(x)現(xiàn)在是湖南大學(xué)的教師(A)” I：論域（被討論的對

3、象的全體范圍） AB=（空集），AB=I if xA then uA(x)=100%,xB, uB(x)=0% if xB then uB(x)=100%,xA, uA(x)=0%湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述3.3.恒等律 事物(A,B,C,)之間相互約束關(guān)系的確定性 “三角形的三個內(nèi)角之和為180度” R（A，B，C，）= Constant 4.4.守恒律 事物(A,B,C,)(a,b,c,)之間轉(zhuǎn)換或交換過程中的確定性 “物質(zhì)不滅,能量守恒” R1（A，B，C，）= R2(a,b,c,)5.5.周期律 事物在有限域內(nèi)變化的重復(fù)性 “物極必返” if A=N,MN,xiA(i

4、=1,2,M) then 存在 i1i2,xi1=xi2毛澤東：打破周期率；江澤民：與時俱進，三個代表湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述不確定性事件及不確定性：不確定性事件及不確定性：1.1.隨機性,因果律的一種破缺 隨機試驗：可以在相同條件下重復(fù)進行,每次試驗的結(jié)果是事先不可預(yù)測的,所有可能的結(jié)果不止一個，但每次試驗的結(jié)果是唯一的, 這樣的試驗稱為隨機試驗。 隨機事件：在隨機試驗中，對于1次試驗可能發(fā)生也可能不發(fā)生、但在大量重復(fù)的試驗中按一定規(guī)律發(fā)生的某種事情，稱為隨機事件。 基本事件：在隨機試驗中，最簡單、不可再分、互不相容的事件稱為基本事件。 湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機

5、過程 概述例如:不同的人通過測量蘋果落地的時間獲得樹的高度 “隨機試驗”舉例：袋中有編號為0到5的6個乒乓球，從里面隨機地拿出一個，觀察結(jié)果后再放回；反復(fù)進行試驗。 6種基本事件：(1)拿到編號為0的球；(2)拿到編號為1的球；(3)拿到編號為2的球；(4)拿到編號為3的球；(5)拿到編號為4的球；(6)拿到編號為5的球。 “隨機事件”舉例：拿到編號大于4的球(在一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生；在大量重復(fù)的試驗中發(fā)生的比例約為1/3) “基本事件”是隨機事件的特例。 所有基本事件的組合稱為隨機試驗的“樣本空間”。湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述不確定性事件及不確定性：不確定性事件及

6、不確定性：2.2.模糊性,排中律的一種破缺 事物之間歸屬關(guān)系的不確定性，不能確定某個對象肯定屬于某個集合或肯定不屬于某個集合，但能夠確定對象屬于某個集合的程度。 模糊性舉例：論域 I=各種不同年齡x的人 模糊集合 =年輕人 1 （0 x 24） u(x)= 1+（x-25）/52-1（25 x） 年齡x越大，則歸屬于年輕人的隸屬度u(x)就越小。湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述通信與電子系統(tǒng)中的不確定性通信與電子系統(tǒng)中的不確定性(隨機性隨機性)1.2湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述由于信道噪聲的存在(電子的布朗運動)，確定的傳輸系統(tǒng)對確定的傳輸信號并不產(chǎn)生確定的響應(yīng)。

7、傳輸系統(tǒng)h(t)傳輸信號X(t) 響應(yīng) Y(t) 信道噪聲(t) Y(t)= X(t)h(t)+ (t) (卷積）(t)的取值是隨機的、不可預(yù)測的，則Y(t)也是隨機的、不確定的。通信電子系統(tǒng)中的不確定性所帶來的問題：通信電子系統(tǒng)中的不確定性所帶來的問題：1.1.信號的檢測問題 在數(shù)字通信中，0，1編碼用不同的兩種波形進行傳輸;接收端信號為Y(t) H0：（傳輸 0 編碼信號） Y(t)= X0(t)h(t) + 0(t) H1：（傳輸 1 編碼信號） Y(t)= X1(t)h(t) + 1(t) 怎樣從接收信號Y(t)中判斷出發(fā)送端傳輸?shù)男盘柺荴0(t) 還是X1(t) ？ 如何將假設(shè)檢驗理

8、論應(yīng)用于通信電子系統(tǒng)?湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述2.2.信號及系統(tǒng)參數(shù)的估計問題湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述系統(tǒng)h(t，2)A(t，)+ (t) a(t，1) Y(t)=a（t，1) h(t，2) + (t) 1：信號參數(shù)矢量(K個參數(shù)) 2：系統(tǒng)參數(shù)矢量(M個參數(shù))問題：Y(t)、 (t)是不可預(yù)知的隨機過程，怎樣從接收信號Y(t)的有限個采樣值Y(0)、Y(T)、Y(N-1)T求得1、 1的最佳估計呢？簡單的方程K+M個聯(lián)立為什么不能求得統(tǒng)計意義上的最佳估計？3.3.最優(yōu)濾波器的設(shè)計問題湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述 問題：Y(t)、 (t)

9、是不可預(yù)知的隨機過程，采用什么樣的濾波器h1(t)，使得含噪失真信號Y(t)通過該濾波器后，其輸出信號與X(t)最逼近？ minimum EY(t) h1(t)-X(t)2 h1(t)傳輸系統(tǒng)h(t)傳輸信號X(t) 響應(yīng) Y(t) 信道噪聲(t) 濾波器h1(t)含噪失真信號Y(t) 恢復(fù)信號Z(t) 4.4.系統(tǒng)的性能評估以及信號波形參數(shù)的設(shè)計問題(自學(xué))湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述已知信道噪聲(t)的統(tǒng)計特性平均值、方差、相關(guān)函數(shù)、概率分布等，要求在給定接收端檢測性能的情況下對傳輸信號的波形進行設(shè)計。舉例：軍用雷達目標檢測H0：（無目標） Y(t)= (t)H1：（有目標

10、） Y(t)= kAs(t-2R/c)+ (t) s(t)：寬度為的正弦脈沖,R:目標距離,c:光速，k：信號傳輸衰減系數(shù);要求虛警概率Pf=P（H1H0）=10-7，已知(t)服從N(0，2)，如何對發(fā)射信號的幅度A、脈沖寬度進行設(shè)計？5.5.噪聲背景中的最優(yōu)預(yù)測問題(自學(xué))湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述 舉例：軍用雷達機動目標狀態(tài)(距離、速度)預(yù)測測量方程：Y(n)= A(n) + (n) n0,N-1 Y(n):n時刻目標距離的測量值(已知) A(n):n時刻實際的目標距離值(未知) (n):測量誤差(隨機過程,概率分 布密度函數(shù)及相關(guān)特性已知) 目標運動狀態(tài)方程：A(n+

11、1)=A(n)+TV(n)+ (1/2)T2W(n) V(n+1)=V(n)+TW(n) V(n):目標第n個時刻的速度(未知) T :時間采樣間隔 W(n):目標的加速度擾動(概率密度、相關(guān)性已知)假設(shè)為帶有加速度擾動的勻速運動如何預(yù)測目標未來狀態(tài)? A(n),V(n)(nN-1)社會及國民經(jīng)濟領(lǐng)域中的統(tǒng)計問題舉例社會及國民經(jīng)濟領(lǐng)域中的統(tǒng)計問題舉例1.1.19世紀末中華民族無人能解的一個簡單問題湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述加拿大山貓年捕獲量數(shù)據(jù)加拿大山貓年捕獲量數(shù)據(jù) (1821-1878)(1821-1878)269,321,585,871,1475,2821,3928,59

12、43,4950,2577,523,98,184,279,409,2285,2685,3409,1824,409,151,45,68,213,546,1033,2129,2536,957,361,377,225,360,731,1638,2725,2871,2119,684,299,236,245,552,1623,3311,6721,4254,687,255,473,358,784,1594,1676,2251,1426,756,299假設(shè)今年為假設(shè)今年為18781878年年, ,請根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型請根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型, , 得到得到明年及明年及1880,1881,1882,18

13、831880,1881,1882,1883五年內(nèi)的山貓捕獲量的預(yù)測五年內(nèi)的山貓捕獲量的預(yù)測. .有限次差分后平穩(wěn)2. 2. 現(xiàn)在一個很容易解決的問題湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述舉例舉例: : 某城市居民季度用煤消耗量某城市居民季度用煤消耗量 ( ( 單位單位: : 噸噸 ) )請預(yù)測請預(yù)測19971997年度每個季度的用煤消耗量年度每個季度的用煤消耗量年份1季度2季度3季度4季度年平均19916878.45343.74847.96421.9 5873.019926815.45532.64745.66406.2 5875.019936634.45658.54674.86645.5

14、 5853.319947130.25532.64898.66642.3 6073.719957413.55863.14997.46776.1 6262.619967476.55965.55202.16894.1 6384.5非平穩(wěn)隨機過程: (1)趨勢項; (2)季節(jié)(周期)項含噪信號的最優(yōu)處理問題含噪信號的最優(yōu)處理問題1.3湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述信號處理的主要研究內(nèi)容信號處理的主要研究內(nèi)容 從噪聲背景中檢測感興趣的信號、提取信息或?qū)π盘柕膮?shù)進行估計圖像處理、語音信號處理、數(shù)據(jù)處理最優(yōu)信號處理方法最優(yōu)信號處理方法 信號處理的方法不僅與信號本身的特性有關(guān)，還與噪聲背景的統(tǒng)

15、計特性(概率密度分布、功率譜等)密切相關(guān)；從事通信與電子系統(tǒng)領(lǐng)域研究的人員除了掌握確定性的信號與系統(tǒng)分析方法外，必須了解噪聲等隨機過程的特性，掌握各種統(tǒng)計方法在信號處理中的應(yīng)用信號處理方法舉例1：最優(yōu)預(yù)測湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述設(shè)設(shè)x(n)( (n=1,2,)1,2,)為離散時間隨機信號，為離散時間隨機信號，n為采樣時刻；為采樣時刻；該隨機信號的相關(guān)函數(shù)及功率譜定義為該隨機信號的相關(guān)函數(shù)及功率譜定義為( ) () ( )xR mE x n m x n(數(shù)學(xué)期望)( )( ) (-)j mxmPx m e 25 5 4cos( )( )9 17 8cos(2 )xP如果該隨機

16、信號的功率譜密度函數(shù)為如果該隨機信號的功率譜密度函數(shù)為則最優(yōu)的因果則最優(yōu)的因果IIR 3IIR 3步預(yù)測方程為步預(yù)測方程為湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述其中其中(3)(0) ( )(1) (1)(2) (2) .x nhx nhx nhx n1( ) ( )h nZH z( (逆逆z z變換變換) )11111( )()/(1)8 162H zzz 5 4cos( )( )10 6cos(2 )xP如果該隨機信號的功率譜密度函數(shù)為如果該隨機信號的功率譜密度函數(shù)為則最優(yōu)的因果則最優(yōu)的因果IIR 3IIR 3步預(yù)測濾波器應(yīng)修正為步預(yù)測濾波器應(yīng)修正為11111( )()/(1)692H

17、 zzz 隨機信號的最優(yōu)預(yù)測方法與其統(tǒng)計特性有關(guān)信號處理方法舉例2：最優(yōu)估計湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述 利用氣壓計對某棟高樓的高度進行測量利用氣壓計對某棟高樓的高度進行測量, ,根據(jù)甲班各個根據(jù)甲班各個學(xué)生的測量結(jié)果，該樓高度的測量值的平均值為學(xué)生的測量結(jié)果，該樓高度的測量值的平均值為h h0 0，變，變化的范圍化的范圍( (方差方差) )為為 0 02 2 ，測量值分布接近高斯分布。，測量值分布接近高斯分布。 現(xiàn)由乙班對該樓高度現(xiàn)由乙班對該樓高度h h進行測量，進行測量，NN個學(xué)生中第個學(xué)生中第n n個學(xué)個學(xué)生的測量值生的測量值xn, , 第第n n個學(xué)生的測量儀器的精度個

18、學(xué)生的測量儀器的精度( (誤差的方差誤差的方差) )為為 n n2 2; ;誤差服從正態(tài)分布誤差服從正態(tài)分布, ,各觀測相互獨立。各觀測相互獨立。 (1) (1) 不參考甲班的測量結(jié)果，且假設(shè)乙班不同儀器的測不參考甲班的測量結(jié)果，且假設(shè)乙班不同儀器的測量精度相同，量精度相同， 1 12 2= = 2 22 2= = NN2 2, ,則高度的最優(yōu)估計值為則高度的最優(yōu)估計值為湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述11NnnhxN(簡單平均) (2) (2) 不參考甲班的測量結(jié)果，但乙班每個學(xué)生的測量不參考甲班的測量結(jié)果，但乙班每個學(xué)生的測量儀器的精度不同，儀器的精度不同，則高度的最優(yōu)估計值為

19、則高度的最優(yōu)估計值為221111()/NNnnnnnhx(加權(quán)平均，精度越高，方差越小，加權(quán)系數(shù)越大) (3) (3) 參考甲班的測量結(jié)果，參考甲班的測量結(jié)果，則高度的最優(yōu)估計值為則高度的最優(yōu)估計值為022221100111()/NNnnnnnhhx在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中如何利用先驗知識信號處理方法舉例3：正弦信號的參數(shù)估計湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述( )sin()cos() + (n) (0,1,.,-1)x nAnBnnN( 已知已知)假設(shè)觀測噪聲假設(shè)觀測噪聲 (n)服從零均值正態(tài)分布服從零均值正態(tài)分布,各觀測值之間相各觀測值之間相互獨立，求互獨立，求A、B的最優(yōu)估計值的最優(yōu)估計值

20、頻率已知、幅相未知的正弦信號的參數(shù)估計。假設(shè)獲頻率已知、幅相未知的正弦信號的參數(shù)估計。假設(shè)獲得了正弦信號在得了正弦信號在NN個不同時刻的觀測值個不同時刻的觀測值為什么不能解方程？111120001112000sin ()sin()cos()( )sin()sin()cos()cos ()( )cos()NNNnnnNNNnnnnnnx nnABnnnx nn 僅僅兩個參數(shù)而已?信號處理方法舉例4：數(shù)據(jù)的最優(yōu)平滑(維納濾波器)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述( )( )( ) (., 2, 1,0,1,2,.)x ns nnnx(n)：測量數(shù)據(jù)：測量數(shù)據(jù)(已知已知)； s(n)：需要

21、恢復(fù)的信號數(shù)據(jù)：需要恢復(fù)的信號數(shù)據(jù)(未知未知) (n)：測量誤差：測量誤差(未知且隨機未知且隨機)。如何恢復(fù)。如何恢復(fù)s(n)？濾波器h(n)含噪數(shù)據(jù)x(n) 恢復(fù)的數(shù)據(jù)s1(n) 21( )min ( )( ) h nEs ns n求解如下的最優(yōu)化問題：求解如下的最優(yōu)化問題：湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述( )()( )( )jssPH ePP其中其中：1( )()jh nFTH e( ) ( ) ()sPFT E s n s nm( ) ( ) ()PFT Ennm(信號相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，信號功率譜)(噪聲相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，噪聲功率譜)濾波器的單位脈沖響應(yīng)社會與經(jīng)濟領(lǐng)

22、域中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理方法1. 統(tǒng)計描述方法 對所收集的數(shù)據(jù)進行加工處理，計算綜合性的統(tǒng)計指標，描述所研究的隨機現(xiàn)象的總體數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系2. 統(tǒng)計推斷方法 在對已獲取的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計描述的基礎(chǔ)上，建立預(yù)測模型，對未知的或未來的數(shù)據(jù)進行推斷。統(tǒng)計研究的作用 (1) 提供決策咨詢服務(wù)；(2)提供監(jiān)督服務(wù)；(3)提供其他形式的信息服務(wù)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述社會與經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用統(tǒng)計舉例： 移動通信公司之客戶保持 已知歷史客戶(包括離網(wǎng)客戶、忠誠客戶)的基本屬性，例如：性別、年齡、職業(yè)類型、在網(wǎng)時長、發(fā)展渠道、繳費方式、繳費途徑、平均每次繳費金額、平均每月話費、所選套餐類型、.(1

23、)如何確定影響客戶是否離網(wǎng)的最主要屬性(因素)？(2)如何根據(jù)歷史客戶數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，預(yù)測目前在網(wǎng)客戶的離網(wǎng)可能性？(3)對離網(wǎng)可能性比較大的客戶，應(yīng)采取何種針對性的營銷或客戶保持措施，以最低的活動成本實現(xiàn)客戶保持？湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量及其數(shù)字特征隨機變量及其數(shù)字特征1.4湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量隨機變量 ( (事件事件變量，物理描述變量，物理描述數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題) ) 設(shè)隨機試驗E的樣本空間 Se，如果對于每一個eS，有一個實數(shù)X(e)和它對應(yīng)，這樣就得到一個定義在S上的單值實函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機變量，一般簡記為X。 舉

24、例舉例1 1：拋擲硬幣：拋擲硬幣( (隨機試驗隨機試驗E)E) 樣本空間 S正面朝上，反面朝上 定義：如果正面朝上，則 X=0；反面朝上，則X=1 則X為隨機變量，且取值為離散的，稱為離散隨機變量 湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述舉例舉例1(1(續(xù)續(xù)) ) P(X=0)=0.5 (X取值為0的概率); P(X=1)=0.5 舉例舉例2 2：用標尺測量長度，最小刻度單位：用標尺測量長度，最小刻度單位1mm1mm樣本空間S=長度測量誤差的分布范圍 設(shè)X為測量值與實際值之間的誤差，則X為隨機變量，且取值范圍為連續(xù)區(qū)間-0.5mm,0.5mm ，稱為連續(xù)隨機變量。 對于本例，PxXy=mi

25、ny,0.5-maxx,-0.5 (隨機變量X取值落在區(qū)間x,y)內(nèi)的概率)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述古典概率模型古典概率模型若某一隨機事件可以分解為某些基本事件的組合,則該事件發(fā)生的概率為這些基本事件發(fā)生概率的和。舉例：設(shè)離散隨機變量X有只有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求X1.5這一事件的發(fā)生概率。1.501XXX1.5010.20.50.7P XP XP X湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述幾何概率模型幾何概率模型若向有界區(qū)域G內(nèi)投擲質(zhì)點，所有質(zhì)點落在G中任何一點是等可能的(均勻分布)，若g是G中一部分，則質(zhì)點落在g中的

26、概率：P = g的區(qū)域?qū)挾?G的區(qū)域?qū)挾?。舉例：設(shè)連續(xù)隨機變量X在-3,1區(qū)間內(nèi)均勻分布;求X0.2這一事件的發(fā)生概率。0.2 30.2gXX 0.50.2( 3)/1 ( 3)0.8P X 31GX 湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述全概率公式與貝葉斯公式舉例全概率公式與貝葉斯公式舉例設(shè)S為隨機試驗E例如：從n個車間的產(chǎn)品中隨機地抽取1個進行檢驗的樣本空間例如：抽到車間1的正品，抽到車間1的劣品，抽到車間2的正品，抽到車間2的劣品，,抽到車間n的正品，抽到車間n的劣品 (2n個基本事件)設(shè)A1、A2、An為S的一個劃分例如事件Ai：“抽到車間i的產(chǎn)品”,即 ()ijAAij 空集1

27、niiAS湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述設(shè)B為任意的隨機事件例如：抽到劣品，則B發(fā)生的概率為 P(A1)、P(A2) 、P(AN)稱為先驗概率例如P(Ai) 為車間i的產(chǎn)品占總產(chǎn)品的比例， P(B|Ai)為似然概率(條件概率)例如：車間i的產(chǎn)品是劣品的概率11221( )(|) ()(|) ().(|) ()(|) ()nnniiiP BP B A P AP B A P AP B A P AP B A P A全概率公式 假如B已經(jīng)發(fā)生例如抽到劣品例如抽到劣品，則該事件在多大的可能性上應(yīng)由Ai負責？例如：“抽到的劣品是車間i的產(chǎn)品的概率”(與“車間i的產(chǎn)品是劣品的概率”并不等價)，

28、如何計算P(Ai|B)貝葉斯公式湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述 P(Ai|B）稱為后驗概率事件發(fā)生后對事件各種起因的可能性的概率性推斷，P(Ai,B）稱為聯(lián)合概率例如：既是劣品又是車間i的產(chǎn)品的概率1(,)(|) ()(|)( )(|) ()iiiinjjjP A BP B A P AP A BP BP B A P A貝葉斯公式顯然，B肯定來源于劃分中的其中某一個 例如：劣品肯定來自某個車間，劣品來自于各車間的概率和為1111(|)()(|)1(|)()niiniinijjjP BAP AP ABP BAP A湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述例題：已知某地區(qū)銷售的計算

29、機主板有20%來自供應(yīng)商1，50%來自供應(yīng)商2，30來自供商3。假定這三個供應(yīng)商所生產(chǎn)的主板的不合格率已知，分別為0.01、0.004和0.008，請計算每個供應(yīng)商應(yīng)承擔的責任(主板返修費用)比例。 雖然不合格比例低,但產(chǎn)品量大,承擔責任不一定少湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量的概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)隨機變量的概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)( )()XFxP Xx()0XF ( )1XF (x的單調(diào)非減函數(shù))0( )1XFx概率分布函數(shù)概率密度分布函數(shù)( )( )XXdFxfxdx( )0Xfx 關(guān)系( )( )xXXFxft dt根據(jù)幾何概型為什么是x+非負函數(shù)P

30、x1Xx2=FX(x2+)- FX(x1+)21( )xXxfx dxPx1Xx2 2121()()( )XXxXxFxFxfx dx可能存在不連續(xù)點湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例1 1設(shè)離散隨機變量X有3種可能的取值0,1,2;各種取值出現(xiàn)的概率為0.2,0.5,0.3;求其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù)解:根據(jù)古典概型000.201( )()0.712120.2 ( )0.5 (1)0.3 (2)XxxFxP Xxxxu xu xu x注意定義及開閉區(qū)間單位階躍函數(shù)FX(x)x0120.20.710.50.3

31、湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)( (詳見詳見信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)) )10( )00 xu xxu(x)x0121在x=0處不連續(xù),u(0)=1,u(0-)=0FX(x)x0120.20.710.2 ( )u x0.2 ( )0.5 (1)u xu x0.2 ( )0.5 (1)0.3 (2)u xu xu x湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述其中,()為單位沖激函數(shù),滿足0()xaxaxa()1aaxa dx在信號與系統(tǒng)理論中,采用單位沖激函數(shù)解決不可微問題( )( )0.2 ( )0.5 (1)0.3 (2)XXdFxfxxxxdxfX(x)

32、x120.20.50.30其他任何位置的導(dǎo)數(shù)為零，x=0,1,2三處的導(dǎo)數(shù)為無窮大(不同的無窮大)()0aa()0aa對無窮大的約束沖激強度為1湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的關(guān)系00( ) ( )10 xxt dtu xx( )( )du xxdxu(x)x01(x)x100000( )( )( )xx dxx dxx dx0 x 100()/()du xadxxa()()xta dtu xa兩個1的區(qū)別偶函數(shù)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述舉例：利用沖激函數(shù)的積分性質(zhì)求概率分布函數(shù)( )0.2 ( )0.5 (1)0.3 (2)Xfxxx

33、xfX(x)x120.20.50.30(1)0 x ( )0Xfx ( )( )0 xXXFxft dt(2)01x( )Xfx00( )( )0.2 ( )0.2xXXFxft dtt dt在(,)x內(nèi)的x=0處有一個沖激其他位置處的積分和為零(3)12x( )Xfx在(,)x內(nèi)的x=0,1處有2個沖激+號可省去湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述0101( )( )0.2 ( )0.5 (1)0.7xXXFxft dtt dttdt(4)2x ( )Xfx在(,)x內(nèi)的x=0,1,2處有3個沖激010122( )( )0.2 ( )0.5 (1) 0.3 (3)1xXXFxft d

34、tt dttdttdt沖激強度分別為0.2,0.5000.201( )()0.71212XxxFxP Xxxx湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述推廣到離散隨機變量的更一般情況推廣到離散隨機變量的更一般情況設(shè)離散隨機變量X有I種可能的取值x1,x2,xI;其中第i(i=1,2,I)取值出現(xiàn)的概率為pi;則其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù)分別為( )()()iXiiixxiFxP XxP Xxpu xx( )( )()XXiiidFxfxpxxdx參見前面FX(x)圖根據(jù)古典概型附錄：沖激函數(shù)積分性質(zhì)：設(shè)g(x)在x0處連續(xù)，則000000000( ) ()( ) ()()()()xxx

35、xg ttx dtg ttx dtg xtx dtg x湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例概率分布函數(shù)與概率密度分布函數(shù)舉例2 2設(shè)連續(xù)隨機變量在區(qū)間a,b上服從均勻分布;求其概率分布函數(shù)及概率密度分布函數(shù)解:根據(jù)幾何概型( )()0 () / ()1XFxP XxxaxabaaxbbxFX(x)xab1( )( ) /0 1 / ()0XXfxdfxdxxabaaxbbxabfX(x)x1/(b-a)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述多維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)與聯(lián)合多維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)與聯(lián)合概率密度分布函數(shù)概率密度分

36、布函數(shù)設(shè)X1、X2、XN為不同的隨機變量，則其聯(lián)合概率分布函數(shù)以及概率密度分布函數(shù)定義為12.121122( ,.,)(,.,)nX XXnnnFx xxP Xx XxXx多個隨機事件同時發(fā)生的概率1212.12.1212( ,.,)( ,.,).nnnX XXnX XXnnFx xxfx xxx xx 121212.12.1221( ,.,).( ,.,).nnnxxxX XXnX XXnnFx xxfy yy dydy dy 省去“+”湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述多維連續(xù)隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)多維連續(xù)隨機變量分布函數(shù)的性質(zhì)121212.12.0(,.,)( ,.,) ( ,

37、.,)1nnnX XXX XXnX XXFFx xxF (練習(xí)：證明其為所有變量的單調(diào)非減函數(shù))事件112211,.,nnXx XxXx可以分解為112211,.,nnXx XxXx(,)nX 情況下的所有事件之和，等價于事件112211,.,nnnXx XxXxX 下面考察如何由高維分布得到低維分布。湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述121121.121.121( ,.,)( ,.,)nnnX XXnX XXXnnnfx xxfx xxx dx1211212112.121.121.121121( ,.,)( ,.,).(,.,).nnnnX XXnX XXnxxxX XXnnnnF

38、x xxFx xxfy yyy dy dydy dy 邊緣分布121.121111( ).( ,.,).innXiX XXXnnniifxfx xxx dxdx dxdx 上式兩邊對x1,x2,xn-1求偏導(dǎo)，再作變量置換nnyx采用遞推方法不難得到：根據(jù)古典概型得到：湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量之間相互獨立的定義隨機變量之間相互獨立的定義如果1212.,1212(,.,)()().()nnX XXnXXXnFx xxFx FxFx或1212.1212( ,.,)()().()nnX XXnXXXnfx xxfxfxfx則這n個隨機變量相互獨立離散隨機變量的相互獨立，要

39、求對所有可能組合(x1,x2,xn)11221122(,.,)() (). ()nnnnP Xx XxXxP Xx P XxP Xx對于離散型隨機變量，聯(lián)合概率分布或分布律定義為1122(,.,)nnP Xx XxXx湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征(1)均值(數(shù)學(xué)期望)( )XmE Xxf x dx1IXiiimE Xp x(連續(xù)隨機變量)(有I種取值的離散隨機變量)(2)方差222() ()( )XXXVar XE Xmxmf x dx2221() ()IXXiiXiVar XE Xmp xm(連續(xù))(離散)Var X或2X湖南大學(xué)教學(xué)課件：

40、應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述(3)k階原點矩,( )kkX kmE Xx f x dx,1IkkX kiiimE Xp x(連續(xù)隨機變量)(離散隨機變量)(4)k階中心矩,() ()( )kkX kXXE Xmxmf x dx2,1() ()IkX kXiiXiE Xmp xm(連續(xù)隨機變量)(離散隨機變量)1階原點矩即為均值，二階中心矩即為方差；二階原點矩稱為均方值，滿足222XXE Xm湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述(5)隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ()( ) ( )E g Xg x f x dx1 ()( )IiiiE g Xg x p(連續(xù)隨機變量)(離散隨機變量)(6)兩個隨

41、機變量之間的相關(guān)函數(shù)( , )XYXYRE XYxyfx y dydx (連續(xù)隨機變量)(離散隨機變量)11(,)IJXYijijijRE XYx y P Xx Yy22222222() 22XXXXXXXE XmE Xm XmE Xm E XmE Xm附錄(證)：湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述(離散隨機變量)11()()(,)()()XYXYIJijiXjYijKE XmXmP Xx Yyxmym(9)多維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(8)兩個隨機變量之間的相關(guān)系數(shù)或標準協(xié)方差/()XYXYXYrK ()()( , )XYXYxmymfx y dydx (連續(xù)隨機變量)(7)兩個隨機

42、變量之間的協(xié)方差函數(shù), ()()XYXYXYKCov X YE XmYmE XYm m對于零均值變量，協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)等價顯然XXKVar X湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量之間不相關(guān)及正交的定義隨機變量之間不相關(guān)及正交的定義()()0XYXYKE XmYm若則稱兩個隨機變量X、Y互不相關(guān)0XYRE XY若則稱兩個隨機變量X、Y相互正交在零均值情況下，正交與不相關(guān)等價XYXYXYXYKRm mR121212.1221 (,.,) .( ,.,)( ,.,).nnnX XXnnE g X XXg x xx fx xx dxdx dx 湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程

43、 概述隨機變量數(shù)字特征的性質(zhì)22| XYRE XE Y2() 0E XcY22220E XcE XYc E Y以c為變量的拋物線在c軸上方的充要條件222224 4 0 | XYE XYE YE XRE XE YA根據(jù) 同理可得22|XYXYXYK | |/()| 1XYXYXYrK B:對稱性XYYXRRXYYXKKXYYXrr2( ) 0EXE Xc YE Y附錄證：根據(jù)定義以及乘法的交換率(練習(xí))為什么？湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差函數(shù)的運算性質(zhì)()( ) ( )( )XXXE aXbaxb fx dxaxfx dxbfx dxaE Xb2222() (

44、) Var aXbEaXbE aXba EXE Xa Var X1122111111111212,()()()( ), Cov a Xb a YbEa XbE a Xba XbE a Xba a EXE XYE Ya a Cov X YABC常數(shù)b只影響均值，不影響方差湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述121212.122111.12211.1221.()(,.,).()(,.,). .(,.,).nnnnniiiiX XXnniiniiX XXnniX XXnnEa Xba xb fx xxdxdx dxa xfx xxdxdx dxbfx xx dxdx dx 11 nniiii

45、iiE a Xba E Xb附錄:1212.1221.12111 .()(,.,).().(,.,).()() ()nniiX XXnniX XXnniiiiXiiig x fx xxdxdx dxg xfx xx dxdxdxdxdxg xfx dxE g X 概率密度函數(shù)的全積分為1邊緣分布湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述21112111111()()()()()nnniiiiiiiiinnniiiiiijjjiijnnijiijjijnijjVara XbEa XbEa XbEa XE XEa XE XaXE XEaaXE XXE Xaa E 111()()ijnnniijj

46、ijX XiijXE XXE Xaa K利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望性質(zhì)(將整個函數(shù)作為新的隨機變量)當各隨機變量不相關(guān)時211nniiiiiiVaraXba Var X0 ()ijX XKij湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述(10)多維隨機矢量的均值矢量12 . TnXX XX定義由n個隨機變量構(gòu)成的矢量則其均值矢量定義為12 . TnE XE XE XE X各隨機變量的均值所構(gòu)成的矢量(10)多維隨機變量的協(xié)方差矩陣(n行n列對稱矩陣)()() TC XE XE XXE X協(xié)方差矩陣的第i行第j列元素值為()()ijijiijjX XCE XE XXE

47、XK矩陣對稱性Cij=Cji列矢量行矢量湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述附錄：附錄：( (證明證明) )若兩個變量相互獨立，則必然不相關(guān)若兩個變量相互獨立，則必然不相關(guān)( (反之不一定反之不一定) )證：設(shè)X、Y兩個隨機變量相互獨立，即( , )( )( )XYXYfx yfx fy()()XYXYKE XmYm,()()( , )()()( )( )()( )()( )( )( )( )( )0XYX YXYXYXXYYXXXYYYXXYYxmymfx y dydxxmymfx fy dydxxmfx dxymfy dyxfx dxmfx dxyfy dymfy dymmmm 則

48、：湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述正態(tài)分布以及多維聯(lián)合正態(tài)分布的定義正態(tài)分布以及多維聯(lián)合正態(tài)分布的定義22()21( )2x uXfxe設(shè)X為隨機變量，如果其概率密度函數(shù)為則稱X服從均值為u，方差為2的正態(tài)分布或高斯分布容易證明(參見后面附錄)：22()21( )12x uXFedx 概率密度函數(shù)的積分性質(zhì)22()212x uXmE Xxedxu湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述22()222221() ()2x uXXE Xmxuedx當u=0, 2=1時，此時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布x0fX(x)mX=uux=u+ 1 ( 2)x=u- 最大值點(均值u處)、最大值

49、、兩個拐點、對稱性、漸近線平移參數(shù)u，形狀參數(shù)(方差的性質(zhì)？)xufX(x) =1 =1.5 =3湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述附錄附錄22222222202xxyredxedxdyerdrd 22112xedx222xedx直角坐標系內(nèi)的積分轉(zhuǎn)化為極坐標系內(nèi)的積分練習(xí)：在此式的基礎(chǔ)上運用常規(guī)的積分方法證明前面的3個式子湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述如果這n個隨機變量的多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)滿足12 . TnXX XX下面介紹多維聯(lián)合正態(tài)分布。定義n維隨機矢量12 . Tnxx xx定義隨機變量取值所構(gòu)成的矢量12.121122( ,.,)( )11exp()()

50、2(2 ) |nX XXnXTnfx xxfxxmCxmCC：nn的正定方陣、對角線元素值大于0；|：行列式值n維常數(shù)列維常數(shù)列矢量矢量湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述則稱這n個隨機變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，且均值矢量以及協(xié)方差矩陣滿足1212 , ,., ,.,TTnnE XE XE XE Xmm mm()() TC XE XE XXE XC()()ijX XiijjijKE XE XXE XC容易證明(見第4章ppt附錄)：12.1211112.( ,.,).()1( )exp22niX XXnnniiiiXiiiiifx xx dx dxdx dxdxxmfxCC 對除xi外的所

51、有變量積分(n-1重積分)矩陣的數(shù)學(xué)期望的概念2iiiiiX XXCK湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述結(jié)論結(jié)論1 1：若多個隨機變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，則其：若多個隨機變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，則其中的任意變量服從正態(tài)分布中的任意變量服從正態(tài)分布( (反之則不一定反之則不一定) )進一步,若C為對角矩陣，即()()0 ()ijijX XiijjCKE XE XXE Xij111212122212.nnnnnnX XX XX XX XX XX XX XX XX XKKKKKKCKKK對稱矩陣于是可得到如下結(jié)論:湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述11220.00.000.nnCCC

52、2iiiiiX XXCK1122|.nnCC CC111112210.00.000.nnCCCC1111112222112210.00.0,.,00.nnnnnnxmCxmCxm xmxmxmC1()()TxmCxm湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述12121.121222121122212111( ,.,)exp()()2(2 ) |()1exp2(2 ).()1exp( )().()22nnTX XXnnniiniiinnniiXXXniiiiifx xxxm CxmCxmCC CCxmfx fxfxCC結(jié)論結(jié)論2 2：若多個隨機變量服從聯(lián)合正態(tài)分布，且各：若多個隨機變量服從聯(lián)合

53、正態(tài)分布，且各變量互不相關(guān)，則這些變量相互獨立變量互不相關(guān)，則這些變量相互獨立其他分布不一定滿足此性質(zhì)21()niiiiixmC則多維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述結(jié)論結(jié)論2 2的推論：若多個隨機變量各自服從正態(tài)分布，且相的推論：若多個隨機變量各自服從正態(tài)分布，且相互獨立互獨立( (充分條件，并非必要條件充分條件，并非必要條件) ) ，則其聯(lián)合分布為聯(lián)，則其聯(lián)合分布為聯(lián)合正態(tài)分布。二維情況的充分必要條件為：合正態(tài)分布。二維情況的充分必要條件為：容易證明(練習(xí))：若隨機變量X、Y分別服從均值、方差分別為(mX,X2)、(mY,Y2)的正態(tài)分布，且在X=x的情況

54、下，Y的條件概率密度分布為如下的正態(tài)分布2|2222()1( | )exp2(1)2 (1) (| | 1)YYXXY XYYrymx mfy xrrr則X、Y服從聯(lián)合正態(tài)分布，且r為兩變量的相關(guān)系數(shù),即湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述|2222221222222( ,)(|)( )()11exp2(1)212 ()()() 11exp()2(2) XYY XXYYXYYXXXYXYTXYXYXYXYXYfx yfyx fxymrrr ymxmxmmymxrrr 12()YXXYXmymxr XYXYrK /()XYXYXYrKr (相關(guān)系數(shù))湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程

55、 概述|()YYXXE Y Xxmrxm222|(1) YYVar Y XxrVar Y2|2222()1( | )exp2(1)2 (1)XxYYX YXXrx mymfx yrr|()XXYYE X Yymrym222|(1)XXVar X YyrVar X隨機變量函數(shù)的概率密度分布隨機變量函數(shù)的概率密度分布1.5湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述1. 單調(diào)單變量函數(shù)的概率密度分布 設(shè)隨機變量X和Y存在單調(diào)函數(shù)關(guān)系Y=g(X)，存在唯一反函數(shù)X=h(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+dy)內(nèi)變化時，X在(h(y), h(y)+ dy)區(qū)間內(nèi)變化，這兩個事件的概率相等，即( )h

56、y( )| ( )|( )|YXfydyfh yh y dy(dy、dx可能為負,但區(qū)間的長度是正的,取絕對值),得到( ) ( )|( )|YXfyfh yh y( ,)x xdx( )|( )|YXfydyfxdx湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述YaXb22()1( )exp22XXXXxmfx證(附錄)：設(shè)2222211( ) ( )|( )|exp |22()1exp22|XYXXXXXXybmafyfh yh yayambaa性質(zhì)：若性質(zhì)：若X服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，Y是是X的線性函數(shù)，則的線性函數(shù)，則Y也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布則有：( )()/Xh YYba(

57、)1/h Ya湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述YaXb22()1( )exp22XXXXxmfx附錄:實際應(yīng)用中，可利用上述性質(zhì)以及概率論中數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)，直接寫出Y的概率密度分布函數(shù)222()1 exp22|XYXXyambfyaa則有：YXmE aXbamb2222YXVar aXbVar aXa Var Xa數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差的性質(zhì)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述2. 多值單變量函數(shù)的概率密度分布 設(shè)隨機變量X和Y存在函數(shù)關(guān)系Y=g(X)，除個別的Y值外，存在多個反函數(shù)(以2個為例)X=h1(Y)、X=h2(Y)。如果Y在任意小區(qū)間(y,y+dy)內(nèi)變化時，

58、則X 可以在兩個區(qū)間(h1(y),h1(y)+ dy)、(h2(y),h2(y)+ dy)區(qū)間內(nèi)變化，這兩個事件的概率相等，即1122( )| ( )|( )|( )|( )|YXXfydyfh yhy dyfh yhy dy得到:1122( ) ( )|( )|( )|( )|YXXfyfh yhyfhyhy1( )hy2( )hy湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述隨機變量Y和X間的關(guān)系為Y=sin(X)，X在區(qū)間 -X內(nèi)服從均勻分布。求隨機變量Y的概率密度多值函數(shù)概率密度分布函數(shù)舉例多值函數(shù)概率密度分布函數(shù)舉例解：-1Y1，對于任意一個Y值(0除外)，有兩個X值與之對應(yīng)，有11(

59、 )arcsin( )Xh YY21( )sgn( )arcsin( )Xh YYY121( )1h Yy221( )1hyy 111 ( ) ( )2XXfh yfh y112221( ) ( )|( )|( )|( )|1YXXfyfh yhyfhyhyy-YX值域范圍?( 11)y 湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述3. 多變量函數(shù)的概率密度分布1112221212(,.,)(,.,)(,.,)nnnnnYg XXXYgXXXYgXXX如果存在唯一的反函數(shù)1112221212( ,.,)( ,.,)( ,.,)nnnnnXh Y YYXh Y YYXh Y YY對于多維隨機變量

60、的函數(shù)湖南大學(xué)教學(xué)課件：應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)與隨機過程 概述根據(jù)高等數(shù)學(xué)：其中 表示矩陣J的行列式值的絕對值，J為如下的矩陣(雅可比矩陣)1121121121221221221212121212122(,.,)(,.,)(,.,).(,.,)(,.,)(,.,).(,.,)(,.,)(,.,).nnnnnnnnnnnnnnh yyyh yyyh yyyyyyhyyyhyyyhyyyyyyJhyyyhyyyhyyyyyy|J1212.|.nndx dxdxJdy dydy1 212.12.11221212( ,.,) (,.,),(,.,), .,(,.,) |nnYYYnX XXnnnnfy yyfh