【講座】“函數(shù)系列”解題教學研究

1、選擇合適的數(shù)學問題，開展選擇合適的數(shù)學問題，開展“函數(shù)系列函數(shù)系列”解題教學研究解題教學研究課程簡介課程簡介 本專題將解決的主要問題是：本專題將解決的主要問題是： 1.整體上提升對函數(shù)應(yīng)用的理解，從四個角度對函數(shù)的應(yīng)整體上提升對函數(shù)應(yīng)用的理解，從四個角度對函數(shù)的應(yīng)用進行研究：即從圖象角度、值域角度、函數(shù)與方程角度和實用進行研究：即從圖象角度、值域角度、函數(shù)與方程角度和實際問題角度進行研究，明確這幾類問題解決的常規(guī)辦法際問題角度進行研究，明確這幾類問題解決的常規(guī)辦法. 2.整體上提升對函數(shù)的概念與性質(zhì)的理解，把握概念實質(zhì)；整體上提升對函數(shù)的概念與性質(zhì)的理解，把握概念實質(zhì)； 3.整體上提升對函數(shù)性

2、質(zhì)的把握，在導數(shù)工具的輔助下深整體上提升對函數(shù)性質(zhì)的把握，在導數(shù)工具的輔助下深入研究函數(shù)的單調(diào)性，極值（最值）等問題入研究函數(shù)的單調(diào)性，極值（最值）等問題.進一步豐富研究一進一步豐富研究一些具體函數(shù)模型的方法些具體函數(shù)模型的方法.學習要求學習要求 1明確函數(shù)應(yīng)用在中學數(shù)學中的地位和作用，把握明確函數(shù)應(yīng)用在中學數(shù)學中的地位和作用，把握本部分內(nèi)容與相關(guān)知識的聯(lián)系，為后續(xù)研究函數(shù)的應(yīng)本部分內(nèi)容與相關(guān)知識的聯(lián)系，為后續(xù)研究函數(shù)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)用奠定基礎(chǔ).2加深從加深從“形形”的角度對函數(shù)性質(zhì)的理解，把握數(shù)的角度對函數(shù)性質(zhì)的理解，把握數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)，進一步熟悉函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，能形結(jié)合思想的實質(zhì)，進一步

3、熟悉函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，能夠解決典型的問題夠解決典型的問題.3明確求簡單函數(shù)值域（最值）的常規(guī)方法，通過明確求簡單函數(shù)值域（最值）的常規(guī)方法，通過典型題目分析，明確解題途徑典型題目分析，明確解題途徑.4.通過對簡單實際問題的分析，把握利用函數(shù)與方程通過對簡單實際問題的分析，把握利用函數(shù)與方程思想分析研究實際問題的一般步驟，明確解實際問題思想分析研究實際問題的一般步驟，明確解實際問題的一般流程的一般流程.學習要求學習要求 5加深對導數(shù)的概念和性質(zhì)的理解，把握導數(shù)概念加深對導數(shù)的概念和性質(zhì)的理解，把握導數(shù)概念的實質(zhì)，進一步熟悉導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，的實質(zhì)，進一步熟悉導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，能

4、夠解決典型的問題能夠解決典型的問題.6 明確導數(shù)內(nèi)容的重點與難點，以及教學中的相關(guān)明確導數(shù)內(nèi)容的重點與難點，以及教學中的相關(guān)注意事項，加強本部分內(nèi)容教學實效性注意事項，加強本部分內(nèi)容教學實效性.7對本專題內(nèi)容學生在學習過程中的常見錯誤進行對本專題內(nèi)容學生在學習過程中的常見錯誤進行分析并提出解決策略，明確解決相關(guān)問題的一般思路分析并提出解決策略，明確解決相關(guān)問題的一般思路. 第一課第一課目錄 一、一、函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖 二、選題二、選題如何深入把握函數(shù)的概念如何深入把握函數(shù)的概念 三、選題三、選題如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì) 四四、選題如何選題如何深

5、層理解關(guān)于導數(shù)的深層理解關(guān)于導數(shù)的內(nèi)容內(nèi)容 五、五、學生學生學習中常見的錯誤分析與解決策略學習中常見的錯誤分析與解決策略一、一、函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖函數(shù)的概念與性質(zhì)結(jié)構(gòu)框圖二、選題二、選題-如何深入把握函數(shù)的概念如何深入把握函數(shù)的概念1映射與函數(shù)映射與函數(shù)2函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域（2）在實際問題中求函數(shù)的定義域）在實際問題中求函數(shù)的定義域. 在這類問題中在這類問題中除了考慮解析式對自變量的限制除了考慮解析式對自變量的限制 , 還應(yīng)考慮實際問題對還應(yīng)考慮實際問題對自變量的限制自變量的限制. 另外，在處理函數(shù)問題時要有一種隨時關(guān)注定義另外，在處理函數(shù)問題時要有一種隨時關(guān)注定義域的意識，這是極

6、其重要的域的意識，這是極其重要的.比如在研究函數(shù)單調(diào)性、比如在研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等問題時，首先要考慮的就是函數(shù)的定奇偶性、最值等問題時，首先要考慮的就是函數(shù)的定義域義域.請給圖片排個序故事一樣嗎？A? B? C?3函數(shù)的對應(yīng)法則問題函數(shù)的對應(yīng)法則問題三、選題三、選題-如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)如何突出函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性等，側(cè)重點在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的期性與對稱性等，側(cè)重點在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單的應(yīng)概念，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單的應(yīng)用用.

7、這部分內(nèi)容常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法這部分內(nèi)容常用到數(shù)形結(jié)合的思想方法.2關(guān)于函數(shù)的奇偶性問題關(guān)于函數(shù)的奇偶性問題3 3關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性問題：關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性問題：（三）怎樣有效提升學生對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的把握？（三）怎樣有效提升學生對基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的把握？基本初等函數(shù)包括基本初等函數(shù)包括: 二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的圖象上直觀地反映著函數(shù)的性質(zhì), 學習函數(shù)的學習函數(shù)的“捷徑捷徑”是熟知函數(shù)的是熟知函數(shù)的圖象圖象. 熟知函數(shù)圖象包括三個方面：作圖，讀圖，用圖熟知函數(shù)圖象包括三個方面：作圖，讀

8、圖，用圖.掌握初等函數(shù)一般包括以下一些內(nèi)容：首先是函數(shù)的定義，之后是函數(shù)的圖掌握初等函數(shù)一般包括以下一些內(nèi)容：首先是函數(shù)的定義，之后是函數(shù)的圖象和性質(zhì)象和性質(zhì).函數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，函數(shù)的性質(zhì)一般包括定義域，值域，圖象特征，單調(diào)性，奇偶性，周期性，零點、最值以及值的變化特點等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時候應(yīng)全面周期性，零點、最值以及值的變化特點等，研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的時候應(yīng)全面考慮考慮.函數(shù)的定義（通常情況下是解析式）決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析函數(shù)的定義（通常情況下是解析式）決定著函數(shù)的性質(zhì)，我們可以通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖

9、象，進而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)式研究函數(shù)的性質(zhì)，也可以通過解析式畫出函數(shù)的圖象，進而直觀的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì).1關(guān)于二次函數(shù)的處理關(guān)于二次函數(shù)的處理2關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的處理關(guān)于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的處理（四）（四）如何有效運用函數(shù)的圖象幫助我們分析解決問題如何有效運用函數(shù)的圖象幫助我們分析解決問題（五）（五）確定函數(shù)值域確定函數(shù)值域常見簡單函數(shù)求值域的方法：最大值與最小值是研究變量問題時常需要考慮的問題，也是高中數(shù)學中最重要的問題之一.函數(shù)的最大值、最小值問題常與實際問題聯(lián)系在一起.函數(shù)的最值與值域在概念上是完全不同的，但對于一些簡單函數(shù)，其求法是相通的.本小節(jié)主要討論兩類常見的

10、函數(shù)最值的解決方法及其應(yīng)用.1.基本初等函數(shù)在特定區(qū)間上的最值（或值域）問題.解決這類問題的方法是：作出函數(shù)圖象，觀察單調(diào)性，求出最值（或值域）.2.一些簡單的復合函數(shù)的最值問題.解決這類問題的方法通常有：（1）通過作出函數(shù)圖象變成第1類問題；（2）通過換元法轉(zhuǎn)化成第1類問題；（3）利用平均值定理求最值；（4）通過對函數(shù)單調(diào)性進行討論進而求出最值.其中討論單調(diào)性的方法可以用單調(diào)性定義或?qū)?shù)的知識。（5）轉(zhuǎn)化成幾何問題來求解。四四、學生學習中常見的錯誤分析與解決策略、學生學習中常見的錯誤分析與解決策略忽視函數(shù)的定義域：忽視函數(shù)的定義域：例例4： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.易錯點：不優(yōu)先考

11、慮函數(shù)的定義域而直接求導，但求導后函數(shù)的易錯點：不優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域而直接求導，但求導后函數(shù)的 “模樣模樣”（類型）變化很大，導致定義域變化，因而出現(xiàn)問題（類型）變化很大，導致定義域變化，因而出現(xiàn)問題.簡解：的定義域是，且，簡解：的定義域是，且，令，得（舍去）令，得（舍去）. 列表分析如下：列表分析如下：所以函數(shù)的減區(qū)間是，增區(qū)間是.錯因分析：研究一個函數(shù)要優(yōu)先考慮自變量的取值集合，這是一個基本順序.在本題中如果忽視它，將導致對于的無謂討論.解決策略： 明確導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具之一，遵循一般函數(shù)的研究順序； 養(yǎng)成在定義域范圍內(nèi)研究函數(shù)問題的習慣； 有檢驗意識.例5： 設(shè)，分別是定義在上的

12、奇函數(shù)和偶函數(shù).當時，且，則不等式的解集是（ ）A BC D 易錯點：題目給出的信息量較大，并且還都是抽象符號函數(shù)，不知從何下手？ 錯因分析：對于函數(shù)與導數(shù)要有整體的把握，才能從更高的觀點出發(fā)，對于新情境問題找到突破口.不會研究較抽象的問題不會研究較抽象的問題解決策略：首先要標出重要的已知條件，從這些條件入手，不斷深入研究.由你能產(chǎn)生什么聯(lián)想？它和積的導數(shù)公式很類似，整理可得.令，則當時，是增函數(shù)再考慮奇偶性，函數(shù)是奇函數(shù). 還有一個已知條件，進而可得，這樣我們就可以畫出函數(shù)的示意圖，借助直觀求解. 答案：D運用導數(shù)解決實際問題中建模能力弱運用導數(shù)解決實際問題中建模能力弱例6： 用總長14.8

13、m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果容器底面的長比寬多0.5m ,那么長和寬分別為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積易錯點：讀不懂題，不能化未知為已知；即使能夠建立函數(shù)關(guān)系也不關(guān)注實際背景錯因分析：函數(shù)觀念弱化，無法建立函數(shù)關(guān)系，建模能力弱解決策略：解決實際優(yōu)化問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學模型（目標函數(shù)），通過把題目中的主要關(guān)系（等量和不等量關(guān)系）形式化，把實際問題抽象成數(shù)學問題，再選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼夂喗猓涸O(shè)容器底面長方形寬為，則長為，依題意，容器的高為 顯然，即的取值范圍是記容器的容積為，則 對此函數(shù)求導得， 令，解得； 令，解得所以，當時，取得最大值1.8，這時容器的長為答：容器底面的長

14、為m、寬為1m時，容器的容積最大，最大容積為例7： 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：的定義域為，求導數(shù)得.令，得. 當，即時，的變化情況如下表：所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當，即時，的變化情況如下表：所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 當，即時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.通過本例，明確求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟： 確定的定義域（這一步必不可少，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集）； 計算導數(shù)； 求出方程的根； 列表考察的符號，進而確定的單調(diào)區(qū)間（必要時要進行分類討論）.例8： 求證：當時， 不等式兩邊都是關(guān)于的函數(shù)，且函數(shù)類型不同，故可考慮構(gòu)造函數(shù)，通過

15、研究函數(shù)的單調(diào)性來輔助證明不等式.證明：構(gòu)造函數(shù)，則.當時，有，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當時，即當時， .通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，而借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性輔助證明不等式突出了導數(shù)的工具性作用.典型高考題目剖析：典型高考題目剖析：一、關(guān)于導數(shù)內(nèi)容的深層理解 （一）導數(shù)及其應(yīng)用的結(jié)構(gòu)框圖（一）導數(shù)及其應(yīng)用的結(jié)構(gòu)框圖1導數(shù)概念的建立：（1）平均變化率：對于函數(shù)，定義為函數(shù)從到的平均變化率.換言之，如果自變量在處有增量，那么函數(shù)相應(yīng)地有增量，則比值就叫做函數(shù)從到之間的平均變化率.（2）函數(shù)在處的導數(shù)：函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即（3

16、）函數(shù)的導函數(shù)（導數(shù)）：當變化時，是的一個函數(shù)，我們稱它為函數(shù)的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），即.例1 如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為，則函數(shù)在處的導數(shù)_ 通過本例分析，強調(diào)導數(shù)定義的重要性及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.（二）導數(shù)的幾何意義教學注意事項（二）導數(shù)的幾何意義教學注意事項1關(guān)注對于曲線切線的重新認識：曲線的切線為曲線割線的極限位置.2導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即.3強調(diào)切點的重要性：切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切線與曲線的方程.選擇如下例題：例2 ：1）求曲線在 點處的切線方程； 2）過點 作 曲線的切線，求切線的方程.對于（1），根據(jù)

17、導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，可求出切線的斜率，進而由直線方程的點斜式求得切線方程.對于（2），注意到點不在曲線上，所以可設(shè)出切點，并通過導數(shù)的幾何意義確定切點的坐標，進而求出切線方程.解：（1）曲線在點處的切線斜率為，從而切線的方程為，即.（2）設(shè)切點的坐標為.根據(jù)導數(shù)的幾何意義知，切線的斜率為，從而切線的方程為. 因為這條切線過點，所以有，整理得，解得，或.從而切線的方程為，或，即切線的方程為，或.通過此例，引導學生關(guān)注運用導數(shù)求曲線的切線方程，常依據(jù)的條件是： 函數(shù)在點處的導數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，即； 切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切

18、線與曲線的方程. （三）導數(shù)的運算教學注意事項（三）導數(shù)的運算教學注意事項 1熟悉導數(shù)公式表，即幾種常見函數(shù)的導數(shù)： （為常數(shù)）； （，）； ； ； ； （，且）； ； （，且）2明確導數(shù)的運算法則： ； ； （）3關(guān)注簡單的復合函數(shù)（僅限于形如）的導數(shù)：設(shè)函數(shù)，則函數(shù)稱為復合函數(shù)其求導步驟是：，其中表示對求導，表示對求導對求導后應(yīng)把換成教學中教師可以選擇如下例題：例3 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）； （4）.解：（1）方法一：.方法二：（2）方法一：方法二：（3）方法一：方法二：（4）.通過此例題，教師強調(diào)理解和掌握求導法則和式子的結(jié)構(gòu)特點是求導運算的前提條件.運用公式和求導法則

19、求導數(shù)的基本步驟為： 分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征； 選擇恰當?shù)那髮Х▌t和導數(shù)公式求導數(shù)； 化簡整理結(jié)果.應(yīng)注意：在可能的情況下，求導時應(yīng)盡量減少使用乘法的求導法則，可在求導前利用代數(shù)、三角恒等變形等方法對函數(shù)式進行化簡，然后再求導，這樣可減少運算量.（如（1）（2）題的方法二較方法一簡捷）.對于（3），方法一是使用積的導數(shù)運算公式求解，即使用三角公式將表示為和的乘積形式，然后求導數(shù)；方法二是從復合函數(shù)導數(shù)的角度求解. 方法二較方法一簡捷.對利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)要熟練、準確.（四）定積分與微積分基本定理教學須知（四）定積分與微積分基本定理教學須知1曲邊梯形的面積

20、與定積分：（1）定積分定義：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上. 用分點把區(qū)間分為個小區(qū)間，其長度依次為，.記為這些小區(qū)間長度的最大者.當趨近于時，所有的小區(qū)間的長度都趨近于.在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點，作和式.當時，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.其中叫做被積函數(shù)，叫做積分下限，叫做積分上限，此時稱函數(shù)在區(qū)間上可積. 教學中應(yīng)突出：分割近似代替求和取極限的步驟，概念非常抽象，結(jié)合圖形幫助分析.（2）明確定積分性質(zhì)：定積分有三條主要的性質(zhì)： （為常數(shù)）； ； （）.性質(zhì) 對于有限個函數(shù)（兩個以上）也成立；性質(zhì) 對于把區(qū)間分成有限個（兩個以上）區(qū)間也成立.在定積分的定義中，限

21、定下限小于上限，即.為了計算方便，我們把定積分的定義擴展，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：.（3）明確幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法： 由三條直線，軸，一條曲線 圍成的曲邊梯形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線 圍成的曲邊梯形的面積. 由兩條直線，兩條曲線， 圍成的平面圖形的面積. 由三條直線，軸，一條曲線圍成的曲邊梯形的面積，即在區(qū)間上，有正有負，求曲邊梯形的面積時應(yīng)分段計算. 2、微積分基本定理：如果，且在上可積，則，其中叫做的一個原函數(shù). 原函數(shù)在上的改變量簡記作，因此微積分基本定理可以寫成.教學中可選擇如下例題： 例4 計算下列定積分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （

22、6）. 解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.教學重要明確求一般分為兩步： 求的原函數(shù)； 計算的值，對于求較復雜函數(shù)的定積分還要依據(jù)定積分的性質(zhì).例5 求曲線，及直線所圍成圖形的面積.解：兩條曲線，的交點為，故所求面積.（五）例舉導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用（五）例舉導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用1利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：（1）函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負有如下關(guān)系：設(shè)函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)可導， 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 如果恒有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.值得注意的是，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有（或），但其中只有有限個點使得，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是增函數(shù)（或減函數(shù)）.（2）一般地，如果一個

23、函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導數(shù)的絕對值越大，說明這個函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快.這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值：（1）設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對 附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，是極大值點；如果 對附近所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極小值，是極小值點.（2）需要注意，可導函數(shù)的極值點必是導數(shù)為零的點，但導數(shù)為零的點不一定是極值點.如在處的導數(shù)值為零，但不是函數(shù)的極值點.也就是說可導函數(shù)在處的導數(shù)是該函數(shù)在處取得極值的必要但不充分條件.（3）函數(shù)在區(qū)間上的最值：在區(qū)間上的最大值（或最小值）是在區(qū)間內(nèi)的極大值（或極小值）及

24、中的最大者（或最小者）.（4）應(yīng)注意，極值只是相對一點附近的局部性質(zhì)，而最值是相對整個定義域內(nèi)的整體性質(zhì).第二課第二課一、一、數(shù)學數(shù)學解解題題研究研究 解題、研究解題是數(shù)學教師的必修課之一。在教學中我們發(fā)現(xiàn)許多的題目雖然千變?nèi)f化，結(jié)構(gòu)錯綜復雜，究其實質(zhì)往往可歸結(jié)為某一題源，對于一些難度較大的綜合題（比如高考試題中的解答題）雖然題型新穎，知識覆蓋面大，而且技巧性強，個別問題甚至奇妙獨特，但仔細推敲，還是運用一些常見的數(shù)學思想方法， 目標目標“化神奇為平常，化復雜為簡單化神奇為平常，化復雜為簡單”1.數(shù)學數(shù)學解解題題研究的意義研究的意義 數(shù)學解題就是單純地解決數(shù)學問題，具體數(shù)學教學過程中的解題就是

25、板演出解題的步驟。 解題注重的是題目或源于數(shù)學的問題的求解過程，即展示的重點是題目求解的結(jié)論數(shù)學題內(nèi)容設(shè)計選擇要有：基礎(chǔ)性、核心性、啟發(fā)性、典型性和階梯性數(shù)學題呈現(xiàn)方式主要有：一題多問、一題多變、一題多解、多題一解、易錯題辨析等五種類型2.數(shù)學解題數(shù)學解題特點特點1）審題。這一步驟中，一定要認真讀題，注意解剖和聯(lián)系。也就是通過讀題確定已知條件和未知條件，把條件的各個部分分開。如有需要，可畫出圖形，引入適當?shù)姆枠擞浺阎獥l件。 2）分析思路。關(guān)鍵是找出已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，確定解題時要利用的知識點，及用什么樣的數(shù)學思想和方法解題。 3）寫出過程。在書寫解題過程的時候，先確定關(guān)鍵步驟，再把一些

26、小的步驟填全。有些數(shù)學題的解答過程要遵循一定的慣例。4）及時反思。一道題完成以后應(yīng)及時反思其解法的優(yōu)缺點，思考是否還有其他解法，試著改變一下已知條件或結(jié)論，做變式練習，等。3.數(shù)學解題數(shù)學解題常規(guī)步驟：常規(guī)步驟：教師的解題技能與學生的題技能有所不同，主要在數(shù)學重要內(nèi)容中面向一些特定知識和方法上進行試題設(shè)計，關(guān)注常見解題中的一些漏點、盲點、易錯點，關(guān)注數(shù)學思想方法的運用。數(shù)學思想與數(shù)學方法 數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式、數(shù)量關(guān)系及其模式結(jié)構(gòu)反映在人的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，而數(shù)學方法是在有關(guān)數(shù)學活動中積累起來的數(shù)學研究和數(shù)學問題解決得以完成的途徑和手段。 數(shù)學思想與數(shù)學方法既有聯(lián)系又

27、有區(qū)別，區(qū)別在于：數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，而數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，它指導著知識和方法的運用；同時，數(shù)學思想與數(shù)學方法又互為表里，在數(shù)學活動中表現(xiàn)形態(tài)不具備明確的界限，故通常將兩個概念統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法對條件、結(jié)論及其相互關(guān)系進行分析通過創(chuàng)造性思維實現(xiàn)轉(zhuǎn)譯通過創(chuàng)造性思維實現(xiàn)轉(zhuǎn)譯構(gòu)造適當?shù)摹皵?shù)學對象或形式”通過推演實現(xiàn)轉(zhuǎn)化通過推演實現(xiàn)轉(zhuǎn)化所求（證）結(jié)論 1.如果關(guān)于x的方程 |x2|1|=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） A.(1,1) B.(0,1 C.(0,1) D.(0,2) 此題可以利用絕值的性質(zhì)求解，也可以令f(x)=|x2|1|，g(x)=a將問題

28、轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像交點問題，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想。 數(shù)學教師的解題能力不僅體現(xiàn)在會不會解題，更體現(xiàn)在解題方法和策略的使用，并能站在一定的高度解讀試題 高考考試說明的要求 強調(diào)能力立意，突出問題解決強調(diào)能力立意，突出問題解決” “以能力立意命題以能力立意命題”是數(shù)學的學科特點和考試目標所決定的高是數(shù)學的學科特點和考試目標所決定的高考數(shù)學科考試的重點是考查運用知識分析問題和解決問題的能力，考數(shù)學科考試的重點是考查運用知識分析問題和解決問題的能力，不不僅考查考生數(shù)學知識的積累是否達到進入高等學校學習的基本水平僅考查考生數(shù)學知識的積累是否達到進入高等學校學習的基本水平，而且要以

29、數(shù)學知識為載體，測量考生而且要以數(shù)學知識為載體，測量考生將知識遷移到不同情境的能力將知識遷移到不同情境的能力，從而檢測考生已有的和潛在的學習能力從而檢測考生已有的和潛在的學習能力高考考試說明的要求 命題命題時是時是突出能力立意，對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，力求突破固突出能力立意，對知識的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住問題的實質(zhì)，考查學生定的解答模式，要求考生抓住問題的實質(zhì)，考查學生創(chuàng)造性地對試題提創(chuàng)造性地對試題提供的信息進行合理地分檢、組合、加工，尋找解決問題的辦法供的信息進行合理地分檢、組合、加工，尋找解決問題的辦法 通性通法通性通法問題是問題是以中學數(shù)學的基礎(chǔ)

30、知識為基本素材，考查學生應(yīng)用知識以中學數(shù)學的基礎(chǔ)知識為基本素材，考查學生應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力分析問題、解決問題的能力 高考主要考查學生的高考主要考查學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、空抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，強調(diào)綜合性、應(yīng)用性，加強思維品質(zhì)的考間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，強調(diào)綜合性、應(yīng)用性，加強思維品質(zhì)的考查查析題析題解題解題二、二、數(shù)學數(shù)學析析題題研究研究5.數(shù)學數(shù)學析析題題 研究的意義研究的意義研究研究數(shù)學數(shù)學析析題題的意義：的意義： 更好地幫助教師打造高效課堂，高效課堂需教學的有效更好地幫助教師打造高效課堂，高效課堂需教學的有效為前提，如為前提，如:要對教學中如何根據(jù)具體的數(shù)學問題選擇恰當要對教學中如何根據(jù)具體的數(shù)學問題選擇恰當?shù)慕虒W方式與方法；如何引導學生獨立思考；如何提高學的教學方式與方法；如何引導學生獨立思考；如何提高學生的數(shù)學綜合運用能力；如何加強創(chuàng)新精神、實踐能力以生的數(shù)學綜合運用能力；如何加強創(chuàng)新精神、實踐能力以及理性精神的培養(yǎng)及理性精神的培養(yǎng).析題是把審題、分析、解答和回顧的思維過程按一定規(guī)律一定順序說出來，要求析題者暴