誤差與不確定度

1、第二章第二章 誤差與不確定度誤差與不確定度本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)： u 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 u 隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差的特性和處理方法特性和處理方法u誤差的合成與分配誤差的合成與分配 u測(cè)量不確定度的概念和評(píng)定方法測(cè)量不確定度的概念和評(píng)定方法 u測(cè)量數(shù)據(jù)處理的方法測(cè)量數(shù)據(jù)處理的方法 本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論，搞測(cè)量就本章是測(cè)量技術(shù)中的基本理論，搞測(cè)量就得與誤差打交道。得與誤差打交道。 2.12.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差測(cè)量誤差 真值真值為為“表征某量在所處的表征某量在所處的條件條件下下

2、完善完善地地確定確定的量值的量值”。誤差誤差= =測(cè)量值測(cè)量值- -真值真值 2.12.1 誤差的概念與表示方法誤差的概念與表示方法 例例1 1，在電壓測(cè)量中，真實(shí)電壓，在電壓測(cè)量中，真實(shí)電壓5V5V，測(cè)得的電壓為，測(cè)得的電壓為5.3V5.3V，則，則 誤差誤差= 5.3V - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 2.1.1 2.1.1 測(cè)量誤差測(cè)量誤差 例如：例如：現(xiàn)在是什么時(shí)間？現(xiàn)在是什么時(shí)間？ 能準(zhǔn)確地報(bào)出北京時(shí)刻嗎？能準(zhǔn)確地報(bào)出北京時(shí)刻嗎？問(wèn)題：?jiǎn)栴}：5V5V真值真值怎么知道的？怎么知道的？ 在在通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JJF1001-1998J

3、JF1001-1998）中，）中，量的真值真值 true valuetrue valueof quantityof quantity是是“與給定的特定量的定義一致的值。與給定的特定量的定義一致的值?！辈⒆⒚鳎翰⒆⒚鳎毫康恼嬷抵挥型ㄟ^(guò)完善的測(cè)量才有可能獲得；真值按其本性是不確定的；與給定的特定量定義一致的值不一定只有一個(gè)。 真值是一個(gè)理想的概念，真值雖然是客觀存在，但卻又難真值是一個(gè)理想的概念，真值雖然是客觀存在，但卻又難以獲得。因?yàn)樽匀唤缛魏挝矬w都處于永恒的運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)以獲得。因?yàn)樽匀唤缛魏挝矬w都處于永恒的運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)量在不同時(shí)間、空間都會(huì)發(fā)生變化，從而有不同的真值。量在不同時(shí)間、空間都會(huì)發(fā)生

4、變化，從而有不同的真值。故故真值應(yīng)是指在瞬間條件下的值真值應(yīng)是指在瞬間條件下的值，一般來(lái)說(shuō)是無(wú)法通過(guò)完，一般來(lái)說(shuō)是無(wú)法通過(guò)完善的測(cè)量來(lái)獲得。善的測(cè)量來(lái)獲得。 例如：某個(gè)例如：某個(gè)5 5號(hào)電池，標(biāo)稱(chēng)電壓號(hào)電池，標(biāo)稱(chēng)電壓1.5v1.5v，真值是，真值是多少？多少？-很難確定！很難確定！實(shí)際上對(duì)實(shí)際上對(duì)“真值真值”的應(yīng)用通常是用以下三種辦法：的應(yīng)用通常是用以下三種辦法： 真值可由理論（或定義）給出真值可由理論（或定義）給出例例1 1：三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180180度度 由國(guó)際計(jì)量統(tǒng)一定義給出（例如秒的定義為銫原子能級(jí)躍遷9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1秒）。 1s=91926317

5、701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分別量得三內(nèi)角為：用量角器分別量得三內(nèi)角為：+ +誤差誤差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定義秒的定義 用用“約定真值約定真值” ” 代替代替“真值真值” 用用“不確定度不確定度” ” 評(píng)定測(cè)量結(jié)果評(píng)定測(cè)量結(jié)果 實(shí)際測(cè)量中常把實(shí)際測(cè)量中常把高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)高一等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)測(cè)得的實(shí)際測(cè)得的實(shí)際值作為真值使用。值作為真值使用?！皩?shí)際值實(shí)際值”“”“約定真值約定真值”。 在本章第在本章第2 2、3 3。4 4。5 5節(jié)中討論誤差時(shí)是基于節(jié)中討論誤差時(shí)是基于“約定真值約定真值”己知的條

6、件下進(jìn)行的。己知的條件下進(jìn)行的。 在本章第在本章第6 6節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，節(jié)中詳細(xì)討論。逆向思維，回避真值，回避真值，研究不能確定的程度研究不能確定的程度。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不。例如用卷皮尺量長(zhǎng)度，不能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，能確定的范圍在毫米量級(jí)，而用游標(biāo)卡尺測(cè)量，不能確定的范圍在微米量級(jí)。不能確定的范圍在微米量級(jí)。實(shí)際值： 在實(shí)際測(cè)量中，常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的示值示值來(lái)代 替真值真值，通常稱(chēng)為實(shí)際值，也叫相對(duì)真值，約定真值。標(biāo)稱(chēng)值： 測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值標(biāo)定的數(shù)值。但由于制造和測(cè)量精度 不夠及環(huán)境因素的影響，標(biāo)稱(chēng)值并一定等于它的真值或?qū)崢?biāo)稱(chēng)值并一定等于它的真

7、值或?qū)嶋H值際值。因此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱(chēng)值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。示值： 測(cè)量器具指示指示的被測(cè)量的量值量值，也稱(chēng)測(cè)量器具的測(cè)量值，它包括量值 和單位。2.2.基本術(shù)語(yǔ)基本術(shù)語(yǔ)盡量盡量不要用具體數(shù)量不要用具體數(shù)量來(lái)說(shuō)準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度來(lái)說(shuō)準(zhǔn)確度。例如：準(zhǔn)確度10 mV10 mV只能用某一等級(jí)或范圍來(lái)描述，例如：某電流表為只能用某一等級(jí)或范圍來(lái)描述，例如：某電流表為1 1級(jí)表級(jí)表（準(zhǔn)確度（準(zhǔn)確度1%1%）測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果-由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。由測(cè)量所得到的賦予被測(cè)量的值。 測(cè)量結(jié)果的表示：是在測(cè)量結(jié)果的表示：是在示值示值的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理后的

8、后的估計(jì)值估計(jì)值，包括修正值、平均值及不確定度等。，包括修正值、平均值及不確定度等。測(cè)量準(zhǔn)確度測(cè)量準(zhǔn)確度-測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值的測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值的一致程度一致程度。 但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度但由于真值難以獲得，故準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念（誤是一個(gè)定性概念（誤差）差）。測(cè)量的測(cè)量的重復(fù)性重復(fù)性-在在相同相同的測(cè)量條件下，對(duì)同一測(cè)量進(jìn)行的測(cè)量條件下，對(duì)同一測(cè)量進(jìn)行連續(xù)多次測(cè)量連續(xù)多次測(cè)量結(jié)果之間的結(jié)果之間的一致性一致性，用，用“r r” ” 表示。表示。 “ “r r” ” 不能太小，應(yīng)較大，才能滿(mǎn)足重復(fù)性的要求。不能太小，應(yīng)較大，才能滿(mǎn)足重復(fù)性的要求。 也稱(chēng)也稱(chēng)等精度測(cè)量等精度測(cè)量-同一

9、個(gè)人、同一臺(tái)儀器、同一同一個(gè)人、同一臺(tái)儀器、同一地點(diǎn)、同一方法，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。地點(diǎn)、同一方法，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量。 例：例：用數(shù)字電壓表測(cè)量電壓用數(shù)字電壓表測(cè)量電壓1616次。次。測(cè)量的測(cè)量的復(fù)現(xiàn)性復(fù)現(xiàn)性-在在改變改變了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的了的測(cè)量條件下，同一被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之間的一致性測(cè)量結(jié)果之間的一致性。 也稱(chēng)也稱(chēng)再現(xiàn)性再現(xiàn)性-換了個(gè)人，換了臺(tái)儀器，在另外的時(shí)換了個(gè)人，換了臺(tái)儀器，在另外的時(shí)間地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，其結(jié)果不能超出的范圍，間地點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，其結(jié)果不能超出的范圍，“R R”表示。表示。 R R 大則容易滿(mǎn)足復(fù)現(xiàn)性。大則容易滿(mǎn)足復(fù)現(xiàn)性。 例：例：不同人用不同的電壓表測(cè)量

10、市電，都是不同人用不同的電壓表測(cè)量市電，都是220v220v左右。左右。.2 誤差的來(lái)源誤差的來(lái)源 1.1.儀器誤差：儀器誤差：指針式儀表的零點(diǎn)漂移、刻度誤差以及非線(xiàn)性引起誤差；指針式儀表的零點(diǎn)漂移、刻度誤差以及非線(xiàn)性引起誤差； 數(shù)字式儀表的量化誤差（如數(shù)字式儀表的量化誤差（如5 5位半的電壓表比位半的電壓表比3 3位半量化誤差小）；位半量化誤差?。?； 比較式儀表中比較式儀表中標(biāo)準(zhǔn)量本身標(biāo)準(zhǔn)量本身的誤差（如天平的砝碼）均為儀器誤差。的誤差（如天平的砝碼）均為儀器誤差。 非線(xiàn)性非線(xiàn)性1.999999V1.999999V1.999V1.999VV VmVmV2.2.方法誤差：方法誤

11、差：由于測(cè)量方法不合理造成的誤差稱(chēng)為方法誤差。由于測(cè)量方法不合理造成的誤差稱(chēng)為方法誤差。 例如：例如：用普通模擬式萬(wàn)用表測(cè)量高阻上的電壓。用普通模擬式萬(wàn)用表測(cè)量高阻上的電壓。 100k100k1mA1mAv v100k100k100?50VV電壓表電壓表內(nèi)阻內(nèi)阻習(xí)題習(xí)題2.92.9被測(cè)電阻被測(cè)電阻R Rx x，電壓表的內(nèi)阻為，電壓表的內(nèi)阻為R RV V，電流表的內(nèi)阻為，電流表的內(nèi)阻為R RI II IV VR Rx x(a)(a)I IV VR Rx x(b)(b)對(duì)于圖對(duì)于圖(a)(a)： /VxxVxxV2xxxxV(RR )IR RUR =IIR +R-RR= R - R =R +R對(duì)于

12、圖（對(duì)于圖（a a）當(dāng)電壓表內(nèi)阻）當(dāng)電壓表內(nèi)阻R RV V很大時(shí)可選很大時(shí)可選a a方案。方案。對(duì)于圖（對(duì)于圖（b b）當(dāng)電流表內(nèi)阻）當(dāng)電流表內(nèi)阻R RI I很小時(shí)可用很小時(shí)可用b b方案。方案。3 3 理論誤差理論誤差 測(cè)量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計(jì)測(cè)量方法建立在近似公式或不完整的理論基礎(chǔ)上以及用近似值計(jì)算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱(chēng)為理論誤差。例如，用諧振法測(cè)量算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱(chēng)為理論誤差。例如，用諧振法測(cè)量頻率時(shí)，常用的公式為頻率時(shí)，常用的公式為 01f =2 LC但實(shí)際上，回路電感但實(shí)際上，回路電感L L中總存在損耗電阻中總存在損耗電阻r r，其準(zhǔn)確的公為

13、，其準(zhǔn)確的公為 201r Cf =1-L2 LC4 4 影響誤差影響誤差 由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱(chēng)為影響誤差。由于各種環(huán)境因素與要求不一致所造成的誤差稱(chēng)為影響誤差。例如，環(huán)境溫度、預(yù)熱時(shí)間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾例如，環(huán)境溫度、預(yù)熱時(shí)間、電源電壓、內(nèi)部噪聲、電磁干擾等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。等條件與要求不一致，使儀表產(chǎn)生的誤差。 5 5 人身誤差人身誤差 由于測(cè)量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測(cè)由于測(cè)量者的分辨能力、疲勞程度、責(zé)任心等主觀因素，使測(cè)量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確所引起的誤差。量數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確所引起的誤差。 研究誤差理論的目的研究誤差理論的目的是分析產(chǎn)

14、生誤差的原因和規(guī)律，識(shí)別誤差是分析產(chǎn)生誤差的原因和規(guī)律，識(shí)別誤差的性質(zhì)，正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，在一定測(cè)量的性質(zhì)，正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，在一定測(cè)量條件下，盡力設(shè)法減少誤差，條件下，盡力設(shè)法減少誤差，保證測(cè)量誤差在容許的范圍內(nèi)。保證測(cè)量誤差在容許的范圍內(nèi)。 2.1.3 2.1.3 誤差的表示方法誤差的表示方法 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 1.1.絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差： 定義：被測(cè)量的定義：被測(cè)量的測(cè)量值測(cè)量值x x與其與其真值真值A(chǔ) A0 0之差，稱(chēng)為絕對(duì)誤差。之差，稱(chēng)為絕對(duì)誤差。 在實(shí)際測(cè)量中：在實(shí)際測(cè)量中： “約定真值約定真值”“”“實(shí)際值實(shí)際值”= = A

15、A 表示表示 修正值：與絕對(duì)誤差大小相等，符號(hào)相反的量值稱(chēng)為修正值，修正值：與絕對(duì)誤差大小相等，符號(hào)相反的量值稱(chēng)為修正值，一般用一般用C C表示表示 C C= = x x= =A Ax x 大小大小 正負(fù)正負(fù) 單位單位 x x = =x xA A0 0 x x= =x xA A 在測(cè)量時(shí)，利用示值和已知的修正值相加，即可以計(jì)算出被測(cè)量的實(shí)際值。 A= X + C例子： 某電流表測(cè)的電流示值時(shí)0.83mA，查得該電流表在0.8mA及其附近的修正值都是-0.02mA，那么被測(cè)的電流的實(shí)際值是多少? A=0.81mA 2.相對(duì)誤差一個(gè)量的準(zhǔn)確程度，不僅與它的絕對(duì)誤差的大小，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)

16、。例：測(cè)量足球場(chǎng)的長(zhǎng)度和沈陽(yáng)市到錦州市的距離，若絕對(duì)誤差都為1米，測(cè)量的準(zhǔn)確程度是否相同？例：例： 用二只電壓表用二只電壓表V V1 1和和V V2 2分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓值。分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓值。V V1 1 表測(cè)量表測(cè)量150150伏，絕對(duì)誤差伏，絕對(duì)誤差 x x1 1=1.5=1.5伏，伏， V V2 2 表測(cè)量表測(cè)量1010伏，伏， 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 x x2 2=0.5=0.5伏伏 從絕對(duì)誤差來(lái)比較從絕對(duì)誤差來(lái)比較 x x1 1 x x2 2 誰(shuí)準(zhǔn)確？誰(shuí)準(zhǔn)確？ x1 11 11 11 1. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 0% % = =1 1% %U U1 15

17、50 0 x2 22 22 20 0. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 00 0% % = =5 5% %U U1 10 0用用相對(duì)誤差相對(duì)誤差便于比較便于比較 - -表示相對(duì)誤差表示相對(duì)誤差2 2 相對(duì)誤差：相對(duì)誤差： 相對(duì)真誤差、實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差相對(duì)真誤差、實(shí)際相對(duì)誤差、示值相對(duì)誤差相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比 （不太實(shí)用）（不太實(shí)用）相對(duì)誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，相對(duì)誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒(méi)有單位。沒(méi)有單位。實(shí)際相對(duì)誤差：實(shí)際相對(duì)誤差： 用約定真值用約定真值A(chǔ) A

18、代替真值代替真值A(chǔ)0 A0 （不太方便）（不太方便）示值相對(duì)誤差：示值相對(duì)誤差： 用測(cè)量值用測(cè)量值X X 代替實(shí)際值代替實(shí)際值A(chǔ) A（比較方便）（比較方便）通常絕對(duì)誤差較小，而通常絕對(duì)誤差較小，而真值、測(cè)量值和實(shí)際值相差不大，真值、測(cè)量值和實(shí)際值相差不大，在要求不太嚴(yán)格的場(chǎng)合，為了方便常用示值相對(duì)誤差。在要求不太嚴(yán)格的場(chǎng)合，為了方便常用示值相對(duì)誤差。下面看常用相對(duì)誤差：0100%xA 100%AxA 100%xxx 相對(duì)誤差可以有多種形式相對(duì)誤差可以有多種形式, ,用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差最大絕對(duì)誤差與該與該量程值量程值（上限（上限值下限值）

19、之比來(lái)表示的相對(duì)誤差，稱(chēng)為滿(mǎn)度相對(duì)誤差（或稱(chēng)引用值下限值）之比來(lái)表示的相對(duì)誤差，稱(chēng)為滿(mǎn)度相對(duì)誤差（或稱(chēng)引用相對(duì)誤差相對(duì)誤差xxx x= =1 10 00 0% %xxm mm m=100%100% = S%= S%測(cè)量值（示值）相對(duì)誤差測(cè)量值（示值）相對(duì)誤差：儀器量程內(nèi)儀器量程內(nèi)最大絕對(duì)誤差最大絕對(duì)誤差與測(cè)與測(cè)量?jī)x器量?jī)x器滿(mǎn)度值滿(mǎn)度值之比來(lái)表示的相之比來(lái)表示的相對(duì)誤差對(duì)誤差 用分貝（用分貝（dBdB）表示相對(duì)誤差）表示相對(duì)誤差 相對(duì)誤差也可用相對(duì)誤差也可用對(duì)數(shù)形式對(duì)數(shù)形式（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、（分貝數(shù)）表示，主要用于功率、電壓的增益（衰減）的測(cè)量中。電壓的增益（衰減）的測(cè)量中。 功率功

20、率等電參數(shù)用等電參數(shù)用dBdB表示的相對(duì)誤差為表示的相對(duì)誤差為 dBx= 10lg(1 +)dBx（2.92.9） 電壓、電流電壓、電流等參數(shù)用等參數(shù)用dBdB表示的相對(duì)誤差為表示的相對(duì)誤差為 dBx= 20lg(1+)xx= 20lg(1+ )dBdBm dBm ：比值，描述功率單位。：比值，描述功率單位。mwp1lg10例：檢定量程為例：檢定量程為100A100A的滿(mǎn)刻度相對(duì)誤差小于的滿(mǎn)刻度相對(duì)誤差小于2%2%電流表，電流表，在在50A50A刻度上標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為刻度上標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)為49A49A，問(wèn)此電流表是否合格？，問(wèn)此電流表是否合格？ 解：解： x x0 0=49A =49A x x=50A

21、 =50A x xmm=100A=100Ax xx0 0m mm m- -5 50 0- -4 49 9= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= =1 1% % 2 2% %1 10 00 0（二級(jí)表）（二級(jí)表） xxm mm m=100%100% = S%= S% 例 某待測(cè)電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0400mA和1.5級(jí)量程為0100mA的兩個(gè)電流表，問(wèn)用哪一個(gè)電流表測(cè)量較好？2100%1.5% 1.5%100mxxSx1400%0.5%2%100mxxsx xxm mm m=100%100% = S%= S%2.1.4 2.1.4 誤差按性質(zhì)分類(lèi)誤差

22、按性質(zhì)分類(lèi)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 粗大誤差粗大誤差 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差-每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差?；恼`差。（同隨機(jī)變量）（同隨機(jī)變量）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差-在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變誤差的絕對(duì)值和符號(hào)都保持不變粗大誤差粗大誤差-是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JF1001-1998）中，系統(tǒng)誤差定義為：）中，系統(tǒng)誤差定義為：“

23、在重復(fù)性條在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量件下，對(duì)同一被測(cè)量所得的結(jié)所得的結(jié)果的果的平均值平均值與被測(cè)量的與被測(cè)量的真值真值之差之差。”用用表示系表示系統(tǒng)誤差，即統(tǒng)誤差，即 1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差即即 為無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值為無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值（概率論中的數(shù)學(xué)期望），這里簡(jiǎn)稱(chēng)為（概率論中的數(shù)學(xué)期望），這里簡(jiǎn)稱(chēng)為總體均值總體均值。 0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12）在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JG10011998）中，隨機(jī)誤差定義為：）中，隨機(jī)誤差定義為：“測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被

24、測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)無(wú)限多次測(cè)量量所得結(jié)果的平均值之差?！庇糜帽硎倦S機(jī)誤差，即表示隨機(jī)誤差，即 2. 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差xxii（2.13）3. 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，在一定條件下，測(cè)量值顯著偏離其真值顯著偏離其真值（或約定真值）所對(duì)應(yīng)的誤差，稱(chēng)為粗大誤差。 粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是粗大誤差產(chǎn)生原因：主要是 讀數(shù)錯(cuò)誤讀數(shù)錯(cuò)誤 測(cè)量方法不對(duì)測(cè)量方法不對(duì) 瞬間干擾瞬間干擾 儀器工作不正常等。儀器工作不正常等。對(duì)粗大誤差的處理通常是按一定的對(duì)粗大誤差的處理通常是按一定的法則法則進(jìn)行進(jìn)行剔除剔除 4. 4. 三種誤差的關(guān)系或?qū)y(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的影響三種誤差的關(guān)系或?qū)y(cè)量結(jié)果產(chǎn)生的影響系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差

25、小，小，準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度高高 A A或或A AX Xi iX Xi i隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 小小 ，精密度精密度高高 A AA A或或X Xi i系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱(chēng)系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，稱(chēng)精確度精確度高高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大誤差粗大誤差) )定性的概念：定性的概念：測(cè)量結(jié)果與真值之間的一致程度測(cè)量結(jié)果與真值之間的一致程度由（由（2.1）式誤差的定義：）式誤差的定義： 000iiiixxAxxxAxxxA 式（式（2.14）表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)）表示誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差相加的關(guān)系。圖系。圖2.2給出了這些誤差之

26、間關(guān)系的示意圖。給出了這些誤差之間關(guān)系的示意圖。（2.14）定量的概念：定量的概念：系統(tǒng)誤差真值測(cè)量值的概率分布曲線(xiàn)概率密度誤差某次測(cè)量值隨機(jī)誤差測(cè)量值置信區(qū)間xix0Aksx ksx ixP總體均值x不確定度UU定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 2.2.1 2.2.1 定義與性質(zhì)定義與性質(zhì) 測(cè)量術(shù)語(yǔ)測(cè)量術(shù)語(yǔ)：“等精度測(cè)量等精度測(cè)量”在相同條件（同一人、同一儀器同一環(huán)境、同在相同條件（同一人、同一儀器同一環(huán)境、同一方法）下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，稱(chēng)為等精度測(cè)量。一方法）下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，稱(chēng)為等精度測(cè)量。 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差定義定義：在國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范在國(guó)家計(jì)量技術(shù)

27、規(guī)范通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義（JG1001JG100119981998）中，隨機(jī)誤差定義為：）中，隨機(jī)誤差定義為：“測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。”用用表示隨機(jī)誤差或偶然誤差，表示隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)隨差。簡(jiǎn)稱(chēng)隨差。隨機(jī)誤差概念隨機(jī)誤差概念-不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量）不可預(yù)定方式變化的誤差（同隨機(jī)變量）xxii舉例：舉例：對(duì)一電阻進(jìn)行對(duì)一電阻進(jìn)行n n=100=100次重復(fù)性測(cè)量次重復(fù)性測(cè)量表表 2.22.2 按大小排列的按大小排列的重復(fù)性重復(fù)性測(cè)量

28、結(jié)果測(cè)量結(jié)果 測(cè)量值測(cè)量值x xi i（ ）相同測(cè)值出現(xiàn)次數(shù)相同測(cè)值出現(xiàn)次數(shù)mmi i相同測(cè)值相同測(cè)值出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.029.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.981499.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.01

29、0.01xP P( (x x) ) x x0 0 隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從隨機(jī)誤差性質(zhì)：服從正態(tài)分布正態(tài)分布，具有以下，具有以下4 4個(gè)特性個(gè)特性： 對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等；誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等； 單峰性單峰性絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多；大的誤差出現(xiàn)次數(shù)多； 有界性有界性絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限；機(jī)會(huì)極少，不會(huì)超出一定的界限； 抵償性抵償性當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大，當(dāng)測(cè)量次數(shù)趨于無(wú)窮大，隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。隨機(jī)誤差的平均值將趨于零。 x2.2.2 2.2.2 隨機(jī)誤

30、差特點(diǎn)隨機(jī)誤差特點(diǎn)在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是在測(cè)量中，隨機(jī)誤差是不可避免不可避免的。誤差的符號(hào)和絕對(duì)的。誤差的符號(hào)和絕對(duì)值都不是定值。值都不是定值。隨機(jī)誤差是由大量隨機(jī)誤差是由大量微小的沒(méi)有確定規(guī)律微小的沒(méi)有確定規(guī)律的因素引起的，的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。波動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，大地輕微振動(dòng)等。對(duì)各種被測(cè)參數(shù)進(jìn)行對(duì)各種被測(cè)參數(shù)進(jìn)行等精度測(cè)量等精度測(cè)量，都會(huì)得到一個(gè)鐘形曲，都會(huì)得到一個(gè)鐘形曲線(xiàn)，這是被大量實(shí)踐證明了的，具有線(xiàn)，這是被大量實(shí)踐證明了的，具有普遍意義的統(tǒng)計(jì)規(guī)律普遍意義的統(tǒng)

31、計(jì)規(guī)律，這種鐘形曲線(xiàn)稱(chēng)為這種鐘形曲線(xiàn)稱(chēng)為正態(tài)分布正態(tài)分布。對(duì)于單次測(cè)量，隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是對(duì)于單次測(cè)量，隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是不確定不確定的，的，但是對(duì)但是對(duì)多次測(cè)量多次測(cè)量而言，其而言，其服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量隨機(jī)變量可以表示為可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的的和和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量，則可認(rèn)為

32、這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：(x是測(cè)量值，p是相應(yīng)的概率)X為連續(xù)型隨機(jī)變量（p（x）是概率密度函數(shù)） 這就是為何測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布的原因這就是為何測(cè)量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布的原因1iipixE(X) dxxxpXE)()( 數(shù)學(xué)期望只能求得平均特性，但在實(shí)際測(cè)量中往往還需要知道數(shù)據(jù)的離散程度。 方差是用來(lái)描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的離散程度的參數(shù)。 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為：D(X)= E(XE(X)2 標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為： 標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的離散程度離散程

33、度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。)()(2離散1iipXEixD(X)( XD 平均值的標(biāo)準(zhǔn)差平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 意義在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分mm組組進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)n n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值，次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同，圍繞真值有一定分散性。這說(shuō)明有限次測(cè)量的分散性。這說(shuō)明有限次測(cè)量的算術(shù)平均值還存在著誤差算術(shù)平均值還存在著誤差。當(dāng)需。當(dāng)需要更精密時(shí)，應(yīng)該用要更精密時(shí)，應(yīng)該用算術(shù)平均值的

34、標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 x來(lái)評(píng)價(jià)。來(lái)評(píng)價(jià)。 已知算術(shù)平均值已知算術(shù)平均值 x為為 nii=11=nxx n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xnxs( )s( )=nxx當(dāng)當(dāng)n n為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則為有限次時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差的估值即可，則 nxsxs)()(（2.212.21） 結(jié)論結(jié)論：（：（2.212.21）式說(shuō)明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意

35、一組）式說(shuō)明，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是任意一組n n次次測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差的 n分之一。即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估值分之一。即算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估值 )(xs比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值 )(xs比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值比樣本標(biāo)準(zhǔn)差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機(jī)誤表明了各組平均值再平均以后數(shù)值更集中了。這是由于隨機(jī)誤差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度差的抵償性，測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所以，

36、用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差。意義意義：（：（2.212.21）式給實(shí)際測(cè)量帶來(lái)了方便，人們只要測(cè)量一組）式給實(shí)際測(cè)量帶來(lái)了方便，人們只要測(cè)量一組數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準(zhǔn)差，將其除以 ，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù)，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù)n的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。歸納歸納：有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差有限次測(cè)值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：(1)(1)列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表列出測(cè)量值的數(shù)據(jù)表 (2)(2)計(jì)算算術(shù)平均值計(jì)算算術(shù)平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )

37、()11nniiiis xxxnn(3)(3)殘差殘差 (4)(4)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差） ( )( )s xs xn(5)(5)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值 例例2.6 2.6 對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了對(duì)某信號(hào)源的輸出頻率進(jìn)行了8 8次測(cè)量，得測(cè)量值次測(cè)量，得測(cè)量值 ix的序列的序列( (見(jiàn)表見(jiàn)表2.3) 2.3) 。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。求測(cè)量值的平均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用數(shù)據(jù)所用數(shù)據(jù)iv序號(hào)序號(hào)1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz) (kHz)1000.821

38、000.821000.791000.791000.851000.851000.1000.34341000.1000.78781000.1000.91911000.1000.76761000.1000.82820.060.060.030.030.090.09-0.42-0.420.020.000.000.060.06解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,這里采用的運(yùn)算技巧）這里采用的運(yùn)算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.1817inis x

39、vn(2)(2)用公式用公式 xxvii計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表計(jì)算各測(cè)量值殘差列于表2-32-3中中(3)(3)標(biāo)準(zhǔn)差估值標(biāo)準(zhǔn)差估值 ( )0.18( )0.068s xs xn(4)(4) x的標(biāo)準(zhǔn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 因整數(shù)位不變因整數(shù)位不變2.15 對(duì)某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓對(duì)某直流穩(wěn)壓電源的輸出電壓U Ux x進(jìn)行了進(jìn)行了1010次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：次測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：求輸出電壓求輸出電壓U Ux x的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估值的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算術(shù)平均值的算術(shù)

40、平均值 1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916標(biāo)準(zhǔn)偏差估值標(biāo)準(zhǔn)偏差估值 殘差殘差 次數(shù)12345678910電壓/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007殘差(103V)--7.49.6-9.

41、43.64.6-6.41.6置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，區(qū)間越寬，置信概率越大置信概率越大t分布的置信限t分布：實(shí)際測(cè)量中，總是進(jìn)行有限次測(cè)量，只能根據(jù)貝塞爾公式求出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，但測(cè)量次數(shù)較少時(shí)（如n20時(shí)，t分布接近正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對(duì)于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。 給定置信概率和測(cè)量次數(shù)n，查表得置信因子kt。 p p( (t t) )0 0n nn n 大大n n 小小圖圖2.9 2.9 t t 分布分布t t分布一般用來(lái)解決有限次等精度測(cè)量的置信度問(wèn)題。分布

42、一般用來(lái)解決有限次等精度測(cè)量的置信度問(wèn)題。 )(),(LtsLLtsL例例2.8 2.8 對(duì)某電感進(jìn)行對(duì)某電感進(jìn)行1212次等精度測(cè)量，測(cè)得的數(shù)值（單位次等精度測(cè)量，測(cè)得的數(shù)值（單位mHmH）為為20.4620.46、20.5220.52、20.5020.50、20.5220.52、20.4820.48、20.4720.47、20.5020.50、20.4920.49、20.4720.47、20.4920.49、20.5120.51、20.5120.51，若要求，若要求在在P P=95%=95%的的置信概率下，該電感測(cè)值應(yīng)在多大置信區(qū)間內(nèi)？置信概率下，該電感測(cè)值應(yīng)在多大置信區(qū)間內(nèi)？ 解：第一步

43、：求出解：第一步：求出 L及及 )(Ls電感的算術(shù)平均值電感的算術(shù)平均值 121120.49312iiLLmH12211( )()0.02012 1iis LL LmH0.020( )0.00612s LmH電感的標(biāo)準(zhǔn)差估值電感的標(biāo)準(zhǔn)差估值 算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差估值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差估值 第二步：第二步： 查附錄查附錄B B：t t分布表，由分布表，由n n1=111=11及及P P=0.95=0.95，查得，查得t t=2.20=2.20 k k(n-1)(n-1)P P0.90.950.95.098.0980.990.990.9990.999

44、 1 1 10101111？ 2.2282.228 第三步：第三步： 估計(jì)電感估計(jì)電感L L的置信區(qū)間的置信區(qū)間 )(),(LtsLLtsL，其中，其中( )2.20 0.0060.013ts LmH則在則在95%95%的置信概率下，電感的置信概率下，電感L L的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為20.48mH20.48mH，20.51mH20.51mH。4. 4. 非正態(tài)分布非正態(tài)分布以上分析中都認(rèn)為測(cè)量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括以上分析中都認(rèn)為測(cè)量值和誤差是服從正態(tài)分布（包括t t分布分布). ).在測(cè)量實(shí)踐中會(huì)遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)分布的。下面在測(cè)量實(shí)踐中會(huì)遇到有些情況下，誤差是非正態(tài)分布的

45、。下面介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分布曲線(xiàn)及置信度問(wèn)題。介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分布曲線(xiàn)及置信度問(wèn)題。 1)1)均勻分布均勻分布 均勻分布又稱(chēng)為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的均勻分布又稱(chēng)為等概率分布、矩形分布，是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖一種重要分布，如圖2.102.10所示。其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，所示。其特點(diǎn)是在誤差范圍內(nèi)，誤差誤差出現(xiàn)的概率各處相同出現(xiàn)的概率各處相同。如儀器中的度盤(pán)。如儀器中的度盤(pán)回差回差所導(dǎo)致的誤差；數(shù)所導(dǎo)致的誤差；數(shù)字儀器中的字儀器中的量化誤差量化誤差（在（在1 1單位以?xún)?nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)單位以?xún)?nèi)不能分辨的誤差）；數(shù)據(jù)計(jì)算中的據(jù)計(jì)算中的舍入誤差舍入誤差（舍掉的

46、或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同（舍掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的）等，均為均勻分布誤差。的）等，均為均勻分布誤差。 pp( (x x) )0 0 x x圖圖2.10 2.10 均勻分布均勻分布a ab b均勻分布的概率密度為均勻分布的概率密度為 1p(x) =b -a0 a a x x b b xaxb及可以證明，圖可以證明，圖2.102.10所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為 a+bE(x) =2b-a =12標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 （2.242.24） （2.252.25） pp( (x x) )0 0 x x圖圖2.10 2.10 均勻分布均勻分布a ab b 1 1 b-

47、ab-aA Ax x+ +e e0 0-e-epp( (x x) )圖圖2.12 2.12 反正弦分布反正弦分布632反正弦反正弦均勻均勻三角三角2323正態(tài)正態(tài)包含因子包含因子k k分布分布p p( (x x) )0 0 x x圖圖2.11 2.11 三角分布三角分布-e-ee e1/e1/e2.2.5 2.2.5 非等精度測(cè)量非等精度測(cè)量前面討論的測(cè)量結(jié)果是基于等精度測(cè)量條件下進(jìn)行的，這是前面討論的測(cè)量結(jié)果是基于等精度測(cè)量條件下進(jìn)行的，這是通通常的測(cè)量情況常的測(cè)量情況。但有時(shí)候，如在科研或高精度測(cè)量中，往往在。但有時(shí)候，如在科研或高精度測(cè)量中，往往在不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)

48、量方法，不同的不同的測(cè)量條件下，用不同的儀器，不同的測(cè)量方法，不同的測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這種測(cè)量稱(chēng)為測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比，這種測(cè)量稱(chēng)為非非（或不）等精度測(cè)量（或不）等精度測(cè)量。 對(duì)于非等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），對(duì)于非等精度測(cè)量，計(jì)算最后測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需要采用新的計(jì)算公式。不能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需要采用新的計(jì)算公式。1.“1.“權(quán)權(quán)”的概念和確定方法的概念和確定方法日常統(tǒng)計(jì)中也用日常統(tǒng)計(jì)中也用“權(quán)權(quán)”的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計(jì)學(xué)生的的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計(jì)學(xué)生的各科總

49、平均成績(jī)，以顯示學(xué)分多的課程各科總平均成績(jī)，以顯示學(xué)分多的課程重要性重要性。例如，三門(mén)學(xué)。例如，三門(mén)學(xué)分為分為3 3、1 1、2 2課程的加權(quán)平均成績(jī)?yōu)檎n程的加權(quán)平均成績(jī)?yōu)? 82 1 86 2 75 48280.33 1 26 分2. 2. 加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值 若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行mm組非等精度測(cè)量，得到組非等精度測(cè)量，得到mm組測(cè)量結(jié)果組測(cè)量結(jié)果 mxxx,21mwww,21mmmwwwxwxwxwx 212211，設(shè)相應(yīng)的，設(shè)相應(yīng)的權(quán)值權(quán)值為為 ，則，則加權(quán)算術(shù)平均值為加權(quán)算術(shù)平均值為例例2.10 2.10 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)

50、米尺的工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度分別為平均長(zhǎng)度分別為999.9425mm999.9425mm（3 3次測(cè)量的），次測(cè)量的），999.9416mm999.9416mm（2 2次測(cè)量的），次測(cè)量的），999.9419mm999.9419mm（5 5次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。次測(cè)量的），求最后測(cè)量結(jié)果。解：解： 按測(cè)量次數(shù)按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)：來(lái)確定權(quán)：w w1 1=3=3，w w2 2=2=2，w w3 3=5 =5 ，取，取x x0 0=999.94mm=999.94mm，則有，則有5230019. 050016. 020025. 03x999.9499

51、9.94= 999.9420 mm= 999.9420 mm3. 3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行mm組非等精度測(cè)量，得到組非等精度測(cè)量，得到mm個(gè)測(cè)量結(jié)果，個(gè)測(cè)量結(jié)果，各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為ixivxx經(jīng)推導(dǎo)可得經(jīng)推導(dǎo)可得加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：的標(biāo)準(zhǔn)差： （2.352.35）miimiixixwmw112) 1(2.3 2.3 粗大誤差粗大誤差在一定條件下，測(cè)量值顯著偏離其實(shí)際值所對(duì)應(yīng)的誤差。在一定條件下，測(cè)量值顯著偏離其實(shí)際值所對(duì)應(yīng)的誤差。 產(chǎn)生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯(cuò)誤、測(cè)量方法錯(cuò)誤、儀器有缺產(chǎn)

52、生原因：主要是表現(xiàn)為讀數(shù)錯(cuò)誤、測(cè)量方法錯(cuò)誤、儀器有缺陷、電磁干擾及電壓跳動(dòng)等。陷、電磁干擾及電壓跳動(dòng)等。 粗大誤差無(wú)規(guī)律可循，故必須當(dāng)作壞值予以剔除。粗大誤差無(wú)規(guī)律可循，故必須當(dāng)作壞值予以剔除。 剔除是要有一定依據(jù)的剔除是要有一定依據(jù)的。在不明原因的情況下，。在不明原因的情況下，首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。其方法的基本思想是給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超出置信區(qū)間的誤差定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超出置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差。就認(rèn)為是粗大誤差。具體檢驗(yàn)方法常見(jiàn)的有三種具體檢驗(yàn)方法常見(jiàn)的有三種： 2.3.1 2.

53、3.1 定義定義2.3.2 2.3.2 處理處理2.3.3 2.3.3 剔除法則剔除法則檢驗(yàn)方法常見(jiàn)的有三種：檢驗(yàn)方法常見(jiàn)的有三種： 1 1 萊特檢驗(yàn)法萊特檢驗(yàn)法（n200n200） i3 3 （x x） 2 2 肖維納檢驗(yàn)法肖維納檢驗(yàn)法（判則不嚴(yán)）（判則不嚴(yán)） a3 3 格拉布斯檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法（理論與實(shí)驗(yàn)證明較好）（理論與實(shí)驗(yàn)證明較好）maxG G 在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說(shuō)明系統(tǒng)工作不在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說(shuō)明系統(tǒng)工作不正常。正常。 P P( (x x) )E E( (x x) )x x0 0kk( (x x) )kk( (x x) )-3 -3 -

54、a-a- -G G 3 3 a aG G 殘差絕對(duì)值大于三倍殘差絕對(duì)值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差式中，式中，G G值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)值按重復(fù)測(cè)量次數(shù)n n及置信概率及置信概率PcPc確定確定 G是格拉布斯常量取值是格拉布斯常量取值G G查查p34p34表表2.62.64 4 中位數(shù)檢驗(yàn)法中位數(shù)檢驗(yàn)法中位數(shù)中位數(shù)平均值平均值 大量統(tǒng)計(jì)表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒(méi)有粗大誤差時(shí)中位數(shù)與平均值最為接近，若差距較大說(shuō)明有異常數(shù)據(jù)舍棄兩端極值。 991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019 8 .10049101910141011100810041001999996991中位數(shù)中位

55、數(shù)例例把測(cè)量結(jié)果按自小到大順序排列，所得數(shù)據(jù)列中居于中間位置的一個(gè)值把測(cè)量結(jié)果按自小到大順序排列，所得數(shù)據(jù)列中居于中間位置的一個(gè)值應(yīng)為最佳估計(jì)值，稱(chēng)之為應(yīng)為最佳估計(jì)值，稱(chēng)之為中位數(shù)中位數(shù)。若兩個(gè)值居于中間位置，取其平均值。若兩個(gè)值居于中間位置，取其平均值作為中位數(shù)。作為中位數(shù)。測(cè)量數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)的分據(jù)的分布決定布決定x(1)所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今尚未有統(tǒng)至今尚未有統(tǒng)一的規(guī)定一的規(guī)定。這些檢驗(yàn)法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時(shí)，檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次檢驗(yàn)可靠性將受影響，特別是測(cè)量次數(shù)較少時(shí)更不可靠。數(shù)較少時(shí)更不可靠。(2)若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過(guò)檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)

56、逐個(gè)剔除，然后重新計(jì)算(3)在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少可疑數(shù)據(jù)應(yīng)極少。否則，說(shuō)明系統(tǒng)工作不正常。要對(duì)異常數(shù)據(jù)的出現(xiàn)進(jìn)行分析，找出原因，不要輕易舍去異常數(shù)據(jù)而放過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的機(jī)會(huì)。(4)上述三種檢驗(yàn)法中，萊特檢驗(yàn)法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測(cè)值數(shù)據(jù)最好n200，若n.ABX B.A 被測(cè)電池電壓被測(cè)電池電壓 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V測(cè)量誤差由式（測(cè)量誤差由式（2.442.44）可求得：）可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%可見(jiàn)，采用微差法

57、測(cè)量，可見(jiàn)，采用微差法測(cè)量，測(cè)量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差測(cè)量誤差主要決定于標(biāo)準(zhǔn)量的誤差，而測(cè)試儀表誤，而測(cè)試儀表誤差的影響被大大削弱。本例說(shuō)明，用誤差為差的影響被大大削弱。本例說(shuō)明，用誤差為5 5的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得的電壓表進(jìn)行測(cè)量，可得0.2%0.2%的測(cè)量精確度。的測(cè)量精確度。應(yīng)當(dāng)指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計(jì)算控制功能，消弱或應(yīng)當(dāng)指出，在現(xiàn)代智能儀器中，可以利用微處理器的計(jì)算控制功能，消弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器消弱系差的方法很多微處理器消弱系差的方法很多，如直流零位校準(zhǔn)、，如直流零位校準(zhǔn)、自動(dòng)校準(zhǔn)、相對(duì)測(cè)量等，可參閱有關(guān)的課程。自動(dòng)校

58、準(zhǔn)、相對(duì)測(cè)量等，可參閱有關(guān)的課程。 待測(cè)待測(cè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V圖圖2.17 2.17 微差法測(cè)量微差法測(cè)量削弱測(cè)試儀表誤差的影響削弱測(cè)試儀表誤差的影響2.4.4 2.4.4 重復(fù)性測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重復(fù)性測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（重點(diǎn)內(nèi)容：是不確定度計(jì)算基礎(chǔ)重點(diǎn)內(nèi)容：是不確定度計(jì)算基礎(chǔ)） 當(dāng)對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和當(dāng)對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。粗大誤差。l對(duì)同一量值作一系列對(duì)同一量值作一系列等精度獨(dú)立測(cè)量等精度獨(dú)立測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)量，其測(cè)量列中的全部測(cè)

59、量值的值的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最為接近。算術(shù)平均值就是真值。算術(shù)平均值就是真值 的無(wú)偏估計(jì)值。實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。的無(wú)偏估計(jì)值。實(shí)際測(cè)量中，通常以算術(shù)平均值代替真值。 設(shè)被測(cè)量的真值為設(shè)被測(cè)量的真值為 ，其等精度測(cè)量值為，其等精度測(cè)量值為x x1 1，x x2 2，x xn n，則，則其算術(shù)平均值為其算術(shù)平均值為 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn（2.192.19） 當(dāng)當(dāng)n為有限次時(shí)為有限次時(shí)xx xn2ii=11s( )=( - )n-1（2.202.20） 這就是貝塞爾公式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故這就是貝塞爾公

60、式。由于推導(dǎo)中不夠嚴(yán)密，故 被稱(chēng)為被稱(chēng)為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，也稱(chēng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。準(zhǔn)差的估值，也稱(chēng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。)(xsl在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分在有限次等精度測(cè)量中，如果在相同條件下對(duì)同一量值分mm組進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)組進(jìn)行測(cè)量，每組重復(fù)n n次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均次測(cè)量，則每組數(shù)列都會(huì)有一個(gè)平均值，由于隨機(jī)誤差的存在，這些值，由于隨機(jī)誤差的存在，這些平均值并不相同平均值并不相同，圍繞真值有，圍繞真值有一定分散性。這說(shuō)明有限次測(cè)量的一定分散性。這說(shuō)明有限次測(cè)量的算術(shù)平均值還存在著誤差算術(shù)平均值還存在著誤差。當(dāng)需要更精密時(shí)，應(yīng)該用當(dāng)需要更精密時(shí)，應(yīng)該用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差