模擬退火算法

1、 w算法的提出算法的提出 模擬退火算法最早的思想由模擬退火算法最早的思想由Metropolis等（等（1953）提出，提出，1983年年Kirkpatrick等將其應(yīng)用于組合優(yōu)化。等將其應(yīng)用于組合優(yōu)化。w算法的目的算法的目的 解決解決NP復(fù)雜性復(fù)雜性問題；問題； 克服優(yōu)化過程陷入局部極小；克服優(yōu)化過程陷入局部極小； 克服初值依賴性?？朔踔狄蕾囆浴?w物理退火過程物理退火過程 什么是退火：什么是退火： 退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨機(jī)排列狀態(tài)，然后逐步降溫使之冷卻，最后分子以機(jī)排列狀態(tài)，然后逐步降溫使之冷卻，最后分子以低能狀態(tài)排列，固體

2、達(dá)到某種穩(wěn)定狀態(tài)。低能狀態(tài)排列，固體達(dá)到某種穩(wěn)定狀態(tài)。 w物理退火過程物理退火過程 加溫過程加溫過程增強粒子的熱運動，消除系統(tǒng)原先可增強粒子的熱運動，消除系統(tǒng)原先可能存在的非均勻態(tài)；能存在的非均勻態(tài)； 等溫過程等溫過程對于與環(huán)境換熱而溫度不變的封閉系對于與環(huán)境換熱而溫度不變的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)的自發(fā)變化總是朝自由能減少的方向統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)的自發(fā)變化總是朝自由能減少的方向進(jìn)行，當(dāng)自由能達(dá)到最小時，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；進(jìn)行，當(dāng)自由能達(dá)到最小時，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)； 冷卻過程冷卻過程使粒子熱運動減弱并漸趨有序，系統(tǒng)使粒子熱運動減弱并漸趨有序，系統(tǒng)能量逐漸下降，從而得到低能的晶體結(jié)構(gòu)。能量逐漸下降，從而得到低能

3、的晶體結(jié)構(gòu)。 w數(shù)學(xué)表述數(shù)學(xué)表述 在溫度在溫度T，分子停留在狀態(tài)，分子停留在狀態(tài)r滿足滿足Boltzmann概率分概率分布布DsBBBTksETZTZkrrEETkrETZrEEP)(exp)()(Boltzmann0)()(exp)(1)(子：為概率分布的標(biāo)準(zhǔn)化因常數(shù)。為的能量，表示狀態(tài)機(jī)變量，表示分子能量的一個隨 w數(shù)學(xué)表述數(shù)學(xué)表述 在在同一個溫度同一個溫度T，選定兩個能量，選定兩個能量E1E2，有，有 在同一個溫度，分子停留在能量小的狀態(tài)的概率比在同一個溫度，分子停留在能量小的狀態(tài)的概率比停留在能量大的狀態(tài)的概率要大。停留在能量大的狀態(tài)的概率要大。TkEETkETZEEPEEPBB121

4、21exp1exp)(10 w數(shù)學(xué)表述數(shù)學(xué)表述 若若|D|為狀態(tài)空間為狀態(tài)空間D中狀態(tài)的個數(shù)，中狀態(tài)的個數(shù)，D0是具有最低能是具有最低能量的狀態(tài)集合：量的狀態(tài)集合： 當(dāng)溫度很高時，每個狀態(tài)概率基本相同，接近平均當(dāng)溫度很高時，每個狀態(tài)概率基本相同，接近平均值值1/|D|； 狀態(tài)空間存在超過兩個不同能量時，具有最低能量狀態(tài)空間存在超過兩個不同能量時，具有最低能量狀態(tài)的概率超出平均值狀態(tài)的概率超出平均值1/|D| ； 當(dāng)溫度趨于當(dāng)溫度趨于0時，分子停留在最低能量狀態(tài)的概率時，分子停留在最低能量狀態(tài)的概率趨于趨于1。能量最低狀態(tài)能量最低狀態(tài) 非能量最低狀態(tài)非能量最低狀態(tài) wMetropolis準(zhǔn)則（準(zhǔn)

5、則（1953）以概率接受新狀態(tài)以概率接受新狀態(tài) 固體在恒定溫度下達(dá)到熱平衡的過程可以用固體在恒定溫度下達(dá)到熱平衡的過程可以用Monte Carlo方法方法（計算機(jī)隨機(jī)模擬方法）加以模擬，雖（計算機(jī)隨機(jī)模擬方法）加以模擬，雖然該方法簡單，但必須大量采樣才能得到比較精確然該方法簡單，但必須大量采樣才能得到比較精確的結(jié)果，計算量很大。的結(jié)果，計算量很大。 wMetropolis準(zhǔn)則（準(zhǔn)則（1953）以概率接受新狀態(tài)以概率接受新狀態(tài) 若在溫度若在溫度T，當(dāng)前狀態(tài)，當(dāng)前狀態(tài)i 新狀態(tài)新狀態(tài)j 若若Ej=randrom0,1 s=sj; Until 抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足；抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足； 退溫退溫tk+1=

6、update(tk)并令并令k=k+1； Until 算法終止準(zhǔn)則滿足；算法終止準(zhǔn)則滿足； 輸出算法搜索結(jié)果。輸出算法搜索結(jié)果。 w影響優(yōu)化結(jié)果的主要因素影響優(yōu)化結(jié)果的主要因素 給定初溫給定初溫t=t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令，令k=0； Repeat Repeat 產(chǎn)生新狀態(tài)產(chǎn)生新狀態(tài)sj=Genete(s)； if min1,exp-(C(sj)-C(s)/tk=randrom0,1 s=sj; Until 抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足；抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則滿足； 退溫退溫tk+1=update(tk)并令并令k=k+1； Until 算法終止準(zhǔn)則滿足；算法終止準(zhǔn)則滿足； 輸出算法搜索

7、結(jié)果。輸出算法搜索結(jié)果。三函數(shù)兩準(zhǔn)則三函數(shù)兩準(zhǔn)則初始溫度初始溫度 w定義定義 ) 1()(Pr) 1(,) 1 (,)0()(Pr )( )(,1021inXjnXinXiXiXjnXZnkXkkXss，滿足稱為馬爾可夫鏈，若隨機(jī)序列時刻狀態(tài)變量的取值。為間，為所有狀態(tài)構(gòu)成的解空令 w定義定義 一步轉(zhuǎn)移概率：一步轉(zhuǎn)移概率： n步轉(zhuǎn)移概率：步轉(zhuǎn)移概率： 若解空間有限，稱馬爾可夫鏈為若解空間有限，稱馬爾可夫鏈為有限狀態(tài)有限狀態(tài)； 若若 ，稱馬爾可夫鏈為，稱馬爾可夫鏈為時齊的時齊的。) 1()(Pr) 1(,inXjnXnpji) 1()(,npnpZnjiji)0()(Pr)(,iXjnXpnji

8、 w模擬退火算法對應(yīng)了一個馬爾可夫鏈模擬退火算法對應(yīng)了一個馬爾可夫鏈 模擬退火算法：新狀態(tài)接受概率僅依賴于新狀態(tài)和模擬退火算法：新狀態(tài)接受概率僅依賴于新狀態(tài)和當(dāng)前狀態(tài)，并由溫度加以控制。當(dāng)前狀態(tài)，并由溫度加以控制。 若固定每一溫度，算法均計算馬氏鏈的變化直至平若固定每一溫度，算法均計算馬氏鏈的變化直至平穩(wěn)分布，然后下降溫度，則稱為穩(wěn)分布，然后下降溫度，則稱為時齊算法時齊算法； 若無需各溫度下算法均達(dá)到平穩(wěn)分布，但溫度需按若無需各溫度下算法均達(dá)到平穩(wěn)分布，但溫度需按一定速率下降，則稱為一定速率下降，則稱為非時齊算法非時齊算法。w分析收斂性分析收斂性w原則原則 產(chǎn)生的候選解應(yīng)遍布全部解空間產(chǎn)生的候

9、選解應(yīng)遍布全部解空間w方法方法 在當(dāng)前狀態(tài)的鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)以一定概率方式（均勻分在當(dāng)前狀態(tài)的鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)以一定概率方式（均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）產(chǎn)生布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）產(chǎn)生w原則原則 (1)在固定溫度下，接受使目標(biāo)函數(shù)下降的候選解的在固定溫度下，接受使目標(biāo)函數(shù)下降的候選解的概率要大于使目標(biāo)函數(shù)上升的候選解概率；概率要大于使目標(biāo)函數(shù)上升的候選解概率； (2)隨溫度的下降，接受使目標(biāo)函數(shù)上升的解的概率隨溫度的下降，接受使目標(biāo)函數(shù)上升的解的概率要逐漸減??；要逐漸減?。?(3)當(dāng)溫度趨于零時，只能接受目標(biāo)函數(shù)下降的解。當(dāng)溫度趨于零時，只能接受目標(biāo)函數(shù)下降的解。w方法方法 具體形式對算法影響不大

10、具體形式對算法影響不大 一般采用一般采用min1,exp(-C/t)w收斂性分析收斂性分析 通過理論分析可以得到初溫的解析式，但解決實際通過理論分析可以得到初溫的解析式，但解決實際問題時難以得到精確的參數(shù)；問題時難以得到精確的參數(shù)； 初溫應(yīng)充分大；初溫應(yīng)充分大；w實驗表明實驗表明 初溫越大，獲得高質(zhì)量解的機(jī)率越大，但花費較多初溫越大，獲得高質(zhì)量解的機(jī)率越大，但花費較多的計算時間；的計算時間；w方法方法 （1）均勻抽樣一組狀態(tài)，以各狀態(tài)目標(biāo)值得方差）均勻抽樣一組狀態(tài)，以各狀態(tài)目標(biāo)值得方差為初溫；為初溫； （2）隨機(jī)產(chǎn)生一組狀態(tài)，確定兩兩狀態(tài)間的最大）隨機(jī)產(chǎn)生一組狀態(tài)，確定兩兩狀態(tài)間的最大目標(biāo)值差

11、，根據(jù)差值，利用一定的函數(shù)確定初溫；目標(biāo)值差，根據(jù)差值，利用一定的函數(shù)確定初溫； （3）利用經(jīng)驗公式。）利用經(jīng)驗公式。w時齊算法的溫度下降函數(shù)時齊算法的溫度下降函數(shù) （1） ，越接近越接近1 1溫度下降越溫度下降越慢，且其大小可以不斷變化；慢，且其大小可以不斷變化； （2） ，其中，其中t0為起始溫度，為起始溫度，K為算法溫度為算法溫度下降的總次數(shù)。下降的總次數(shù)。10 , 0 ,1kttkk0tKkKtkw非時齊模擬退火算法非時齊模擬退火算法 每個溫度下只產(chǎn)生一個或少量候選解每個溫度下只產(chǎn)生一個或少量候選解w時齊算法時齊算法常用的常用的Metropolis抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則抽樣穩(wěn)定準(zhǔn)則 （1）檢驗?zāi)?/p>

12、標(biāo)函數(shù)的均值是否穩(wěn)定；）檢驗?zāi)繕?biāo)函數(shù)的均值是否穩(wěn)定； （2）連續(xù)若干步的目標(biāo)值變化較?。唬┻B續(xù)若干步的目標(biāo)值變化較??； （3）按一定的步數(shù)抽樣。）按一定的步數(shù)抽樣。w常用方法常用方法 （1）設(shè)置終止溫度的閾值；）設(shè)置終止溫度的閾值； （2）設(shè)置外循環(huán)迭代次數(shù)；）設(shè)置外循環(huán)迭代次數(shù)； （3）算法搜索到的最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變；）算法搜索到的最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變； （4）概率分析方法。）概率分析方法。w模擬退火算法的優(yōu)點模擬退火算法的優(yōu)點 質(zhì)量高；質(zhì)量高； 初值魯棒性強；初值魯棒性強； 簡單、通用、易實現(xiàn)。簡單、通用、易實現(xiàn)。w模擬退火算法的缺點模擬退火算法的缺點 由于要求較高的初始溫度、較

13、慢的降溫速率、較低由于要求較高的初始溫度、較慢的降溫速率、較低的終止溫度，以及各溫度下足夠多次的抽樣，因此的終止溫度，以及各溫度下足夠多次的抽樣，因此優(yōu)化過程較長。優(yōu)化過程較長。w改進(jìn)的可行方案改進(jìn)的可行方案 （1）設(shè)計合適的狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)；）設(shè)計合適的狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)； （2）設(shè)計高效的退火歷程；）設(shè)計高效的退火歷程； （3）避免狀態(tài)的迂回搜索；）避免狀態(tài)的迂回搜索； （4）采用并行搜索結(jié)構(gòu)；）采用并行搜索結(jié)構(gòu)； （5）避免陷入局部極小，改進(jìn)對溫度的控制方式；）避免陷入局部極小，改進(jìn)對溫度的控制方式； （6）選擇合適的初始狀態(tài)；）選擇合適的初始狀態(tài)； （7）設(shè)計合適的算法終止準(zhǔn)則。）設(shè)計合適的算法

14、終止準(zhǔn)則。 w改進(jìn)的方式改進(jìn)的方式 （1）增加升溫或重升溫過程，避免陷入局部極?。唬┰黾由郎鼗蛑厣郎剡^程，避免陷入局部極小； （2）增加記憶功能（記憶）增加記憶功能（記憶“Best so far”狀態(tài)）；狀態(tài)）； （3）增加補充搜索過程（以最優(yōu)結(jié)果為初始解）；）增加補充搜索過程（以最優(yōu)結(jié)果為初始解）； （4）對每一當(dāng)前狀態(tài)，采用多次搜索策略，以概率）對每一當(dāng)前狀態(tài)，采用多次搜索策略，以概率接受區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)；接受區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)； （5）結(jié)合其它搜索機(jī)制的算法；）結(jié)合其它搜索機(jī)制的算法； （6）上述各方法的綜合。）上述各方法的綜合。 w改進(jìn)的思路改進(jìn)的思路 （1）記錄）記錄“Best so

15、far”狀態(tài)，并即時更新；狀態(tài)，并即時更新； （2）設(shè)置雙閾值，使得在盡量保持最優(yōu)性的前提下）設(shè)置雙閾值，使得在盡量保持最優(yōu)性的前提下減少計算量，即在各溫度下當(dāng)前狀態(tài)連續(xù)減少計算量，即在各溫度下當(dāng)前狀態(tài)連續(xù) m1 步保持步保持不變則認(rèn)為不變則認(rèn)為Metropolis抽樣穩(wěn)定，若連續(xù)抽樣穩(wěn)定，若連續(xù) m2 次退溫次退溫過程中所得最優(yōu)解不變則認(rèn)為算法收斂。過程中所得最優(yōu)解不變則認(rèn)為算法收斂。w改進(jìn)的退火過程改進(jìn)的退火過程 （1）給定初溫）給定初溫t0，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)，隨機(jī)產(chǎn)生初始狀態(tài)s，令初始最優(yōu)解，令初始最優(yōu)解s*=s，當(dāng)前狀態(tài)為當(dāng)前狀態(tài)為s(0)=s，i=p=0； （2）令）令t=ti，以，

16、以t，s*和和s(i)調(diào)用改進(jìn)的抽樣過程，返回其所得調(diào)用改進(jìn)的抽樣過程，返回其所得最優(yōu)解最優(yōu)解s*和當(dāng)前狀態(tài)和當(dāng)前狀態(tài)s(k)，令當(dāng)前狀態(tài)，令當(dāng)前狀態(tài)s(i)=s(k)； （3）判斷）判斷C(s*)m2? 若是，則轉(zhuǎn)第若是，則轉(zhuǎn)第(6)步；否則，返回第步；否則，返回第(2)步；步； （6）以最優(yōu)解）以最優(yōu)解s*作為最終解輸出，停止算法。作為最終解輸出，停止算法。w改進(jìn)的抽樣過程改進(jìn)的抽樣過程 （1）令）令k=0時的初始當(dāng)前狀態(tài)為時的初始當(dāng)前狀態(tài)為s(0)=s(i)，q=0； （2）由狀態(tài)）由狀態(tài)s通過狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生新狀態(tài)通過狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生新狀態(tài)s，計算增量，計算增量C=C(s)-C(s)；

17、 （3）若）若CC(s)? 若是，則令若是，則令s*=s，q=0；否則，令；否則，令q=q+1。若。若C0，則以概率，則以概率exp(-C/t)接受接受s作為下一作為下一當(dāng)前狀態(tài)；當(dāng)前狀態(tài)； （4）令）令k=k+1，判斷，判斷qm1? 若是，則轉(zhuǎn)第若是，則轉(zhuǎn)第(5)步；否則，返回步；否則，返回第第(2)步；步； （5）將當(dāng)前最優(yōu)解）將當(dāng)前最優(yōu)解s*和當(dāng)前狀態(tài)和當(dāng)前狀態(tài)s(k)返回改進(jìn)退火過程。返回改進(jìn)退火過程。 wTSP Benchmark 問題問題 41 94;37 84;54 67;25 62; 7 64;2 99;68 58;71 44;54 62;83 69;64 60;18 54;2

18、2 60;83 46;91 38;25 38;24 42;58 69;71 71;74 78;87 76;18 40;13 40;82 7;62 32; 58 35;45 21;41 26;44 35;4 50w算法流程算法流程 w初始溫度的計算初始溫度的計算 for i=1:100 route=randperm(CityNum); fval0(i)=CalDist(dislist,route); end t0=-(max(fval0)-min(fval0)/log(0.9); w狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)的設(shè)計狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)的設(shè)計 （1）互換操作，隨機(jī)交換兩個城市的順序；）互換操作，隨機(jī)交換兩個城市的順序；

19、 （2）逆序操作，兩個隨機(jī)位置間的城市逆序；）逆序操作，兩個隨機(jī)位置間的城市逆序； （3）插入操作，隨機(jī)選擇某點插入某隨機(jī)位置。）插入操作，隨機(jī)選擇某點插入某隨機(jī)位置。 283591467283591467283591467281593467283419567235981467w參數(shù)設(shè)定參數(shù)設(shè)定 截止溫度截止溫度 tf=0.01; 退溫系數(shù)退溫系數(shù) alpha=0.90; 內(nèi)循環(huán)次數(shù)內(nèi)循環(huán)次數(shù) L=200*CityNum; w運行過程運行過程 w運行過程運行過程 w運行過程運行過程 w運行過程運行過程 w運行過程運行過程 w運行結(jié)果運行結(jié)果 w換熱器模型換熱器模型 兩級管殼式換熱器組成的換熱器系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型高兩級管殼式換熱器組成的換熱器系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型高度非線性，其目標(biāo)函數(shù)通常是多峰度非線性，其目標(biāo)函數(shù)通常是多峰(谷谷)的，具有很的，具有很多局部最優(yōu)解。多局部最優(yōu)解。w優(yōu)化目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo) 以換熱器系統(tǒng)的總費用年值最小作為優(yōu)化設(shè)計的目以換熱器系統(tǒng)的總費用年值最小作為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)。標(biāo)。 其中，其中，f1 (X)是兩級換熱器的初始投資，是兩級換熱器的初始投資， f2 (X)是兩是兩級換熱器年維護(hù)費級換熱器年維護(hù)費(包括除垢、保養(yǎng)、維修等包括除垢、保養(yǎng)、維修等)， f3 (X)是冷卻水資源費以及管程壓降能耗費，是冷卻水資源費以及管程壓降能