第六章離散概率分布

1、2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院1統(tǒng)統(tǒng) 計計 學(xué)學(xué)statistics李欣先李欣先 Email:2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院2 第第6章章離散離散概率分布 （Discrete Probability Distributions） 第1節(jié)隨機(jī)變量（ random variable） 第2節(jié)離散型隨機(jī)變量的概率分布（ Discrete Probability Distributions） 第3節(jié)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（ expected value and variance） 第4節(jié)幾種常用的離散型概率分布2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院3隨機(jī)變量隨機(jī)變量(random variables)一次試

2、驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一次試驗的結(jié)果的數(shù)值性描述一般一般用用 X，Y，Z 來表示來表示例如：例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量（discrete random variables）和）和連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量（continuous random variables）2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院4離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐個取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來列舉出來 x1 , x2，以確定的概率取這些不同的值以確定的概率取這些不同的值離散離

3、散型隨機(jī)變量的一些例子型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查100個產(chǎn)品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數(shù)顧客數(shù)銷售量顧客性別0,1,2, ,1000,1,2, 0,1, 2,男性為0,女性為12022-5-5商學(xué)院商學(xué)院5連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量可以取一個或多個區(qū)間中任何值可以取一個或多個區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子試驗隨機(jī)變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產(chǎn)品的長度使用壽命(小

4、時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X 00 X 100X 02022-5-5商學(xué)院商學(xué)院6離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布(probability distribution)2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院7離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離列出離散型隨機(jī)變量散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這列出隨機(jī)變量取這些值的概率些值的概率通常用下面的表格來表示通常用下面的表格來表示X = xix1 ，x2 ， ，xnP(X =xi)=pip1 ，p2 ， ，pn2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院8離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布

5、(例題分析例題分析) 故障次數(shù)故障次數(shù)X = xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.352022-5-5商學(xué)院商學(xué)院9離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析例題分析) 2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院10離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差和方差2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院11 我們知道,隨機(jī)變量的分布列或概率密度,全面地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律。但在許多實際問題中,這樣的全面描述并不使人感到方便。 已知一只母雞的年產(chǎn)蛋量是一個隨機(jī)變量,如果要比較兩個品種的母雞的年產(chǎn)蛋量,通常只要比較這兩個品種的母雞的年產(chǎn)蛋量的平均值就可以了。平均值大就

6、意味著這個品種的母雞的產(chǎn)蛋量高。如果不去比較它們的平均值,而只看它們的分布列,雖然全面,卻使人不得要領(lǐng),既難以掌握,又難以迅速地作出判斷。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院125416212817103只數(shù)Nk3210-1-2日走時誤差xk22. 11005416321228117010) 1(3) 2(NNxxkkkkkkkfxNNx平均值則抽查到的100只手表的平均日走時誤差為即 例例:某手表廠在出廠產(chǎn)品中,抽查了N=100只手表的日走時誤差,其數(shù)據(jù)如表:2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院13 如果另外再抽驗100只手表,每作一次這樣的檢驗,就得到一組不同的頻率,也就有不同的日走時誤差的平均值。由關(guān)于

7、頻率和概率關(guān)系的討論知,理論上應(yīng)該用概率去代替上述和式的頻率,這時得到的平均值才是理論上(也是真正)的平均值。 這樣我們就引出了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院14離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(expected value)離散離散型隨型隨機(jī)變量機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的與其取相對應(yīng)的概率概率pi乘積之和乘積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度記為記為 或或E(X)計算公式為計算公式為2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院15所以A的射擊技術(shù)較B的好。0.30.50.20.60.10.3概率109810

8、98擊中環(huán)數(shù)BA射手名稱3 . 96 . 0101 . 093 . 081 . 93 . 0105 . 092 . 08 例例:有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個射手本領(lǐng)較好？解解 A射擊平均擊中環(huán)數(shù)為B射擊平均擊中環(huán)數(shù)為2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院16 例：例：A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下的分布律： 易知E(XA)=E(XB)=0。由數(shù)學(xué)期望無法判別兩種手表的優(yōu)劣。但直覺告訴我們A優(yōu)于B,怎么樣用數(shù)學(xué)的方法把這種直覺表達(dá)出來呢?2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院17分析原因：分析原因： A手表之所以優(yōu)于手表之所以優(yōu)于B手表手表,是因為是因為A手表的日走時較手表的日走時較B

9、手表穩(wěn)定。其日走手表穩(wěn)定。其日走時與其日平均誤差的偏離程度小。時與其日平均誤差的偏離程度小。 研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是有必要的。 怎么樣去度量這個偏離程度呢? (1)xk-E(X)表示xk與E(X)之間的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X與E(X)之間的整體偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X與E(X)之間的整體偏差,但運(yùn)算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X與E(X)之間的整體偏差,且運(yùn)算也較方便。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院18離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差(variance)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的每一個取值與期望值的離差平方

10、和的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為 2 或或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計算公式為計算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)，記為記為 或或D(X)2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院19離散型數(shù)學(xué)期望和方差離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析例題分析) 次品數(shù)次品數(shù)X = xi0123概率概率P(X=xi)pi0.750.120.080.052022-5-5商學(xué)院商學(xué)院20The probability distribution for damage claims paid by the Newton Aut

11、omobile Insurance Company on collision insurance follows.payment0500100030005000800010000probability0.850.040.040.030.020.010.012022-5-5商學(xué)院商學(xué)院21a. Use the expected collision payment to determine the collision insurance premium that would enable the company to break even.b. The insurance company char

12、ges an annual rate of $520 for the collision coverage. What is the expected value of the collision policy for a policyholder? (Hint: It is the expected payments from the company minus the cost of coverage.) Why does the policyholder purchase a collision policy with this expected value?2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院

13、22常用離散型概率分布常用離散型概率分布兩點分布兩點分布二項分布二項分布泊松分布泊松分布超幾何分布超幾何分布2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院23兩點分布兩點分布一個離散型隨機(jī)變量一個離散型隨機(jī)變量X只取只取0和和1兩個可能的兩個可能的值值它們的概率分布為它們的概率分布為 或或也稱也稱0-1分布分布2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院24兩點分布兩點分布 (例題分析例題分析) X = xi0 1P(X=xi)=pi0.05 0.952022-5-5商學(xué)院商學(xué)院25二項試驗二項試驗(伯努利試驗伯努利試驗) 二項分布與伯努利試驗有關(guān)二項分布與伯努利試驗有關(guān)貝努里試驗滿足下列條件貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有

14、兩個可能結(jié)果，即一次試驗只有兩個可能結(jié)果，即“成功成功”和和“失敗失敗”“成功成功”是指我們感興趣的某種特征是指我們感興趣的某種特征一一次試驗次試驗“成功成功”的概率為的概率為p ，失敗的概率為，失敗的概率為q =1- p，且概率，且概率p對每次試驗都是相同的對每次試驗都是相同的 試驗是相互獨立的，并可以重復(fù)進(jìn)行試驗是相互獨立的，并可以重復(fù)進(jìn)行n次次 在在n次試驗中，次試驗中，“成功成功”的次數(shù)對應(yīng)一的次數(shù)對應(yīng)一個離散型個離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X 2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院26例：例：1. 1. 獨立重復(fù)地拋獨立重復(fù)地拋n n次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果：次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果

15、： 正面，反面，正面，反面，如果是不放回抽樣呢？,A A,A A1 2P出現(xiàn)正面 1 6P A 1 2P A 2.將一顆骰子拋n次，設(shè)A=得到1點，則每次試驗 只有兩個結(jié)果： 3.從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A=取到紅牌，則 每次只有兩個結(jié)果：2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院27設(shè)設(shè)A A在在n n重貝努利試驗中發(fā)生重貝努利試驗中發(fā)生X X次，則次，則并稱并稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p p的的二項分布，記，記()(1) 01kkn knP XkC ppkn， ， ，()Xb np，3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 2123123123

16、3(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn一般0 1() 1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中推導(dǎo)：設(shè)Ai i= 第i次A發(fā)生 ，先設(shè)n=32022-5-5商學(xué)院商學(xué)院28二項分布二項分布(Binomial distribution)重重復(fù)進(jìn)行復(fù)進(jìn)行 n 次試驗，出現(xiàn)次試驗，出現(xiàn)“成功成功”的次數(shù)的的次數(shù)的概率分布稱為二項分布，記為概率分布稱為二項分布，記為XB(n，p)設(shè)設(shè)X為為 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的

17、次數(shù)，次重復(fù)試驗中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取取 x 的概率為的概率為2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院29例：例： 設(shè)有設(shè)有8080臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨臺同類型設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是立的，發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且一臺設(shè)備，且一臺設(shè)備的故障能有一個人處理。的故障能有一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由其一是由4 4個人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)個人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2020臺；臺； 其二是由其二是由3 3個人共同維護(hù)個人共同維護(hù)8080臺。臺。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概

18、率的大小。維修的概率的大小。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院301,2,3,420iXA ii解：以 記“第一人維護(hù)的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”。 以表示事件“第 人維護(hù)的臺中發(fā)生故障不能 及時維修”，則知80臺中發(fā)生故障不按第一種方法。 能及時維修的 概率為：123412P AAAAP AP X20,0.01 ,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01 ,80YYb按第二種以 記臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，此時故臺中發(fā)生故障而不能及時維修方法。的概率為： 380800410.010

19、.990.0087kkkkP YC 2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院31 例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過要經(jīng)過3 3個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨個獨立的交通燈，設(shè)各燈工作獨 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p p，0p10p1， 以以Y Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)(1)求求Y Y的概率分布律；的概率分布律；(2)(2)求恰好遇到求恰好遇到2 2次紅燈的概率。次紅燈的概率。 (3,)Ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp

20、解：這是三重貝努利試驗2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院32 例：某人獨立射擊例：某人獨立射擊n n次，設(shè)每次命中率為次，設(shè)每次命中率為p p， 0p10p1，設(shè)命中，設(shè)命中X X次，次，(1) (1) 求求X X的概率分布的概率分布 律；律；(2) (2) 求至少有一次命中的概率。求至少有一次命中的概率。 ( ,)Xb n p 1 ()(1) 0,1,kknknP XkC ppkn， 2 (1)1(0)1 (1)nP XP Xp (1)1nlim P X 解：這是n重貝努利試驗同時可知： 上式的意義為：若p較小，p0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次

21、發(fā)生”幾乎是必然的。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院33 例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗，例：有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取從中任取1010件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)件，經(jīng)檢驗無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大大于于2 2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5 5件，僅當(dāng)件，僅當(dāng)5 5件件中無次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為中無次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p p求這批產(chǎn)品能被接受的概率求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)L(p)( )L P L(P)=P(A)(|12)(0|12)(0)P AXP YXP Y(0)

22、(|0)P XP A X(12)(|12)PXP AX(2)(|2)P XP A X109285(1)10 (1)45(1) (1)pppppp 解：設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)；則Xb(10,p)，Yb(5,p)， 且X=i與Y=j獨立。A=接受該批。2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院34二項分布二項分布對對于于P(X=x) 0， x =1,2,n，有有同同樣有樣有當(dāng)當(dāng) n = 1 時時，二項分布化簡為，二項分布化簡為2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院35二項分布二項分布 (例題分析例題分析) 2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院36A university found that 20% o

23、f its students withdraw without completing the introductory statistics course. Assume that 20 students registered for the course.a. Compute the probability that two or fewer will withdraw.b. Compute the probability that exactly four will withdraw.c. Compute the probability that more than three will

24、withdraw.d. Compute the expected number of withdrawals.2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院37泊松分布泊松分布(Poisson distribution)1837年法國數(shù)學(xué)家泊松年法國數(shù)學(xué)家泊松(D.Poisson，17811840)首次提首次提出出 用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面用于描述在一指定時間范圍內(nèi)或在一定的長度、面積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布積、體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布泊松分布的例子泊松分布的例子一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)

25、一定時間內(nèi)，到車站等候公共汽車的人數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一匹布上發(fā)現(xiàn)的疵點個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù)一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字個數(shù) 2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院38泊松分布泊松分布(概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)) 給定的時間間隔、長度、面給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)積、體積內(nèi)“成功成功”的平均數(shù)的平均數(shù)e = 2.71828 x 給定的時間間隔、長度、面給定的時間間隔、長度、面 積、體積內(nèi)積、體積內(nèi)“成功成功”的次數(shù)的次數(shù)2022-5-5商學(xué)

26、院商學(xué)院39泊松分布泊松分布 (例題分析例題分析)2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院40Airline passengers arrive randomly and independently at the passenger-screening facility at a major international airport. The mean arrival rate is 10 passengers per minute.a. Compute the probability of no arrivals in a one-minute period.b. Compute the probab

27、ility that three or fewer passengers arrive in a one-minute period.c. Compute the probability of no arrivals in a 15-second period.d. Compute the probability of at least one arrival in a 15-second period.2022-5-5商學(xué)院商學(xué)院41泊松分布泊松分布(作為二項分布的近似作為二項分布的近似)當(dāng)試驗的當(dāng)試驗的次數(shù)次數(shù) n 很大，成功的概率很大，成功的概率 p 很小時，很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即率，即2022