函數(shù)的極值與最大

1、 4.5 函數(shù)的極值與最大 (小) 值一、極 值二、最大值和最小值OxyOxyOxy一、極值ab)(xfy 1x2x3x4x5x6x0 x0 x性質(zhì)性質(zhì)4.4.)(,)(00的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)不不是是則則一一致致點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)性性在在若若xfxxxf;)(,)(00的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)是是則則右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單減減的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單增增在在若若xfxxxf,)(0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè)xxf;)(,)(00的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)是是則則右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單增增的的左左鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)單單減減在在若若xfxxxfxyOxyOxyOxyO0 x0 x ( (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)

2、情形) )0 x0 x ( (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) )性質(zhì)性質(zhì)4.5,)(0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)設(shè)xxf)0)(0)(,),(00 xfxfxxx時(shí)時(shí) 的極小（大）值點(diǎn)；的極?。ù螅┲迭c(diǎn)；是是則則)(0 xfx.)(,),(),()(00000的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)不不是是則則內(nèi)內(nèi)保保號(hào)號(hào)在在若若xfxxxxxxf )0)(0)(,),(00 xfxfxxx時(shí)時(shí)若若 .,)(判別它是否為極值點(diǎn)判別它是否為極值點(diǎn)可以可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)也利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)也的駐點(diǎn)處的駐點(diǎn)處在在xf性質(zhì)性質(zhì)4.6,0)(0 xf設(shè)設(shè);)(,0)(00的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為則則若若xfxxf ;)(,0)(0

3、0的的極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)為為則則若若xfxxf .)(,0)(00需需要要進(jìn)進(jìn)一一步步判判別別的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)還還是是否否為為那那么么若若xfxxf 證明證明, ),(00 xxx, ),(00 xxx ,0)(0 xf若若,3 . 3知道知道則由性質(zhì)則由性質(zhì)使得使得的某一鄰域的某一鄰域存在存在, ),()(0000 xxxOx0)()(0 xfxf0)()(0 xfxf,5 . 4知知道道從從而而由由性性質(zhì)質(zhì),)(0的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為xfx,類似地可證類似地可證,0)(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xf.)(,0)(00的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)為為時(shí)時(shí)xfxxf ,043點(diǎn)的情形點(diǎn)的情形在在和和由由 xxyx

4、y.)(,)(0需需要要進(jìn)進(jìn)一一步步判判別別的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)也也可可能能不不是是的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)可可能能是是xfxfxxyO3xy xyO4xy 例例1求下列函數(shù)的極值：求下列函數(shù)的極值：解解,018)1( y,8)1(11123223 yxxxxy處取得極大值處取得極大值在在因此因此.113)5(3 xxy;ln)4(xy ;23)3(32xxy ;e)2(2xxy ;11232)1(23 xxxy,0 y令令, )2)(1(6 xxy易知易知)1(612 xy且且得得駐駐點(diǎn)點(diǎn),2,121 xx018)2( y.19)2(2 yx處處取取得得極極小小值值在在,0 y令令,e )21(2xxy

5、 易知易知)2(xxy2e )1(4 ,21 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)0e221 y且且.e2121 y處取得極大值處取得極大值在在因此因此21e2 xxyx且且和和駐駐點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)有有在在定定義義域域因因此此,10),(232132 xxxxy, ), 1( x)1(231 xy易易知知)3(, )1 , 0( x, )0,( x,0)0(02332 yxxxy點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極小小值值在在因因此此,0 y;單減單減y,0 y;單增單增y,0 y.單減單減y. 1)1(1 yx點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大值值在在，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,0(ln)4( x. 0)1(1ln yxxy點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極

6、小小值值在在因因此此 ), 1(,1)1, 0(,1)ln(xxxxx.1為為其其不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)且且 x)1(1)1()5(32 xxy, 2)0(01133 yxxxy點(diǎn)取得極小值點(diǎn)取得極小值在在因此因此且且,01)1(32 xy令令,2032 xx和和得得,20,1),(1133213 xxxxxy和和駐點(diǎn)駐點(diǎn)有不可導(dǎo)點(diǎn)有不可導(dǎo)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在定義域在定義域因此因此x)0 ,( )2, 1()1, 0(01)(xf )(xf 0極大值極大值極小值極小值2), 2( 無極值無極值單減單減單增單增單增單增單減單減0.2)2(2,1 yxx點(diǎn)取得極大值點(diǎn)取得極大值在在點(diǎn)不取極值點(diǎn)不取極值在在OxyOx

7、yOxy二、最大值和最小值.,)(,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在則則為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)并并且且至至多多有有有有限限個(gè)個(gè)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處可可導(dǎo)導(dǎo)除除個(gè)個(gè)別別點(diǎn)點(diǎn)外外處處上上連連續(xù)續(xù)在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxfbaabab 最大值與最小值的存在條件最大值與最小值的存在條件的的方方法法：和和最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求mMbaxf,)(,),(,)(,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)另另外外babaxf,),()()(）或或極極小小值值（內(nèi)內(nèi)的的所所有有極極大大值值在在就就是是先先求求出出或或最最小小值值求求最最大大值值baxfmM, )()(bfaf和和再求再

8、求.大大者者（或或最最小小者者）最最后后取取出出這這些些值值中中的的最最, )()(,),()(00或或極極小小值值極極大大值值是是且且內(nèi)內(nèi)有有唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)在在若若xfxbaxf在在一定是一定是那么那么)()(,0 xfxf.)()(,)(）中中的的最最小小者者（或或最最大大者者和和定定是是）一一上上的的最最小小值值（或或最最大大值值在在這這時(shí)時(shí)bfafbaxf,）上的最大值（或最小值上的最大值（或最小值ba例例2求下列函數(shù)的最大值和最小值：求下列函數(shù)的最大值和最小值：解解, )1)(1(3332 xxxy. 2, 1,23)3(32 xxxy; 2, 0e)2( xxyx;2 , 2,3

9、)1(3 xxxy)1(xy6 ,0 y令令,2)2(, 2)2( yy另另外外, 1, 121 xx得兩個(gè)駐點(diǎn)得兩個(gè)駐點(diǎn)06)1(, 06)1( yy且且.2)1(,2)1(是是極極小小值值是是極極大大值值因因此此 yy,2)2()1( yy因因此此最最大大值值是是.2)2()1( yy最最小小值值是是比較它們的大小，比較它們的大小，0e1)1( y,0 y令令,e )1(xxy 求求一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))2(.,e1)1(從從而而是是最最大大值值是是極極大大值值因因此此 y;e )2(xxy 且且內(nèi)內(nèi)的的唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)在在得得,1)2, 0(e xxyx,e2)2(, 0

10、)0(2 yy另另外外.0)0(20e yxyx上上的的最最小小值值為為，在在因因此此,10)2, 1(232132 xxxxy和唯一駐點(diǎn)和唯一駐點(diǎn)內(nèi)有不可導(dǎo)點(diǎn)內(nèi)有不可導(dǎo)點(diǎn)在在因此因此. 0)0(,5)1(212332 yyxxy最最小小值值是是上上的的最最大大值值是是，在在因因此此2231 xy求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù))3(,5)1( y另另外外)1(23131xx .1)1(,0)0(是是極極大大值值是是極極小小值值且且 yy,0443)2(3 y例例3.1 , 0, 122 xxx證證明明證明證明1 , 0,12)(2 xxxfx考慮函數(shù)考慮函數(shù)2ln)0( f,)1 , 0()(10)(必

11、必有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在上上的的連連續(xù)續(xù)性性可可知知，在在由由xfxf ,22ln2)(xxfx 且且上上處處處處二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，在在由由于于,10)(xf;2)2(ln2)(2 xxf,0 22ln2)1( f0 又由于又由于2)2(ln2)(2 xxf1)2(ln22 )1 , 0(, 0 x,1, 0)(上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單減減在在xf ,)1 , 0(12)(2內(nèi)有唯一駐點(diǎn)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)在在從而從而 xxfx1 , 0, 122 xxx,1 , 0時(shí)時(shí)因因此此 x,且在駐點(diǎn)處取得極大值且在駐點(diǎn)處取得極大值0)1()0( ff這時(shí)最小值是這時(shí)最小值是,值值從而在駐點(diǎn)處取得最大從而在駐點(diǎn)

12、處取得最大0)( xf即即例例4解解.)(3)(2)(1.0)(, ),(, )()(,0)(,)(00軸有兩個(gè)交點(diǎn)軸有兩個(gè)交點(diǎn)與與）何時(shí)）何時(shí)（軸有惟一交點(diǎn)；軸有惟一交點(diǎn)；與與）何時(shí)）何時(shí)（軸無交點(diǎn)；軸無交點(diǎn)；與與）何時(shí)）何時(shí)（試確定試確定使得使得且有唯一的且有唯一的上滿足上滿足在在設(shè)設(shè)xxfyxxfyxxfyxfbaxbfafxfbaxf ，上滿足的條件可知上滿足的條件可知在在由由,)(baxf且且最最大大值值為為上上的的最最小小值值為為在在, )(, )(,)(0afxfbaxf)()()(0 xfbfaf 因此因此上是下凸的上是下凸的在在并且注意到并且注意到,)(baxf,0)(0)(

13、)1(0時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) afxf.)(軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn)與與 xxfy ,)(0)(0)()2(0時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)bfafxf .)(軸有唯一交點(diǎn)軸有唯一交點(diǎn)與與 xxfy ,)(0)()3(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfbf .)(軸有兩個(gè)交點(diǎn)軸有兩個(gè)交點(diǎn)與與 xxfy 例例5解解.,0dd)(,)()(22本時(shí)的邊際成本本時(shí)的邊際成本求廠商達(dá)到最小平均成求廠商達(dá)到最小平均成設(shè)設(shè)平均成本函數(shù)為平均成本函數(shù)為的二階可微函數(shù)的二階可微函數(shù)是是為產(chǎn)量為產(chǎn)量設(shè)廠商的總成本函數(shù)設(shè)廠商的總成本函數(shù) qACqqCACqqqCC2)()(ddqqCqCqqAC qqCqCq)()(1)(1ACMCq ,0dd22 qAC由于由于，

14、有零點(diǎn)有零點(diǎn)否則否則存在唯一駐點(diǎn)存在唯一駐點(diǎn)因此因此 221ddqACqAC，取取得得極極小小值值處處在在ACq1因此是最小值，因此是最小值，.ACMC 這時(shí)邊際成本這時(shí)邊際成本例例6.,0dd)(,)(, )(, )(, )()(22要要條條件件廠廠商商獲獲得得最最大大利利潤潤的的必必試試確確定定滿滿足足且且廠廠商商的的利利潤潤函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)的的二二階階可可微微函函都都是是求求函函數(shù)數(shù)為為其其需需為為產(chǎn)產(chǎn)量量設(shè)設(shè)廠廠商商的的總總成成本本函函數(shù)數(shù) qLqLLqqPqCqPPqqCC解解)(qRR 廠商的收益函數(shù)為廠商的收益函數(shù)為)(qPq )(qLL 利利潤潤函函數(shù)數(shù))()(qCqR ,)(得得的極值只能在駐點(diǎn)處取的極值只能在駐點(diǎn)處取則則qL,)(0dd122qqLqL至至少少有有一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)知知道道且