二次函數(shù)相似三角形存在性問(wèn)題(教師)

1、二次函數(shù)相似三角形存在性問(wèn)題參考答案與試題解析一.解答題(共7小題)1. (2014秋？江東區(qū)校級(jí)月考)如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3),與x軸交于點(diǎn)A (- 1, 0).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)連結(jié)BC、OC,在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似？若存在點(diǎn) 巳 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.13【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；(2)求得B (5, 0),如圖，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為D,貝U CD=BD=3 ,得至ij/ DCB=/DBC=45 °求得BC=3設(shè)P (2, t),

2、當(dāng)PCBsobc時(shí)，則更，=1 ,求得t= 2得到P (2,OB BC_一， q 2); 當(dāng)BCPsobc時(shí)，列比例式求得 t=-金，即可得到 P (2,5a= W,:i【解答】解：(1)二.二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 3), 設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a (x-2) 2+3,將(-1, 0)點(diǎn)代入得：故二次函數(shù)的解析式為：y= - (x-2) 2+3 -y= - ¥+劣+|；33 3(2)存在，在 y= -x2+x ；3,令 y=0,貝U -x2+-x+-|=0,解得：x1 = - 1, x2=5,J J z.B (5, 0), .拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為：x=

3、2 ,如圖，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與 x軸交點(diǎn)為D,則CD=BD=3 ,/ DCB= / DBC=45 °BC=3 二設(shè) P (2, t),PC PR 當(dāng)PCBsobc時(shí)，則后七二1, Ud DL，PC=OB,即 3 - t=5 ,. .t= - 2,P (2, - 2); 當(dāng)BCPsobc時(shí)，則理f ,即芻匡上,OB-BC 5 隊(duì)歷.P (2, T), 5綜上所述：存在點(diǎn) P,使得以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與 OBC相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2）, （2,-衛(wèi)）.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，找準(zhǔn)三角形相似是解題的關(guān)鍵.2. (

4、2012?!州區(qū)校級(jí)模擬)在直角坐標(biāo)系 XOY中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C (4, E 泥)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 6.(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在x軸上方的拋物線上， 是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC 相似？如果存在，請(qǐng)求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.I VC【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專(zhuān)題】開(kāi)放型.【分析】(1)已知頂點(diǎn)，就已知對(duì)稱(chēng)軸，又 AB=6,可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)了，可設(shè)拋物線交 點(diǎn)式求解；(2)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)先研究 4ABC的特殊性，AC=BC , /A=/B=30°,故4ABQ也是等腰 三角形，AB為腰，且/ A=30

5、6;或者/ B=30 °,通過(guò)解直角三角形可求 Q點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷 Q 點(diǎn)是否在拋物線上.【解答】 解：(1)二.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C (4,-無(wú))，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 6,，對(duì)稱(chēng)軸 x=4, A (1, 0), B (7, 0),設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a (x-1) (x-7),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=岸，所求解析式為y=gx2-華 x+華；999(2)在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn) Q,使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC相似,因?yàn)?ABC為等腰三角形， 當(dāng) AB=BQ , . AB=6 ,BQ=6 ,過(guò)點(diǎn) C 作 CDx 軸于 D,則 AD=3 , CD=正 ./ BAC= /

6、 ABC=30 °, ./ ACB=120 °,ABQ=120 °,過(guò)點(diǎn) Q 作 QEx 軸于 E,則/ QBE=60 °, .QE=BQsin60 =6 避=3歷 .BE=3 ,. E (10, 0), Q(10，3五),當(dāng) x=10 時(shí)，y=M02 _§1m0+Z=3、”;，點(diǎn)Q在拋物線上，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，還存在一點(diǎn)Q' (-2. 3al，使AEQ's CAB故存在點(diǎn)Q (10, 3Ml或 (- 2. 3M1 .C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線解析式的求法，在拋物線上尋找三角形相似的條件的方法.3. (2012秋？昌平

7、區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(-4, 小,且在x軸上截得的線段 AB的長(zhǎng)為6.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在y軸上確定一點(diǎn) M,使MA+MC的值最小，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)N ,使得以N、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC 相似？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.備用圖【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專(zhuān)題】綜合題.【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合 AB=6,可得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐 標(biāo)，設(shè)處拋物線的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出拋物線的解析式；M,此時(shí)AB=BN 2,(2)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)

8、稱(chēng)點(diǎn)A ,可得A' (1.0),連接A'C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn) MC+MA的值最小，求出直線 A'C的解析式，繼而可確定點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)首先判斷出 ABC是等腰三角形，且頂角為120°,然后討論，AB=AN 1,N3A=N 3B,依次求出點(diǎn) N的坐標(biāo)即可.【解答】 解：(1) ;拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C (-4,加)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x= - 4. 拋物線在x軸上截得的線段 AB的長(zhǎng)為6,.A (-1, 0), B (-7, 0 ),設(shè)拋物線解析式為 y=a (x+4) 2+-/s,代入點(diǎn)A坐標(biāo)可得：0=a ( - 1+4) ?+M,解得：a=-全，9故二次函

9、數(shù)的解析式為：y=-Y5 (x+4) 2+J5.g(2)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',可得A' (1.0), 連接A'C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn) M,此時(shí)MC+MA的值最小, 設(shè)直線CA'的解析式為y=kx+b ( kO),代入點(diǎn)A'、點(diǎn)C的坐標(biāo)可得:則直線CA'的解析式為y=-W5x+立,55故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,(3)由(1)可知，C ( - 4,如)，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D,則AD=3 .在 RtAADC 中， tan/CAD=亞，AD 3 ./ CAD=30 °, . AC=BC , ./ ABC= / CAB=30 °. ./ A

10、CB=120 °, 如果AB=AN 1=6,過(guò)N1作E N1Xx軸于 巳 由 ABC ba N1 得/ BA N 1=120 °, 則/ EA N1=60°. N1E=3-/S, AE=3 . . A (T, 0 ), .OE=2 . 點(diǎn)N在x軸下方， 點(diǎn) Ni (2, - 33), 如果AB=BN 2,由對(duì)稱(chēng)性可知 N2 ( - 10, 一又介)， 如果N3A=N3B,那么點(diǎn)N必在線段AB的中垂線即拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn) N.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Ni 一班)與N2 (T0,一又石)都在拋物線上.綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N,使NABsabc,點(diǎn)N

11、的坐標(biāo)為(2, 一國(guó)毒)或(-10,一 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑及相似三角形的判定，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，像此類(lèi)綜合題，要求同學(xué)們一步一步的來(lái)， 找準(zhǔn)突破口，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.4. (2012?常德)如圖，已知二次函數(shù) 尸。(k+2) (ax+b)的圖象過(guò)點(diǎn)A (-4, 3), B 48(4, 4).(1)求二次函數(shù)的解析式：(2)求證：4ACB是直角三角形；(3)若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PH垂直x軸于點(diǎn)H,是否存 在以P、H、D為頂點(diǎn)的三角形與 4ABC相似？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理

12、由.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專(zhuān)題】綜合題；壓軸題.【分析】(1)將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得出 a、b的值，繼而可得出函數(shù)解析 式；(2)根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后分別求出 AC、AB、BC的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理證明即可；(3)分兩種情況進(jìn)行討論，DHPsbca,PHDsbca,然后分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答】 解：(1)由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ( - 4, 3), B (4, 4),(-4a+b)(4a+b)故二次函數(shù)關(guān)系式為：y= （x+2） （13x-20）.48(2)由(1)所求函數(shù)關(guān)系式可得點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2, 0),點(diǎn)

13、D坐標(biāo)為(竺 0),13又點(diǎn) A ( 4, 3), B (4, 4),AB=J (4+4) ?+(4-3) 2=V，AC=y( - 2+4) 4 (0-3)=V13,bc=7(4+2)4(40)2=2值，滿(mǎn)足 ab2=ac2+bc2,. ACB是直角三角形.（3）存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-瑞普或（-詈鬻設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為(x, (x+2) (13x20),貝 U PH= (x+2) (13x 20), HD=x+理,434813若DHPsbca,則正=更即AC BC-7T (x+2) (13X-20) 48解得：x=-且或x=25（因?yàn)辄c(diǎn)p在第二象限，故舍去）1313代入可得PH=,即Pi

14、坐標(biāo)為（-13卻選13 13若PHDsbca,則典=黑即BC AC4- (rl-2) (13x-20)48解得：x=-挈或x=段 （因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限，故舍去）.1313代入可得PH=3",即P2坐標(biāo)為：（-2孕，里）.131313綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，即Pi （-且!，/）、P2（-這，幽）.1I: I:I:I:【點(diǎn)評(píng)】此題屬于二次函數(shù)綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、 待定系數(shù)法求二次 函數(shù)解析式，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問(wèn)題， 本題的第三問(wèn)計(jì)算量比較大， 同學(xué)們要注意細(xì) 心求解.5. (2015怙海)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于 A ( -

15、 1, 0), B (3, 0) 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.該拋物線的頂點(diǎn)為 M.(1)求該拋物線的解析式；(2)判斷4BCM的形狀，并說(shuō)明理由；(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與 4BCM相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專(zhuān)題】壓軸題.【分析】(1)已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；(2)根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，可求得 4BCM三邊的長(zhǎng)，然后判斷這三條邊的長(zhǎng)是否符合勾 股定理即可；(3)假設(shè)存在符合條件的 P點(diǎn)；首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得4BDC三 邊的比例關(guān)系，即

16、可判斷出點(diǎn)。符合P點(diǎn)的要求，因此以 P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與 COA相似，那么分別過(guò)A、C作線段AC的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得 OP的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn) P的坐標(biāo).：(1).二次函數(shù) y=ax2+bx 3的圖象與x軸交于A (1, 0), B (3, 0)兩點(diǎn),a - b - 3=09a+3b 3-0解得：，聲1b=- 2則拋物線解析式為y=x2- 2x - 3;(2) ABCM為直角三角形，理由為：對(duì)于拋物線解析式 y=x2-2x-3= (x-1) 2-4,即頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1, -4),令 x=0 ,得到 y= - 3,即

17、C (0, - 3),根據(jù)勾股定理得：BC=3“2, BM=2加，CM=V2,- BM 2=BC2+CM2,. BCM為直角三角形；連接AC,. / AOC= / MCB=90 °,且aq aCO-BM，RtAAOCRtAMCB ,，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 0) .如圖2,過(guò)A作APi± AC交y軸正半軸于 Pi ,圖2 Rt CAP 1 Rt COA RtA BCM , ,OA OP1OC。卜1 OP即二一3 1，點(diǎn) Pi (0, 1).3若P點(diǎn)在x軸上，則/ PCA=90 °,如圖3,過(guò)C作CP2±AC交x軸正半軸于 P2,圖3 Rt P2CAsRt

18、COA G/DRtA BCM ,A0= ACAC AP/日口 1國(guó)即；：,AP2=10,，點(diǎn) P2 (9, 0).，符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：O (0, 0), Pi (0,弓)，P2 (9, 0).,:l【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，(3)題中能夠發(fā)現(xiàn)點(diǎn) O是符合要求的P點(diǎn)，是解決此題的突破口.6. (2014?西寧)如圖，拋物線y= -1x2+ex-2交x軸于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))， 4 2交y軸于點(diǎn)C,分別過(guò)點(diǎn)B, C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D,將4BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)

19、到y(tǒng)軸上得到FEC,連接BF.(1)求點(diǎn)B, C所在直線的函數(shù)解析式；(2)求4BCF的面積；【分析】相似三角形的應(yīng)用.(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P, A, B為頂點(diǎn)的三角形與 BOC相似？若存(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點(diǎn) B,C所在直線的函數(shù)解析式；(2)根據(jù)勾股定理可得 BC的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解；(3)存在.分兩種情況討論：過(guò)A作APix軸交線段BC于點(diǎn)Pi,則ABAPis BOC； 過(guò)A作AP2，BC,垂足點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作P2Q，x軸于點(diǎn)Q.則ABAP2sBC。；依此 討論即可求解.【解答】解：(1)當(dāng)y

20、=0時(shí)，-工2+2-2=0,42解得 x1=2, x2=4,.點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(2, 0), (4, 0),當(dāng) x=0 時(shí)，y= - 2, .C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, - 2),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b (kO),n t f b= - 2則*,l4k+b=0解得，2 .b=- 2,直線BC的解析式為y=，x-2;7(2) CD /x 軸，BD /y 軸， ./ ECD=90 °,點(diǎn)B, C的坐標(biāo)分別為(4, 0), (0, -2),BC= VoB2+OC2=V42+22=2 ', FEC是由ABDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， BCF 的面積=1bC?FC=1>2

21、V5>2/5=10;22(3)存在.分兩種情況討論：過(guò)A作APjx軸交線段BC于點(diǎn)Pi,則BAPisbOC,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)Pi的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)Pi在點(diǎn)BC所在直線上，y= L - 2= >2 - 2= - 1,22 點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(2, - 1); 過(guò)A作AP2，BC,垂足點(diǎn)P2,過(guò)點(diǎn)P2作P2Q，x軸于點(diǎn)Q. . BAP2A bco ,，色迪色=也CO CB CO OB'-?-=-2 2言解得AP2=5AP2.COOBlAP2?BP=CO?BP2,/X=2BP2,5解得 BP2=-5-AB ?QP2=-AP2?BP2,224解得QP2=,5，點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是

22、-, 5 點(diǎn)P2在BC所在直線上, 點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(衛(wèi)，-), 55，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 1)或(型，-4).55【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)為：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法可 求直線的函數(shù)解析式，勾股定理可，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積，分類(lèi)思想，相似三角形的性 質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.7. (2015?鄂州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn) A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是x=-W且經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為2點(diǎn)B.(1) 直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)； 求拋物線解析式.(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)

23、，連接 PA, PC.求APAC的面積的最大值, 并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)拋物線上是否存在點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn) 的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.【專(zhuān)題】壓軸題.【分析】(1)先求的直線y=Jx+2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；設(shè)拋物線的解析式為 y=y=a (x+4) (x- 1),然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求 得a的值；(2)設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m,分別求得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)，從而可得到線段PQ=-4m2-2m,然后利用三角形的面積公式可求得$ pac>PQ

24、>4,然后利用配方法可求得 APAC的面積的最大值以及此時(shí) m的值，從而可求得點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)首先可證明 ABCs ACOsCBO ,然后分以下幾種情況分類(lèi)討論即可：當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即M (0, 2)時(shí)，/MAN BAC; 根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，當(dāng) M ( - 3, 2)時(shí)，MANABC ;當(dāng)點(diǎn)M在第四象限時(shí)，解題時(shí)，需要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【解答】 解：(1)y=2K+2當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x= -4,乙.C (0, 2), A (- 4, 0),由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-衛(wèi)對(duì)稱(chēng)，2.點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0). :拋物線 y=ax2+bx+c 過(guò) A (-4, 0), B (1, 0),，可設(shè)拋物線解析式為 y=a (x+4) (x-1),又拋物線過(guò)點(diǎn) C ( 0, 2),2= 4a一-