10建模作業(yè)水塔供水

1、數(shù)學(xué)建模課程作業(yè)題-10第二章算法模型-水塔供水將水塔供水的兩個(gè)供水時(shí)段、兩個(gè)用水時(shí)段的水流量、用水量程序?qū)崿F(xiàn)，給出相關(guān)數(shù)據(jù)表。將所有程序和計(jì)算結(jié)果呈現(xiàn)在此文檔中。一、問題提出某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測(cè)量其水位來估計(jì)其流量。但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無(wú)法測(cè)量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約2h（小時(shí)）。水塔是一個(gè)高為12.2m,直徑為17.4m是正圓柱。按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2m時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約為10.8m時(shí)水泵停止工作。表1是某一天的水位測(cè)量記

2、錄（符號(hào)”表示水泵啟動(dòng)），試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量及一天的總用水量。表1：水位測(cè)量記錄（時(shí)刻：h,水位：cm）時(shí)刻00.921.842.953.874.985.907.017.938.97水位968948931913898881896852839822時(shí)刻9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93水位/108210501021994965941918892時(shí)刻19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91水位866843822/105910351011二、問題分析流量是單位時(shí)間

3、流出的水的體積，由于水塔是正圓柱體，橫截面積是常數(shù)，在水泵不工作的時(shí)候，流量很容易從水位對(duì)時(shí)間的變化率算出，問題是如何估計(jì)水泵供水時(shí)段的流量。水泵供水時(shí)段的流量只能依靠供水時(shí)段前后的流量擬合得到，作為用于擬合的原始數(shù)據(jù)，我們希望水泵不工作的時(shí)段流量越準(zhǔn)越好。這些流量答題可利用表中數(shù)據(jù)擬合水位-時(shí)間函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)即可得到連續(xù)時(shí)間的流量。水泵不工作時(shí)段的用水量可以由測(cè)量記錄直接得到，由表1克制從t=08.97h水位下降了968-822=146(cm),乘以水塔的截面積就是這一時(shí)段的用水量，這個(gè)數(shù)值可以用來檢查擬合的結(jié)果。三、模型假設(shè)(1)流量只取決于水位差，與水位本身無(wú)關(guān)。按照Torricelli定

4、律從小孔流出的流體的流速正比于水面高度的平方根，題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.2m和10.8m(設(shè)出口白水位為0),因?yàn)榉?1.15定1,所以可忽略水位對(duì)速度的影響。(2)水泵第一次供水時(shí)段為t=9|_11h,第二次供水時(shí)段為t=20.823h,這是根據(jù)最低和最高水位分別是8.2m和10.8m及表1的水位測(cè)量記錄做出的假設(shè)，其中前3個(gè)時(shí)刻取自實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(精確到0.1h),最后1個(gè)時(shí)刻來自每次供水約2h的已知條件。(3)水泵工作時(shí)單位時(shí)間的供水量大致是常數(shù)，此常數(shù)大于單位時(shí)間單位的平均流量。(4)流量是對(duì)時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。(5)流量與水泵是否工作無(wú)關(guān)。(6)由于水塔截面積是常數(shù)，S=(17.

5、4/2)2n=237.8(m2),為簡(jiǎn)單起見，計(jì)算中將流量定義為單位時(shí)間流出的水的高度，即水位對(duì)時(shí)間變化率的絕對(duì)值(水位是下降的)，最后給出結(jié)果時(shí)再乘以S即可，水位是時(shí)間白連續(xù)函數(shù)h=h(t)；水位對(duì)時(shí)間的變化率(流量)h'=皿；dt'任何時(shí)刻白流量：v(t)=士(t)S。四、建立模型(1)擬合水位-時(shí)間函數(shù)從表1測(cè)量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段(以下稱第一供水時(shí)段和第二供水時(shí)段)和三個(gè)水泵不工作時(shí)段(以下稱第一用水時(shí)段t=0|_8.97h,第二用水時(shí)段t=10.9520.84h和第三用水時(shí)段t=23h以后)。對(duì)第一、第二用水時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)分別做多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)幾=hi(

6、t)和h2=h2(t)。為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般用3-6次.由于第三時(shí)段只有三個(gè)測(cè)量記錄，無(wú)法對(duì)這一時(shí)段的水位做出比較好的擬合，可采取外推的辦法解決。(2)確定函數(shù)-時(shí)間函數(shù)對(duì)于第一、第二用水時(shí)段，秩序?qū)⑺缓瘮?shù)h=h(t),i=1,2求導(dǎo)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前后(水泵不工作時(shí)段)的流量擬合得到，并且將擬合得到的額第二供水時(shí)段外推，將第三用水時(shí)段流量包含在第二供水時(shí)段內(nèi)，需要擬合四個(gè)流量函數(shù)。(3)一天總用水量總用水量等于兩個(gè)水泵不工作時(shí)段的和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，他們都可以由流量對(duì)時(shí)間的積分得到。ttV=V(t)dt=-Shdtt0t0五、模型求

7、解用MATLA時(shí)算，可得結(jié)果。(1)擬合0,9內(nèi)各時(shí)刻的流量值，見表2。表2:在0,9內(nèi)各時(shí)刻的流量值(水位變化率)ti00.921.842.953.874.985.907.017.938.9722.1119.8117.9116.1415.1214.4214.2814.6415.3816.69(2)擬合11,20.8內(nèi)各時(shí)刻的流量值，見表3。表3:在11,20.8內(nèi)各時(shí)刻的流量值(水位變化率)ti10.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.84h2'33.0230.7529.0727.6026.1725.2324.5223.

8、9823.7723.8624.16(3)擬合第一供水時(shí)段9,11的流量，見表4表4:在9,11內(nèi)各時(shí)刻的流量值(水位變化率)ti91116.7432.91(4)擬合第二供水時(shí)段20.8,24的流量，見表5表5:在20.8,24內(nèi)各時(shí)刻的流量值(水位變化率)ti22.0122.9623.8824.9925.9123.9923.18921.6318.4814.62(5) 一天總用水量的估計(jì)第一、第二用水時(shí)段和第一、第二供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量，雖然各時(shí)段的流量已表示為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析的算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算。1第一用水時(shí)段的用水量t1.t1_.3.M=M&Shd

9、t=SfMt=Sh't0't0't0其中積分值幾通過梯形公式計(jì)算，F(xiàn)F八二jh1(t)dt=Zkh；(t)dt=&£似金公+h1(tk)t°'tk''22第二用水時(shí)段的用水量t3.t3_._ta._V=YdSh,dt=Sh2dt=S力t2t2h2=h2(t)dt=£:h2(t)dt=At£“冊(cè))十皿)t2tk,、，23第一供水時(shí)段的用水量t2t2t2,M2=VV2dS邛2dt=Sh12dt=S2ht2N屋N（tki）MM）n2二th,2（t）dt="thi2（t）dt=落t%'1k

10、J'k1kJ24第二供水和第三供水時(shí)段的用水量4_t4t4Y=tv3dtSh3dt=sth3dt=snt3t3t3ht2NtkNtk與h1）h3（tk）h3=h3（t）dt='h3（t）dt=t%t1kJtk1kJtk2通過計(jì)算，得出各個(gè)時(shí)段的用水量及一天的總用水量，見表6。表6:各時(shí)刻的用水量及一天的總用水量各時(shí)段用水量第一用水時(shí)段第二用水時(shí)段第一供水時(shí)段第二供水時(shí)段總用水量VVV2Vt14.71258.0450.4074.91946.60其中，四個(gè)時(shí)段都用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，如果第一用水時(shí)段，第一、第二供水時(shí)段用三次多項(xiàng)式及第二用水時(shí)段用四次多項(xiàng)式擬合，得到另一組計(jì)算結(jié)果,

11、見表7。24h水流量的曲線見圖1。表7:各時(shí)刻的用水量及一天的總用水量各時(shí)段用水量第一用水時(shí)段第二用水時(shí)段第一供水時(shí)段第二供水時(shí)段總用水量VVV2V2V3Vt14.71258.0950.4074.91946.7332附錄t=00.921.842.953.874.985.907.017.938.979.9810.9210.9512.0312.95.24.9913.8814.9815.9016.8317.9319.0419.9620.8422.0122.9623.8825.91;h=9689489319138988818698528398220010821050102199496594191889

12、2.86684382200105910351018;%第一用水時(shí)刻流量c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);a1=polyder(c1);x1=-polyval(a1,t(1:10);tp1=0:0.1:9;x11=-polyval(a1,tp1);%第二用水時(shí)刻流量c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3);a2=polyder(c2);tp2=11:0.1:20.8;x2=-polyval(a2,tp2);%擬合第一供水時(shí)段9,11流量xx1=-polyval(a1,89);xx2=-polyval(a2,1112);xx12=xx1xx2;c12

13、=polyfit(891112,xx12,3);tp12=9:0.1:11;x12=polyval(c12,tp12);%擬合第二供水時(shí)段20.8,24流量dt3=diff(t(26:28);dh3=diff(h(26:28);dht3=-dh3./dt3;t3=2020.8t(26)t(27);xx3=-polyval(a2,t3(1:2),dht3;c3=polyfit(t3,xx3,3);tp3=20.8:0.1:24;x3=polyval(c3,tp3);polyval(c3,t(24:28);%各時(shí)刻的用水量及一天的總用水量h1=0.1*trapz(x1);h2=0.1*trapz(x2);h12=0.1*trapz(x12);h3=0.1*trapz(x3);V=(h1+h2+h3+h12)*237.8*0.01;%第二用水時(shí)段用四次多項(xiàng)式擬合c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),4);a2=polyder(c2);tp2=11:0.1:20.8;x2=-polyval(a2,tp2);h1=0.1*trapz(x1);h2=0.1*trapz(x2);h12=0.1*trapz(x12);h3=0.1*trapz(x3);V=(h1+