大學物理第09章第3次課--簡諧運動的能量和合成概述

1、上海師范大學上海師范大學19. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量前幾節(jié)從運動學和動力學角度討論了彈簧振子和單擺的運動規(guī)律前幾節(jié)從運動學和動力學角度討論了彈簧振子和單擺的運動規(guī)律. .1. 定性分析定性分析彈簧振子和單擺都是作簡諧運動彈簧振子和單擺都是作簡諧運動. .本節(jié)本節(jié)從能量角度來討論簡諧運動從能量角度來討論簡諧運動.一、彈簧振子的能量及其轉換一、彈簧振子的能量及其轉換(i) 具有速度的物體具有動能具有速度的物體具有動能;(ii) 發(fā)生形變的物體具有彈性勢能發(fā)生形變的物體具有彈性勢能;(iii) 彈簧振子在振動過程中彈簧振子在振動過程中, 彈簧發(fā)生形變且物體具有速度彈簧發(fā)生形變

2、且物體具有速度(除三個特殊點外除三個特殊點外);(iv) 彈簧振子在振動過程中彈簧振子在振動過程中, 具有動能和彈性勢能具有動能和彈性勢能(除三個特殊點外除三個特殊點外);(v) 彈簧振子在振動過程中彈簧振子在振動過程中, 能量的轉變過程為能量的轉變過程為平衡位平衡位置置O點點正最大位正最大位移移 P 點點負最大位負最大位移移 Q 點點動能轉為彈性勢能動能轉為彈性勢能 彈性勢能轉為動能彈性勢能轉為動能彈性勢能轉為動能彈性勢能轉為動能 動能轉為彈性勢能動能轉為彈性勢能kl0 xmoAAx =0QPx=Ax=-A/17上海師范大學上海師范大學2xxFmo設設t時刻時刻, 物體的物體的位移為位移為x

3、, 速度速度 為為v, 則則221mEk動能為動能為2. 定量分析定量分析)cos(tAx(1)sin(tAv(2)(sin21222tmA(3)221kxEp勢能為勢能為)(cos2122tkA(4)4T2T43TEkoTt4T2T43TEpTto 由由(3)(4)兩式可見兩式可見, 動能和彈性勢能都隨時間作周期性變化動能和彈性勢能都隨時間作周期性變化.但變化的趨勢是相反的但變化的趨勢是相反的: 動能最大時動能最大時, 彈性勢能最小彈性勢能最小; 動能最小時動能最小時, 彈性勢能最大彈性勢能最大.體系體系的總能量的總能量為為)(cos21)(sin2122222tkAtmAEEpkE)(co

4、s21)(sin212222tkAtmkmA2222221)(cos)(sin21AkAttkA(5)/179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量上海師范大學上海師范大學3xxFmo體系體系的總能量的總能量2221AkAE(5)即體系的總能量等于物體處于最大位移處的勢能即體系的總能量等于物體處于最大位移處的勢能.也等于物體在平衡位置時的動能也等于物體在平衡位置時的動能(此時動能為最大此時動能為最大).4T2T43TEk ,EpoTtE1. 定性分析定性分析二、單擺的能量及其轉換二、單擺的能量及其轉換(i) 具有物體速度具有物體速度, 因此具有動能因此具有動能;(ii) 物體處于重力

5、場中物體處于重力場中, 因此物體具有重力勢能因此物體具有重力勢能;(iii) 單擺在擺動過程中單擺在擺動過程中, 具有動能和重力勢能具有動能和重力勢能;(iv) 單擺在振動過程中單擺在振動過程中, 能量的轉變過程為能量的轉變過程為平衡位平衡位置置O點點正最大位正最大位移移 P 點點負最大位負最大位移移 Q 點點動能轉為重力勢能動能轉為重力勢能 重力勢能轉為動能重力勢能轉為動能重力勢能轉為動能重力勢能轉為動能 動能轉為重力勢能動能轉為重力勢能體系的體系的總能量是一個常數(shù)總能量是一個常數(shù)./179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量lmoATFG2mlJ PQ上海師范大學上海師范大學4

6、設設t時刻時刻, 速度速度 為為v, 則則221mEk動能為動能為2. 定量分析定量分析)cos(tA(6)sin(tA(7)(sin212222tAml(8)cos1 ()cos(mglllmgEp)(cos2122tmglA(9)4T2T43TEkoTt4T2T43TEpTto 由由(8)(9)兩式可見兩式可見, 與彈簧振子相似與彈簧振子相似, 單擺的動能和重力勢能都隨時間作周期性單擺的動能和重力勢能都隨時間作周期性變化變化. 但變化的趨勢是相反的但變化的趨勢是相反的: 動能最大時動能最大時, 重力勢能最小重力勢能最小; 動能最小時動能最小時, 重力勢能最大重力勢能最大. 如圖所示如圖所示

7、.取平衡位置取平衡位置O為為重力勢能零點重力勢能零點, 則單擺的則單擺的重力勢能重力勢能為為)! 41! 211 (1 42 mgl221mgllmoAPQ/179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量上海師范大學上海師范大學54T2T43TEkoTt4T2T43TEpTto單擺單擺的總能量的總能量為為)(cos21)(sin21222222tmglAtAmlEEpkE(10)2221AlmgAlmoAP)(cos21)(sin2122222tmglAtlgAml)(cos)(sin21222ttmglA即體系的即體系的總能量也是一個常數(shù)總能量也是一個常數(shù).三、簡諧運動的勢能特點三、

8、簡諧運動的勢能特點221kxEp彈簧振子的彈性勢能為彈簧振子的彈性勢能為單擺的重力勢能為單擺的重力勢能為221mglEp由此可見由此可見, 簡諧運動的勢能都與位移的二次方成正比簡諧運動的勢能都與位移的二次方成正比AApExO/179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量上海師范大學上海師范大學6彈簧振子彈簧振子的總能量的總能量:221kAE 彈簧振子在振動過程彈簧振子在振動過程, 總能量保持不變總能量保持不變.lmgAE221單擺單擺的總能量的總能量:單擺在擺動過程單擺在擺動過程, 總能量保持不變總能量保持不變.因為彈性力和重力都是因為彈性力和重力都是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動

9、的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒.四、例題分析四、例題分析例例 質量為質量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速作簡諧運動，其最大加速 度為度為 ，求：，求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振動的周期；振動的周期； （2）通過平衡位置的動能；通過平衡位置的動能；（3）總能量；總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？物體在何處其動能和勢能相等？解解 （1）求振動周期求振動周期)cos(2tAa加速度為加速度為2maxAa因此因此, Aamax由此可得由此可得12040001. 00 . 4s/179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量上海

10、師范大學上海師范大學7s314.0201416.322T周期為周期為（2）求通過平衡位置的動能）求通過平衡位置的動能J100 . 23（3）求總能量）求總能量（4）求動能與勢能相等的位置）求動能與勢能相等的位置pEEEEEkpk和由J100 . 1213pEE得222p2121xmkxE由2p22mEx 得2423m105 . 0201 . 0102物體通過平衡位置時的動能就是體系的最大動能物體通過平衡位置時的動能就是體系的最大動能.由由)sin(tA得得Amax222maxmax, k2121AmmEv因此因此, 2201. 0201 . 021因為體系的總能量等于體系的最大動能或最大勢能因

11、為體系的總能量等于體系的最大動能或最大勢能.JEE3max,k100 . 2所以所以,cm707. 010707. 02mx由此可得由此可得, 動能與勢能相等時的位移為動能與勢能相等時的位移為/179. 4 簡簡 諧諧 運運 動動 的的 能能 量量上海師范大學上海師范大學89. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成設兩個簡諧運動的方程分別為設兩個簡諧運動的方程分別為)cos()cos(222111tAxtAx(1）一、兩個一、兩個同方向同方向、同頻率同頻率簡諧運動的合成簡諧運動的合成前幾節(jié)討論的彈簧振子和單擺是最簡單的簡諧運動前幾節(jié)討論的彈簧振子和單擺是最簡單的簡諧運動.但實際問題中的振

12、動通常是多個振動合成的結果但實際問題中的振動通常是多個振動合成的結果, 如多部車輛同時通過一坐如多部車輛同時通過一坐橋梁時橋梁時, 橋的振動橋的振動. 因此一般情況下振動合成較復雜因此一般情況下振動合成較復雜,本節(jié)僅討論幾種簡單而重要的本節(jié)僅討論幾種簡單而重要的簡諧振動的合成簡諧振動的合成。運動的合成運動的合成: 如江河中的渡輪運動如江河中的渡輪運動. 1221渡輪的運動是水流的運動與渡輪渡輪的運動是水流的運動與渡輪相對于小運動的合成相對于小運動的合成.合位移為合位移為)cos()cos(221121tAtAxxx22221111sinsincoscossinsincoscostAtAtAtA

13、/17xmokk上海師范大學上海師范大學9合位移為合位移為)cos()cos(221121tAtAxxx22221111sinsincoscossinsincoscostAtAtAtA)sinsinsinsin(coscoscoscos22112211tAtAtAtA)sinsin(sincos)coscos(22112211AAttAA(2)sinsincoscos)2(tAtAx式可寫為則)cos(tAx即(4)由由(4)式可見式可見, 合振動仍為簡諧運動合振動仍為簡諧運動.另一方面另一方面, 由由(3)式可得式可得21212222122121212222122122sinsin2sins

14、incoscos2coscos)sin()cos(AAAAAAAAAA22112211sinsinsin;coscoscosAAAAAA令(3)sinsincos(cos221212122212AAAAA即/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學10)sinsincos(cos221212122212AAAAA)cos(212212221AAAA(5)由此由此, 可得可得合振動的振幅合振動的振幅)cos(212212221AAAAA22112211sinsinsin;coscoscosAAAAAA同理同理, 由由合振動的初相位為合振動的初相位為(6)221

15、12211coscossinsinAAAAtg結論結論: 兩個兩個同方向同方向同頻率同頻率簡諧運動簡諧運動合成合成后仍為后仍為簡諧簡諧運動運動. 各量由各量由(4)(5)(6)式?jīng)Q定式?jīng)Q定)cos(tAx(4)合振動的位移合振動的位移/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學11 討論討論 合振動的振幅與分振動相位差的關系合振動的振幅與分振動相位差的關系(5)合振動的振幅合振動的振幅)cos(212212221AAAAA1 1）相位差相位差)2 1 0( 212，kk則由則由(5)式得合振幅為式得合振幅為21212221122122212)cos(2AAAA

16、AAAAAAA(7)說明說明, 當兩當兩分振動分振動的的相位相位相同相同或或相位差為相位差為2 的整數(shù)倍的整數(shù)倍時時, 合振幅等于兩分振動的振幅之合振幅等于兩分振動的振幅之和和, 合成結果使振動加強合成結果使振動加強. 如圖所示如圖所示.)cos()(21tAAx(8)這時合振動方程為這時合振動方程為2x1xxx2x1xxt0合成使振動加強合成使振動加強/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學12說明說明, 當兩當兩分振動分振動的的相位相位相反相反或或相位差為相位差為 的的奇數(shù)倍奇數(shù)倍時時, 合振幅等于兩分振動的振幅之差合振幅等于兩分振動的振幅之差的絕對值

17、的絕對值, 合成結果使振動減弱合成結果使振動減弱. 如圖所示如圖所示.(5)合振動的振幅合振動的振幅)cos(212212221AAAAA2 2）相位差相位差)2 1 0( ) 12(12，kk則由則由(5)式得式得21212221122122212)cos(2AAAAAAAAAAA(9)cos(21tAAx(10)這時合振動方程為這時合振動方程為2x1x2x1xxx3 3）相位差為其它情況相位差為其它情況2121AAAAA合振動振幅為合振動振幅為xt0合成使振動減弱合成使振動減弱/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學13二、兩個二、兩個相互垂直相互垂直

18、的的、同頻率同頻率簡諧運動的合成簡諧運動的合成(11)式是式是二維曲線二維曲線的的參數(shù)方程參數(shù)方程, 消去時間消去時間 t, 得得)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx(12)(12)式是式是橢圓橢圓的一般方程的一般方程. 說明物體的運動軌跡是一個橢圓說明物體的運動軌跡是一個橢圓.橢圓的形狀取決于兩個分振動的振幅橢圓的形狀取決于兩個分振動的振幅A1, A2 和相位差和相位差 2 - 1.1. 運動方程運動方程)cos(11tAx)cos(22tAy(11)設兩個方向的簡諧運動振動分別為設兩個方向的簡諧運動振動分別為2. 運動軌跡的形狀運動軌跡的形狀1 1） 2 2-

19、- 1 1=0=00221222212 AAxyAyAx由由(2)式得式得 0)(221AyAx/17xmoy9. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學142 2） 2 2- - 1 1 = = 0)(221AyAxxAAy12(13)即即y y與與x x 同相時同相時，物體做直線運動。直線的斜率由兩分振動的振幅決定，物體做直線運動。直線的斜率由兩分振動的振幅決定. .如下圖所示如下圖所示. .1A2Axy01A2AA1 = A21A2Axy01A2AA2 = 2A1)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx由由0221222212AAxyA

20、yAx得得xAAy12(14)即即y y與與x x 反相時反相時，物體也是做直線運動。直線的斜率仍由兩分振動的振幅決定，物體也是做直線運動。直線的斜率仍由兩分振動的振幅決定. .1A2Axy01A2AA1 = A21A2Axy01A2AA2 = 2A1/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學153 3） 2 2- - 1 1 = = /2/2)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx由由1222212AyAx得得(16)(16)(16)式表明式表明, , 當當y y超前超前x x為為 /2/2時，質點的運動軌跡為一正橢圓時，質點的運動

21、軌跡為一正橢圓. .且根據(jù)兩分振動的相位關系且根據(jù)兩分振動的相位關系, ,可知物體將按順時針方向可知物體將按順時針方向( (或右旋或右旋) )做橢圓運動。做橢圓運動。)cos(11tAx)2cos(12tAy(15)即即1A2Axy01A2AA2 = A1 時軌跡為圓時軌跡為圓x1A2Ay01A2AA2 A12Axy01A2AA2 A12Axy01A2AA2 A11A/179. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學175 5） 2 2- - 1 1= = 其它值其它值這時這時, 物體的運動軌跡仍為橢圓物體的運動軌跡仍為橢圓, 但其對稱軸不在但其對稱軸不在x, y軸

22、上軸上, 如下圖所示如下圖所示.434547124對于兩個相互垂直的對于兩個相互垂直的同頻率同頻率不同相位差不同相位差的簡諧運動的合成的簡諧運動的合成,書上書上P19頁的頁的圖圖9-18進行了總結進行了總結, 請大家仔細理解請大家仔細理解.對于兩個對于兩個相互垂直相互垂直的的不同頻率不同頻率的簡諧運動的合成的簡諧運動的合成, 情況更復雜情況更復雜, 這時物體一般這時物體一般沒有固定的軌跡沒有固定的軌跡. 只有當分振動的頻率成整數(shù)比時只有當分振動的頻率成整數(shù)比時, 才有穩(wěn)定的圖形才有穩(wěn)定的圖形, 這種圖形這種圖形稱為稱為利薩茹圖形利薩茹圖形. 此處不作進一步的介紹此處不作進一步的介紹./179.

23、 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學18作業(yè)作業(yè): pp39-41 習題習題 9-4; 9-25; 9-26; 9-27; 9-28/ 209. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學19上海師范大學上海師范大學20三、兩個三、兩個同方向同方向、不同頻率不同頻率簡諧運動的合成簡諧運動的合成兩相同方向但不同頻率的簡諧運動合成兩相同方向但不同頻率的簡諧運動合成時時, 其合振動一般不是簡諧運動其合振動一般不是簡諧運動.1212211,且）（tAtAx1011112cos)cos(其運動規(guī)律很復雜其運動規(guī)律很復雜, 取決于兩個頻率的大小及相對

24、大小取決于兩個頻率的大小及相對大小.本節(jié)討論一種本節(jié)討論一種特殊情況特殊情況: 兩個頻率都很大兩個頻率都很大, 但兩頻率差很小但兩頻率差很小. 即即設兩分振動的設兩分振動的振幅相同振幅相同(A1=A2), 初相位都為零初相位都為零( 1= 2=0), 其運動方程為其運動方程為）（tAtAx2022222cos)cos(tAtAxxx2010212cos2cos則則合振動的位移合振動的位移為為)2cos2(cos210ttA1. 合運動方程合運動方程 / 209. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(，因為因為coscos

25、2)cos()cos(所以所以xmok1k2上海師范大學上海師范大學21);2cos2(cos210ttAxtttt1212122,2);2(2),2(2則令coscos2)cos()cos(由由(19)式可見式可見, 合振動已不是簡諧振動合振動已不是簡諧振動. 因為合振幅是隨時間變化的因為合振幅是隨時間變化的.而將而將 看成是合振動的振幅看成是合振動的振幅.tA)22cos(2120合振動的合振動的振幅振幅是隨時間作周期性變化的是隨時間作周期性變化的. 振幅部分振幅部分合振動頻率合振動頻率因此因此, 合振動為合振動為)22cos()22cos(212120ttAx(19).0,2min0ma

26、xAAA但由于但由于 2, 1, 都很大都很大, 因此可將因此可將( 2,+ 1)/2看成是合振動的頻率看成是合振動的頻率,.221即;)22cos(2120tAA即(20)/ 209. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成上海師范大學上海師范大學22x1to頻率都很大但相差很小的兩個同方向振動合成時所產(chǎn)生的這種頻率都很大但相差很小的兩個同方向振動合成時所產(chǎn)生的這種合振動忽強合振動忽強忽弱的現(xiàn)象忽弱的現(xiàn)象稱稱拍拍(pat)(pat). .2. 拍拍x2to3. 拍頻拍頻即拍頻的數(shù)值等于兩分振動的頻率之差即拍頻的數(shù)值等于兩分振動的頻率之差.)(cos2)(cos2120120tAtAA合振

27、幅因此因此,拍頻為拍頻為12p(21)/ 209. 5 簡簡 諧運諧運 動動 的的 合合 成成xtox = x1 + x2單位時間內振動加強或減弱的次數(shù)稱拍頻單位時間內振動加強或減弱的次數(shù)稱拍頻. . 即振幅變化的頻率即振幅變化的頻率. . )1)(cos212120tA由此可見由此可見, 合振幅變化的周期合振幅變化的周期Tp為：為：1211ppT(20)上海師范大學上海師范大學23四、四、n n個同方向、同頻率簡諧運動的合成個同方向、同頻率簡諧運動的合成如果有如果有n個同方向和同頻率的簡諧運動同時加在物體上個同方向和同頻率的簡諧運動同時加在物體上, 物體的運動會怎么樣物體的運動會怎么樣?前面兩個簡諧運動的全成可以直接用代數(shù)方法求得前面兩個簡諧運動的全成可以直接用代數(shù)方法求得;但對于多個簡諧運動的合成但對于多個簡諧運動的合成, 則需要用旋轉矢量法進行求解比較簡單則需要用旋轉矢量法進行求解比較簡單.對于多個簡諧運動的合成對于多個簡諧運動的合成, 通常很復雜通常很復雜; 本節(jié)只考慮一種特殊情況的合成本節(jié)只考慮一種特殊情況的合成.設設n個分振動個分振動是是同方向同方向、同頻率同頻率、等振幅等振幅的簡諧運動的簡諧運動.合成的旋轉矢量圖合成的旋轉矢量圖Ox2A3AnAtAxcos11)cos(12