第2章 1.2 特征函數(shù)族及數(shù)字特征

1、第二章第二章 隨機(jī)過程基本知隨機(jī)過程基本知識(shí)識(shí)(2)(2)主講人：李偉主講人：李偉西安電子科技大數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院西安電子科技大數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2014年秋季年秋季第二節(jié)：第二節(jié)：1）有限維特征函數(shù)族）有限維特征函數(shù)族 2）隨機(jī)過程的數(shù)字特征）隨機(jī)過程的數(shù)字特征三三 隨機(jī)過程的有限維特征函數(shù)族隨機(jī)過程的有限維特征函數(shù)族nkkkkxgxgfS11)()()(S0limbaxdgxf)()(1.Stieltjes積分積分定義定義 設(shè)設(shè)f(x), g(x)是定義在是定義在a,b上的兩個(gè)有界函數(shù)上的兩個(gè)有界函數(shù), 對(duì)對(duì)a,b 的任的任一劃分一劃分 a=x0 x1xn=b, 記記 =maxxk任取任取k k

2、xk-1k-1, ,xk k,k=1,n.,k=1,n.作和作和若極限若極限存在存在,且與且與a,b的分法及的分法及k的取法無關(guān)的取法無關(guān).則稱此極限為則稱此極限為f(x)對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)g(x)在在a,b上的上的Stieltjes積分積分.簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱S積分積分. 也稱也稱f(x)對(duì)對(duì)g(x)在在a,b上上S可積可積.記記設(shè)設(shè)f(x), g(x)是定義在是定義在(-,+ )上的兩個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù), 若若在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間a,b f(x)對(duì)對(duì) g(x)在在a,b S可積可積, 且且babaxgxf)()(lim)()(xdgxf存在存在則稱此極限為則稱此極限為f(x)對(duì)對(duì)g(x)在無窮區(qū)間

3、在無窮區(qū)間(-,+ )上的上的Stieltjes積分積分. 記記關(guān)于關(guān)于Stieltjes積分有如下性質(zhì)積分有如下性質(zhì)當(dāng)當(dāng)g(x)為跳躍函數(shù)為跳躍函數(shù),且在且在xi (i=1,2,)具有具有躍度躍度p pi i時(shí)有時(shí)有iiipxfxdgxf)()()(dxxgxfxdgxf)()()()()(sin)(cos)(xdgtxjxdgtxxdgejtx當(dāng)當(dāng)g(x)存在導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)g (x)時(shí)時(shí),有有(3) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x 定義在定義在(-,+ )，若積分，若積分 存在，則稱此積分為存在，則稱此積分為g(x)的的Fourier-stieltjes積分，記積分，記F-S積分積分定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨

4、機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), 若若)()(xdFxXE( )xdF x 則則X的期望為的期望為并有以下結(jié)論并有以下結(jié)論(1)設(shè)設(shè) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), y=g(x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 若若)()(xdFxg則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y=g(X)的期望為的期望為)()()(xdFxgYE(2)一般設(shè)一般設(shè)r.v.(X1,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,xn), g(x1,x2,xn)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù). 若若),.,(),.,(2121nnxxxdFxxxg則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量Y=g(X1,X2,Xn)的數(shù)學(xué)期望存在的數(shù)學(xué)期望

5、存在. 且且),.,(),.,()(2121nnxxxdFxxxgYE( )E( )juXjuxueedF xu 定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),則稱則稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的的特征函數(shù)特征函數(shù).2.隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量的特征函數(shù)其中其中u為實(shí)參變量為實(shí)參變量, 為復(fù)隨機(jī)變量為復(fù)隨機(jī)變量juXe對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)u, ,有有|e|ejuxjux|=1.|=1.故故EEejux總存在總存在.(1) 特征函數(shù)總是存在的特征函數(shù)總是存在的.關(guān)于特征函數(shù)的幾點(diǎn)說明關(guān)于特征函數(shù)的幾點(diǎn)說明(2)特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì)01u（ ） （ ）( )()uu 若若Y=

6、aX+b ,a,bY=aX+b ,a,b為常數(shù)為常數(shù), ,則則( )()jbuYXueau( )u 在（，）上一致連續(xù). 若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,Z=X+Y,則則 ( )( )( )ZXYuuu(可推廣到可推廣到n個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量)11()0nnklkllkuuz z是非負(fù)定的是非負(fù)定的. ( )u即對(duì)任意的即對(duì)任意的n, 任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù)Zk, 任意實(shí)數(shù)任意實(shí)數(shù)uk(k=1,2,n), 有有 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的的n階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩(即即EXk)存在存在, 則則( )u存在存在k(kn)階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),且有且有( )(0)EX ,kkkjkn( )(0)EX,kk

7、kknj(3)一些重要分布的特征函數(shù)一些重要分布的特征函數(shù)單點(diǎn)分布單點(diǎn)分布P(X=c)=1, c常數(shù)常數(shù). 則則( )juXjucuE ee二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,C)X(Pknkknqpkk=0,1,n. 0p00則特征函數(shù)則特征函數(shù)0( )!kjuXjukkuE eeek(1)0()!jujujukeekeee eek均勻分布均勻分布r.v.XU(a,b,密度函數(shù)為密度函數(shù)為其它bxaabxf, 0,1)(則特征函數(shù)則特征函數(shù)X( )E( )jujuxueef x dx11()()bjuxjbujuaaedxeebaju ba正態(tài)分布正態(tài)分布r.v.XN(, 2),密度函數(shù)為密度函數(shù)為常數(shù))0(

8、,21)(222)(xexfx則特征函數(shù)則特征函數(shù)X( )E( )jujuxueef x dx222()()221122xvjuxjuveedxeedv22 22 21()122212vjuj uuj uueedvexv令特別特別XN(0,1)時(shí)時(shí)22)uue（記??！記?。≈笖?shù)分布指數(shù)分布r.v.X服從參數(shù)為服從參數(shù)為(0)(0)的指數(shù)分布的指數(shù)分布, , 概率概率密度為密度為00, 0,)(xxexfx則特征函數(shù)則特征函數(shù)X( )E( )jujuxueef x dx()00juxxjuxeedxedxju(4)隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其特征函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其特征函數(shù) 相互唯一確定相互唯一

9、確定.定義定義(多元特征函數(shù)多元特征函數(shù))設(shè)設(shè)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量X=(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)為為F(x1,x2,xn),則稱則稱1122()12( ,)EnnuXjXuu Xnu uueETjuXe1 12 2()12(,)n nj u xu xu xnedF x xx為為n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量X的特征函數(shù)的特征函數(shù).也稱也稱多元特征函數(shù)多元特征函數(shù)多元特征函數(shù)具有與一元特征函數(shù)類似的性質(zhì)多元特征函數(shù)具有與一元特征函數(shù)類似的性質(zhì) n維隨機(jī)變量的特征函數(shù)與其聯(lián)合分布函數(shù)維隨機(jī)變量的特征函數(shù)與其聯(lián)合分布函數(shù) 是一一對(duì)應(yīng)的是一一對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)應(yīng)用舉例特征函數(shù)應(yīng)用舉例:21

10、.PoissonEX EXDX設(shè)X服從參數(shù)為 的分布，求，(1)( )jueue解： 由題意(1)22(1)( ),( )()jujujuejujueuj e eueee 則( )(0)EXkkkj則利用特征函數(shù)性質(zhì)：(0)EXj得222(0)EXj22()DXEXEX22.1 212nkkkX ,X ,XXNk = , ,n設(shè)相互獨(dú)立，且（，）,nkk=1用特征函數(shù)求隨機(jī)變量Y=X 的概率分布2 212( ),1,2,.,kkkjuuXuekn解：由題意1( )( )knYXkuu2 2121kknjuuke22111()()2nnkkkkjuue211(,)nnkkkkNnkk=1Y=X定

11、義定義 (隨機(jī)過程的有限維特征函數(shù)族隨機(jī)過程的有限維特征函數(shù)族) 設(shè)設(shè) Xt,tT是一個(gè)是一個(gè)S.P. 對(duì)于任意固定的對(duì)于任意固定的 t1,t2,tnT, X(t1), X(t2), , X(tn)是是n個(gè)個(gè) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量,稱稱1212( , ,., ;,.,)nnt tt u uu1( )11( ,;,)niiiju X tnnedF ttxxE)()(11nntXutXuje為為S.P.XS.P.Xt t,tT,tT的的n n維特征函數(shù)維特征函數(shù). .(ui R, i=1,2,n) 1212 ( , ,.,.,),1,2,., nniit tt u uutT uR in 稱;為隨機(jī)過程

12、的有限維特征函數(shù)族為隨機(jī)過程的有限維特征函數(shù)族1. 均值函數(shù)均值函數(shù) E EXt 存在存在, ,設(shè)設(shè)X=Xt , tTT是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意tT,T,若若 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征則稱則稱EEXt 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X的的 均值函數(shù)均值函數(shù)，記為記為mX(t)， 即即 mX(t)= EEXt ， tT2. 方差函數(shù)方差函數(shù) DXt =EXt -mX(t)2存在存在, 設(shè)設(shè)X=Xt , tTT是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意tT,T,若若則稱則稱DXt 為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X的的方差函數(shù)，方差函數(shù)， 記記DX(t). 即即 DX(t)=

13、EXt -mX(t)2 ，tT3. 3. 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù) Cov(Xs, Xt)=EXs-mX(s)Xt -mX(t)存在存在,設(shè)設(shè)X=Xt , tTT是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意s,tT,T,若若則稱則稱Cov(Xs, Xt)為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X的的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù).記記 CX(s,t). 即即 CX(s,t)= EXs-mX(s)Xt -mX(t) s,tT4. 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) EXsXt 存在存在, 顯然顯然 mX(t)=0時(shí)時(shí), CX(s,t)= RX(s,t)設(shè)設(shè)X=Xt , tTT是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意s,tT,T,若若則

14、稱則稱EXsXt為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程Xt的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù). (自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù))記記RX(s,t).即即 RX(s,t)= EXsXt s,tT5. 均方值函數(shù)均方值函數(shù) EXt2存在存在設(shè)設(shè)X=Xt , tTT是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意是一實(shí)值隨機(jī)過程，對(duì)任意tT,T,若若則稱則稱EXt2為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程X的的均方值函數(shù)，均方值函數(shù)，記為記為X(t).即即 X(t)= EXt2 tT隨機(jī)過程的數(shù)字特征有如下關(guān)系隨機(jī)過程的數(shù)字特征有如下關(guān)系CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) s,tTT DX(t)=CX(t,t) tTX(t)=RX(t,t) tT 最關(guān)鍵的數(shù)字特征

15、是均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)最關(guān)鍵的數(shù)字特征是均值函數(shù)與相關(guān)函數(shù)本節(jié)內(nèi)容舉例本節(jié)內(nèi)容舉例設(shè)設(shè)S.P. X(t)=acos(t+). a, 常數(shù)常數(shù), U0, 2 求該過程的均值函數(shù)求該過程的均值函數(shù),相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù),方差函數(shù)方差函數(shù). 解解( )( )XmtE X t201cos()20atdt ( , )( )( )XRs tE X s X t22021cos()cos()2cos(),2astdatss t ( , )( , )( )( )XXXXCs tRs tms mt2( , )cos(),2XRs tatss t 2( )( , )2XXaDtCt tt 2. 設(shè)設(shè)S.P. X(t)=A

16、cost+Bsint t0, 為常數(shù)為常數(shù). A,B相互獨(dú)立相互獨(dú)立,同服從正態(tài)分布同服從正態(tài)分布N(0,2) 求該過程的數(shù)字特征求該過程的數(shù)字特征.解解( )( )0XmtE X tt ( , )( )( )XRs tE X s X t22coscos(sincoscossin)sinsinE AstE ABststE Bst2cos (),tss t 兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和 數(shù)字特征數(shù)字特征在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中,有時(shí)需要同時(shí)考慮兩個(gè)或者有時(shí)需要同時(shí)考慮兩個(gè)或者兩個(gè)以上的隨機(jī)過程兩個(gè)以上的隨機(jī)過程.例如例如:一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸入噪聲兩者可能一個(gè)線性系統(tǒng)的

17、輸入信號(hào)和輸入噪聲兩者可能同為隨機(jī)過程同為隨機(jī)過程.同時(shí)考慮一個(gè)線性系統(tǒng)的隨機(jī)輸入和隨機(jī)輸出同時(shí)考慮一個(gè)線性系統(tǒng)的隨機(jī)輸入和隨機(jī)輸出的關(guān)系等的關(guān)系等.隨機(jī)過程可推廣到隨機(jī)過程可推廣到 多維隨機(jī)過程多維隨機(jī)過程定義定義設(shè)設(shè)Xt,tTT和和 Yt,tT是定義是定義 在同一概率空間在同一概率空間 (,F,P)上的上的兩個(gè)兩個(gè)實(shí)實(shí)隨機(jī)過程隨機(jī)過程. 則稱則稱Xt,Yt, tT是是二維隨機(jī)過程二維隨機(jī)過程. 復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程定義定義 設(shè)設(shè)Xt,tTT和和 Yt,tT是定義在同一概率空間是定義在同一概率空間 (,F,P)上的上的兩個(gè)兩個(gè)實(shí)實(shí)隨機(jī)過程隨機(jī)過程.令令 Zt= Xt+jYt tT 則稱則稱Z

18、t, tT是是復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程.設(shè)設(shè)Xt,Yt, tT是二維是二維S.P. 對(duì)任意對(duì)任意s,tT，若若則稱則稱 EXsYt=RX,Y(s,t)為該二維為該二維S.P.的的 互互相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)字特征兩個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)字特征互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) EXsYt存在存在, cov(Xs,Yt）=E(Xs-mX(s)(Yt-mY(t)存在存在,顯然有顯然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t) 設(shè)設(shè)Xt,Yt, tT是二維是二維S.P. 對(duì)任意對(duì)任意s,tT，若若則記則記 cov(Xs,Yt)= CXY(s,t)稱稱為二維為二維S.P.的的互互協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)即

19、即 設(shè)設(shè)Xt, tT, Yt, tT是二個(gè)是二個(gè) S.P.若若 CXY(s,t)=0 或或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,tT,則稱則稱S.P Xt, tT,與與S.P Yt, tT不相關(guān)不相關(guān).利用互協(xié)方差函數(shù)可以定義兩個(gè)過程的相關(guān)利用互協(xié)方差函數(shù)可以定義兩個(gè)過程的相關(guān)設(shè)設(shè)Z=Zt, tT是復(fù)隨機(jī)過程，是復(fù)隨機(jī)過程， 對(duì)任意對(duì)任意t T,稱稱 mZ(t)=EZt 為為復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Z的均值函數(shù)的均值函數(shù) 稱稱 DZ(t)=DZt =E| Zt- mZ(t)|2 為為復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Z的方差函數(shù)的方差函數(shù)復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征 稱稱 Z(t)=E|Zt|2 為為復(fù)復(fù)隨機(jī)過程隨機(jī)過程Z的均方值函數(shù)的均方值函數(shù). 對(duì)任意的對(duì)任意的s,tT,T,稱稱 RZ(s,t)=EZsZt 為為復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Z的相關(guān)函數(shù)的相關(guān)函數(shù). 稱稱 CZ(s,t) =cov(Zs，Zt) =E(Zs-mz(s)(Zt-mz(t) 為為復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Z的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù).由以上定義可得由以上定義可得(1) mZ(t)=