【微分幾何】自由曲面的高斯曲率計(jì)算方法

1、學(xué)校自由曲面的高斯曲率計(jì)算方法專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名：班級(jí)：完成時(shí)間：2022年4月27日在曲面造型中，曲面在一點(diǎn)附近的形狀與在該點(diǎn)曲面的主曲率的乘積即高斯曲率有關(guān)，該點(diǎn)與附近點(diǎn)的高斯曲率比較可以反映出該點(diǎn)附近的形狀變化。故可以用高斯曲率來(lái)表達(dá)該點(diǎn)的形狀信息，對(duì)該點(diǎn)附近的形狀質(zhì)量進(jìn)行評(píng)判。但這一方法中如何計(jì)算曲面的高斯曲率成為一個(gè)難題。要求出自由曲面上一點(diǎn)的高斯曲率，可以根據(jù)以往的定義求解，這種方法需要求曲面的偏導(dǎo)，計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，而且算法與曲面的表示方法有關(guān)，即Bezier曲面的高斯曲率與NURBS曲面的高斯曲率是不相同的。因此針對(duì)不同的曲面表示形式，需要編制不同的程序來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)NU

2、RBS曲面的各階偏導(dǎo)是各不相同的，也需要各階編不同的程序來(lái)實(shí)現(xiàn)。本文提出一種不經(jīng)過(guò)求偏導(dǎo)的方法求曲面點(diǎn)的高斯曲率,這種方法對(duì)各種曲面的高斯曲率計(jì)算都是統(tǒng)一的，與NURBS曲面的階數(shù)無(wú)關(guān)，適用于各種表達(dá)方式的曲面。1、計(jì)算原理如圖1所示，設(shè)N表示曲面S在一點(diǎn)P上的單位法矢，切S且經(jīng)過(guò)N的平面與曲面相交成一條曲線，同樣，不經(jīng)過(guò)N但經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的平面與曲面同樣也可以相交成一條曲線。讓每一個(gè)法平面與一個(gè)方向及單位切矢t對(duì)應(yīng)，即在曲線P點(diǎn)，一個(gè)法曲面曲率k對(duì)應(yīng)一個(gè)位置。這個(gè)法曲面曲率隨著切的平面繞N的n旋轉(zhuǎn)而變化。k存在最大和最小值，即為P點(diǎn)的主曲率。令k,k代表主曲率，tt1t的夾角。LeonhardEu

3、ler得出如下關(guān)系式:1n12t代表各自對(duì)應(yīng)的切線方向。設(shè)申為任意曲率切線方向t與2k=kcos2申+ksin2申仃）n12令以主曲率對(duì)應(yīng)切線方向tt為坐標(biāo)系，則任意曲率切線方向I12對(duì)應(yīng)的法曲面曲率在該坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：cosQsinQ(|k|)i/2x=±,y=±(|k|)i/2由歐拉公式則有：(2)kx2+ky2=±112這一公式定義了曲面在P點(diǎn)的杜潘標(biāo)線。如果主曲率同號(hào)，那么法曲面曲率在任一方向同號(hào)，P點(diǎn)處曲面整體在切平面的一側(cè)，在這種情況下（1），（2）式表示一個(gè)橢圓。如果主曲率不同號(hào)，P點(diǎn)是凸出或凹陷點(diǎn)，在這種情況下（1）,（2）式表示一個(gè)雙曲線。如果以

4、上坐標(biāo)軸不是主曲率方向?qū)?yīng)的切線方向，則有如下的杜潘標(biāo)線方程：Ax2+2Cxy+By2=±1當(dāng)知道任一點(diǎn)的杜潘標(biāo)線則知道了主曲率的大小和方向。計(jì)算在某一方向的法曲率，代入（3）式，然后旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，計(jì)算杜潘標(biāo)線。2、具體算法三維空間的3點(diǎn)確定1個(gè)平面，在這一平面內(nèi)的這3點(diǎn)確定1個(gè)球，即確定該球的半徑和沿著球的切矢。設(shè)3點(diǎn)為x,x,X，則由3101點(diǎn)確定的平面內(nèi)的球的球心可由坐標(biāo)（a,b,c）表示。故其解法如下：u=X一X=(u,u,u),10123v=X一X=(v,v,v).一10123根據(jù)球的定義有(Xa)2+(xb)2+(xc)2=R2,1x1y1z<(Xa)2+(Xb)2

5、+(Xc)2=R2,1X1y1z(Xa)2+(Xb)2+(Xc)2=R2；0X0y0z整理得X2一x2au+bu+cu=14)1232X2一x2av+bv+cv=1232因球心與X1，Xo,X1在同一平面內(nèi)，x0點(diǎn)和球心的連線與矢量u,v共面,根據(jù)3矢量共面的條件有如下的公式：u1u2u3v1v2v3aX0XbX0ycX0z=05)4）和（5）式聯(lián)立可解得球心坐標(biāo)。則X點(diǎn)的曲率半徑單位矢量為0-(a-x,b-x,c-x)k=OxOy0z,(ax)2+(bx)2+(cx)20x0y0zX0點(diǎn)的單位切矢為：-(uxv)xkt=一。(uxv)xk設(shè)P為曲面上要求高斯曲率的點(diǎn)，可以與其前后左右的點(diǎn)構(gòu)成

6、4i,j條曲線，即：Q=卡,P,P、!1£i-1,j-1i,ji+i,"iq=y,p,pi£i,j-ii,ji,j+iIq=y,p,pi、i£i-i,ji,ji+i,jIQ=s,P,Pii+i,j-ii,ji-i,j+i用(4)，(5)和(6)式介紹的3點(diǎn)求曲率、曲率矢量、切矢的方法，由這4條曲線分別求出4個(gè)方向的曲率、曲率矢量和切矢。則_txtn二丄,ijtxtij最后處理得：厶n(7)-ij=i,j=iyniji,j=i這樣可以計(jì)算出曲面上P點(diǎn)的單位法矢。根據(jù)JeanMeusnier公式任意t方向的法曲率大小ik=knn,jj8)假如定義一個(gè)平面x-

7、y,其垂直于N。設(shè)矢量ft9)P=_i1<i<4i(k)1/2n,j因?yàn)镻點(diǎn)是杜潘標(biāo)線Ax2+2Cxy+By2二±1的點(diǎn)，故符合公式:iiiiiAx2+2Cxy+By2=sgn(k)(10)iiiin,j如果以P作為坐標(biāo)x軸，設(shè)y軸的單位矢量為P,P=Pxn,P點(diǎn)在平1yy1i面x-y中的坐標(biāo)為(x,y)，則所有的矢量在該坐標(biāo)系中的二維坐標(biāo)ii為:k1,jPPk2, jPPk3, jy1=0;y2y3PP2 y;k2, jPP3 y;k3, jk4,j-J,k4,j這樣3個(gè)未知量4個(gè)方程，是一個(gè)擬合問(wèn)題?？梢杂米钚《朔ㄇ蠼狻ａ槍?duì)現(xiàn)有的問(wèn)題，把目標(biāo)函數(shù)確定為:F=*Ax2+2Cxy+By2-sgn(k)(11)iiiin,ii=1求其最小值，分別對(duì)A,B和C求一階偏導(dǎo)，得線性方程組:工x4工x3y工x2y2一A-工x2sgn(k)X1iX1ii、ii乙x3y乙x2y2乙xy32B=X1in,i乙xysgn(k)iiiiii乙x2y2乙xy3乙y4iiiiiCiin,i乙y2sgn(k)in,i將已知x,y分別代入方程。解該二元一次方程即可求得A,B和C3個(gè)ii參數(shù)。由一般二次曲線的性質(zhì)可得標(biāo)準(zhǔn)方程為kx2+ky2二±1，其中，121.k=_A+B+、：'(A-B)2+4C2,1.k=A+B-y'(A-B)2+4C2,22當(dāng)A