Dandelin雙球證明定理圓錐曲線

1、平面與圓錐面的截線一、教學(xué)目標(biāo)：1 .知識(shí)與內(nèi)容：(1)通過觀察平面截圓錐面的情境，體會(huì)定理2(2)利用Dandelin雙球證明定理2中情況(1)(3)通過探究，得出橢圓的準(zhǔn)線和離心率，加深對(duì)橢圓結(jié)構(gòu)的理解2 .過程與方法：利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練，直覺用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。3 .情感態(tài)度價(jià)值觀：通過親歷發(fā)現(xiàn)的過程，提高對(duì)圖形認(rèn)識(shí)能力，重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學(xué)生辯證地觀察、分析問題。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)4 點(diǎn)：(1)定理2的證明(2)橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究難點(diǎn)：橢圓準(zhǔn)

2、線和離心率的探究三、教學(xué)過程橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種。生成橢圓的方法有許多，例如：(1)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1;(2)橢圓的定義(3)平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù)(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡(4) 一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)常數(shù)生成軌跡是橢圓；圖1如果用一平面去截一個(gè)正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他情況嗎？讓我們共同來探究平面與圓錐面的截線。A思考：如圖3-9(1)AD是等腰二角形AB(/BAD=5直線l與AD相父十點(diǎn)P為P(0<P<E)試探究：當(dāng)a與P滿(1)與AB(或AB的延長(zhǎng)線卜AC者陰(2)1與

3、AB不相交；T底邊上的高，F(xiàn)工與AD的夾角/1足什么關(guān)系?/交；pV.3J17BAJ>風(fēng)久、AC9“1口乂B利用幾何圓板實(shí)驗(yàn)探索.如圖3-9(2),可以有如下結(jié)論：(1)當(dāng)1與AB(或AB的延長(zhǎng)線卜AC都相交時(shí),設(shè)1與AB(或AB的延長(zhǎng)線)父于E,與AC父于F.因?yàn)镻是&AEP的外角，所以必然有P>«反之，當(dāng)P時(shí),1與AB(或AB的延長(zhǎng)線卜AC都相交.E(2消1與AB不相交時(shí)，則1/AB,這時(shí)有P=«/反之，當(dāng)P=a時(shí),1/AB,那么1與AB不相父.B1(3用1與BAW延長(zhǎng)線、AC都相交時(shí)，設(shè)1與BA勺延長(zhǎng)線交于G,D圖3一審1/未CD39(2)因?yàn)閍是

4、AAPG的外角，所思考：將圖3-9中的等腰三如果用,平聞去截一,哪些情況呢？<zf/以蘆;如果曰<a,那么l與BA勺延長(zhǎng)線、AC都相交角形拓廣為圓錐，直線拓廣為平向，則得到圖3-10.:正圓錐，而且這個(gè)平向/、通過圓錐的頂點(diǎn)，會(huì)出現(xiàn)如果平面與一條母線平行(相當(dāng)于圖3-9(2)中的P=)，那么(1)平面就只與正圓錐的一半相交，這時(shí)的交線是一條拋物線；如果平面不與母線平行，那么會(huì)出現(xiàn)兩種情形：(2)平面只與圓錐的一半相交，這時(shí)的交線為橢圓；(3)平面與圓錐的兩部分都相交，這時(shí)的交線叫做雙曲線.歸納提升：定理在空間中，取直線l為軸，直線1'與l相交于O點(diǎn)，其夾角為“，1'

5、圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，1'為母線的圓錐面，任取平面兀，若它與軸1交角為3(兀與1平行，記住3=0),則：(1) 3>a,平面兀與圓錐的交線為橢圓；(2) 3=a,平面兀與圓錐的交線為拋物線；(3) 3Va,平面兀與圓錐的交線為雙曲線。思考：你能仿照定理1的證明方法證明定理2的結(jié)論(1)嗎?問題：利用Dande1in雙球(這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面冗的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面冗及圓錐均相切)證明：B>a,平面冗與圓錐的交線為橢圓.討論：點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比小于1).證明1:利用橢圓第一定義，證明FA+AE=BA+AC=定值，詳見課本

6、.證明2：上面一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為顯如果平面冗與平面/的交線為m,在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A,該Dandelin球與平面冗的切點(diǎn)為F,則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是(小于1).(稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)為離心率e.)點(diǎn)評(píng)：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心率的范圍為準(zhǔn).探究：如圖3-12,(1)找出橢圓的準(zhǔn)線；(2)探討P到焦點(diǎn)冗的距離與到兩平面交線m的距離之比.ffl3-12如圖3-12，上面一個(gè)Dandelin球與圓錐的交線為圓S,記圓S,所在的平面為n、.設(shè)冗與冗、的交線為m.在橢

7、圓上任取一點(diǎn)P,連接PF1.在兀中過P作m的垂線，垂足為A.過P作江、的垂線，垂足為B,連接AB,則AB是PA在平面冗、上的射影.容易證明，m_LAB.故/PAB是平面冗與平面n'交成的二面角的平面角.在RMABP中,/APB=P,所以PB=PAcosP.(1)設(shè)過P的母線與圓S交于點(diǎn)Qi，則在RtPQB中，/QiPB,所以PB=PQicosa.(2)由(1)(2X導(dǎo)叫ucosE.因?yàn)?父久mPM土，故cosp<cos%則正=-COS-<1.PAcos：2PAcos：由上所述可知，橢圓的準(zhǔn)線為m,橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)臾吐,因此橢圓的離心率為e=皿

8、，cos：cos：即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比討論：我們延用討論橢圓結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的思路，討論一下雙曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).圖3-13如圖3-13，當(dāng)P時(shí)，平面n與圓錐的兩部分相交在圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin,與平面n的兩個(gè)切點(diǎn)分別是Fi、F2,與圓錐兩部分截得的圓分別為§、S2.在截口上任取一點(diǎn)P,連接PFi、PF2.過P和圓錐白頂點(diǎn)O作母線，分別與兩個(gè)球切于Qi、Q2,則母線PO為兩圓的公共切線。又P在平面冗內(nèi)，F(xiàn)1,F2為平面冗內(nèi)兩個(gè)切點(diǎn)，因此PF1,PF2,分別為兩圓的切線，所以PFi=PQ1，PF2=PQ2.所以|PF1PF?|=

9、|PQ1PQ2尸Q1Q2.由于Q1Q2為兩圓s、S2所在平行平面之間的母線段長(zhǎng)，因此Q1Q2的長(zhǎng)為定值.由上所述可知，雙曲線的結(jié)本特點(diǎn)是：雙曲上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)（即雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù).拓展：1.請(qǐng)證明定理2中的結(jié)論（2）2 .探究雙曲線的準(zhǔn)線和離心率3 .探索定理中（3）的證明，體會(huì)當(dāng)B無限接近a時(shí)平面冗的極限結(jié)果四、自我檢測(cè)練習(xí)1 .平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學(xué)，可得結(jié)論，要注意平面截圓柱面所得的截線的不同情況.答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2 .判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線

10、距離之比與1的關(guān)系？分析：首先通過畫圖尋找規(guī)律，然后加以證明.答案：略.五、課外研究材料材料1.閱讀，和你的同學(xué)一起探討文后的問題：運(yùn)動(dòng)的天體受向心力和離心力的作用，天體運(yùn)行的速度不同，它所獲得的合力也不同，這樣就導(dǎo)致形成不同的運(yùn)行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或大于7.9km/s(第一宇宙速度即環(huán)繞速度)時(shí)，它就在空中沿圓或橢圓軌道運(yùn)行；當(dāng)發(fā)射的速度等于或大于11.2km/s(第二宇宙速度即脫離速度)時(shí)，物體可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星或飛到其它行星上去；當(dāng)速度等于或大于16.7km/s(第三宇宙速度即逃逸速度)時(shí)，物體將掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的宇宙空間去。例

11、如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。(1)從天體運(yùn)行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使大體運(yùn)行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？(2)邀請(qǐng)你們的物理老師、地理老師，請(qǐng)他們上一節(jié)天體運(yùn)行課，更深入的理解圓錐曲線材料2.圓錐截線，是一個(gè)平面截正圓錐面而得到的曲線.設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為a,截面和圓錐的軸的夾角為e.當(dāng)截面不過頂點(diǎn)時(shí)，(1)當(dāng)e=a時(shí)，即截面和一條母線平行時(shí)，交線是拋物線；(2)當(dāng)0日工時(shí)，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時(shí),2交線是橢圓.特別地，當(dāng)日=土，即截面和圓錐面的軸垂直時(shí)，交線是圓.2(3)當(dāng)00日a時(shí)，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時(shí)，交線是雙曲線.當(dāng)截面過頂點(diǎn)時(shí)，（1）當(dāng)e=a時(shí)，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線.（2）當(dāng)工時(shí)，截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線退化為一個(gè)點(diǎn).2（3）當(dāng)0&e<a時(shí)，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線.前一類情況中，拋物線、橢圓（包含圓）和雙曲線