(完整版)證明圓的切線經(jīng)典例題

1、1證明圓的切線方法及例題證明圓的切線常用的方法有:一、若直線一、若直線 l l 過過 OOOO 上某一點上某一點 A,A,證明證明 1 1是是 OOOO 的切線，只需連的切線，只需連 OA,OA,證明證明 OAOA 丄丄 l l 就行就行了，簡稱了，簡稱“連半徑，證垂直連半徑，證垂直”難點在于如何難點在于如何證明兩線垂直證明兩線垂直. .例例 1 1 如圖，在厶ABC中，AB=AC,以AB為直徑的 0O交BC于D,交AC于E,B為切點的切線交OD延長線于F.求證：EF與 0O相切.證明：證明：連結(jié)OE,AD.VAB是 0O的直徑，.AD丄BC.又 VAB=BC,Z3=Z4.?.BD=DE,Z1

2、=Z2.又VOB=OE,OF=OF,.BOFAEOF(SAS).ZOBF=ZOEF.VBF與 00相切，.OB丄BF.ZOEF=900.EF與 0O相切.c2說明：說明：此題是通過證明三角形全等證明垂直的3例例 2 如圖，AD是 ZBAC的平分線，求證：PA與 0O相切.證明一：證明一：作直徑AE,連結(jié)EC.TAD是 ZBAC的平分線，ZDAB=ZDAC.PA=PD,Z2=Z1+ZDAC.TZ2=ZB+ZDAB,Z1=ZB.又 TZB=ZE,.Z1=ZETAE是 0O的直徑，.AC丄EC,ZE+ZEAC=9Oo.Z1+ZEAC=9Oo.即OA丄PA.PA與 00相切.證明二：證明二：延長AD交

3、 00于E,連結(jié)0A,TAD是 ZBAC的平分線，.BE=CE,.0E丄BC.ZE+ZBDE=9Oo.TOA=OE,ZE=Z1.TPA=PD,ZPAD=ZPDA.又 TZPDA=ZBDE,P為BC延長線上一點，且PA=PD.OE.4.Zl+ZPAD=90)即OA丄PA.PA與 0O相切說明：說明：此題是通過證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識的綜合運用.例例 3 如圖，AB=AC，AB是 0O的直徑，00交BC于D,DM丄AC于M求證：DM與 00相切.證明一：證明一：連結(jié)0D.VAB=AC，ZB=ZC.5=0D,AZ1=ZB.AZ1=ZC.ODAC.DM丄AC,.DM丄OD.DM與 0

4、0相切證明二：證明二：連結(jié)OD,AD.AB是 00的直徑,.AD丄BC.又.AB=AC,Z1=Z2.DM丄AC,?.Z2+Z4=9OoOA=OD,Z1=Z3.?.Z3+Z4=9Oo.5即0D丄DM.:.DM.DM是 00的切線說明：說明：證明一是通過證平行來證明垂直的.證明二是通過證兩角互余證明垂直的，解題中注意充分利用已知及圖上已知.例例 4 4 如圖，已知：AB是 00的直徑，點C在 00上，且 ZCAB=3Oo,BD=OB,D在AB的延長線上.求證：DC是 00的切線證明：證明：連結(jié)OC、BC.VOA=OC，.ZA=Zl=Z3Oo.AZBOC=ZA+Z1=600.又.OC=OB,.OBC

5、是等邊三角形.OB=BC.5=BD,OB=BC=BD.0C丄CD.DC是 00的切線.說明：說明：此題是根據(jù)圓周角定理的推論3證明垂直的，此題解法頗多，但這種方法較好.例例 5 5 如圖，AB是 00的直徑，CD丄AB,且0A2=0D0P.求證：PC是 00的切線.證明：證明：連結(jié)0C6.0A2=0D0P,0A=0C,0C2=0D0P,7OCOPODOC又 VZ1=Z1,OCPsODC.ZOCP=ZODC.VCD丄AB,ZOCP=90o.PC是 0O的切線.說明：說明：此題是通過證三角形相似證明垂直的例例 6 6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長線上一點，AG交BD于E,交CD于F.求證：

6、CE與厶CFG的外接圓相切.分析：分析：此題圖上沒有畫出CFG的外接圓，但CFG是直角三角形，圓心在斜邊O是RtCFG的外心.VOC=OG,Z3=ZG,VADBC,ZG=Z4.VAD=CD,DE=DE,ZADE=ZCDE=45o,ADECDE(SAS)FG的中點，為此我們?nèi)G的中點O,證明：證明：取FG中點O,連結(jié)OC.VABCD是正方形,BC丄CD,ACFG是RtAVO是FG的中點,8.Z4=Z1,Z1=Z3.VZ2+Z3=90o,Z1+Z2=9Oo.即CE丄OC.CE與厶 CFGCFG的外接圓相切二二、若直線若直線 1 1 與與。O O 沒有已知的公共點沒有已知的公共點，又要證明又要證明

7、 l l 是是 OOOO 的切線的切線，只只需作需作 OAOA 丄丄 1,1,A A 為垂足，證明為垂足，證明 OAOA 是。是。O O 的半徑就行了，簡稱：的半徑就行了，簡稱：“作垂直；證半徑作垂直；證半徑”例例 7 7 如圖，AB=AC,D為BC中點，0D與AB切于E點.求證：AC與 0D相切.證明一：證明一：連結(jié)DE,作DF丄AC,F是垂足.VAB是 0D的切線，.DE丄AB.DF丄AC,AZDEB=ZDFC=9Oo.VAB=AC,ZB=ZC.又 VBD=CD,.BDE9ACDF(AAS)DF=DE.F在 0D上.AC是 0D的切線證明二：證明二：連結(jié)DE,AD,作DF丄AC,F是垂足.

8、TAB與 0D相切，9.DE丄AB.TAB=AC,BD=CD,/.Z1=Z2.10TDE丄AB,DF丄AC,DE=DF.F在 0D上.AC與 0D相切.說明說明：證明一是通過證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF=DE的，這類習題多數(shù)與角平分線有關(guān).例例 8 8 已知：如圖，AC,BD與 0O切于A、B,且ACBD，若 ZCOD=90o.求證：CD是 0O的切線.證明一：證明一：連結(jié)OA,OB，作OE丄CD，E為垂足.VAC，BD與 0O相切，.AC丄OA,BD丄0B.VACBD,Zl+Z2+Z3+Z4=18Oo.VZCOD=90o,AZ2+Z3=9Oo,Z1+Z4

9、=9Oo.VZ4+Z5=9Oo.AZ1=Z5.RtAAOCsRtABDO.AC_OCOOD.VOA=OB,.AC_OCOOD.又*/ZCAO=ZCOD=9Oo,.AOCsODC,AZ1=Z2.又 VOA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E點在00上.CD是 00的切線.ZC0D=900,CF=CD,Z1=Z2.又 V0A丄AC,0E丄CD,OE=OA.E點在 00上.CD是 00的切線.證明三：證明三：連結(jié)A0并延長，作0E丄CD于E,取CD中點F,連結(jié)OF.VAC與 00相切，AC丄A0.VACBD,.A0丄BD.VBD與 00相切于B,A0的延長線必經(jīng)過點B.AB是 00的直徑.VACBD,0A=0B,CF=DF,證明二：證明二：連結(jié)0A0A,0B,作0E丄CD于E,延長D0交CA延長線于F.Rn12.OFAC,Z1=ZCOF.ZCOD=900,CF=DF,.OF=1CD=CF2Z2=ZCOF.AZ1=Z2.VOA