(完整版)切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

1、1切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.1. 切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。（PA 長(zhǎng)）2.2. 切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，

2、切線的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角直線 AB 切 00 于 P,PC、PD 為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4.4. 弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。5.5. 弄清和圓有關(guān)的角：弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7.與圓有關(guān)的比例線段與圓有關(guān)的比例線段已知結(jié)論00 中，AB、CD 為弦，交 PAPB=PCPD.于 P.定理圖形證法連結(jié) AC、BD，證：APCsDPB.相交弦定相交弦定理的推論理的推論廠、00 中，AB 為直徑，CD 丄 ABPC2=PAPB.于 P.0（特殊情

3、（特殊情L(zhǎng)丿用相交弦定理.3.3.弦切角弦切角：頂點(diǎn)在圓上頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角另一邊和圓相切的角。相交弦定相交弦定理理B2OO 中， 割線 PB 交 OO 于 PCPD=r2延長(zhǎng) PO 交 OO 于 M,延 A,CD 為弦 OP2長(zhǎng) OP交 OO 于 N,用相交PAPB=OP2r2弦定理證；過(guò) P 作切線用r 為 OO 的半徑切割線定理勾股定理證8.圓冪定理圓冪定理：過(guò)一定點(diǎn) P 向 OO 作任一直線，交 OO 于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn) P 到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù) 1FR（R 為圓半徑），因?yàn)镺P2-R2叫做點(diǎn)對(duì)于 OO 的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓幕定理。解

4、解：由切線長(zhǎng)定理知：AF=AB=1,EF=CE 設(shè) CE 為 x,在 RtAADE 中，由勾股定理(1+工二(1-x)3+1x=lDE=-=-AE=+-=-4444 4 ,:.DExAE=-.-=3：544PT2=PAPB連結(jié) TA、TB,證：PTBspAT圓冪定理圓冪定理切割線定切割線定理理OO 中，PT 切 00 于 T,割線 PB 交 O0 于 APB、PD 為 OO 的兩條割線，PAPB=PCPD 交 O0 于 A、Cn【典型例【典型例3AEBE=CEDE.AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,DB=CD-CE=1-CEn n 二綱了二綱了- -作）作）,即-7+12=0.*.CE

5、=3cm 或 CE=4cm。故應(yīng)填 3 或 4。點(diǎn)撥點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理,例例 3.3.已知 PA 是圓的切線，PCB 是圓的割線，則解解: :VZP=ZPZPAC=ZB，.PACSPBA,AB_PB忑,AB2_PB2AGPBPC-PC ,HnABAC2=PB.FC即，故應(yīng)填 PC。點(diǎn)撥點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。結(jié)果要注意兩種情況的取舍。又 TPA 是圓的切線,PA1mFCPCB 是圓的割線，由切割線定理，得ABPBFE4.PB=4PA又.PC=12cmpr*a-PA*PR由切割線定理，得.12a=FA*4PA 尸才二充尸才二充,.PA=& &am

6、p;（亡痰）（亡痰）.PB=4X6=24(cm).AB=246=18(cm)設(shè)圓心 O 到 AB 距離為 dcm,由勾股定理，得衛(wèi)=J1Q2_陽(yáng)=廁屈故應(yīng)填后。證明：證明：（1）連結(jié) BEBdQO的切線=ZA=乙乙CBEOA=OEA=OEAZOEA=ZDEC5證明：證明：連結(jié) BD,VAE 切 00 于 A,.ZEAD=ZABDVAE 丄 AB，又 ABCD,.AE 丄 CDVAB 為 00 的直徑.ZADB=90.ZE=ZADB=90.ADEs&AD.ADA=AB*DE.CDABAD=BC,UDE6點(diǎn)悟：點(diǎn)悟：由結(jié)論 ADBC=CDAB 得藥云，顯然要證PADSPBA和厶 PCDPB

7、C 證明：證明：VPA 切00 于 A,.ZPAD=ZPBA又 ZAPD=ZBPA,.PADSPBA出_一上同理可證PCDSPBC口竺TPA、PC 分別切 00 于 A、CPA=PC土_匸：.ADBC=DCAB點(diǎn)悟：點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證 0E 是厶 ABC 的中位線。而 0A=0B，只須證 AE=CE。證明：證明：連結(jié)0D。VAC 丄 AB,AB 為直徑 AC 為 00 的切線，又 DE 切 00 于 D EA=ED,0D 丄 DEV0B=0D,AZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90ZBVZ0DE=90. .乙乙 SDUSDU 二亦二亦-厶DDE ZC=ZEDC ED=EC A

8、E=EC7 0E 是厶 ABC 的中位線 BC=20E8o例 9如圖 8,在正方形 ABCD 中，AB=1,月口月口是以點(diǎn) B 為圓心，AB 長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn) E 是邊 AD 上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) E 與點(diǎn) A、D 不重合），過(guò) E 作川 D 所在圓的切線，交邊 DC 于點(diǎn) F,G 為切點(diǎn)。當(dāng) ZDEF=45。時(shí)，求證點(diǎn) G 為線段 EF 的中點(diǎn)；解：解：由 ZDEF=45，得.ZDFE=ZDEF.DE=DF又 VAD=DC.AE=FC因?yàn)?AB 是圓 B 的半徑，AD 丄 AB,所以 AD 切圓 B 于點(diǎn) A；同理，CD 切圓 B 于點(diǎn) C。又因?yàn)?EF切圓 B 于點(diǎn) G,所以 AE=E

9、G，F(xiàn)C=FG。因此 EG=FG，即點(diǎn) G 為線段 EF 的中點(diǎn)?！灸M試題】【模擬試題】（答題時(shí)間：40 分鐘）-、選擇題1.已知：PA、PB 切 00 于點(diǎn) A、B,連結(jié) AB,若 AB=8，弦 AB 的弦心距 3,則 PA=（）2025D.82.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形 B.矩形C.5圖94.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng) 8cm 且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為 1：4,則另一弦長(zhǎng)為（）二、填空題7.AB、CD 是 00 切線，ABCD,EF 是 00 的切線，它和 AB、CD 分別交于 E、F,則 ZEOF=。&已知：00 和不在 00 上的一點(diǎn) P,過(guò) P 的直線交

10、00 于 A、B 兩點(diǎn)，若 PAPB=24,0P=5,則 00 的半徑長(zhǎng)為。9._ 若 PA 為 00 的切線，A 為切點(diǎn)，PBC 割線交 00 于 B、C,若 BC=20,刊=1餡，則 PC 的長(zhǎng)為。10.正厶 ABC 內(nèi)接于 00,M、N 分別為 AB、AC 中點(diǎn)，延長(zhǎng) MN 交 00 于點(diǎn) D,連結(jié) BD 交 AC 于 P,PC_則山。三、解答題B.10cm5. 在ABC 中，D 是 BC 邊上的點(diǎn)，聊，BD=3cm,DC=4cm，如果 E 是 AD 的延長(zhǎng)線與ABC 的外接圓的交點(diǎn)，那么 DE 長(zhǎng)等于（）叨B32cmCcmD6. PT 切 00 于 T,CT 為直徑， D 為 0C點(diǎn)，

11、 直線 PD 交 00 于 B 和 A,B 在線段 PD 上， 若 CDBD=4，則 PB 等于（A.8cmC.12cmD.16cm=2,AD=3,A.20B. 10C.5D.10AE0 圖AB0NC圖12.如圖 3,已知 P 為 00 的直徑 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC 切 00 于 C,CD 丄 AB 于 D,求證：CB 平分ZDCPo13.如圖BM=MN=NC,已知 AD 為 00 的直徑，AB 是 00 的切線，過(guò) B 的割線 BMN 交 AD 的延長(zhǎng)線于 C,且若AB=，求 00 的半徑。11【試題答案】-、選擇題1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空題、解答題:11.由切線長(zhǎng)定理得厶 BDE 周長(zhǎng)為 4,由厶 BDEsBAC，得 DE=lcm12.證明：連結(jié) AC,則 AC 丄 CBTCD 丄 AB,AACBsACDB,ZA=ZlPC 為