相似矩陣及二次型

1、第五章 相似矩陣及二次型 習(xí)題課術(shù)洪亮本章中我們主要介紹了方陣的特征値與特征向量;相似矩陣,尤其是對稱矩陣的相似矩陣;化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法,特別是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.并且給出了一種求正交向量組的方法,施密特(Schimidt)正交化方法.231,0Txxxxx 123即為方程的解，其中 =.,111321321兩兩正交，使，求一組非零向量已知2311213,00TT 與正交，；解解12101,0 11TT亦即方程顯然，方程組的基礎(chǔ)解系為1230 xxx21212312T，把基礎(chǔ)解系正交化：.211211012111010132即為所求，于是，.010201010的其他特征值再求的特

2、征值，求是矩陣設(shè)AaaA. 220)2(10) 1(200.3212的其他特征值為所以，故又因?yàn)?，從而而，的特征值，所以是由于解AEAaaAAA.122212221特征向量的全部特征值和對應(yīng)的求設(shè)AA125215225122212221)(.1EAfA的特征值）求解：（121211221)5(2) 1)(5(100010221)5(15321，的特征值為所以，A.A)2(向量的特征值所對應(yīng)的特征求224242422422242224551EA時(shí)，當(dāng)111050001102113303302111121212111PxEA的基礎(chǔ)解系為）（故RkPk1111,5A的全部特征向量為對應(yīng)于特征值矩陣所

3、以時(shí)，當(dāng)132000000111222222222EA101,011032PPxAE的基礎(chǔ)解系為）（所以RkkPkPk32332232,1A全部特征向量為的對應(yīng)于特征值故，矩陣.1264211,)5(5)5(,1.2323232233，的特征值為從而，的特征值為由于從而時(shí)，有）因?yàn)楫?dāng)（解BAxxxxAABxxxAxxAxAx3231125,125.ABAABBAE設(shè) 階矩陣 的特征值為 ，且試求：（ ）矩陣 的特征值及其相似對角矩陣， 并說明理由；（ ）行列式及.72228855)(5. 22) 1(1.288)12)(6)(4(1264)2(2223EAEAAAABABB故而又因?yàn)樗?，的?/p>

4、征值為因?yàn)樵O(shè)矩陣A與 B相似，其中20022 ,311Ax10002000By（1）求 x 和 y 的值；（2）求可逆陣P，使 .1P APB解解 (1)因?yàn)橐驗(yàn)锳B,故其特征多項(xiàng)故其特征多項(xiàng)式相同式相同,即即AEBE(1)(2)()Y2(2)(1)(2)XX令=0,得2(x-2）=2y,即y=x-2.令=-1,得x=0,從而y=-2.(2) 由(1)知200100202 ,020311002AB由于A B,從而A的特征值為123=-1,=2,=-2.對應(yīng)于1=-1的特征向量為1021;TP 對應(yīng)于22的特征向量為2011;TP 對應(yīng)于的特征向量為32 3101TP 則有可逆矩陣001210111P1P APB使得.2)(2HxxExxETTTTT是對稱矩陣所以，H.21, 1,2是正交矩陣）（是對稱矩陣；）（維列向量，試證：為其中設(shè)HHnxxxxxEHTT1(2)TT THExx證明：（）TTTTTTT