同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-第四版2-7節(jié)函數(shù)的微分ppt課件

1、一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出實(shí)例實(shí)例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線(xiàn)線(xiàn)性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時(shí)時(shí)可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無(wú)無(wú)窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時(shí)時(shí)為為處的改變量處的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)3030)(xxxy .)()(3332020 x

2、xxxx )1()2(,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值問(wèn)題問(wèn)題: :這個(gè)線(xiàn)性函數(shù)這個(gè)線(xiàn)性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?二、微分的定義二、微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)

3、為函數(shù)并且稱(chēng)并且稱(chēng)可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的的線(xiàn)線(xiàn)性性主主部部叫叫做做函函數(shù)數(shù)增增量量微微分分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )由定義知由定義知: :;)1(的線(xiàn)性函數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)是自變量的改變量是自變量的改變量xdy ;)()2(高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有關(guān)有關(guān)和和但與但與無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與xxfxA ).(,)5(線(xiàn)性主

4、部線(xiàn)性主部很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx 三、可微的條件三、可微的條件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)可微的充要條件是函可微的充要條件是函在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理證證(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00則則.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)即函數(shù)即函數(shù)(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 從從而而,)(0 xfxy即即,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(0

5、0Axfxxf 且且可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)).(.0 xfA 可可微微可可導(dǎo)導(dǎo).)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作微微分分稱(chēng)稱(chēng)為為函函數(shù)數(shù)的的的的微微分分在在任任意意點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)例例1 1解解.02. 0, 23時(shí)的微分時(shí)的微分當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù) xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即記作記作稱(chēng)為自變量的微分稱(chēng)為自變量的微分的增量的增量通常把自變量通常把自變量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之商等于之商等于與自變量的微分與自變量

6、的微分即函數(shù)的微分即函數(shù)的微分dxdy四、微分的幾何意義四、微分的幾何意義)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖).,對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量就是切線(xiàn)縱坐標(biāo)就是切線(xiàn)縱坐標(biāo)坐標(biāo)增量時(shí)坐標(biāo)增量時(shí)是曲線(xiàn)的縱是曲線(xiàn)的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線(xiàn)線(xiàn)段段切切線(xiàn)線(xiàn)段段的的附附近近在在點(diǎn)點(diǎn)很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxx

7、dxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexx

8、ey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時(shí)時(shí)若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論：結(jié)論：的微分形式

9、總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 例例4 4解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)

10、,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 七、小結(jié)七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類(lèi)問(wèn)題微分學(xué)所要解決的兩類(lèi)問(wèn)題:函數(shù)的變化率問(wèn)題函數(shù)的變化率問(wèn)題函數(shù)的增量問(wèn)題函數(shù)的增量問(wèn)題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究

11、微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué)叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可可微微可可導(dǎo)導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無(wú)窮小它是無(wú)窮小實(shí)際上實(shí)際上定義域是定義域是它的它的的線(xiàn)性函數(shù)的線(xiàn)性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)增增量量方方程程在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線(xiàn)線(xiàn)在在點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)而而微微處處切切線(xiàn)線(xiàn)的的斜斜率率點(diǎn)點(diǎn)在在是是曲曲線(xiàn)線(xiàn)從從幾

12、幾何何意意義義上上來(lái)來(lái)看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考題思考題 因因?yàn)闉橐灰辉瘮?shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價(jià)價(jià)的的，所所以以有有人人說(shuō)說(shuō)“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說(shuō)說(shuō)法法對(duì)對(duì)嗎嗎？思考題解答思考題解答說(shuō)法不對(duì)說(shuō)法不對(duì). 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線(xiàn)性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化出線(xiàn)性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問(wèn)題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問(wèn)題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 一、一、 填空

13、題：填空題：1 1、 已知函數(shù)已知函數(shù)2)(xxf 在點(diǎn)在點(diǎn)x處的自變量的增量為處的自變量的增量為0.20.2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的線(xiàn)性全部是，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的線(xiàn)性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自變量么自變量x的始值為的始值為_(kāi)._.2 2、 微分的幾何意義是微分的幾何意義是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函數(shù)，則當(dāng)是可微函數(shù)，則當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)， dyy 是關(guān)于是關(guān)于x 的的_無(wú)窮小無(wú)窮小. .4 4、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7、 xexY22 , ,_22dxdedYx . .8 8、 _)2(arctan2 xed， _ xde. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 求下列的函數(shù)的微分：求下列的函數(shù)的微分：1 1、 12 xxy；2 2、 2)1ln(xy ；3 3、 21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所確定的所確定的 y微分微分. .一、一、1 1、-2-2；2 2、曲線(xiàn)的切線(xiàn)