八年級數(shù)學探索勾股定理3

1、（第（第3 3課時）課時）方法種類及歷史背方法種類及歷史背景景驗證定理的具體過驗證定理的具體過程程知識運用及思想方知識運用及思想方法法第一種類型：以趙爽的第一種類型：以趙爽的“弦圖弦圖”為代表，用幾何為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系等關(guān)系; ;第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明用歐氏幾何的基本定理進行證明; ;第三種類型：以劉徽的第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，為代表，“無字證明無字證明”. .問題思考問題思考 運用了哪些數(shù)學

2、知識？運用了哪些數(shù)學知識？ 體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想方法？體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想方法？ 這種方法與其他方法比較，有什么這種方法與其他方法比較，有什么共同點和不同點？共同點和不同點？對某一驗證方法對某一驗證方法三種類型：三種類型：第一種類型：第一種類型：以趙爽的以趙爽的“弦圖弦圖”為代表，用幾何圖形的截、為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、割、拼、補，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 . .第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾

3、何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義. .第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無無字證明字證明”. . 方法一方法一: :三國時期吳國數(shù)學家趙爽在為三國時期吳國數(shù)學家趙爽在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作注作注解時，創(chuàng)制了一幅解時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖勾股圓方圖”，也稱為，

4、也稱為“弦圖弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明這是我國對勾股定理最早的證明. . 2002年世界數(shù)學家大會在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正年世界數(shù)學家大會在北京召開，這屆大會會標的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖弦圖”，標志著中國古代數(shù)學成就，標志著中國古代數(shù)學成就. 第一種類型：第一種類型：cb a2214() .2cabba22222.cabbaba222.cab由面積計算由面積計算,得得 展開展開,得得 化簡化簡,得得aabbcc方法二方法二: :美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總總統(tǒng)證法統(tǒng)證法”. . 如圖，梯形由三個

5、直角三角形組合而如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式, ,得得化簡化簡, ,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第一種類型：第一種類型：據(jù)傳是當年畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。據(jù)傳是當年畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明。 將將4個全等的直角三角形拼成邊長個全等的直角三角形拼成邊長為為(ab)的正方形的正方形ABCD，使中間留下，使中間留下邊長邊長c的一個正方形洞畫出正方形的一個正方形洞畫出正方形ABCD移動三角形至圖移動三角形至圖2所示的位置中，所示的位置中，于是留下了邊長分別為于是留下了邊長分別為a

6、與與b的兩個正方的兩個正方形洞則圖形洞則圖1和圖和圖2中的白色部分面積必中的白色部分面積必定相等，所以定相等，所以c2=a2+b2圖圖1圖圖2方法方法三三第一種類型：第一種類型：第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。如圖，過如圖，過 A 點畫一直線點畫一直線 AL 使其垂直于使其垂直于 DE， 并交并交 DE 于于 L，交，交 BC 于于 M。通過證。通過證明明BCF BDA，利用三，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)角形面積與長方形面積的關(guān)

7、系，得到正方形系，得到正方形ABFG與矩與矩形形BDLM等積，同理正方形等積，同理正方形ACKH與與 矩形矩形MLEC也等積，也等積，于是推得于是推得222ABACBC 第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運用歐氏幾何的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。的基本定理進行證明，反映了勾股定理的幾何意義。第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明

8、單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為“無無字證明字證明”。 約公元約公元 263 年，三國時代魏國的數(shù)學家年，三國時代魏國的數(shù)學家劉徽為古籍劉徽為古籍九章算術(shù)九章算術(shù)作注釋時，用作注釋時，用“出入相補法出入相補法”證明了勾股定理。證明了勾股定理。 abc第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個證明單靠移動幾塊圖

9、形而得出，被稱為“無無字證明字證明”。 做法是將一條垂直線和一條水做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成平線，將較大直角邊的正方形分成 4 4 分。之后依照圖中的顏色分。之后依照圖中的顏色, ,將兩將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。之中，便可完成定理的證明。單擊圖片打開單擊圖片打開第三種類型：第三種類型：在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明的一種拼圖證明abcABCDEFO方法三方法三: :意大利文意大利文藝復興時代的著名藝復興時代的著名畫家達畫家達芬奇對勾芬奇對勾股定理進行了研究。

10、股定理進行了研究。第三種類型：第三種類型：AaBCbDEFOABCDEF五巧板的制作ABCEDFGHIabcbcaabc這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形結(jié)這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。合的思想方法。 bc利用利用五巧板五巧板拼圖拼圖驗證驗證勾股定理勾股定理:ccbbaa(1) (1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學中數(shù)與形的第一定理。勾股定理是聯(lián)系數(shù)學中數(shù)與形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本規(guī)律勾股定理反映了自然界基本規(guī)律, ,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都應該認識它，因而勾股定理圖被建議作為與都應該認識它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人外星人”聯(lián)系的信號。聯(lián)系的信號。(3)(3)勾股定理導致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學危機。勾股定理導致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學危機。(4)(4)勾股定理公式是第一個不定方程，為不定方程的解勾股定理公式是第一個不定方程，為不定方程的解題程序樹立了一個范式。題程序樹立了一個范式。我最大的收獲；我最大的收獲；我表現(xiàn)較好的方面；我表現(xiàn)較好的方面；我學會了哪些知識；我學會了哪些知