數(shù)學(xué)人教版八年級下冊數(shù)學(xué)活動——折紙做60度,30度,15度的角

1、第十八章數(shù)學(xué)活動折紙做60°，30°，15°的角學(xué)校：廈門集美中學(xué)授課人：秦沖一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1、能折出60°，30°，15°等特殊度數(shù)的角；2、通過折紙活動，進(jìn)一步加深對軸對稱、等腰三角形、等邊三角形性質(zhì)的理解；過程與方法：探索折60°、30°、15°的角，經(jīng)歷折疊、觀察、猜想、論證、交流、反思等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度尋找解決問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生動手能力、創(chuàng)新能力、合作意識；情感與態(tài)度：在折紙活動中感受數(shù)學(xué)活動的樂趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生對幾何圖形

2、的認(rèn)知能力、演繹推理能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：讓學(xué)生學(xué)會折紙做60°，30°，15°等特殊角，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力并在動手過程中培養(yǎng)學(xué)生思考探究的習(xí)慣，養(yǎng)成合作交流意識；難點(diǎn)：讓學(xué)生通過自己的嘗試和思考折出特殊度數(shù)的角。三、學(xué)情分析學(xué)生經(jīng)過之前的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步掌握了平行四邊形相關(guān)的性質(zhì)和推理論證方法。本節(jié)內(nèi)容圍繞特殊的平行四邊形展開，通過折紙做特殊度數(shù)的角，再得到與之相應(yīng)的一系列角度。本節(jié)課既有動手操作，又有一定的趣味性，還可以鞏固學(xué)生對矩形性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)等知識的理解運(yùn)用，有效鍛煉學(xué)生的動手操作能力、觀察發(fā)現(xiàn)能力以及推理論證能力。四、教

3、學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課折紙是一門藝術(shù)形式，動物、花、船和人等都是折紙的創(chuàng)作題材，在折的過程里要用到軸對稱等數(shù)學(xué)知識。怎么樣把生活中的折紙和數(shù)學(xué)結(jié)合起來呢？今天讓我們一起探究，走進(jìn)折紙的世界。（二）提出問題，深度思考課題引入：在沒有圓規(guī)、三角尺、量角器的情況下，又需要作60°、30°、15°的角，怎么得到呢？本節(jié)課就來進(jìn)行折紙活動，探索解決這一問題的途徑。問題1利用一張矩形的紙片，怎么折出一個(gè)45°的角？（學(xué)生分組折疊，學(xué)生很快會折出來，引導(dǎo)學(xué)生分析，得出結(jié)論：對折可以平分一個(gè)角。）問題2用矩形紙片還能折出哪些度數(shù)的角？（從簡單的折紙游戲出發(fā)，提高

4、學(xué)生課堂參與度，經(jīng)過學(xué)生的互相補(bǔ)充得出22.5°、67.5°、112.5°等度數(shù)的角。由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上面的結(jié)論。此過程也讓學(xué)生感受折紙可以得到角的倍分關(guān)系。）小結(jié)：在折紙過程中，怎樣得到不同度數(shù)的角？1、通過對折平分一個(gè)角；2、通過尋找余角或補(bǔ)角；3、通過角與角的組合；4、通過三角形或者四邊形內(nèi)角和。（三）動手操作，實(shí)驗(yàn)探究問題3你能試著用矩形紙片折出30°角嗎？學(xué)生先折疊，交流、討論，再由各小組代表展示本小組折疊方法。）（1）方法引導(dǎo): 直接折30°角有難度，可以考慮間接獲得。學(xué)生答：可以先用矩形紙片折60°角，通過互余關(guān)系得到3

5、0°角。 如何折60°角？引導(dǎo)學(xué)生思考：等邊三角形中含有60°角。學(xué)生答：可以先折等邊三角形?。?）方法窺探也就是如果折一個(gè)等邊三角形，問題就解決了，怎樣得到等邊三角形呢？（3）突破重難點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以先折等腰三角形：折疊紙片，使點(diǎn)A落在矩形紙片內(nèi)部某點(diǎn)N，折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM。由折疊的軸對稱性可得AB=BN.因此ABN是等腰三角形。由得到的等腰三角形，怎樣進(jìn)一步折出等邊三角形呢?（4）解決問題（安排小組交流，利用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示。）方法如右圖所示：對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使

6、折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)，得到線段BN.問題4在右圖中，AABN是等邊三角形,（1）操作的依據(jù)是什么？MC（請學(xué)生作答：垂直平分線的性質(zhì)定理）（2）觀察所得的ZABM，ZMBN和ZNBC，這三個(gè)角有什么關(guān)系?（請學(xué)生思考并作答：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°）（四）引發(fā)猜想，理論驗(yàn)證（學(xué)生自主寫出證明過程）已知：將矩形ABCD沿EF對折，折疊AB使點(diǎn)A落在折痕EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM.同時(shí)，得到了線段BN.證明：ZABM=ZNBM=ZNBC=30°.證明：連接AN.經(jīng)折疊，AB=BN,ZABM=ZNBM,且EF垂直平分AB.MV點(diǎn)N在線段EF上，

7、AN=BN.AB=BN=AN，ABN是等邊三角形.ZABN=60°,.ZNBC=30°,ZABM=ZNBM=30°,ZABM=ZNBM=ZNBC=30思考：還能用什么樣的方法證明？DFB（問題設(shè)計(jì)的目的在于讓學(xué)生對所學(xué)知識的清晰，能對知識間的練習(xí)融會貫通，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。（五）繼續(xù)實(shí)踐，探索新知（1）你能用矩形紙片折出15°角嗎？（學(xué)生自主折疊，請同學(xué)回答折疊方法并展示。(2)60°,120°以及150°角呢？（請學(xué)生作答，其實(shí)答案就在折好圖紙中。（3）還可以得到多少度的角？（引導(dǎo)學(xué)生小組討論，得出結(jié)果）小結(jié)：發(fā)現(xiàn)通過

8、折30°角的過程，可以同時(shí)產(chǎn)生15°45°,60°,75°,105°,120°,135°,150°,165°角，這些角都是15°的倍數(shù)。（六）知識運(yùn)用，解決問題（通過補(bǔ)充練習(xí)，鍛煉學(xué)生對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用能力）O練1如圖，面積為1的正方形ABCD中，M，N分別為AD、BC的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ.那么，以PQ為邊長的正方形的面積等于多少？解：連接BP，PC.正方形ABCD面積為1，則BC=1.經(jīng)折疊，BP=BC=1，ZBPQ=ZC=90°

9、,ZPBQ=ZCBQ.點(diǎn)M，N分別為AD、BC的中點(diǎn)，.MN垂直平分BC.V點(diǎn)P在MN上，PB=PC.*.PB=PC=BP，BCP是等邊三角形.ZPBC=60°，.ZPBQ=ZCBQ=30°.在RtPBQ中，設(shè)PQ=x，則BQ=2x，則x2+1=（2x匕，得x2=1,以PQ為邊長的正方形的面積等于-.33練2：如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是邊CD上一點(diǎn)，將ADM沿直線AM對折，得到ANM.（1）當(dāng)AN平分ZMAB時(shí)，求DM的長；（2）連接BN，當(dāng)DM=1時(shí)，求ABN的面積；解：（1）經(jīng)折疊，ZDAM=ZMAN,當(dāng)AN平分ZMAB時(shí)，ZMAN=ZNAB,ZDA

10、M=ZMAN=ZNAB，又VZDAM+ZMAN+ZNAB=90°，.ZDAM=ZMAN=ZNAB=30°.在RtADM中，設(shè)DM=x，貝VAM=2x，貝Vx2+32二(2x)2x=p'3_，dm/3-(2)過點(diǎn)N作NE丄CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作NF丄AB于點(diǎn)F，連接DN，交AM于點(diǎn)O.經(jīng)折疊，AD=AN，MD=MN，故AM垂直平分DN.在R/ADM中,IADDM=2am'do,又AM"AD2+DM2.'32+12=，10DO=3.1010DN=巫5在RtAOD中,M0=7DM2DO2=V1Q在MND中，2DN.g2DME3312°EN=,°NF=3-=-,555S=-AB-NF=-x4x12=24.WN2255練3：如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把矩形紙片折疊，使點(diǎn)BI剛好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF,若CD=6，求AF.解：經(jīng)折疊，AE=AB，ZAEF=ZB=90°，ZBAF=ZEAF.VCD=6，E為CD中點(diǎn)，.ED=3，AE=AB=CD=6.在RtADE，中取AE中點(diǎn)H，連接DH.貝UDH=AH=EH=3.DH=EH=ED，.ADEH是等邊三角形，ZDHE=60ZDAH+ZADH=60。且ZDAH=ZADH，.ZDAE