帶電球體電場與電勢的分布

1、帶電球體電場與電勢的分布帶電球體電場與電勢的分布王峰南通市啟秀中學(xué)物理學(xué)科江蘇南通226006）在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中，遇到帶電體的內(nèi)、外部場強(qiáng)、電勢的分布特點(diǎn)問題時(shí)，我們一般以帶電金屬導(dǎo)體為例，指出其內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，在電勢上金屬體是一個(gè)等勢體，帶電體上的電勢處處相等；但對(duì)帶電金屬導(dǎo)體的內(nèi)、外部場強(qiáng)、電勢的大小的分布特點(diǎn)及帶電絕緣介質(zhì)球的內(nèi)、外部電場、電勢的大小分布很少有詳細(xì)說明；而在電場一章的復(fù)習(xí)中，常常會(huì)遇到此類問題，高三學(xué)生已初步學(xué)習(xí)了簡單的微積分，筆者在此處利用微積分的數(shù)學(xué)方法，來推導(dǎo)出上述問題的答案，并給出相應(yīng)的“E-r”和“申-r”的關(guān)系曲線圖，供大家參考。本文中對(duì)電場、電勢的分布

2、推導(dǎo)過程均是指在真空環(huán)境中，即相對(duì)介電常數(shù)£°二1；對(duì)電勢的推導(dǎo)均取無窮遠(yuǎn)處為電勢零參考點(diǎn)的，即U/0。1、帶電的導(dǎo)體球：因?yàn)閹щ妼?dǎo)體球處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，其所帶電荷全部分布在金屬球體的表面，所以此模型與帶電球殼模型的電場、電勢分布的情況是一致的。電場分布：1.1.1內(nèi)部（r<R）：如圖（1）所示，在均勻帶電金屬球（殼）內(nèi)的任意點(diǎn)P處，均有通過直徑相似對(duì)稱的兩個(gè)帶電球冠面S和S2，當(dāng)兩條線夾角9很小時(shí)，S和S2可以近似看作兩個(gè)帶電圓面，且S和S2兩個(gè)面的尺寸相對(duì)它們距離P點(diǎn)距離很小，這樣S和S2兩個(gè)帶電面就可以近似處理為點(diǎn)電荷，它們?cè)赑點(diǎn)各自產(chǎn)生電場強(qiáng)度E1p與E2p，計(jì)

3、算如下所示：設(shè)球體帶電總量為Q，且均勻分別在導(dǎo)體球外表面上.Eip=k融”（計(jì)9卩=41P24R2r12兀(r2sin9)24R2E2p=K曲-=KQ血2°且E1p與E2p等大反向Ep=0，即均勻帶電導(dǎo)體球（或球殼）內(nèi)部的電場強(qiáng)度處處為零。1.1.2外部（r>R）：如圖（2）所示，要計(jì)算帶電金屬球（殼）的外部P點(diǎn)的電場強(qiáng)度，可以把帶電導(dǎo)體球的表面分割成許多的單元面ds，將每個(gè)單元面上電荷在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場dE進(jìn)行疊加，求出P點(diǎn)的合場強(qiáng)Ep。由于球面上單元面ds的對(duì)稱性特點(diǎn)，可知P點(diǎn)的電場強(qiáng)度Ep的方向最終應(yīng)該沿OP連線的方向。圖上述求電場強(qiáng)度Ep的理論方法是淺顯易懂的，但數(shù)學(xué)處理

4、上比較復(fù)4"R2雜，需要采用二重積分的方法；即先要對(duì)ds和ds'所在球面上的帶電圓環(huán)進(jìn)行0T2"的環(huán)積分，對(duì)求出的環(huán)形電場再進(jìn)行沿直徑方向的0T"的積分，最終求出帶電球體在P點(diǎn)的合場強(qiáng)Ep。積分過程如下：如圖（2）所示，設(shè)OA二R，OP二r，AP二x，球表面電荷的面密度為二AEpods=Kcos0取球面極坐標(biāo)，則ds=Rd«Rsin申d屮，其中申為沿直徑方向的從0T兀積分角，屮為帶電圓環(huán)的從0T2兀的還積分。EP胡AEp2冗冗=門K00cR2sin申d申d屮x2cos0由AOAP可知：x=r2+R2-2rRcos申又Tcos0=r-Rcos申xr

5、-Rcos申y'r2+R2-2rRcos申Ep2冗冗=Kcfd屮J00R2(r-Rcos申)sin申d申3(r2+R2-2rRcos申)2(r-Rcos申)d(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2又r-RcosQ=2r2-2rRcos®r2-R2+r2+R2-2rRcos®2r2rEp=2rKoR2=IrKoR2=2rKoR2rr2-R2f-2r0rd(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2r2-R212r2rR12r2rRR1d(-cos申)+f2r10(r2+R2-2rRcos申)2R11飛.1+12(r2+R2-2rRcos申)211-(r2

6、+R2-2rRcos申)2-+12r2-R2(-12r2RIr+R+_J(r+R-(r-R)2r2R=2rKoR2r2IEq=KPr2由此可以看出，帶電金屬球體或金屬球殼在外部空間某點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E，與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度相等。E外二K當(dāng)r二R時(shí)，有E=KQ，所以帶電金屬球或帶電球殼的內(nèi)、外電R2場強(qiáng)度的分布在r二R處電場強(qiáng)度的值有突變的情況。1.1.3圖景：如圖（3）所示，是帶電金屬球或帶電球殼（導(dǎo)體或絕緣體殼均相同）的電場強(qiáng)度E的大小隨P點(diǎn)到圓心O的距離r的關(guān)系圖線。電勢分布：1.2.1內(nèi)部(r<R)：內(nèi)部某點(diǎn)P的電勢申P(guān)的大小可以由電場力做功和電勢差關(guān)系來確定w

7、ps=UAgq又TWpg=EQqq+E2Ar2q+E3Ar3q+EnArnq二Upg=EAq+E2Aq+E3A?hbEnArn又TUpgTa譏/.(pp一(Pg=EAq+E?Ar2+E3Ar?+E*Arn由電勢的物理意義可得，當(dāng)以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的電勢等于對(duì)電場強(qiáng)度從該點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的定積分。即：gRgQ/pp=JEdr=J0dr+fKdrrrRr2°°=kQrRgQQ/.pp=JKdr=KRr2r由上述答案可知，均勻帶電金屬球在穩(wěn)定時(shí)，其球外任一點(diǎn)的電勢等于把全部電荷看作集中于球心的一個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的電勢相同；在球體內(nèi)任一點(diǎn)的電勢應(yīng)與球面上的電勢相等，故均勻帶電金屬球

8、面及其內(nèi)部是一個(gè)等勢體。1.2.2外部（r>R）：由上述電勢理論同樣可得:=1Edr=fKrrdr°°=Kr當(dāng)r=R時(shí)有.=kR，所以帶電金屬球的內(nèi)、外電勢的分布是連續(xù)不間斷的。圖2、帶電的絕緣體球：這種帶電體的電荷是均勻分布在整個(gè)球體的各個(gè)部位，即電荷的體密度處處相同。電場的分布：2.1.1內(nèi)部（r<R）：如圖（5）所示，在此帶電球體內(nèi)部距離圓心r處的電場強(qiáng)度ep等于以0為圓心、r為半徑的帶電球體在此處產(chǎn)生的電場E和以O(shè)為圓心從r到R的帶電球殼在此處產(chǎn)生的電場E2的疊加；又已知帶電球殼在內(nèi)部產(chǎn)生的電場強(qiáng)度處處為零（即E2=0），所以P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度就等于以r為

9、半徑的帶電球體產(chǎn)生電場E1。rOPQ3KQ=-rR3所以，帶電絕緣體內(nèi)部的電場強(qiáng)度E的大小與P點(diǎn)距球心的半徑r成正比。2.1.2外部（r>R）：和帶電導(dǎo)體球（或球殼）一樣，仍可視為集中在球心處的點(diǎn)電荷在該處產(chǎn)生的電場。E外=K（r>R）r2當(dāng)r=R時(shí)，有電場強(qiáng)度的最大值E=KQ，所以，帶電絕緣體maxr2球的內(nèi)、外部的電場強(qiáng)度是連續(xù)分布的；在r=R處，電場強(qiáng)度最大。2.1.3圖景：如圖（6）所示，是帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電場強(qiáng)電勢的分布：2.2.1內(nèi)部（r<R）：由電勢的物理意義可得，當(dāng)以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的電勢等于對(duì)電場場強(qiáng)從該點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的積分。即：gRQgQ/申p

10、=JEdr=JKrdr+fKdrrR3RQ+(-Krr3KQKQ2申P(guān)=-r2P2R2R3rrR3Rr2P=弓r2P2R3°°)=-KQ(R2-r2)+KQR2R3R2.2.2外部（r>R）：由上述電勢理論同樣可得:ggQ.申=-KQrT申=JEdr=JKdrrrrgQ=Krr當(dāng)r二0時(shí)，即在球體的圓心處電勢最高，有申O=3KQO2R當(dāng)r二R，即在此球殼處處電勢為申R=KQR2R所以帶電絕緣體球的內(nèi)、外電勢的分布曲線是連續(xù)的223圖景：如圖（7）所示，是帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電勢申的大小隨P點(diǎn)到圓心0的距離r的關(guān)系圖線。圖本文運(yùn)用數(shù)學(xué)的積分思想對(duì)電場、電勢的分布進(jìn)行推導(dǎo)，引導(dǎo)高三復(fù)習(xí)的同學(xué)從數(shù)學(xué)角度認(rèn)識(shí)物理過程，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)和物理知識(shí)的聯(lián)系，深化了學(xué)生的物理形象思維和抽象思維。但高三學(xué)生復(fù)習(xí)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，對(duì)于積分的推導(dǎo)過程不必太關(guān)注，但對(duì)電場、電勢推導(dǎo)的結(jié)論、圖景要作為高考必備知識(shí)點(diǎn)給予特別記憶和儲(chǔ)存，以達(dá)到在高考時(shí)節(jié)省用在選擇題中時(shí)間的目的。參考書目：1、趙凱華、陳熙謀電磁學(xué)1985年6月第二版高等教育出版社2、普通