微積分研究對象

1、大學文科數學大學文科數學福建師范大學數計學院 什么是數學？什么是數學？ 數學是研究現實世界的數量關系和空間數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的一門科學（恩格斯）形式的一門科學（恩格斯） 數學的地位？數學的地位？ 數學是科學的皇后（高斯）數學是科學的皇后（高斯） 數學的分支數學的分支 算術、高等代數、歐式幾何等算術、高等代數、歐式幾何等25個分支個分支1 微積分的基礎微積分的基礎 牛頓的流數法牛頓的流數法 變量變量 - “流量流量” 變量的微小變化變量的微小變化- “瞬瞬” 認為認為“瞬瞬”是非零增量，又認為被它所是非零增量，又認為被它所乘的那些項可以算作沒有。乘的那些項可以算作沒有。332

2、2()33xoxxxooo 極限、實數、集合在微積分中的作用極限、實數、集合在微積分中的作用 柯西創(chuàng)建柯西創(chuàng)建“極限理論極限理論”+魏爾斯特拉斯魏爾斯特拉斯 無窮小無窮小=以零為極限的變量以零為極限的變量 嚴格極限理論嚴格極限理論 極限是微積分的理論基礎，極限的運算極限是微積分的理論基礎，極限的運算封閉性。例：封閉性。例：1,1，1.4， 1.41， 1.414， 實數系的建立及領域概念實數系的建立及領域概念 N Z Q R C 有理數處處稠密，但不是完全覆蓋數軸有理數處處稠密，但不是完全覆蓋數軸 不是有理數！不是有理數！ 實數具有連續(xù)性，在微積分中所指的數實數具有連續(xù)性，在微積分中所指的數均

3、值實數。均值實數。2 領域概念領域概念 以點以點 為中心，為中心， 為半徑的鄰域為半徑的鄰域0 x0(, )U x 1.2 微積分的研究對象微積分的研究對象函數函數 伽利略經過精確的實驗，測得自由伽利略經過精確的實驗，測得自由落體的運動方程：落體的運動方程： 221gts 在力學中，質量為在力學中，質量為m，速度為，速度為v的物的物體運動時所具有的能量（稱為動能）體運動時所具有的能量（稱為動能） 221mvE 在電學中，電流強度為在電學中，電流強度為I 的電流通過的電流通過電阻為電阻為R的導線時，在單位時間內所的導線時，在單位時間內所產生的熱量產生的熱量 221RIQ 在幾何中半徑為在幾何中半

4、徑為r的圓的面積的圓的面積 2rS 上述這些變量之間的關系都有一個相同的抽象形式上述這些變量之間的關系都有一個相同的抽象形式 2xky 這就是一個函數關系式。這就是一個函數關系式。 如果將這個函數關系的性質研究清楚了，那么如果將這個函數關系的性質研究清楚了，那么前面的那些實際變量之間的關系的性質也就清楚了前面的那些實際變量之間的關系的性質也就清楚了. . 數學的一個特點是它的高度抽象性，隨之也就數學的一個特點是它的高度抽象性，隨之也就具有應用的廣泛性具有應用的廣泛性. . 下面給出函數的一般定義下面給出函數的一般定義. . .),()(DxxfyyDfRf 一、函數概念一、函數概念全全體體函函

5、數數值值組組成成的的集集合合稱稱為為函函數數的的值值域域,記記為為fR或或)(Df,即即 定定義義 設設數數集集R D, ,D ，如如果果對對D中中的的每每一一個個x，按按照照某某個個對對應應法法則則f，有有唯唯一一的的數數R y與與之之對對應應， 則則稱稱f是是定定義義在在D上上的的一一個個函函數數， 記記為為)(xfy ，Dx 。其其中中D稱稱為為定定義義域域。 x稱為稱為自變量自變量，y稱為稱為因變量因變量. . 在函數的定義中， 對于每個在函數的定義中， 對于每個)( fDx ， 對應的對應的函數值函數值)(xfy 是唯一的是唯一的(因此因此,也稱為也稱為單值函數單值函數)， 注意：注

6、意：例如，例如，2xy 而而對對于于每每個個)( fRy )，以以之之作作為為函函數數值值的的自自變變量量 x 不不一一定定唯唯一一. 是定義在是定義在R上的一個函數，上的一個函數，它的值域是它的值域是 0|)( yyfR對對于于每每個個函函數數值值)( fRy ，對對應應的的自自變變量量有有兩兩個個，即即yx 和和yx . 確定函數的兩要素：確定函數的兩要素：定義域定義域、值域、值域和對應法則。和對應法則。例例1 1 判斷下列各對函數是否相同？判斷下列各對函數是否相同？ （1 1）1 , 1 tsxy （2 2）xxyxy2 , 相同相同（3 3）2 ,xyxy 不同不同 (定義域不同定義域

7、不同)（4 4）33 ,xyxy 不同不同 (對應法則不同對應法則不同)（5 5）xyxyln2 ,ln2 相同相同不同不同 (定義域不同定義域不同)(1) 根據實際問題；根據實際問題；(2) 自然定義域：使算式有意義的一切實數值自然定義域：使算式有意義的一切實數值.如何求函數的自然定義域？如何求函數的自然定義域？ ( (d) )xarcsin或或xarccos, ,1 x； (a) 分式的分母不等于零；分式的分母不等于零； (b) 偶次根號內的式子應大于或等于零；偶次根號內的式子應大于或等于零； (c) 對數的真數應大于零；對數的真數應大于零； ( (e) )若函數的表達式由多項組成若函數的

8、表達式由多項組成, ,則定義域為各項則定義域為各項定義域的交集；定義域的交集；(f )分段函數的定義域是各段定義域的并集分段函數的定義域是各段定義域的并集.定義域的確定：定義域的確定：例例2 2 求下列函數的求下列函數的( (自然自然) )定義域。定義域。 因此，函數的定義域為因此，函數的定義域為xxy 22) 1 ()23ln(1)2( xy225151arcsin)3(xxy 解解,022) 1 ( xx，22 x即定義域為即定義域為. )2, 2 ,0)23ln(023)2( xx,13/2 xx即即. ), 1 () 1,32( D225151arcsin)3(xxy ,25151)3

9、(2 xx,5564 xxx4 65 5,54 x因此，函數的定義域為因此，函數的定義域為.54）， D1）圖象法）圖象法2）表格法）表格法3）解析法）解析法(公式法公式法).)(),(),(的圖形的圖形函數函數稱為稱為點集點集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxfRD y二、函數的表示法二、函數的表示法 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的對應法則用不同的式子來表示的函數式子來表示的函數,稱為稱為分段函數分段函數.分段函數分段函數 0, 120, 1)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xyxyo1 21 ,11 ,1)(,22xxxxxf再如再如

10、這也是分段函數，其定義域為這也是分段函數，其定義域為2 , 1()1 , 1()1, 2 D yOx111221解解例例3 3，設設 21 ,410 , 12)(xxxxxf 221 ),2(4120 , 1)2( 2)2(xxxxxf. )2( xf求求.01 ,212 , 52 xxxx 1) 符號函數符號函數 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個分段函數的例子幾個分段函數的例子. .xyo1 12) 取整函數取整函數 y=x753 ,0 1 5 . 3 .4 ,1 ，1 x表示不超過表示不超過x的最大整數的最大整數. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 -1

11、-3xyo1234o有理數點有理數點無理數點無理數點1xy3) 狄利克雷函數狄利克雷函數(Dirichlet) 是是無無理理數數時時當當是是有有理理數數時時當當xxxDy01)(函數的幾種基本特性函數的幾種基本特性一、有界性一、有界性 如如果果設設區(qū)區(qū)間間,DIM Mxyoba給給定定函函數數)(xfy ,Dx . ,)(Mxf 有有使使得得對對常常數數, 0IxM 則稱函數則稱函數上上在在區(qū)區(qū)間間Ixf)(有界。有界。xyoba函數的有界性還可以細分為：函數的有界性還可以細分為： ,)(1Mxf 有有使得對使得對如果存在常數如果存在常數,1IxM 則稱函數則稱函數 f(x) 在在I上上下有界

12、下有界 .M2 M1 M1稱為稱為 f(x) 在在I上的上的下界下界。M2稱為稱為 f(x) 在在I上的上的上界上界。定理定理：函數：函數 f(x) 有界當且有界當且僅當僅當 f(x) 上有界且下有界。上有界且下有界。即即可可。取取 ,max 21MMM ,)(2Mxf 有有使使得得對對如如果果存存在在常常數數,2IxM 則稱函數則稱函數 f(x) 在在I上上上有界上有界 . 因為存在因為存在 M 1，使對任意，使對任意x ( , )，有，有|sin x| 1，所以所以 y sinx是是( , )內的有界函數。內的有界函數。y sinx 有界嗎有界嗎?xyo 2 2 11 函函數數xy1 在在

13、），（10上上是是無無界界的的， ？有有界界嗎嗎xy1 xyo在在）， 1上上是是有有界界的的。 二、單調性二、單調性 ,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數設函數,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上是單調增加的上是單調增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數則稱函數Ixf),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfIxyo.)(上上是是單單調調減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數數Ixf,2121時時當當及及上上任任意意兩兩點點如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(

14、2xfIxyo例如例如, 函數函數 y x 3 在在( , )內單調增加。內單調增加。xyo3xy 而函數而函數 y x 2 在區(qū)間在區(qū)間( , 0)內單調減少；在區(qū)間內單調減少；在區(qū)間(0, )內單調增加。內單調增加。2xy xyo三、奇偶性三、奇偶性,()(DxODxf 即即若若對對稱稱關關于于原原點點的的定定義義域域設設函函數數)()(xfxf ;)(為偶函數為偶函數則稱則稱xf有有如果對于如果對于,Dx ,)Dx 則則有有如果對于如果對于,Dx )()(xfxf .)(為奇函數為奇函數則稱則稱xf例例1 1 判斷下列函數的奇偶性：判斷下列函數的奇偶性： 4243xx xx 23 偶函數

15、偶函數非奇非偶非奇非偶xx 22 即即得得 )()(xfxf ， 偶函數偶函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數xx2121 )(xf 1212)( xxxf1212 xxxx 22）（xx 21ln )()(xfxf)1ln(2 xx)1ln(2 xx,01ln 例例2 2設設)(xf是是定定義義在在),(aa 上上的的任任意意函函數數。證證明明： ),( , )()()(aaxxfxfxg 是偶函數；而是偶函數；而),( , )()()(aaxxfxfxh 是奇函數。是奇函數。證明是容易的。證明是容易的。 由此可證：定義域關于原點對稱的函數必可表由此可證：定義域關于原點對稱的函數必可表示

16、為一個偶函數和一個奇函數之和：示為一個偶函數和一個奇函數之和：)()(21)()(21)(xfxfxfxfxf 偶函數的圖形關于偶函數的圖形關于 y 軸對稱。軸對稱。yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP具有奇偶性的函數的圖形有某種具有奇偶性的函數的圖形有某種對稱性對稱性：),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP奇函數的圖形關于原點對稱。奇函數的圖形關于原點對稱。若若)(xf是奇函數，且在是奇函數，且在0 x處有定義處有定義, ,則則0)0( f, ,即過原點即過原點. . 例例3 3判判斷斷函函數數 0 ,320 ,32)(xxxxxf 的的奇奇偶偶性性。 解解 0 ,

17、320 ,32)(xxxxxf 0 ,320 ,32xxxx, )(xf 故故 f(x) 是偶函數是偶函數. xyo2- -11四、周期性四、周期性(通常周期函數的周期是指其通常周期函數的周期是指其最小正周期最小正周期).,R)(的的定定義義域域為為設設函函數數xf使得使得如果如果,0 T)R( )()( xxfTxf.)(,)(的的周周期期稱稱為為為為周周期期函函數數則則稱稱xfTxf如如 sinx, cosx 都都是是周周期期為為 2 的的周周期期函函數數， tanx，|sinx|的的周周期期為為 . 注意注意：并非任意周期函數都有最小正周期：并非任意周期函數都有最小正周期. 是是無無理理

18、數數時時當當是是有有理理數數時時當當xxxDy01)(如狄利克雷函數如狄利克雷函數任何正有理數都是它的周期任何正有理數都是它的周期, 但并不存在最小的正有理數但并不存在最小的正有理數。 2.22.2 逆向思維的一例逆向思維的一例 反函數反函數 定義定義 設函數設函數y f (x)的定義域為的定義域為D，值域為，值域為Z。如果對。如果對于每個于每個 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f (x) y，則，則 x是一個定是一個定義在義在Z上的函數，稱為上的函數，稱為 y f (x) 的反函數，記為的反函數，記為x f 1(y)。函數函數y f (x)與函數與函數x f 1(y)是互為反函數。

19、是互為反函數。將將x與與y互換，就得所求反函數為互換，就得所求反函數為例例1 1 求求y 3x 1的反函數。的反函數。解解，由由13 xy，得得31 yx.31 xy)(xfy 直直接接函函數數xyo),(abQ 直接函數與反函數的圖形關于直線直接函數與反函數的圖形關于直線 對稱對稱.xy ),(baP)(1xfy 反函數反函數xy 例如，在例如，在( , )內，內，y x2 不是一一對應的函數不是一一對應的函數關系，所以它沒有反函數。關系，所以它沒有反函數。一個函數若有反函數，它必定是一一對應的函數關系。一個函數若有反函數，它必定是一一對應的函數關系。 在在(0, )內內y x2有反函數有反

20、函數 在在( , 0)內，內，y x2有反函數有反函數 .xy .xy x-x yxyo2xy xyoxy xy 解解例例2 2 求函數求函數)(21xxaay )(21xxaay xyO) 1( a) 1, 0,R( aax的反函數。的反函數。,02 yaaxx,0122 xxyaa,1)(22yyax ,12yyax ）（略略去去21yyax , )1(log2yyxa 所以所求反函數為所以所求反函數為. )1(log2xxya 例例3 3)R( 2 xyx與與)0( log2 xxy互為反函數?；榉春瘮怠y2log 1xyo1xy2 1.1.常數函數常數函數)( 是常數是常數CCy

21、oxy2.3 基本初等函數基本初等函數C 常函數的定義域常函數的定義域為為( , )，圖形為，圖形為平行于平行于x軸軸, 在在y軸上軸上截距為截距為C的直線。的直線。 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyo2xy 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過

22、經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyoxy 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyo3xy 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數

23、及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyo3xy 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyoxy1 冪函數的定義域隨冪函數的定義域隨a而異，而異，但不論但不論 a 為何值為何值, 它在它在(0, )內總有定義。冪函數圖形都內總有定義。冪函數圖形都經過經過 (1, 1)點。點。常見的冪函數及其圖形：常見的冪函數及其圖形： 2

24、.2.冪函數冪函數)(是常數是常數axya xyo32xy 3.3.指數函數指數函數)1, 0( aaayx 定義域為定義域為( , )，值域為值域為(0, )，都通過點都通過點(0, 1),當當a1時，函數單調增加；時，函數單調增加；當當0a1 時時, 函數單調增加；函數單調增加；當當 0a1時時, 函數單調減少。函數單調減少。對數的基本性質：對數的基本性質：, 0, 0 NM設設1, 0 aaNMMNaaaloglog)(log NMNMaaalogloglog MpMapaloglog 換底公式換底公式aNNbbalogloglog )1, 0( bb對數恒等式對數恒等式,logxaxa

25、 xaxa log5.5.三角函數三角函數正弦函數正弦函數xysin xycos 余弦函數余弦函數 y sin x與與y cos x的定義域均為的定義域均為( , )，均以，均以2 為周期。為周期。y sin x為為奇函數奇函數，y cos x為為偶函數偶函數。它們都是它們都是有界函數有界函數。xyo 2 2 1 1xyo 2 2 1 1定義域定義域: x (2n 1) /2 。周期周期: 。奇函數。奇函數。正切函數正切函數xytan 定義域定義域: x n 。周期周期: 。奇函數。奇函數。余切函數余切函數xycot xyo2 23 23 2 xyo 2 正割函數正割函數xysec xycsc

26、 余割函數余割函數)cos1(x )sin1(x 6.6.反三角函數反三角函數xyarcsin 反正弦函數反正弦函數2 xyo1 12 oxy1 12 2 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：2,2 單調增加函數；單調增加函數；奇函數奇函數.xyarccos 反余弦函數反余弦函數 xyo1 1oxy1 1 定義域：定義域： 1, 1 值域：值域：, 0 單調減少函數；單調減少函數；無奇偶性無奇偶性.xxarccos)arccos( 2 2 xyarctan 反反正正切切函函數數xy2 2 oxy定義域：定義域：),( 值域：值域：)2,2( 單調增加函數；單調增加函數； 奇函數奇函數.反余

27、切函數反余切函數xycotarc xyoxy 定義域：定義域：),( 值域：值域：), 0( 單調減少函數；單調減少函數； 無奇偶性無奇偶性.xxcotarc)cot(arc 反三角函數值的確定：反三角函數值的確定：求求 arcsin x 值的方法：值的方法： ,0 x若若,sinx 使使；則則 xarcsin)21arcsin( 21arcsin ,2, 0 內內確確定定則則在在,0 x若若.arcsin)arcsin(xx 則則利利用用例例1 1.6 )21arccos( 21arccos 例例2 23 .32 類似地有類似地有.arccos)arccos(xx 2.4 2.4 復合函數復

28、合函數例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 復合而成。復合而成。注：不是任何函數都可以復合成一個函數。注：不是任何函數都可以復合成一個函數。設設函函數數)(ufy 的的定定義義域域與與)(xgu 的的值值域域的的交交集集非非空空， 則則)(xgfy 是是)(ufy 與與)(xgu 的的復復合合函函數數。 不能復合。不能復合。2xu 和和,arcsin)( uufy 設設,22xu u 稱為中間變量。稱為中間變量。 設設2uy ,vusin ,xvlg ,則則這這三三個個函函數數的的復復合合為為 2)( ,sin)(xxgxxf ， 注意復合次序：注意復合次序： 則則

29、)(xgf 而而 )(xfg 2sin x ， x2sin 。 復合可以多次進行。復合可以多次進行。例例1 12)(sinvy .)sin(lg2x 函函數數)lg(sin2xy 可可看看成成下下列列函函數數 例例2 2,uy ,lgvu ,sinwv 2xw 的復合。的復合。 重要問題：把一個復雜的函數分解為幾個簡單重要問題：把一個復雜的函數分解為幾個簡單函數的函數的復合運算復合運算或或四則運算四則運算。xy2sin1e ： uye ， 321xxy ： ,3uy ,1 vu , 2wv xwsin 。 , wxu , tw .1 2xt 例例3 3例例4 4設設)(xf的的定定義義域域為為0, 1，問問(1)(2xf，(2)(axf (0 a)的的定定義義域域各各是是什什么么？ 例例5 5(1)解解,102 x令令,11 x得得所所以以)(2xf