典型例題極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題

1、極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題習(xí)題1設(shè) ai0, i1,2, ,m，求 lim (a1nn na21 amn)Mmax aia，,am,則有/ n (a1na21 amn)n1(an)n a,lim a a.n另一方面(a/na21 amn)n1(man)n a1 (m)7.因為lim n1 mn1(lim n m)n1,故lim n1 mna.利用兩邊夾定理，知lim (a1 nna21n ; am )n其中max a1,a2, am.例如lim (1 n3n15n 9n)n9.習(xí)題lim ( n22 n n-). nn(n 1)2(n22n)n(1 n)22(n n 1)lim nn(1n)2

2、(n2 2n)lim n2nlim n1n4 nlim nn(1 n)22(n2n 1)lim n利用兩邊夾定理知lim(1n n n 12n2 n 2習(xí)題3求lim（ n 1解 lim (nlim (1 nlim(1 n1n(n 1)n 1)ni）lim (1 nlim (1 nlim(1 n(n 1)L1lim (1 n)1習(xí)題4求 limL4xx 1 1mx(m,nN).解（變量替換法）令原式tim*tim(12t)(1 t ttmt)(1t t2習(xí)題5求lim (x解（變量替換法）1)x令t,x,t1) (1 322 3(-nfnn 11時，t1)tn 1)(11.于是,t2 , 原式

3、lim(；)tt t2 11 t 1lim (1 -)(1-)tim(1 tim(1 -)1(1 t)1te0 1 .習(xí)題6求lim(x 0x2 ex)1sin x（1 型）。為了利用重要極限，對原式變形lim (x o3 ex1,n2)sinx lim(-lim(1 x oxx ox 2 x1 x e )177x2 xx 1 x ex2 xx1 e x 1尸)sin xsin x1 lim(1 -x ox 2 x x x 1x e : x ：人 d 1 x e 2 x sinx2 xe22習(xí)題7求!im0“1 x”21x 2.解原式x2)(,1 x 1 x 2)x2(, 1 x ,1x2)1

4、 lim x 0x2(,1x 21 x2 4x . 1 x 2)2(1 x2 1)x2(、.1 x 1 x 2)(. 1x21)_2x 2)(. 1 x2 1)習(xí)題limx寸4x2 6x 5 解3x 2.由于limx4x2 6x 53x 2lim6542x x3 - x而limx.4x2 6x 53x 2limx2/65、X (42)x xx(3 2)xlimx651x1(4 * *2)x(3 2) xlimx65(42 )x x(3 -) x23limx.4x2 6x 53x 2limxlimxw不存在。習(xí)題9研究下列極限原式lim 1 sin x ,(1) lim其中l(wèi)im 1sin xx

5、于0,即lim xxsin x 0 x0,|sinx| 1.上式極限等limx 0x1x sin 一.x因為1|sin-| 1 ,xlimxx 00,所以limx x 0(3)lim x sin-.原式 limx.1 sin一 x Txlim1 0x.1 sin 一x.1 sin 一x iT x0.1.習(xí)題10計算lim (x1產(chǎn),(a0,a1).解原式lim°a(1xax)a lim(1x xa )1 axa xa limn(1x 0xax)1xxalim aae.習(xí)題11x 1 limx 1 x 1In xln xe 1 limx 1 ln xln xx 1習(xí)題12解首先原式習(xí)題

6、習(xí)題limln x 0ln x e已知lim x2x 11 limln x(x1) 0ln1x(x 1) 11limx ，bx132 x I - 1c)(x 1)而b (1bx c1 xlimx 1c)(x(1F列演算是否正確?21x sin 2 lim-0 sin x.1lim x x 0 0 sin xx15,0,c)6)求b,c的值。二 b7.,1 csin 0.有小5,14求 lim (sin &1 sin Jx ). x解原式lim 2 sin xx 1- x x 1 xcos12 lim sin x 2( . x 1cos.x)0.習(xí)題15求limxVx2- sin x2x

7、 1limx3 1_x_ 01| sin x2| 1 ,原式=0.習(xí)題16證明lim (xm)kxk(m n) e（m,n,k,b 為常數(shù)）。x m kx lim ()x x nx n lim (xi (m n)kx b x n(令,工)x n ylim (ym)kx b nlim (1 ym n)k(y n) bylim(1yn k(m一)yyn) k nm nlim(1yn) lim(1ym n)ye"m n)ek(m n)習(xí)題173lim(1 sin x)x.x 01 3sin x解原式lim (1 ( sin x) sin xx 0習(xí)題18ln x ln a水 lim連續(xù)性法

8、）原式 limlim ln1x alnx aa 1x a ax - lim ln(-)xa x a aln lim (1x axa、T7x aa1ln ea-lne a1習(xí)題19試證方程x asinx b (其中a 0,b 0)至少有一個正根，并且它不大于a b.證 設(shè)f(x) asinx b x,此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，f(x)在 0,a b上必連續(xù)。: f(0) b Q 而f (a b) asin(a b) (a b) b asin(a b) 1 0 若 f(a b) 0 , 則a b就是方程x asinx b的一個正根。若f(a b) 0,則由零點存在定理可知在(0,a b)內(nèi)至少存在一

9、點 (0,a b),使 f( ) 0.即 asin b.故方程 x asinx b 至少有一*正根，且不大于 a b.1習(xí)題 21 求 lim(cosx)1.x 0解 原式 lim0 1 (cosx1:11 ) cosx 1 1習(xí)題20設(shè)xn滿足xn 0且lim -xn- r 1.試證limxn nnxn 10.證 lim9r 1,取 0, n,使得當n N時有 nxn 12xnrxn 1J,即0旦 2xn 1亦即0r 1xnxn 1,2r 1,r1、2,r1、nN于ZE遞推信 0 xn xn 1(-) xn 2 . () Xn222lim (r一1)n nXn0,從而由兩邊夾準則有l(wèi)imxn

10、0.n 2n習(xí)題22用定義研究函數(shù)f(x) 盜 x 0的連續(xù)性。0x 0證首先，當x 0, f(x)業(yè)q是連續(xù)的。同理，當 xx 0, f(x) 0也是連續(xù)的。而在分段點x 0處lim f(x) lim 0 0 f (0), x 0x 0lim f (x) lim 1 x-10 f (0).x 0x 0 x所以 lim f (x) f (0).故 f(x) C( x 0習(xí)題23lim n135 (2n 1)1求證 n2 4 6 2n證.磊n8n1,而1.由兩邊夾定理知,11111 d 1lim n lim nlim n lim 1 -n 2n n . 2 n. n n 2 n n n 1原式成

11、立.習(xí)題 24 設(shè) F(x,y) fV,W) f y 5.任取 “ 0，記x1 F (xo,2xo),., xn 1F(xn,2xn),.試證lim xn存在，并求極限值。證F(1,y)當1)12一(y x) 29,2f(y 1) (y 1)9,f(yx)(yx)29.x1(2x0 x。)2 9 x2 92x0-一 ,x2 2x02x12x19-,., xn要.由于xn 1 J (% 旦) 2xn9°xn 3xnxn 1xn192(1婷19(1)1232xn 1 xn.故xn單調(diào)有下界，故有極限。設(shè)lim xnA,/n由Xni x2-9A At3解出A 3(舍去A 3)。2xn2A習(xí)

12、題 25 設(shè) xo 0,Xn 1 1 /n,n 1,2,，求 limxn. 1 Xnn解顯然X0 0, Xn1 12. Xn有上界2,有下界0.1 XnX1 X0 1 上 X0 1 X %，當 0 X0 心時1 X01 X021 X0 Xo 0,即 X1 X0,假設(shè) Xn Xn 1,則Xn1 Xn 4”n10.故Xn單增。lim Xn1 Xn 1 Xn 1 (1 Xn)(1 Xn 1)n存在。設(shè) lim Xn A,則由 lim Xn 1 1 lim Xn 得 a 1 A ,即nnn 1 Xn1 AA2 A 1 0, A 3 (舍去負值)。當X。3時，有為X。 22用完全類似的方法可證4單減有下

13、界0 ,同理可證-15lim Xn .n2習(xí)題26設(shè)數(shù)列Xn由下式給出X1 2, Xn 1 2 ,n 1,2，求Xnlim Xn. n解4不是單調(diào)的，但X2n1單增，并以3為上界，故有極限。設(shè)limX2n1 B.8n單減，并以2為下界，設(shè)lim x2n C.在等式 nnXn1 2工兩邊按奇偶取極限，得兩個關(guān)系B 2 -,C 2工，XnCB解出B C.由于的奇數(shù)列與偶數(shù)列的極限存在且相等，因此 4的極限存在，記lim xn A于是limxn1lim （2工）.故有A 2 ,nnnxnA解出A 1 J2,（舍去負值1 <2 ）習(xí)題27設(shè) 0, xn i &二，試證xn收斂，并求極限。

14、 xn 1證 顯然xn。，假設(shè)lim xnA,則由xn 1 xn-2令nnxn 1A 2 （舍去 2）。下面證明xn收斂于石.由于xn閩闋，遞推可得xn的（在1）2xnV2. «r2 1)n1 x172lim «12 1)n 1 0.由兩邊夾可得 nlimnxnV2。.故 lim xnJ22 .、習(xí)題28設(shè)6f (t) 0, fn 1(t)一p.試證1fn2(t)(1) t,lim fn(t)存在；(2)當 f(t) 1 時，limfn(t) 1;當 f(t) 1 時, nnlim fn(t)0；n證 n,顯然有 fn(t) 0,又 fn1(t) fn (t)fn(t)fn

15、(t)2 10.1 fn (t)t, fn(t)單減有下界。 收斂。令lim fn(t) F(t),在原式兩邊取 n極限得F(t) 2F (t) .由此可解出F(t) 0或F(t) 1.當f(t) 1時，1 F2(t)2 2f2(。一乎 一q 1.歸納假設(shè) fk(t) 1,則 f；(t) 1, 而 1f12(t)2f 2(t)fk1(t)2 fk2(t)紅& 1, n ,有 fn(t) 1. 因止匕 f(t) 1 時1f：(t)2f：(t)F(t) 1.即 lim fn(t) 1,(f(t) 1 時)。 n當f(t)1時，由M的單減性便知即當F(t)。時，即lim fn(t) n0 (

16、當 f(t) 1 時)。習(xí)題291lim(-cosx)sinxsin2xlim (-x 0 cos2xx 0 121 sin x- 2 _sin 2x1)2sinxsin2x習(xí)題30xn習(xí)題11(1 sin2 x產(chǎn)砂l(fā)im -1x 0n2 ( cosx)(1 sin22x)sin2x若%收斂，則lim2收斂，設(shè)lim nB,n 1,2,因止匕031 求 nim M變量替換求極限法1e11 e3e4.xnA故2必有界(0(xn)nn!(為求lim F(x)，有時可令x a習(xí)題32求lim1 x) x解令(11x)Bn 吊 Bn,而n!n!0,lim竽0.(1 lim x 01 x)xyim0yl

17、imm1 x0)(y),而 F(x)F (y)(為自然數(shù))因此(y 1)1lim17y 0 yc1y 1c 1y 1 1習(xí)題33求lim2x 0x2解令mix 1 y, x (y 1)m 1,且當 x0時y 0,故原式i1my (iy)yimom(y i)m i2習(xí)題 34 求 lim n2(Va n；a), a 0. n解 先求 lim x2(va x;a),令t,則上式limt 0limt 01 ata1 tt2 ln a1 tt2t2.t 1 a 17lim a 2t 0 t2lna.故原式1 lim 一 t 0In a.exp( X-lna)t1用等價無窮小替換求極限習(xí)題 35 求 l

18、im 1 n'cOsn(n ).02解記 x n； cosn，則x1 (0).lim0122(n )n 1 x ) n 1 x )lim1 0 I nI x2 nlim01 cosnnn (當u0,1 cosu1u2)22習(xí)題36設(shè)f(x)與x是等價無窮小，f(x) x,求證(1) lim f(x)x 1； lim f)-x- 1.x 0x 0 f(x) x證 f (x) x,即 f (x)1 (x 0),-f-(-x) 1(x),xx其中(x)0,當 0,即 f(x) x1(x)(當 x 0).故limf(x)xlim xx1(x)xlim xx lim 1(x)xx 0x 0x 0

19、 x 01 lim 1x 0-L- x (x)(x) (x)e01.limx 0f(x)x f(x)limx 0f) xln-f(x)xx e1 _xln3 f(x)limx 0limx 0ln elimx 0 f(x)xx Inxln x elimx 0x,f(x) x lnx_f(x) xlimx 0習(xí)題g(x)理,f(1 ln xTlim e xlim0xlnU2 e xx 0x lnlimx 0f(x)xx In f(x)ln1 f(x) xf(x)xxlimf(x)x xxx 0 f (x) x1 ln- lim , x ：01xlim xlnf±2xxln xf(x) x

20、xln lim 1x 01.1.xlnU2x 1xlim x 0 f(x) xxf(x) X76 x1.ln1In e37 設(shè) f (x) C0,n,n1 0,n,使 f( ) f(分析(n1).f(x 1)0m科g(i),n 1i 0gn i 0知1) f(f (x)有根2)為自然數(shù),0, n,使 f(令 g(x)f(x 1)是 g(i)f(i 1)M °max1g(i)，則n 1M,又 i 0g(i)f(n) f(0)0,n).1，使9(n 1ni 0gf(x) xx1.f(0) f(n).試證f( 1).即要證f(x),顯然在0,n 1f (i),i 1,.,n 1. 記0.對

21、函數(shù)g(x)應(yīng)用介值定0,即存在1 0,n 1,使習(xí)題38設(shè)f(x) Ca,b,且a c d b,證明a,b,使()f( ) f(c) f(d).證(分析：將結(jié)果變形f( ) f)咧)記 m minf(x), M maxf(x),則 m f(x) M ,x a,b x a,bx a,b于是( )m f(c) f (d) ( )M或 m f(c) f(d) m由介值定理知a,b,使 f( ) f-()f),即()f( ) f(c) f(d).習(xí)題 39 設(shè) f(x) C(,)且 ff(x) x.證，使 f().證 反證法。若不存在點 使f().即x (,)均有 f (x) x. f(x)連續(xù)，不

22、妨設(shè)恒有f (x) x.于是ff(x) f (x) x.此 與ff(x) x矛盾。故，使f().習(xí)題40設(shè)f(x) C(a,b)且f (x) 0.又a x1 x2xn b,證明至 少有一點 (a,b),使£( ) V f (%) f仇)f區(qū)).證 f(x) C(x1,xn),故f(x)在x,xn上有最大值M和最小值m,使 0 m f (xi) M ,i 1,2,., n.于是 m n/f (x1)f (x2)f (xn) M 由介 值定理，知x1,xn (a,b),使 f( ) y f (x1) f (x2).f (xn).習(xí)題41證明方程x 2x 1至少有一個小于1的正根。證設(shè) f

23、(x) x 2x 1,顯然 f(x) C0,1,但f (0)1 0, f(1) 2 110,x0 (0,1),使 f(x0) x0 2x0 1 0,即方程x2x 1至少有一個小于1的正根x0存在。習(xí)題42設(shè)f(x)limn2n 12x ax2n Xbx連續(xù),求 a, b.x 1-, x 1 xx 1x 1-2.ax bx,1a b-2n 2 2nlim n /1解 f(x)1 /1 a b2 ,1 a b, 2故 f(1 0) 1, f (1 0) a b, f ( 1 0) a b, f( 1 0)1.由于 f(x)在= 1,-1處連續(xù)，所以a b 1 a 0,b 1.a b 1習(xí)題43試證

24、方程xexx cosx至少有一個實根。2證做函數(shù)f (x) xex x cos - x.顯然2f (0)1 0, f (1) e 1 0,(0,1)，使 f() 0.即 xex x cosx 在2(0,1)內(nèi)必有實根。習(xí)題44求f(x)上的連續(xù)區(qū)間。 x x(解：先改寫為分段函數(shù)，結(jié)論為：(，0) (0,1) (1,)習(xí)題45求b為何值時，函數(shù)f(x) x20x2在0,3上處bx2,2x3處連續(xù)。只需討論分段點處的連續(xù)性：f(2 0) lim (x2 1) 3 f (2), x 2f (2 0) lim (bx 2) 2b 2 f(2),要在 x 2 處連續(xù)，必有 x 252b 2 3, b

25、.2習(xí)題 46 設(shè) a0, x10 定義xn11(3xn馬,n1,2,求 limxn4 xnn解xn 1va.5有下界va.即n N,有xn也.又2 1(3 J) -(3旦)1,即xn單減有下 xn4xn4 a界，故有極限。設(shè)lim xn A且A 4ia 0.有l(wèi)im xn - lim(3xn4有 nn4nxnA (3A 3) A a a4A3(舍去負根)(注意：先證明極限的存在是必要的。)習(xí)題47設(shè)a0,x1Va,x24a弋a(chǎn)Jax1,., xn1Jaxn,.n 1,2,.求limxn. nj(解：4單增有上界1 可解出極限A 1 I 4a )習(xí)題 48 設(shè) f(x) C0,1,且0 f(x

26、) 1,證明0,1,使 f()證 若f(0) 0,則取0.若f(1) 1,則可取 1. f(0) 0, f1,則令g(x) f(x) x,必有g(shù)(x) C0,1且g(0) g(1) 0,由零點定理知(0,1)，使 g( ) 0,即 f()習(xí)題49 (選擇題)設(shè)f(x), 3在(，)內(nèi)有定義，f(x)連續(xù)且 f (0) 0, (x)有間斷電，則(A)f(x)必有間斷點，(B) (x)2必有間斷點，(C) f (x)必有間斷點，(D) 3 必有間斷點.f(x)解選D (A)因f(x)的值域可能很小(B)反例(x)1, x 0而(x)2 1無間斷點。0,x 0(C)(x)總有定義。習(xí)題50證明方程x

27、 asin x b (a 0,b 0)至少有一個正根，且 不超過a b.證 設(shè) f(x) asin x b x, f (x) C(,), f (x) C0,a b, 而f (0) b 0, f (a b) asin(a b) b (b a) asin( a b) 1 0.如果f(a b) 0，則a b即為f(x)的零點.如果f(a b) 0,則由介值定理知(0,a b),使f() 0,即 為所求，故原命題成立.習(xí)題51若函數(shù)f(x)可以達到最大值和最小值，求證 max f(x) min f (x).證 設(shè) min f (x)f (Xo)，則 對任意 x有f (x)f(x0),或 有f (x)

28、f(x0)( min f (x).由x的任意性，可知max f(x)f(x0)min f (x).習(xí)題52設(shè)f(x) Ca,b且恒大于零，證明 ,在a,b上連續(xù). f(x)證 任取 a,b由于f(x)在Xo處連續(xù)且大于 0,1 0,使當x x0 1,時(若Xo a為左端點，則應(yīng)為0 x a 1,類似處理 Xo b)有，1，f(X) -f(Xo) 0 (*)20,對f 2；X0)，可找到 2 0,使當|x %2,時有f(x) f(X0)f2(X0)2(*)取 min i, 2，則當x x0|時，有1211|f (x0) f (x)| |f (x) f (x0)|2 f (x0)f(x)“xOf(

29、x)f(x0)1f(x0)2小(址)2故知，在x x0處連續(xù)。由x0的任意性，知,在a,b上連續(xù). f(x)f(x),1c習(xí)題53設(shè)f(x) x sinx，x 0，試討論f(x)在x 0處的連續(xù)性. ex , x 0,解 f(0) 1，而f(0 0) 1,10,0f (0 0) lim x sin .x 0 x 不存在，0當0,1時，f(x)在x 0處連續(xù)，當0,1時，x 0為f(x)的跳躍間斷點(第一類間斷點).當0,時x 0為第二間斷點。f(x)在x 0處5ex cosx, x 0習(xí)題54設(shè)函數(shù)f (x) sin2xn問當, x 0tg x連續(xù)。解f (0) 5 1 4, f (0 0)

30、4, f (0 0) limx 0當 f(0-0) f (0 0) f(0),即 2 4,sin 2x 2x 2 lim .tg x x 0 x1時，“刈在乂 0處連續(xù)。 2習(xí)題55求函數(shù)f(x)上的間斷點，并判定其類型.sin x解因當x n (n為任一整數(shù))時，sin x 0, x n是f(x)的間斷點。再細分，當n 1時，lim 上 ,不存在，故除1處的x n sin x任何整數(shù)都是f(x)的第二類間斷點。因2tcos tsinx2 1 x t 1 t2 2tt2lim lim () lim (x 1 sin x t 0 sin (t 1) t 0 sin t cos!叫(t2sin t

31、2tsin t2x2 12,hJ理 lim x 1 sin x亦即x 1是f(x)的第一類(可去)間斷點.xLAx 0習(xí)題56求函數(shù)f(x)8s萬x的間斷點并判定其類sin -, x ox 4型。解 f(x)的分段點為x 0. lim f (x) lim 必一x) 0.x 0x 0cos- x 2lim f(x) lim sin -2 sin( )-. x 0是 f(x)的第一，類 (跳x 0 x 0 x 442躍)間斷點。當x 0時，f(x) xR,在點cos- x 2x 1, 3, 5,., (2k 1),.(k 0,1,2,.)處， f(x)無意義， 故x 1, 3, 5,., (2k

32、1),.是 f(x)的間斷點。因為u -(1 x)x(1 x) 2 u 2/2u 八lim f (x)lim lim - (1)x 1x 1u 0sinucos x22是第一類(可去)間斷點。顯然x 3, 5,都是極限為 的第二類間斷點。當x 0時，f(x) sin:,在點x 2時，f(x)沒定義, x 4故x 2是f(x)的間斷點。又M2sin*,不存在,故為第二類間斷點。習(xí)題57設(shè)函數(shù)f(x) C0,),且 lim f (xx1)f(x) A,試證lim g a.x x證因為連續(xù)，所以 a,b 0,),f (x)在a,b0,)上有界。又因為 limf(x 1)xf(x) A,所以0, Ki

33、,當x K1時，恒有數(shù)n使得n x K1f(x 1)f(x) AK11,則存在自然n 1 .記lx K1l 1,且 x K1 l n,于是f(K1 l) nAf(K1xl)2 A.下面估計上式右 x邊三項的絕對值。(1)nr f (x) f(K1 l)Af(x) f (K1 l)f (K1 l n) f (K1 l)nf(K1i 1l i) f (K1 l1)Af(K1l i) f (K1 l1)1A n _n 3 3(2)因為f(x)在EM 1上有界，即 M 0,使f(x) M.故K2 3M,當x K2時，恒有f(Ki l)xMKI(3 )因為lim KA 0,故K3 0,使當x K3時恒有 x xUKA _.綜合(1),(2), (3)0,取x3K max Ki 心,則當x K時，恒有& A , lim 4 A xx x習(xí)題68若(x)和(x)為連續(xù)周期函數(shù)，當 x 時，有定義，且 l