第一章 線性空間與線性變換

1、第一章第一章線性空間和線性變換線性空間和線性變換1.1 線性空間線性空間集合集合v集合集合: 作為整體看的一堆東西元素元素 子集子集 集合相等集合相等 運(yùn)算運(yùn)算交交 并并和和 Sa21SS 122121SSSSSS且21SS 21SS ,|2121SySxyxSS數(shù)域數(shù)域v數(shù)域數(shù)域: 如果一個(gè)數(shù)集中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、如果一個(gè)數(shù)集中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商商(除數(shù)不為除數(shù)不為0)仍在該數(shù)集中仍在該數(shù)集中v常用數(shù)域有：有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域常用數(shù)域有：有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域v奇數(shù)集和偶數(shù)集不能形成數(shù)域奇數(shù)集和偶數(shù)集不能形成數(shù)域映射映射v映射：集合映射：集合S到集合到集合S的一個(gè)映射是指

2、一個(gè)法則的一個(gè)映射是指一個(gè)法則(規(guī)則規(guī)則)f: S S，對(duì)，對(duì)S中任何元素中任何元素a，都有，都有S中的元素中的元素a與之對(duì)應(yīng)，記為：與之對(duì)應(yīng)，記為： f(a)= a或或 a a。一般稱。一般稱a為為a的象，的象， a為為a的原象。的原象。v若若S = S，則稱映射為變換。，則稱映射為變換。v映射的相等：設(shè)有兩個(gè)映射映射的相等：設(shè)有兩個(gè)映射f : S S和和 g: S S，若對(duì)任，若對(duì)任何元素何元素aS都有都有 f(a)=g(a)則稱則稱f與與g相等。相等。映射的例子映射的例子v例子例子1：設(shè)集合：設(shè)集合S是數(shù)域是數(shù)域F上所有方陣的集合，則上所有方陣的集合，則 f(A)=det(A) 為為S到

3、到F的映射的映射。v例例2：設(shè)：設(shè)S為次數(shù)不超過(guò)為次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)算：算：(f(t)=f(t) 為為S到到S的變換。的變換。映射的乘積映射的乘積v映射的乘積映射的乘積(復(fù)合復(fù)合)：若：若 f : S1 S2 和和 g: S 2 S3，則，則映射的乘積映射的乘積 gf 定義為：定義為： g f(a)=g(f(a)。v在不至混淆的情況下，簡(jiǎn)記在不至混淆的情況下，簡(jiǎn)記g f為為gf v映射的乘積滿足結(jié)合律映射的乘積滿足結(jié)合律, ,即即( (fg) )h= =f( (gh) )v映射的乘積不滿足交換律映射的乘積不滿足交換律, ,一般而言一般而言fgg

4、f線性空間的定義線性空間的定義v定義：設(shè)定義：設(shè) V 是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)非空的集合，K 是一個(gè)數(shù)域，在集合是一個(gè)數(shù)域，在集合 V 中定義兩種封閉的代數(shù)運(yùn)算中定義兩種封閉的代數(shù)運(yùn)算, 一種是加法運(yùn)算，用一種是加法運(yùn)算，用 + 來(lái)表示，來(lái)表示，另一種是數(shù)乘運(yùn)算另一種是數(shù)乘運(yùn)算, 用用 來(lái)表示來(lái)表示, 并且這兩種運(yùn)算滿足下列八并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：條運(yùn)算律：（1）加法交換律：）加法交換律：+= + （2）加法結(jié)合律：）加法結(jié)合律： (+)+= +(+)（3）零元素：）零元素：在在 V 中存在一個(gè)元素中存在一個(gè)元素0，使得對(duì)于任意的，使得對(duì)于任意的V 都都有有 +0 =（4）負(fù)元素）

5、負(fù)元素: 對(duì)于對(duì)于V中的任意元素中的任意元素都存在一個(gè)元素都存在一個(gè)元素 使得使得：+= 0線性空間的定義（續(xù)）線性空間的定義（續(xù)）（5）數(shù)）數(shù)1：對(duì)：對(duì)V，有：，有： 1= （6）結(jié)合律）結(jié)合律: 對(duì)對(duì)k,lK, V 有：有：(kl) = k (l )（7）分配律）分配律: 對(duì)對(duì)k,lK, V 有：有：(k+l) = k +l （8）數(shù)因子分配律）數(shù)因子分配律: 對(duì)對(duì)kK, , V 有：有：k (+)= k +k 稱這樣的集合稱這樣的集合 V 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 K 上的線性空間。上的線性空間。v定理：零元素唯一，每個(gè)元素的負(fù)元素都是唯一的。定理：零元素唯一，每個(gè)元素的負(fù)元素都是唯一的。線性空間的

6、例子線性空間的例子例例1：全體實(shí)函數(shù)集合：全體實(shí)函數(shù)集合 RR構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間。上的線性空間。例例2：復(fù)數(shù)域：復(fù)數(shù)域 C上的全體上的全體 mn 階矩陣構(gòu)成的集合階矩陣構(gòu)成的集合Cmn 為為 C 上上的線性空間。的線性空間。例例3：實(shí)數(shù)域：實(shí)數(shù)域 R 上全體次數(shù)小于或等于上全體次數(shù)小于或等于 n 的多項(xiàng)式集合的多項(xiàng)式集合 Pn 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間。上的線性空間。例例4：全體正的實(shí)數(shù)：全體正的實(shí)數(shù) R+ 在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：對(duì)任意域上的線性空間：對(duì)任意 kR, a,bR+ kaakabba數(shù)乘運(yùn)算

7、：加法運(yùn)算： 例例5：R表示實(shí)數(shù)域表示實(shí)數(shù)域 R 上的全體無(wú)限序列組成的集上的全體無(wú)限序列組成的集合。即合。即線性空間的例子（續(xù)）線性空間的例子（續(xù)）, 3 , 2 , 1,| ,321iRaaaaRi則則 R 為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R上的一個(gè)線性空間。上的一個(gè)線性空間。123123112233123123 , , ,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka 在在R中定義加法與數(shù)乘：中定義加法與數(shù)乘：例例 6 在在 中滿足中滿足Cauchy條件的無(wú)限序列組成的條件的無(wú)限序列組成的子集合也構(gòu)成子集合也構(gòu)成 R上的線性空間。上的線性空間。Cauchy條件是：條件是： 使得對(duì)于

8、使得對(duì)于 都有都有0,0,N ,m nNmnaaR線性空間的例子（續(xù)）線性空間的例子（續(xù)）例例7 在在 中滿足中滿足Hilbert條件的無(wú)限序列組成的條件的無(wú)限序列組成的子集合構(gòu)成子集合構(gòu)成 R上的線性空間。上的線性空間。 Hilbert條件是：級(jí)數(shù)條件是：級(jí)數(shù) 收斂收斂R21nna線性空間的基本概念及其性質(zhì)線性空間的基本概念及其性質(zhì)u 基本概念：線性組合；線性表示；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；基本概念：線性組合；線性表示；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩。v基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： (1) 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；含有零向量的向量組一定線

9、性相關(guān)；(2) 整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)；(3) 如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；(4) 向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)組并不唯一；向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)組并不唯一；(5) 如果向量組（如果向量組（I）可以由向量組（）可以由向量組（II）線性表出，那么向）線性表出，那么向量組（量組（I）的秩小于等于向量組（）的秩小于等于向量組（II）的秩；）的秩；例例1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域

10、 R上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中 為一組互不相同為一組互不相同的實(shí)數(shù)。的實(shí)數(shù)。例例2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中 為一組互不相同為一組互不相同的正整數(shù)。的正整數(shù)。例例3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是線性相關(guān)的。是線性相關(guān)的。12,nxxxeee12,n 12,nxxx12,n 21,cos,cos2xx線性空間的基底與維數(shù)線性空間的基底與維數(shù)v 定義：定義：設(shè)設(shè) V 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域

11、K上的一個(gè)線性空間。如果在上的一個(gè)線性空間。如果在 V 中存在中存在 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 ，使得，使得 V 中的任意一個(gè)向量中的任意一個(gè)向量 都可以由都可以由 線性線性表出表出: 則稱則稱 為為 V 的一個(gè)基或基底；的一個(gè)基或基底； 為向量為向量 在基底在基底 下的坐標(biāo)。此時(shí)我們下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱稱 V 為一個(gè)為一個(gè) n 維線性空間，記為維線性空間，記為 dimV=n。12,n 12,n 1122nnkkk12,n 12( ,)Tnk kk12,n 例例1 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 R3 中向量組中向量組與向量組與向量組 (1,0,0),(1,1,0),(

12、1,1,1)基底的例子基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)都是線性空間都是線性空間 R3 的基底，的基底，R3是是3維線性空間。維線性空間。例例2 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的線性空間上的線性空間 中的向量組中的向量組與向量組與向量組 都是都是 的基。的基。 是是4維線性空間。維線性空間。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 2 2R2 2R基底的例子（續(xù)）基底的例子（續(xù)）例例 3 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的不超過(guò)上的不超過(guò)n次多項(xiàng)式的全體次多項(xiàng)式的全體Pn中的向中的向量組量組 與向量組與向量組都是都是 Pn 的基底，的基底，Pn的維數(shù)為的維

13、數(shù)為 n+1。 注意：注意： 通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底并通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義, 線線性空間可以分為性空間可以分為有限維線性空間有限維線性空間和和無(wú)限維線性空間無(wú)限維線性空間。目前，我們主要討論目前，我們主要討論有限維的線性空間有限維的線性空間。21, ,nx xx21,2,(2) ,(2)nxxx基底的例子（續(xù)）基底的例子（續(xù)）例例4 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組 與向量組與向量組是其兩組基，求向量是其兩組基，求向量 在這兩組基下的在這兩組基下的坐標(biāo)。坐標(biāo)。01

14、101111,11110110 1011111 1,0000101 1 1234A2 2R解：設(shè)向量解：設(shè)向量A在第一組基下的坐標(biāo)為在第一組基下的坐標(biāo)為于是可得于是可得 解得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 1234(,)Tx x x x同一向量在不同的基下坐標(biāo)不同同一向量在不同的基下坐標(biāo)不同, 那它們那它們有什么關(guān)系呢有什么關(guān)系呢? 設(shè)設(shè) （舊的舊的）與）與 （新的新的）是是 n 維線性空間維線性空間 V 的兩組基底，它們之間的關(guān)系為的兩組

15、基底，它們之間的關(guān)系為12,n 12,n 11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaaaa 將上式將上式矩陣化矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：可以得到下面的關(guān)系式：稱稱 n 階方陣階方陣111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由舊的基底到新的基底的是由舊的基底到新的基底的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣(可逆可逆)，那么上式可以寫(xiě)成，那么上式可以寫(xiě)成 1212,nnP 任取任取 ，設(shè)，設(shè) 在兩組基下的坐標(biāo)分別為在兩組基下的坐標(biāo)分別為 與與 ，那么我們有，那么我們有V12,Tnx

16、 xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy該式被稱為該式被稱為坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式。nnxxx2121,nnyyy2121,nnyyyP2121,于是有：于是有：12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1與向量組與向量組例例1 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組2 2R為其兩組基，求從基為其兩組基，求從基 到基到基 的過(guò)渡矩的過(guò)渡矩陣，并求向量陣，并求向量 在這兩組基下的坐標(biāo)。在這兩組基下的坐標(biāo)。解解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式1234A1234, 1234, 123412342110333

17、1110333,12103331211333向量向量A在第一組基下的坐標(biāo)為在第一組基下的坐標(biāo)為12347412,3333xxxx利用坐標(biāo)變換公式可以求得利用坐標(biāo)變換公式可以求得A在第二組基下的坐標(biāo)為在第二組基下的坐標(biāo)為11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx定義定義 設(shè)設(shè) V 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 F上的一個(gè)上的一個(gè) n 維線性空間，維線性空間，W為為V的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我們稱那么我們稱W為為V的一個(gè)的一個(gè)子空間子空間。例例1 對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間對(duì)于任意一

18、個(gè)有限維線性空間 V，它必有，它必有兩個(gè)兩個(gè)平凡的子空間平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間0 ,W , k lFklW以及線性空間以及線性空間V本身本身.線性空間的子空間線性空間的子空間例例2 設(shè)設(shè) ，那么線性方程組，那么線性方程組 的的全部解為全部解為 維線性空間維線性空間 的一個(gè)子空間，我們稱其的一個(gè)子空間，我們稱其為為齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組當(dāng)齊次線性方程組 有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。所含向量

19、的個(gè)數(shù)。例例3 設(shè)設(shè) 為為 維線性空間維線性空間 中的中的一組向量，那么非空子集合一組向量，那么非空子集合 m nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 構(gòu)成線性空間構(gòu)成線性空間 的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱成子空間，稱 為該子空間的生成元。為該子空間的生成元。 的維數(shù)即為向量組的維數(shù)即為向量組 的秩，的秩， 的最大無(wú)關(guān)組為基底。的最大無(wú)關(guān)組為基底。例例4 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的線性空間上的線性空間 中全體中全體上三角上三角矩陣矩陣集合，全體集合，全體下三角下三角矩陣集合，全體矩陣集合，全體對(duì)稱對(duì)稱矩陣集合

20、，全矩陣集合，全體體反對(duì)稱反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成矩陣集合分別都構(gòu)成 的子空間的子空間V12,s 12,s 12,sspan n nRn nR12,s 矩陣的值域及核空間矩陣的值域及核空間定義定義: 設(shè)設(shè)A是是mn的一個(gè)實(shí)矩陣的一個(gè)實(shí)矩陣, ai表示表示A的第的第i個(gè)列向量個(gè)列向量, 稱子空間稱子空間spana1,a2,an為矩陣為矩陣A的的值域值域(列空間列空間), 記為記為R(A)定義定義:設(shè)設(shè)A是是mn的一個(gè)實(shí)矩陣的一個(gè)實(shí)矩陣, 稱集合稱集合x(chóng)| Ax=0為為A的核空間的核空間(零空間零空間), 記為記為N(A)vdimR(A)+dimN(A)=n子空間的交與和子空間的交與和v兩個(gè)子空間

21、的交兩個(gè)子空間的交:v兩個(gè)子空間的和兩個(gè)子空間的和:v子空間交與和的性質(zhì)子空間交與和的性質(zhì)若若V1和和V2都是都是V的子空間，則的子空間，則V1V2和和V1+V2也是也是V的子空的子空間間.V1V2 = V2V1，V1+V2=V2+V1(V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+ dim(V1V2)1212:&VVVV 1212:,VVzxy x V y V 子空間的直和子空間的直和v在兩個(gè)子空間在兩個(gè)子空間V1和和V2的和空間的和空間V1+V2中中, 任一任一向量向量z可表示為可表示為xV1和和yV2例例

22、1: 在在R3中中, V1表示是由表示是由x1=(1,0,0)與與x2=(1,1,1)所生成的子空間所生成的子空間, 而而V2表示是由表示是由y1=(0,0,1)與與y2=(3,1,2)所生成的子空間所生成的子空間考察考察R3中的中的0向量向量, 它即可以表示為它即可以表示為0=0+0, 也可也可以表示為以表示為0=(2x1+x2)+(y1-y2)v一個(gè)向量的表示方法不唯一一個(gè)向量的表示方法不唯一v定義定義: 如果如果V1+V2中的任一向量只能唯一地表中的任一向量只能唯一地表示為子空間示為子空間V1的一個(gè)向量和子空間的一個(gè)向量和子空間V2的一個(gè)的一個(gè)向量的和向量的和, 則稱則稱V1+V2為為V

23、1與與V2的直和或直接的直和或直接和和, 記為記為v定理定理: 和和V1+V2為直和的充要條件為為直和的充要條件為 V1 V2=0v推論推論: 設(shè)設(shè)V1, V2是線性空間是線性空間V的子空間的子空間, 令令U= V1+V2, 則則U為為V1和和V2直和的充要條件為直和的充要條件為dimV1+dimV2=dim(U)21VV 1.2 線性變換及其矩陣線性變換及其矩陣線性變換線性變換v定義：設(shè)定義：設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域K上的線性空間，上的線性空間，T : VV 為為V上的映射，上的映射，則稱則稱T為線性空間為線性空間V上的一個(gè)變換或算子。上的一個(gè)變換或算子。v若變換滿足：對(duì)任意的若變換滿足：對(duì)任意的k

24、, lK和和,V，有，有)()()(TlTklkT則稱則稱T為線性變換或線性算子。為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質(zhì)：線性變換的基本性質(zhì)：（1）T(0) = 0；（2）T(-x) = -T(x)；（3）線性相關(guān)的向量組的象仍然是線性相關(guān)的。）線性相關(guān)的向量組的象仍然是線性相關(guān)的。線性變換的例子線性變換的例子v例例1：R2空間上的如下變換空間上的如下變換 為線性變換（該變換還是正交變換）。為線性變換（該變換還是正交變換）。v例例2：設(shè)：設(shè)Pn為次數(shù)不超過(guò)為次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)算：算：(f(t)=f(t) 為為Pn到到Pn的線性變換。的線性變換

25、。v例例3：V為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換：為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換： 為為V上的線性變換。上的線性變換。dtetffFtj)()(2121cossinsincosxxyy線性變換的值域和核線性變換的值域和核vV上的線性變換上的線性變換T的值域和核定義如下：的值域和核定義如下：R(T)= Tx |xVN(T)= x | Tx=0, xVv定理：線性空間定理：線性空間V的線性變換的線性變換T的值域和核都是的值域和核都是V的線性子的線性子空間，分別稱為空間，分別稱為T(mén)的象子空間和核子空間。的象子空間和核子空間。v定義：線性變換定義：線性變換T的象空間維數(shù)的象空間維數(shù)di

26、mR(T)稱為稱為T(mén)的秩，核空的秩，核空間維數(shù)間維數(shù)dim(N(T)稱為稱為T(mén)的虧。的虧。v可以證明，若可以證明，若V維數(shù)為維數(shù)為n，T的秩為的秩為r，則，則T的虧為的虧為n-r。例：實(shí)數(shù)域例：實(shí)數(shù)域 R上的不超過(guò)上的不超過(guò)n次多項(xiàng)式的全體次多項(xiàng)式的全體Pn中為線性空間，中為線性空間，求導(dǎo)運(yùn)算的象空間為求導(dǎo)運(yùn)算的象空間為Pn-1 ，核空間為，核空間為R。線性變換的運(yùn)算線性變換的運(yùn)算v零變換零變換T0：T0 x=0v變換的加法：定義變換的加法：定義 (T1+T2)x=T1x+T2xv負(fù)變換：定義負(fù)變換：定義 (-T)x=-(Tx)v數(shù)乘：定義數(shù)乘：定義 (kT)x=k(Tx)v定理：定理：V上所

27、有線性變換構(gòu)成的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)上所有線性變換構(gòu)成的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。v單位變換單位變換Te：Tex=xv變換的乘法：定義變換的乘法：定義 (T1T2)x=T1(T2x)v逆變換：若逆變換：若T為一一對(duì)應(yīng)，則可定義逆變換為一一對(duì)應(yīng)，則可定義逆變換S=T-1, 滿足滿足(ST)x=(TS)x=x (對(duì)任意的對(duì)任意的x), 且有且有TT-1=T-1T=Tev變換的多項(xiàng)式：變換的多項(xiàng)式：f(T)=a0Tm+a1Tm-1+am-1T+amTe線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示v以下討論均假設(shè)線性空間為以下討論均假設(shè)線性空間為K上的有限維空間，并以

28、上標(biāo)表示維數(shù)，上的有限維空間，并以上標(biāo)表示維數(shù)，如如Vn、Wm等。等。v設(shè)映射設(shè)映射T為為Vn上的線性變換，上的線性變換， 為空間的基底，則為空間的基底，則 可以用該基底線性表示，即可以用該基底線性表示，即,21n,21nTTTnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111 寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式nnnnnnnnaaaaaaaaaTTT2122221112112121,v對(duì)對(duì)Vn中的任意元素中的任意元素x，設(shè)，設(shè)x和和Tx的基底表示如下的基底表示如下nnxxxx2211 于是有：于是有：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa21212222111211

29、21,nnyyyTx2211nnTxTxTxTx2211nnxxxTTT2121, 得到：得到：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121v對(duì)對(duì)Vn上的線性變換上的線性變換T，在基底，在基底 下可以用矩陣來(lái)表示：下可以用矩陣來(lái)表示：,21nnnnnnnaaaaaaaaaAT212222111211v定理：設(shè)定理：設(shè)Vn上的變換上的變換T在基底在基底 下對(duì)應(yīng)的矩陣為下對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則，則dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A) （由（由AX=0立即得到）立即得到）v單位變換對(duì)應(yīng)單位矩陣單位變換對(duì)應(yīng)單位矩陣v零變換對(duì)應(yīng)零矩陣零變換對(duì)應(yīng)零

30、矩陣v逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣v兩個(gè)變換的乘法對(duì)應(yīng)于矩陣的乘法兩個(gè)變換的乘法對(duì)應(yīng)于矩陣的乘法v兩個(gè)變換的加法對(duì)應(yīng)于矩陣的加法兩個(gè)變換的加法對(duì)應(yīng)于矩陣的加法,21nv設(shè)設(shè)Vn上的線性變換上的線性變換T在兩組基底在兩組基底 和和 下對(duì)下對(duì)應(yīng)的矩陣分別為應(yīng)的矩陣分別為A和和B，兩個(gè)基底之間的過(guò)渡矩陣為，兩個(gè)基底之間的過(guò)渡矩陣為P，即：，即：,21n 于是于是,21nATTTnn,2121BTTTnn,2121Pnn,2121PTTTTTTnn,2121APn,21APPn121,即得即得APPB1v結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算v零矩陣零

31、矩陣(對(duì)應(yīng)零變換對(duì)應(yīng)零變換)v矩陣加法矩陣加法(對(duì)應(yīng)線性變換的加法對(duì)應(yīng)線性變換的加法)v負(fù)矩陣負(fù)矩陣(對(duì)應(yīng)負(fù)線性變換對(duì)應(yīng)負(fù)線性變換)v數(shù)乘數(shù)乘(對(duì)應(yīng)線性變換的數(shù)乘對(duì)應(yīng)線性變換的數(shù)乘)v定理：所有定理：所有nm階矩陣的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算階矩陣的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。下構(gòu)成線性空間。v單位陣單位陣(對(duì)應(yīng)單位變換對(duì)應(yīng)單位變換)v矩陣的乘法矩陣的乘法(對(duì)應(yīng)變換的乘法對(duì)應(yīng)變換的乘法)v逆矩陣逆矩陣(對(duì)應(yīng)逆變換對(duì)應(yīng)逆變換)定義定義 設(shè)設(shè)T是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間上的線性空間V的一個(gè)線性變換，如果的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域?qū)τ跀?shù)域F中的某個(gè)元素中的某個(gè)元素0，存在一個(gè)非零

32、向量，存在一個(gè)非零向量，使得，使得 那么稱那么稱0為為T(mén)的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值，而，而稱為稱為 T 屬于特征值屬于特征值0的一個(gè)的一個(gè)特征向量特征向量。 取定取定V的一組基底的一組基底 ，設(shè)，設(shè)T在這組基下的矩陣在這組基下的矩陣是是A，向量，向量在這組基下的坐標(biāo)是在這組基下的坐標(biāo)是 ，那么我，那么我們有們有線性變換的特征值與特征向量線性變換的特征值與特征向量0T,21nTnxxxX,21XAXTnn),(),(21021即得即得XAXT00求解特征值與特征向量求解特征值與特征向量v選定線性空間的一個(gè)基底，求線性變換選定線性空間的一個(gè)基底，求線性變換T在此基在此基底下對(duì)應(yīng)的矩陣底下對(duì)應(yīng)的矩陣A

33、；v求解矩陣求解矩陣A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 的所有的所有根；根；v求出矩陣求出矩陣A的每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；的每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；v以以A的特征向量為坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)的特征向量。的特征向量為坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)的特征向量。)det()(AI 例例1 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的上的3維維線性空間，線性空間，T是是V上的一上的一個(gè)線性變換，個(gè)線性變換，T在在V的一個(gè)基的一個(gè)基 下的矩陣是下的矩陣是求求T的全部特征值與特征向量。的全部特征值與特征向量。解解：求：求T的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。向量。123, 222214241A 所以所以A的

34、特征值是的特征值是 3 (二重二重)與與 -6。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 3，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：2222214241(3) (6)IA(3)0IA X210,201TT從而從而T的屬于的屬于 3 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是于是T屬于屬于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 這里這里 k1,k2不同時(shí)為不同時(shí)為0。 對(duì)于特征值對(duì)于特征值 -6，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：1122132,2 1 12212,kkk kK( 6)0IA X122T從而從而 T 的屬于的屬于 -6

35、 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是于是 T 的屬于的屬于 -6 的全部特征向量的全部特征向量這里這里 k 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 F 中任意非零數(shù)。中任意非零數(shù)。3123223,kkK特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)v特征子空間：線性變換特征子空間：線性變換T屬于特征值屬于特征值0的特征向量生成的子空的特征向量生成的子空間，記為間，記為 ，其中的非零向量為特征向量。，其中的非零向量為特征向量。v屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。vTr(AB)=Tr(BA)（方陣的對(duì)角線之和稱為矩陣的跡）。（方陣的對(duì)角線之和稱為矩陣的跡

36、）。v相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。v相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。v任意任意n階矩陣與三角矩陣相似階矩陣與三角矩陣相似0Vv定義：定義： 已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 x 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 那么我們稱那么我們稱 為為 A 的的矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式。v矩陣矩陣A是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即設(shè)是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即設(shè) ， 則則1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC)det()(AI 0)(111IcAcAcAAnnnn最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式v首項(xiàng)系數(shù)是

37、首項(xiàng)系數(shù)是1, 次數(shù)最小次數(shù)最小, 且以矩陣且以矩陣A為根的多項(xiàng)式為根的多項(xiàng)式, 稱為稱為A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式, 一般用一般用m()表示表示例例: 求矩陣求矩陣的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式 031251233A最小多項(xiàng)式的性質(zhì)最小多項(xiàng)式的性質(zhì)v定理定理: 矩陣矩陣A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式m()可整除以可整除以A為為根的任意首根的任意首1多項(xiàng)式多項(xiàng)式, 且且m()是唯一的是唯一的v定理定理: 矩陣矩陣A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式m()與其特征多項(xiàng)與其特征多項(xiàng)式式()的零點(diǎn)相同的零點(diǎn)相同v定理定理: 相似的矩陣有相同的最小多項(xiàng)式相似的矩陣有相同的最小多項(xiàng)式矩陣可對(duì)角化的判定矩陣可對(duì)角化的判定v定

38、理定理: 設(shè)設(shè)T是線性空間是線性空間Vn的線性變換的線性變換, T在某一個(gè)基下在某一個(gè)基下的矩陣的矩陣A可以為對(duì)角矩陣的充要條件是可以為對(duì)角矩陣的充要條件是T有有n個(gè)線性個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量無(wú)關(guān)的特征向量v定理定理: n階矩陣階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件為與對(duì)角矩陣相似的充要條件為A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.v推論推論: 如果如果n階矩陣有階矩陣有n個(gè)互不相同的特征值個(gè)互不相同的特征值, 那么它那么它與對(duì)角矩陣相似與對(duì)角矩陣相似例例1 判斷矩陣判斷矩陣是否可以對(duì)角化？是否可以對(duì)角化？ 解解： 先求出先求出A的特征值的特征值311201112A231121112(1)(

39、2)IA于是于是A的特征值為的特征值為1=1，2 =2 由于由于1=1是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮征向量。下面我們考慮2 =2于是于是 即特征子空間的維數(shù)為即特征子空間的維數(shù)為1，從而，從而不可以相似對(duì)角化不可以相似對(duì)角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA不變子空間不變子空間v如果如果T是線性空間是線性空間V的線性變換的線性變換, V1是是V的子空間的子空間, 并并且對(duì)于任意一個(gè)且對(duì)于任意一個(gè)xV1, 都有都有TxV1, 則稱則稱V1是是T的不的不變子空間變子空間v取導(dǎo)數(shù)的變

40、換取導(dǎo)數(shù)的變換D是是Pn的一個(gè)線性變換，則的一個(gè)線性變換，則Pn-1是是D的的不變子空間不變子空間v線性變換線性變換T的屬于的屬于0的特征子空間是的特征子空間是T的不變子空間的不變子空間v不變子空間的交與和仍為不變子空間不變子空間的交與和仍為不變子空間v線性變換線性變換T的值域的值域R(T)和核和核N(T)都是都是T的不變子空間的不變子空間矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形vn階矩陣階矩陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是可以對(duì)角化的充分必要條件是A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量征向量v任何復(fù)矩陣與一任何復(fù)矩陣與一Jordan矩陣相似矩陣相似nnnPPPPPPA212121,sJJJAPP2

41、11kkkkJ11多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式矩陣v形如形如 的矩陣稱為多項(xiàng)式矩陣，其中的矩陣稱為多項(xiàng)式矩陣，其中aij()是是的多項(xiàng)的多項(xiàng)式式v如果如果A=(aij)是數(shù)域是數(shù)域K上的上的 n階矩陣階矩陣, 則則A的特征的特征矩陣矩陣I-A就是一個(gè)特殊的多項(xiàng)式矩陣就是一個(gè)特殊的多項(xiàng)式矩陣)()()()()()()()()()(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA不變因子不變因子v對(duì)多項(xiàng)式矩陣對(duì)多項(xiàng)式矩陣A()進(jìn)行初等變換，可以化為如下的進(jìn)行初等變換，可以化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 其中其中di()是首一多項(xiàng)式，且是首一多項(xiàng)式，且di() |di+1() i=1, 2, , s-1vdi(

42、) (i=1, 2, , s)稱為稱為A()的不變因子的不變因子00)()()(21sddd初等因子與初等因子組初等因子與初等因子組v把把A()的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子di()分解分解為不可約因式的乘積，這樣的不可約因式為不可約因式的乘積，這樣的不可約因式(連連同它們的冪指數(shù)同它們的冪指數(shù))稱為稱為A()的一個(gè)初等因子的一個(gè)初等因子v初等因子的全體成為初等因子的全體成為A()的初等因子組的初等因子組求求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形v求特征矩陣求特征矩陣I-A的初等因子的初等因子v寫(xiě)出每個(gè)初等因子寫(xiě)出每個(gè)初等因子 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Jordan塊塊v寫(xiě)出以這些寫(xiě)出以這些Jord

43、an塊構(gòu)成的塊構(gòu)成的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形smsmm)( ,)( ,)(2121imi)(iimmiiii111求求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的例子標(biāo)準(zhǔn)形的例子例：求矩陣?yán)呵缶仃?的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 初等因子組為初等因子組為-2, (-1)2 A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形為201034011A201034011AI2) 1)(2(000100011001100021.3兩個(gè)特殊的線性空間兩個(gè)特殊的線性空間Euclid空間（歐氏空間）空間（歐氏空間）v線性空間內(nèi)積的定義線性空間內(nèi)積的定義：設(shè)設(shè)V是實(shí)數(shù)域是實(shí)數(shù)域R上的上的n維線性空間，對(duì)維線性空間，對(duì)于于V中的任意兩個(gè)向量中的任意兩個(gè)向

44、量、, 按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為與實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為與與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為(,)，并且要求內(nèi)，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：積滿足下列運(yùn)算條件：(1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為Euclid空間空間(歐氏空間歐氏空間)。當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)內(nèi)積為零時(shí)內(nèi)積為零例例1 在在Rn中，對(duì)于中，對(duì)于規(guī)定規(guī)定容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 ( , )1是是Rn上的一個(gè)內(nèi)積，從而上的一個(gè)內(nèi)積，從而 Rn成為一個(gè)成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定歐氏

45、空間。如果規(guī)定1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 21122( ,)2nnx yx ynx y 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證( , )2也是也是Rn上的一個(gè)內(nèi)積，這樣上的一個(gè)內(nèi)積，這樣 Rn又成又成為另外一個(gè)歐氏空間。為另外一個(gè)歐氏空間。例例2 在在mn維線性空間維線性空間Rmn中，規(guī)定中，規(guī)定容易驗(yàn)證這是容易驗(yàn)證這是Rmn上的一個(gè)內(nèi)積，這樣上的一個(gè)內(nèi)積，這樣 Rmn對(duì)于對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。例例3 在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間 Ca, b中，規(guī)定中，規(guī)定( , ):()TA BTr AB容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證

46、(f, g)是是 Ca, b 上的一個(gè)內(nèi)積，這樣上的一個(gè)內(nèi)積，這樣 Ca, b對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。( , ):( ) ( )baf gf x g x dx1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk Euclid空間的性質(zhì)空間的性質(zhì)有限維線性歐氏空間有限維線性歐氏空間v設(shè)實(shí)數(shù)域上有限維線性空間設(shè)實(shí)數(shù)域上有限維線性空間V的基底為的基底為 ，設(shè)設(shè)向量向量x與與y在此基底下的表達(dá)式如下在此基底下的表達(dá)式如下,21nnnxxxx2211nnyyyy2211 則則

47、x與與y的內(nèi)積可以表示如下的內(nèi)積可以表示如下),(),(11njjjniiiyxyxninjjijiyx11),(),(jiija令nnnnnnnnyyyaaaaaaaaaxxx2121222211121121 取取即即A為實(shí)對(duì)稱矩陣，而且為實(shí)對(duì)稱矩陣，而且(x,x)0表明表明A為正定的。為正定的。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211jiijjiija,a)(),(由性質(zhì)性質(zhì)：（：（1） 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí) （2） （3） （4） 歐氏空間的度量歐氏空間的度量v定義：定義：設(shè)設(shè)V為線性歐氏空間，向量的長(zhǎng)度或范數(shù)定為線性歐氏空間，向量的長(zhǎng)度或范數(shù)定義為義為0( , ) 0

48、0Rkkk| | ),( |例例1： 在線性空間在線性空間Rmn 中，證明中，證明證明：由于證明：由于Tr(ABT)為線性空間中的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)為線性空間中的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)(4)得得證。證。例例2 設(shè)設(shè)Ca,b表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間a,b上的所有連續(xù)實(shí)函數(shù)組成的線性上的所有連續(xù)實(shí)函數(shù)組成的線性空間，證明對(duì)于任意的空間，證明對(duì)于任意的f(x), g(x)Ca,b，我們有，我們有證明：由于證明：由于 為線性空間為線性空間Ca,b上上的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)(4)可得上式?？傻蒙鲜?。)()(| )(|TTTBBTrAATrABTrbababadxxgdxxfdxxgxf

49、22| )(| )(|)()(|badxxgxfxgxf)()()(),(定義定義：設(shè)設(shè)V為歐氏空間，兩個(gè)非零向量為歐氏空間，兩個(gè)非零向量 的的夾角夾角定義為定義為 于是有于是有定理定理：, ,( ,)02 定義定義：在歐氏空間：在歐氏空間V中，如果中，如果 ，則稱，則稱 與與 正交。正交。定義定義： 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向的向量稱為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量量 ，向量，向量 總是單位向量，稱此過(guò)程為總是單位向量，稱此過(guò)程為單位化單位化。( ,)0 ),(arccos:,0定義定義 設(shè)設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，如果為一組不含有零向量的向量組，如果 內(nèi)

50、的任內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。正交的向量組。命題命題 正交向量組一定是線性無(wú)關(guān)向量組。正交向量組一定是線性無(wú)關(guān)向量組。定義定義 如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。定義定義：在：在 n 維內(nèi)積空間中，由維內(nèi)積空間中，由 n個(gè)正交向量組成的基底稱為個(gè)正交向量組成的基底稱為正交基底；由正交基底；由 n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基底?；?。注意注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。：標(biāo)準(zhǔn)正交基底

51、不唯一。 i i標(biāo)準(zhǔn)正交基底標(biāo)準(zhǔn)正交基底定理定理：向量組：向量組 為正交向量組的充分必要條件是為正交向量組的充分必要條件是向量組向量組 為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是 i(,)0,ijij i1(,)0ijijijij 定理定理：由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量：由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 設(shè)設(shè) 為為 n 維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間 V 中的中的 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，利用這的向量，利用這 r 個(gè)向量構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的步驟如個(gè)向量構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的步驟

52、如下：下：第一步：第一步：11212211111111111,rrrrrrrr 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證 是一個(gè)正交向量組是一個(gè)正交向量組.12,r Schmidt正交化方法正交化方法12,r 第二步第二步 單位化單位化顯然顯然 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例例1 運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組?；癁闃?biāo)準(zhǔn)正交向量組。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1,1,3 3 3 再

53、單位化再單位化 11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。123, 以上正交化方法以上正交化方法的結(jié)果與向量的的結(jié)果與向量的次序有關(guān)。次序有關(guān)。1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解解： 先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系下面對(duì)下面對(duì) 進(jìn)行正交化與單位化：進(jìn)行正交化與單位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX例例2 求下面齊次線性方程組求下面齊次線性方程組1121221

54、11111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。12, 歐式空間中子空間的正交性歐式空間中子空間的正交性v性質(zhì)性質(zhì)1 若向量組若向量組x1,x2,xm的每個(gè)向量均與向的每個(gè)向量均與向量量y正交，則正交，則x1,x2,xm的線性組合也與的線性組合也與y正交正交v性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè)V1為歐式空間為歐式空間Vn的子空間，向量的子空間，向量y與與V1正交的充要條件為正交的充要條件為y與與V1的每的每 一組基向量一組基向量正交正交v用用 表示歐式空間表示歐式空間Vn中所有與中所有與V1正交的向量

55、正交的向量集合，稱為集合，稱為V1的正交補(bǔ)空間或正交補(bǔ)的正交補(bǔ)空間或正交補(bǔ)v 是是Vn的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間1V1Vv定理：任一歐式空間定理：任一歐式空間Vn為其子空間為其子空間V1及及V1的的正交補(bǔ)空間的直和正交補(bǔ)空間的直和v推論：設(shè)推論：設(shè)V1是歐式空間是歐式空間Vn的子空間，且的子空間，且V1的的維數(shù)為維數(shù)為m，則其正交補(bǔ)空間的維數(shù)為，則其正交補(bǔ)空間的維數(shù)為n-mv定理：對(duì)于任意定理：對(duì)于任意mn的矩陣的矩陣A，有，有mTTRANARANAR)()( ),()(nTTRANARANAR)()( ),()(定義定義： 設(shè)設(shè)V是一個(gè)是一個(gè)n維歐氏空間維歐氏空間, 是是V的一個(gè)線性變的一個(gè)線

56、性變換，如果對(duì)任意的換，如果對(duì)任意的 V都有都有正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣則稱則稱是是V的一個(gè)的一個(gè)正交變換正交變換。),()(),(定理定理： 線性變換線性變換是正交變換的充分必要條件是：是正交變換的充分必要條件是：任意的任意的 都有都有,V ( ( ),( )( ,) 證明：必要性，設(shè)證明：必要性，設(shè)是正交變換，是正交變換， ，則有，則有,V )()(),()()(),()(),()(),(2)(),(),(),(2),(),(于是有于是有充分性：取充分性：取 立即可得立即可得為正交變換。為正交變換。( ( ),( )( ,) 定義：定義：設(shè)設(shè)A為一個(gè)為一個(gè) n 階實(shí)矩陣，如果其

57、滿足階實(shí)矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱則稱A正交正交矩陣矩陣，一般記為，一般記為AEnn。例：例：22022(1)10022022212333221(2)333122333cossin(3)sincos設(shè)設(shè) ，那么，那么,n nA BE正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理： 設(shè)設(shè) ARnn ，A是一個(gè)正交矩陣的充分必是一個(gè)正交矩陣的充分必要條件為要條件為A的的 n 個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。向量組。定理定理：設(shè)：設(shè)V是一個(gè)是一個(gè)n維歐氏空間，維歐氏空間，是是V的一個(gè)線性的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：變換，那么下列陳述等價(jià)：（1）是正交變換；是正交變換；（2） 將將V的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；（3）線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為正交）線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為正交矩陣。矩陣。定義定義： 設(shè)設(shè)V是一個(gè)是一個(gè)n維歐氏空間維歐氏空間, 是是V的一個(gè)線性變換，如果的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的對(duì)任意的 都有都有對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣則稱則稱是是V的一個(gè)的一個(gè)對(duì)稱變換對(duì)稱變換。)(,(),(定理定理： 線性變換線性變換是實(shí)對(duì)稱變換的充分必要條件是：是實(shí)對(duì)稱變換