第一章 線性空間與線性變換

1、第一章第一章線性空間和線性變換線性空間和線性變換1.1 線性空間線性空間集合集合v集合集合: 作為整體看的一堆東西元素元素 子集子集 集合相等集合相等 運算運算交交 并并和和 Sa21SS 122121SSSSSS且21SS 21SS ,|2121SySxyxSS數(shù)域數(shù)域v數(shù)域數(shù)域: 如果一個數(shù)集中任意兩個數(shù)的和、差、積、如果一個數(shù)集中任意兩個數(shù)的和、差、積、商商(除數(shù)不為除數(shù)不為0)仍在該數(shù)集中仍在該數(shù)集中v常用數(shù)域有：有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域常用數(shù)域有：有理數(shù)域、實數(shù)域、復(fù)數(shù)域v奇數(shù)集和偶數(shù)集不能形成數(shù)域奇數(shù)集和偶數(shù)集不能形成數(shù)域映射映射v映射：集合映射：集合S到集合到集合S的一個映射是指

2、一個法則的一個映射是指一個法則(規(guī)則規(guī)則)f: S S，對，對S中任何元素中任何元素a，都有，都有S中的元素中的元素a與之對應(yīng)，記為：與之對應(yīng)，記為： f(a)= a或或 a a。一般稱。一般稱a為為a的象，的象， a為為a的原象。的原象。v若若S = S，則稱映射為變換。，則稱映射為變換。v映射的相等：設(shè)有兩個映射映射的相等：設(shè)有兩個映射f : S S和和 g: S S，若對任，若對任何元素何元素aS都有都有 f(a)=g(a)則稱則稱f與與g相等。相等。映射的例子映射的例子v例子例子1：設(shè)集合：設(shè)集合S是數(shù)域是數(shù)域F上所有方陣的集合，則上所有方陣的集合，則 f(A)=det(A) 為為S到

3、到F的映射的映射。v例例2：設(shè)：設(shè)S為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過n的多項式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運的多項式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運算：算：(f(t)=f(t) 為為S到到S的變換。的變換。映射的乘積映射的乘積v映射的乘積映射的乘積(復(fù)合復(fù)合)：若：若 f : S1 S2 和和 g: S 2 S3，則，則映射的乘積映射的乘積 gf 定義為：定義為： g f(a)=g(f(a)。v在不至混淆的情況下，簡記在不至混淆的情況下，簡記g f為為gf v映射的乘積滿足結(jié)合律映射的乘積滿足結(jié)合律, ,即即( (fg) )h= =f( (gh) )v映射的乘積不滿足交換律映射的乘積不滿足交換律, ,一般而言一般而言fgg

4、f線性空間的定義線性空間的定義v定義：設(shè)定義：設(shè) V 是一個非空的集合，是一個非空的集合，K 是一個數(shù)域，在集合是一個數(shù)域，在集合 V 中定義兩種封閉的代數(shù)運算中定義兩種封閉的代數(shù)運算, 一種是加法運算，用一種是加法運算，用 + 來表示，來表示，另一種是數(shù)乘運算另一種是數(shù)乘運算, 用用 來表示來表示, 并且這兩種運算滿足下列八并且這兩種運算滿足下列八條運算律：條運算律：（1）加法交換律：）加法交換律：+= + （2）加法結(jié)合律：）加法結(jié)合律： (+)+= +(+)（3）零元素：）零元素：在在 V 中存在一個元素中存在一個元素0，使得對于任意的，使得對于任意的V 都都有有 +0 =（4）負元素）

5、負元素: 對于對于V中的任意元素中的任意元素都存在一個元素都存在一個元素 使得使得：+= 0線性空間的定義（續(xù)）線性空間的定義（續(xù)）（5）數(shù)）數(shù)1：對：對V，有：，有： 1= （6）結(jié)合律）結(jié)合律: 對對k,lK, V 有：有：(kl) = k (l )（7）分配律）分配律: 對對k,lK, V 有：有：(k+l) = k +l （8）數(shù)因子分配律）數(shù)因子分配律: 對對kK, , V 有：有：k (+)= k +k 稱這樣的集合稱這樣的集合 V 為數(shù)域為數(shù)域 K 上的線性空間。上的線性空間。v定理：零元素唯一，每個元素的負元素都是唯一的。定理：零元素唯一，每個元素的負元素都是唯一的。線性空間的

6、例子線性空間的例子例例1：全體實函數(shù)集合：全體實函數(shù)集合 RR構(gòu)成實數(shù)域構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間。上的線性空間。例例2：復(fù)數(shù)域：復(fù)數(shù)域 C上的全體上的全體 mn 階矩陣構(gòu)成的集合階矩陣構(gòu)成的集合Cmn 為為 C 上上的線性空間。的線性空間。例例3：實數(shù)域：實數(shù)域 R 上全體次數(shù)小于或等于上全體次數(shù)小于或等于 n 的多項式集合的多項式集合 Pn 構(gòu)成實數(shù)域構(gòu)成實數(shù)域 R上的線性空間。上的線性空間。例例4：全體正的實數(shù)：全體正的實數(shù) R+ 在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實數(shù)在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間：對任意域上的線性空間：對任意 kR, a,bR+ kaakabba數(shù)乘運算

7、：加法運算： 例例5：R表示實數(shù)域表示實數(shù)域 R 上的全體無限序列組成的集上的全體無限序列組成的集合。即合。即線性空間的例子（續(xù)）線性空間的例子（續(xù)）, 3 , 2 , 1,| ,321iRaaaaRi則則 R 為實數(shù)域為實數(shù)域 R上的一個線性空間。上的一個線性空間。123123112233123123 , , ,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka 在在R中定義加法與數(shù)乘：中定義加法與數(shù)乘：例例 6 在在 中滿足中滿足Cauchy條件的無限序列組成的條件的無限序列組成的子集合也構(gòu)成子集合也構(gòu)成 R上的線性空間。上的線性空間。Cauchy條件是：條件是： 使得對于

8、使得對于 都有都有0,0,N ,m nNmnaaR線性空間的例子（續(xù)）線性空間的例子（續(xù)）例例7 在在 中滿足中滿足Hilbert條件的無限序列組成的條件的無限序列組成的子集合構(gòu)成子集合構(gòu)成 R上的線性空間。上的線性空間。 Hilbert條件是：級數(shù)條件是：級數(shù) 收斂收斂R21nna線性空間的基本概念及其性質(zhì)線性空間的基本概念及其性質(zhì)u 基本概念：線性組合；線性表示；線性相關(guān)；線性無關(guān)；基本概念：線性組合；線性表示；線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩。向量組的極大線性無關(guān)組；向量組的秩。v基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： (1) 含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；含有零向量的向量組一定線

9、性相關(guān)；(2) 整體無關(guān)則部分無關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)；整體無關(guān)則部分無關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)；(3) 如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；(4) 向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)組并不唯一；向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)組并不唯一；(5) 如果向量組（如果向量組（I）可以由向量組（）可以由向量組（II）線性表出，那么向）線性表出，那么向量組（量組（I）的秩小于等于向量組（）的秩小于等于向量組（II）的秩；）的秩；例例1 實數(shù)域?qū)崝?shù)域

10、 R上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一組互不相同為一組互不相同的實數(shù)。的實數(shù)。例例2 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)的函數(shù)，其中 為一組互不相同為一組互不相同的正整數(shù)。的正整數(shù)。例例3 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 RR 中，函數(shù)組中，函數(shù)組是線性相關(guān)的。是線性相關(guān)的。12,nxxxeee12,n 12,nxxx12,n 21,cos,cos2xx線性空間的基底與維數(shù)線性空間的基底與維數(shù)v 定義：定義：設(shè)設(shè) V 為數(shù)域為數(shù)域

11、K上的一個線性空間。如果在上的一個線性空間。如果在 V 中存在中存在 n 個線性無關(guān)的向量個線性無關(guān)的向量 ，使得，使得 V 中的任意一個向量中的任意一個向量 都可以由都可以由 線性線性表出表出: 則稱則稱 為為 V 的一個基或基底；的一個基或基底； 為向量為向量 在基底在基底 下的坐標。此時我們下的坐標。此時我們稱稱 V 為一個為一個 n 維線性空間，記為維線性空間，記為 dimV=n。12,n 12,n 1122nnkkk12,n 12( ,)Tnk kk12,n 例例1 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R 上的線性空間上的線性空間 R3 中向量組中向量組與向量組與向量組 (1,0,0),(1,1,0),(

12、1,1,1)基底的例子基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)都是線性空間都是線性空間 R3 的基底，的基底，R3是是3維線性空間。維線性空間。例例2 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的線性空間上的線性空間 中的向量組中的向量組與向量組與向量組 都是都是 的基。的基。 是是4維線性空間。維線性空間。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 2 2R2 2R基底的例子（續(xù)）基底的例子（續(xù)）例例 3 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的不超過上的不超過n次多項式的全體次多項式的全體Pn中的向中的向量組量組 與向量組與向量組都是都是 Pn 的基底，的基底，Pn的維數(shù)為的維

13、數(shù)為 n+1。 注意：注意： 通過上面的例子可以看出線性空間的基底并通過上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義, 線線性空間可以分為性空間可以分為有限維線性空間有限維線性空間和和無限維線性空間無限維線性空間。目前，我們主要討論目前，我們主要討論有限維的線性空間有限維的線性空間。21, ,nx xx21,2,(2) ,(2)nxxx基底的例子（續(xù)）基底的例子（續(xù)）例例4 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組 與向量組與向量組是其兩組基，求向量是其兩組基，求向量 在這兩組基下的在這兩組基下的坐標。坐標。01

14、101111,11110110 1011111 1,0000101 1 1234A2 2R解：設(shè)向量解：設(shè)向量A在第一組基下的坐標為在第一組基下的坐標為于是可得于是可得 解得解得同樣可解出在第二組基下的坐標為同樣可解出在第二組基下的坐標為123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 1234(,)Tx x x x同一向量在不同的基下坐標不同同一向量在不同的基下坐標不同, 那它們那它們有什么關(guān)系呢有什么關(guān)系呢? 設(shè)設(shè) （舊的舊的）與）與 （新的新的）是是 n 維線性空間維線性空間 V 的兩組基底，它們之間的關(guān)系為的兩組

15、基底，它們之間的關(guān)系為12,n 12,n 11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 基變換與坐標變換基變換與坐標變換 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaaaa 將上式將上式矩陣化矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：可以得到下面的關(guān)系式：稱稱 n 階方陣階方陣111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由舊的基底到新的基底的是由舊的基底到新的基底的過渡矩陣過渡矩陣(可逆可逆)，那么上式可以寫成，那么上式可以寫成 1212,nnP 任取任取 ，設(shè)，設(shè) 在兩組基下的坐標分別為在兩組基下的坐標分別為 與與 ，那么我們有，那么我們有V12,Tnx

16、 xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy該式被稱為該式被稱為坐標變換公式坐標變換公式。nnxxx2121,nnyyy2121,nnyyyP2121,于是有：于是有：12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1與向量組與向量組例例1 在在4維線性空間維線性空間 中，向量組中，向量組2 2R為其兩組基，求從基為其兩組基，求從基 到基到基 的過渡矩的過渡矩陣，并求向量陣，并求向量 在這兩組基下的坐標。在這兩組基下的坐標。解解：容易計算出下面的矩陣表達式：容易計算出下面的矩陣表達式1234A1234, 1234, 123412342110333

17、1110333,12103331211333向量向量A在第一組基下的坐標為在第一組基下的坐標為12347412,3333xxxx利用坐標變換公式可以求得利用坐標變換公式可以求得A在第二組基下的坐標為在第二組基下的坐標為11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx定義定義 設(shè)設(shè) V 為數(shù)域為數(shù)域 F上的一個上的一個 n 維線性空間，維線性空間，W為為V的一個非空子集合，如果對于任意的的一個非空子集合，如果對于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我們稱那么我們稱W為為V的一個的一個子空間子空間。例例1 對于任意一個有限維線性空間對于任意一

18、個有限維線性空間 V，它必有，它必有兩個兩個平凡的子空間平凡的子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間，即由單個零向量構(gòu)成的子空間0 ,W , k lFklW以及線性空間以及線性空間V本身本身.線性空間的子空間線性空間的子空間例例2 設(shè)設(shè) ，那么線性方程組，那么線性方程組 的的全部解為全部解為 維線性空間維線性空間 的一個子空間，我們稱其的一個子空間，我們稱其為為齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間。當齊次線性方程組當齊次線性方程組 有無窮多解時，其解空間有無窮多解時，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)。所含向量

19、的個數(shù)。例例3 設(shè)設(shè) 為為 維線性空間維線性空間 中的中的一組向量，那么非空子集合一組向量，那么非空子集合 m nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 構(gòu)成線性空間構(gòu)成線性空間 的一個子空間，稱此子空間為有限生的一個子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱成子空間，稱 為該子空間的生成元。為該子空間的生成元。 的維數(shù)即為向量組的維數(shù)即為向量組 的秩，的秩， 的最大無關(guān)組為基底。的最大無關(guān)組為基底。例例4 實數(shù)域?qū)崝?shù)域 R上的線性空間上的線性空間 中全體中全體上三角上三角矩陣矩陣集合，全體集合，全體下三角下三角矩陣集合，全體矩陣集合，全體對稱對稱矩陣集合

20、，全矩陣集合，全體體反對稱反對稱矩陣集合分別都構(gòu)成矩陣集合分別都構(gòu)成 的子空間的子空間V12,s 12,s 12,sspan n nRn nR12,s 矩陣的值域及核空間矩陣的值域及核空間定義定義: 設(shè)設(shè)A是是mn的一個實矩陣的一個實矩陣, ai表示表示A的第的第i個列向量個列向量, 稱子空間稱子空間spana1,a2,an為矩陣為矩陣A的的值域值域(列空間列空間), 記為記為R(A)定義定義:設(shè)設(shè)A是是mn的一個實矩陣的一個實矩陣, 稱集合稱集合x| Ax=0為為A的核空間的核空間(零空間零空間), 記為記為N(A)vdimR(A)+dimN(A)=n子空間的交與和子空間的交與和v兩個子空間

21、的交兩個子空間的交:v兩個子空間的和兩個子空間的和:v子空間交與和的性質(zhì)子空間交與和的性質(zhì)若若V1和和V2都是都是V的子空間，則的子空間，則V1V2和和V1+V2也是也是V的子空的子空間間.V1V2 = V2V1，V1+V2=V2+V1(V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+ dim(V1V2)1212:&VVVV 1212:,VVzxy x V y V 子空間的直和子空間的直和v在兩個子空間在兩個子空間V1和和V2的和空間的和空間V1+V2中中, 任一任一向量向量z可表示為可表示為xV1和和yV2例例

22、1: 在在R3中中, V1表示是由表示是由x1=(1,0,0)與與x2=(1,1,1)所生成的子空間所生成的子空間, 而而V2表示是由表示是由y1=(0,0,1)與與y2=(3,1,2)所生成的子空間所生成的子空間考察考察R3中的中的0向量向量, 它即可以表示為它即可以表示為0=0+0, 也可也可以表示為以表示為0=(2x1+x2)+(y1-y2)v一個向量的表示方法不唯一一個向量的表示方法不唯一v定義定義: 如果如果V1+V2中的任一向量只能唯一地表中的任一向量只能唯一地表示為子空間示為子空間V1的一個向量和子空間的一個向量和子空間V2的一個的一個向量的和向量的和, 則稱則稱V1+V2為為V

23、1與與V2的直和或直接的直和或直接和和, 記為記為v定理定理: 和和V1+V2為直和的充要條件為為直和的充要條件為 V1 V2=0v推論推論: 設(shè)設(shè)V1, V2是線性空間是線性空間V的子空間的子空間, 令令U= V1+V2, 則則U為為V1和和V2直和的充要條件為直和的充要條件為dimV1+dimV2=dim(U)21VV 1.2 線性變換及其矩陣線性變換及其矩陣線性變換線性變換v定義：設(shè)定義：設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域K上的線性空間，上的線性空間，T : VV 為為V上的映射，上的映射，則稱則稱T為線性空間為線性空間V上的一個變換或算子。上的一個變換或算子。v若變換滿足：對任意的若變換滿足：對任意的k

24、, lK和和,V，有，有)()()(TlTklkT則稱則稱T為線性變換或線性算子。為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質(zhì)：線性變換的基本性質(zhì)：（1）T(0) = 0；（2）T(-x) = -T(x)；（3）線性相關(guān)的向量組的象仍然是線性相關(guān)的。）線性相關(guān)的向量組的象仍然是線性相關(guān)的。線性變換的例子線性變換的例子v例例1：R2空間上的如下變換空間上的如下變換 為線性變換（該變換還是正交變換）。為線性變換（該變換還是正交變換）。v例例2：設(shè)：設(shè)Pn為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過n的多項式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運的多項式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運算：算：(f(t)=f(t) 為為Pn到到Pn的線性變換。的線性變換

25、。v例例3：V為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換：為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換： 為為V上的線性變換。上的線性變換。dtetffFtj)()(2121cossinsincosxxyy線性變換的值域和核線性變換的值域和核vV上的線性變換上的線性變換T的值域和核定義如下：的值域和核定義如下：R(T)= Tx |xVN(T)= x | Tx=0, xVv定理：線性空間定理：線性空間V的線性變換的線性變換T的值域和核都是的值域和核都是V的線性子的線性子空間，分別稱為空間，分別稱為T的象子空間和核子空間。的象子空間和核子空間。v定義：線性變換定義：線性變換T的象空間維數(shù)的象空間維數(shù)di

26、mR(T)稱為稱為T的秩，核空的秩，核空間維數(shù)間維數(shù)dim(N(T)稱為稱為T的虧。的虧。v可以證明，若可以證明，若V維數(shù)為維數(shù)為n，T的秩為的秩為r，則，則T的虧為的虧為n-r。例：實數(shù)域例：實數(shù)域 R上的不超過上的不超過n次多項式的全體次多項式的全體Pn中為線性空間，中為線性空間，求導(dǎo)運算的象空間為求導(dǎo)運算的象空間為Pn-1 ，核空間為，核空間為R。線性變換的運算線性變換的運算v零變換零變換T0：T0 x=0v變換的加法：定義變換的加法：定義 (T1+T2)x=T1x+T2xv負變換：定義負變換：定義 (-T)x=-(Tx)v數(shù)乘：定義數(shù)乘：定義 (kT)x=k(Tx)v定理：定理：V上所

27、有線性變換構(gòu)成的集合在以上加法運算和數(shù)上所有線性變換構(gòu)成的集合在以上加法運算和數(shù)乘運算下構(gòu)成線性空間。乘運算下構(gòu)成線性空間。v單位變換單位變換Te：Tex=xv變換的乘法：定義變換的乘法：定義 (T1T2)x=T1(T2x)v逆變換：若逆變換：若T為一一對應(yīng)，則可定義逆變換為一一對應(yīng)，則可定義逆變換S=T-1, 滿足滿足(ST)x=(TS)x=x (對任意的對任意的x), 且有且有TT-1=T-1T=Tev變換的多項式：變換的多項式：f(T)=a0Tm+a1Tm-1+am-1T+amTe線性變換的矩陣表示線性變換的矩陣表示v以下討論均假設(shè)線性空間為以下討論均假設(shè)線性空間為K上的有限維空間，并以

28、上標表示維數(shù)，上的有限維空間，并以上標表示維數(shù)，如如Vn、Wm等。等。v設(shè)映射設(shè)映射T為為Vn上的線性變換，上的線性變換， 為空間的基底，則為空間的基底，則 可以用該基底線性表示，即可以用該基底線性表示，即,21n,21nTTTnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111 寫成矩陣形式寫成矩陣形式nnnnnnnnaaaaaaaaaTTT2122221112112121,v對對Vn中的任意元素中的任意元素x，設(shè)，設(shè)x和和Tx的基底表示如下的基底表示如下nnxxxx2211 于是有：于是有：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa21212222111211

29、21,nnyyyTx2211nnTxTxTxTx2211nnxxxTTT2121, 得到：得到：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121v對對Vn上的線性變換上的線性變換T，在基底，在基底 下可以用矩陣來表示：下可以用矩陣來表示：,21nnnnnnnaaaaaaaaaAT212222111211v定理：設(shè)定理：設(shè)Vn上的變換上的變換T在基底在基底 下對應(yīng)的矩陣為下對應(yīng)的矩陣為A，則，則dimR(T)=rank(A)dimN(T)=n-rank(A) （由（由AX=0立即得到）立即得到）v單位變換對應(yīng)單位矩陣單位變換對應(yīng)單位矩陣v零變換對應(yīng)零矩陣零變換對應(yīng)零

30、矩陣v逆變換對應(yīng)逆矩陣逆變換對應(yīng)逆矩陣v兩個變換的乘法對應(yīng)于矩陣的乘法兩個變換的乘法對應(yīng)于矩陣的乘法v兩個變換的加法對應(yīng)于矩陣的加法兩個變換的加法對應(yīng)于矩陣的加法,21nv設(shè)設(shè)Vn上的線性變換上的線性變換T在兩組基底在兩組基底 和和 下對下對應(yīng)的矩陣分別為應(yīng)的矩陣分別為A和和B，兩個基底之間的過渡矩陣為，兩個基底之間的過渡矩陣為P，即：，即：,21n 于是于是,21nATTTnn,2121BTTTnn,2121Pnn,2121PTTTTTTnn,2121APn,21APPn121,即得即得APPB1v結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換矩陣的運算矩陣的運算v零矩陣零

31、矩陣(對應(yīng)零變換對應(yīng)零變換)v矩陣加法矩陣加法(對應(yīng)線性變換的加法對應(yīng)線性變換的加法)v負矩陣負矩陣(對應(yīng)負線性變換對應(yīng)負線性變換)v數(shù)乘數(shù)乘(對應(yīng)線性變換的數(shù)乘對應(yīng)線性變換的數(shù)乘)v定理：所有定理：所有nm階矩陣的集合在以上加法運算和數(shù)乘運算階矩陣的集合在以上加法運算和數(shù)乘運算下構(gòu)成線性空間。下構(gòu)成線性空間。v單位陣單位陣(對應(yīng)單位變換對應(yīng)單位變換)v矩陣的乘法矩陣的乘法(對應(yīng)變換的乘法對應(yīng)變換的乘法)v逆矩陣逆矩陣(對應(yīng)逆變換對應(yīng)逆變換)定義定義 設(shè)設(shè)T是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間上的線性空間V的一個線性變換，如果的一個線性變換，如果對于數(shù)域?qū)τ跀?shù)域F中的某個元素中的某個元素0，存在一個非零

32、向量，存在一個非零向量，使得，使得 那么稱那么稱0為為T的一個的一個特征值特征值，而，而稱為稱為 T 屬于特征值屬于特征值0的一個的一個特征向量特征向量。 取定取定V的一組基底的一組基底 ，設(shè)，設(shè)T在這組基下的矩陣在這組基下的矩陣是是A，向量，向量在這組基下的坐標是在這組基下的坐標是 ，那么我，那么我們有們有線性變換的特征值與特征向量線性變換的特征值與特征向量0T,21nTnxxxX,21XAXTnn),(),(21021即得即得XAXT00求解特征值與特征向量求解特征值與特征向量v選定線性空間的一個基底，求線性變換選定線性空間的一個基底，求線性變換T在此基在此基底下對應(yīng)的矩陣底下對應(yīng)的矩陣A

33、；v求解矩陣求解矩陣A的特征多項式的特征多項式 的所有的所有根；根；v求出矩陣求出矩陣A的每一個特征值對應(yīng)的特征向量；的每一個特征值對應(yīng)的特征向量；v以以A的特征向量為坐標求出對應(yīng)的特征向量。的特征向量為坐標求出對應(yīng)的特征向量。)det()(AI 例例1 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的上的3維維線性空間，線性空間，T是是V上的一上的一個線性變換，個線性變換，T在在V的一個基的一個基 下的矩陣是下的矩陣是求求T的全部特征值與特征向量。的全部特征值與特征向量。解解：求：求T的特征值等價于求對應(yīng)矩陣的特征值和特征的特征值等價于求對應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。向量。123, 222214241A 所以所以A的

34、特征值是的特征值是 3 (二重二重)與與 -6。 對于特征值對于特征值 3，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：得到一個基礎(chǔ)解系：2222214241(3) (6)IA(3)0IA X210,201TT從而從而T的屬于的屬于 3 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是T屬于屬于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 這里這里 k1,k2不同時為不同時為0。 對于特征值對于特征值 -6，解齊次線性方程組，解齊次線性方程組得到一個基礎(chǔ)解系：得到一個基礎(chǔ)解系：1122132,2 1 12212,kkk kK( 6)0IA X122T從而從而 T 的屬于的屬于 -6

35、 的極大線性無關(guān)特征向量組是的極大線性無關(guān)特征向量組是于是于是 T 的屬于的屬于 -6 的全部特征向量的全部特征向量這里這里 k 為數(shù)域為數(shù)域 F 中任意非零數(shù)。中任意非零數(shù)。3123223,kkK特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)v特征子空間：線性變換特征子空間：線性變換T屬于特征值屬于特征值0的特征向量生成的子空的特征向量生成的子空間，記為間，記為 ，其中的非零向量為特征向量。，其中的非零向量為特征向量。v屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。vTr(AB)=Tr(BA)（方陣的對角線之和稱為矩陣的跡）。（方陣的對角線之和稱為矩陣的跡

36、）。v相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。v相似矩陣有相同的特征多項式和特征值。相似矩陣有相同的特征多項式和特征值。v任意任意n階矩陣與三角矩陣相似階矩陣與三角矩陣相似0Vv定義：定義： 已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 x 的多項式的多項式 那么我們稱那么我們稱 為為 A 的的矩陣多項式矩陣多項式。v矩陣矩陣A是其特征多項式的零點，即設(shè)是其特征多項式的零點，即設(shè) ， 則則1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC)det()(AI 0)(111IcAcAcAAnnnn最小多項式最小多項式v首項系數(shù)是

37、首項系數(shù)是1, 次數(shù)最小次數(shù)最小, 且以矩陣且以矩陣A為根的多項式為根的多項式, 稱為稱為A的最小多項式的最小多項式, 一般用一般用m()表示表示例例: 求矩陣求矩陣的最小多項式的最小多項式 031251233A最小多項式的性質(zhì)最小多項式的性質(zhì)v定理定理: 矩陣矩陣A的最小多項式的最小多項式m()可整除以可整除以A為為根的任意首根的任意首1多項式多項式, 且且m()是唯一的是唯一的v定理定理: 矩陣矩陣A的最小多項式的最小多項式m()與其特征多項與其特征多項式式()的零點相同的零點相同v定理定理: 相似的矩陣有相同的最小多項式相似的矩陣有相同的最小多項式矩陣可對角化的判定矩陣可對角化的判定v定

38、理定理: 設(shè)設(shè)T是線性空間是線性空間Vn的線性變換的線性變換, T在某一個基下在某一個基下的矩陣的矩陣A可以為對角矩陣的充要條件是可以為對角矩陣的充要條件是T有有n個線性個線性無關(guān)的特征向量無關(guān)的特征向量v定理定理: n階矩陣階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件為與對角矩陣相似的充要條件為A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.v推論推論: 如果如果n階矩陣有階矩陣有n個互不相同的特征值個互不相同的特征值, 那么它那么它與對角矩陣相似與對角矩陣相似例例1 判斷矩陣判斷矩陣是否可以對角化？是否可以對角化？ 解解： 先求出先求出A的特征值的特征值311201112A231121112(1)(

39、2)IA于是于是A的特征值為的特征值為1=1，2 =2 由于由于1=1是單的特征值，它一定對應(yīng)一個線性無關(guān)的特是單的特征值，它一定對應(yīng)一個線性無關(guān)的特征向量。下面我們考慮征向量。下面我們考慮2 =2于是于是 即特征子空間的維數(shù)為即特征子空間的維數(shù)為1，從而，從而不可以相似對角化不可以相似對角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA不變子空間不變子空間v如果如果T是線性空間是線性空間V的線性變換的線性變換, V1是是V的子空間的子空間, 并并且對于任意一個且對于任意一個xV1, 都有都有TxV1, 則稱則稱V1是是T的不的不變子空間變子空間v取導(dǎo)數(shù)的變

40、換取導(dǎo)數(shù)的變換D是是Pn的一個線性變換，則的一個線性變換，則Pn-1是是D的的不變子空間不變子空間v線性變換線性變換T的屬于的屬于0的特征子空間是的特征子空間是T的不變子空間的不變子空間v不變子空間的交與和仍為不變子空間不變子空間的交與和仍為不變子空間v線性變換線性變換T的值域的值域R(T)和核和核N(T)都是都是T的不變子空間的不變子空間矩陣的相似標準形矩陣的相似標準形vn階矩陣階矩陣A可以對角化的充分必要條件是可以對角化的充分必要條件是A有有n個線性無關(guān)的特個線性無關(guān)的特征向量征向量v任何復(fù)矩陣與一任何復(fù)矩陣與一Jordan矩陣相似矩陣相似nnnPPPPPPA212121,sJJJAPP2

41、11kkkkJ11多項式矩陣多項式矩陣v形如形如 的矩陣稱為多項式矩陣，其中的矩陣稱為多項式矩陣，其中aij()是是的多項的多項式式v如果如果A=(aij)是數(shù)域是數(shù)域K上的上的 n階矩陣階矩陣, 則則A的特征的特征矩陣矩陣I-A就是一個特殊的多項式矩陣就是一個特殊的多項式矩陣)()()()()()()()()()(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA不變因子不變因子v對多項式矩陣對多項式矩陣A()進行初等變換，可以化為如下的進行初等變換，可以化為如下的標準形標準形 其中其中di()是首一多項式，且是首一多項式，且di() |di+1() i=1, 2, , s-1vdi(

42、) (i=1, 2, , s)稱為稱為A()的不變因子的不變因子00)()()(21sddd初等因子與初等因子組初等因子與初等因子組v把把A()的每個次數(shù)大于零的不變因子的每個次數(shù)大于零的不變因子di()分解分解為不可約因式的乘積，這樣的不可約因式為不可約因式的乘積，這樣的不可約因式(連連同它們的冪指數(shù)同它們的冪指數(shù))稱為稱為A()的一個初等因子的一個初等因子v初等因子的全體成為初等因子的全體成為A()的初等因子組的初等因子組求求Jordan標準形標準形v求特征矩陣求特征矩陣I-A的初等因子的初等因子v寫出每個初等因子寫出每個初等因子 對應(yīng)的對應(yīng)的Jordan塊塊v寫出以這些寫出以這些Jord

43、an塊構(gòu)成的塊構(gòu)成的Jordan標準形標準形smsmm)( ,)( ,)(2121imi)(iimmiiii111求求Jordan標準形的例子標準形的例子例：求矩陣例：求矩陣 的的Jordan標準形標準形 初等因子組為初等因子組為-2, (-1)2 A的的Jordan標準形為標準形為201034011A201034011AI2) 1)(2(000100011001100021.3兩個特殊的線性空間兩個特殊的線性空間Euclid空間（歐氏空間）空間（歐氏空間）v線性空間內(nèi)積的定義線性空間內(nèi)積的定義：設(shè)設(shè)V是實數(shù)域是實數(shù)域R上的上的n維線性空間，對維線性空間，對于于V中的任意兩個向量中的任意兩個向

44、量、, 按照某一確定法則對應(yīng)著一個按照某一確定法則對應(yīng)著一個實數(shù)，這個實數(shù)稱為與實數(shù)，這個實數(shù)稱為與與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為(,)，并且要求內(nèi)，并且要求內(nèi)積滿足下列運算條件：積滿足下列運算條件：(1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為Euclid空間空間(歐氏空間歐氏空間)。當且僅當當且僅當=0時內(nèi)積為零時內(nèi)積為零例例1 在在Rn中，對于中，對于規(guī)定規(guī)定容易驗證容易驗證 ( , )1是是Rn上的一個內(nèi)積，從而上的一個內(nèi)積，從而 Rn成為一個成為一個歐氏空間。如果規(guī)定歐氏

45、空間。如果規(guī)定1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 21122( ,)2nnx yx ynx y 容易驗證容易驗證( , )2也是也是Rn上的一個內(nèi)積，這樣上的一個內(nèi)積，這樣 Rn又成又成為另外一個歐氏空間。為另外一個歐氏空間。例例2 在在mn維線性空間維線性空間Rmn中，規(guī)定中，規(guī)定容易驗證這是容易驗證這是Rmn上的一個內(nèi)積，這樣上的一個內(nèi)積，這樣 Rmn對于對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。例例3 在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間 Ca, b中，規(guī)定中，規(guī)定( , ):()TA BTr AB容易驗證容易驗證

46、(f, g)是是 Ca, b 上的一個內(nèi)積，這樣上的一個內(nèi)積，這樣 Ca, b對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。( , ):( ) ( )baf gf x g x dx1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk Euclid空間的性質(zhì)空間的性質(zhì)有限維線性歐氏空間有限維線性歐氏空間v設(shè)實數(shù)域上有限維線性空間設(shè)實數(shù)域上有限維線性空間V的基底為的基底為 ，設(shè)設(shè)向量向量x與與y在此基底下的表達式如下在此基底下的表達式如下,21nnnxxxx2211nnyyyy2211 則則

47、x與與y的內(nèi)積可以表示如下的內(nèi)積可以表示如下),(),(11njjjniiiyxyxninjjijiyx11),(),(jiija令nnnnnnnnyyyaaaaaaaaaxxx2121222211121121 取取即即A為實對稱矩陣，而且為實對稱矩陣，而且(x,x)0表明表明A為正定的。為正定的。nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211jiijjiija,a)(),(由性質(zhì)性質(zhì)：（：（1） 當且僅當當且僅當 時時 （2） （3） （4） 歐氏空間的度量歐氏空間的度量v定義：定義：設(shè)設(shè)V為線性歐氏空間，向量的長度或范數(shù)定為線性歐氏空間，向量的長度或范數(shù)定義為義為0( , ) 0

48、0Rkkk| | ),( |例例1： 在線性空間在線性空間Rmn 中，證明中，證明證明：由于證明：由于Tr(ABT)為線性空間中的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)為線性空間中的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)(4)得得證。證。例例2 設(shè)設(shè)Ca,b表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間a,b上的所有連續(xù)實函數(shù)組成的線性上的所有連續(xù)實函數(shù)組成的線性空間，證明對于任意的空間，證明對于任意的f(x), g(x)Ca,b，我們有，我們有證明：由于證明：由于 為線性空間為線性空間Ca,b上上的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)(4)可得上式?？傻蒙鲜?。)()(| )(|TTTBBTrAATrABTrbababadxxgdxxfdxxgxf

49、22| )(| )(|)()(|badxxgxfxgxf)()()(),(定義定義：設(shè)設(shè)V為歐氏空間，兩個非零向量為歐氏空間，兩個非零向量 的的夾角夾角定義為定義為 于是有于是有定理定理：, ,( ,)02 定義定義：在歐氏空間：在歐氏空間V中，如果中，如果 ，則稱，則稱 與與 正交。正交。定義定義： 長度為長度為1的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向的向量稱為單位向量，對于任何一個非零的向量量 ，向量，向量 總是單位向量，稱此過程為總是單位向量，稱此過程為單位化單位化。( ,)0 ),(arccos:,0定義定義 設(shè)設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，如果為一組不含有零向量的向量組，如果 內(nèi)

50、的任內(nèi)的任意兩個向量彼此正交，則稱其為意兩個向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。正交的向量組。命題命題 正交向量組一定是線性無關(guān)向量組。正交向量組一定是線性無關(guān)向量組。定義定義 如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為稱此向量組為標準的正交向量組。標準的正交向量組。定義定義：在：在 n 維內(nèi)積空間中，由維內(nèi)積空間中，由 n個正交向量組成的基底稱為個正交向量組成的基底稱為正交基底；由正交基底；由 n個標準的正交向量組成的基底稱為標準正交個標準的正交向量組成的基底稱為標準正交基底?；?。注意注意：標準正交基底不唯一。：標準正交基底

51、不唯一。 i i標準正交基底標準正交基底定理定理：向量組：向量組 為正交向量組的充分必要條件是為正交向量組的充分必要條件是向量組向量組 為標準正交向量組的充分必要條件是為標準正交向量組的充分必要條件是 i(,)0,ijij i1(,)0ijijijij 定理定理：由一個線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個正交向量：由一個線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。組，甚至是一個標準正交向量組。 設(shè)設(shè) 為為 n 維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間 V 中的中的 r 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的向量，利用這的向量，利用這 r 個向量構(gòu)造一個標準正交向量組的步驟如個向量構(gòu)造一個標準正交向量組的步驟

52、如下：下：第一步：第一步：11212211111111111,rrrrrrrr 容易驗證容易驗證 是一個正交向量組是一個正交向量組.12,r Schmidt正交化方法正交化方法12,r 第二步第二步 單位化單位化顯然顯然 是一個標準的正交向量組。是一個標準的正交向量組。例例1 運用正交化與單位化過程將向量組運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組。化為標準正交向量組。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1,1,3 3 3 再

53、單位化再單位化 11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即為所求的標準正交向量組。即為所求的標準正交向量組。123, 以上正交化方法以上正交化方法的結(jié)果與向量的的結(jié)果與向量的次序有關(guān)。次序有關(guān)。1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空間的一個標準正交基底。其解空間的一個標準正交基底。解解： 先求出其一個基礎(chǔ)解系先求出其一個基礎(chǔ)解系下面對下面對 進行正交化與單位化：進行正交化與單位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX例例2 求下面齊次線性方程組求下面齊次線性方程組1121221

54、11111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,3030303XXX 即為其解空間的一個標準正交基底。即為其解空間的一個標準正交基底。12, 歐式空間中子空間的正交性歐式空間中子空間的正交性v性質(zhì)性質(zhì)1 若向量組若向量組x1,x2,xm的每個向量均與向的每個向量均與向量量y正交，則正交，則x1,x2,xm的線性組合也與的線性組合也與y正交正交v性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)設(shè)V1為歐式空間為歐式空間Vn的子空間，向量的子空間，向量y與與V1正交的充要條件為正交的充要條件為y與與V1的每的每 一組基向量一組基向量正交正交v用用 表示歐式空間表示歐式空間Vn中所有與中所有與V1正交的向量

55、正交的向量集合，稱為集合，稱為V1的正交補空間或正交補的正交補空間或正交補v 是是Vn的一個子空間的一個子空間1V1Vv定理：任一歐式空間定理：任一歐式空間Vn為其子空間為其子空間V1及及V1的的正交補空間的直和正交補空間的直和v推論：設(shè)推論：設(shè)V1是歐式空間是歐式空間Vn的子空間，且的子空間，且V1的的維數(shù)為維數(shù)為m，則其正交補空間的維數(shù)為，則其正交補空間的維數(shù)為n-mv定理：對于任意定理：對于任意mn的矩陣的矩陣A，有，有mTTRANARANAR)()( ),()(nTTRANARANAR)()( ),()(定義定義： 設(shè)設(shè)V是一個是一個n維歐氏空間維歐氏空間, 是是V的一個線性變的一個線

56、性變換，如果對任意的換，如果對任意的 V都有都有正交變換與正交矩陣正交變換與正交矩陣則稱則稱是是V的一個的一個正交變換正交變換。),()(),(定理定理： 線性變換線性變換是正交變換的充分必要條件是：是正交變換的充分必要條件是：任意的任意的 都有都有,V ( ( ),( )( ,) 證明：必要性，設(shè)證明：必要性，設(shè)是正交變換，是正交變換， ，則有，則有,V )()(),()()(),()(),()(),(2)(),(),(),(2),(),(于是有于是有充分性：取充分性：取 立即可得立即可得為正交變換。為正交變換。( ( ),( )( ,) 定義：定義：設(shè)設(shè)A為一個為一個 n 階實矩陣，如果其

57、滿足階實矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱則稱A正交正交矩陣矩陣，一般記為，一般記為AEnn。例：例：22022(1)10022022212333221(2)333122333cossin(3)sincos設(shè)設(shè) ，那么，那么,n nA BE正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理： 設(shè)設(shè) ARnn ，A是一個正交矩陣的充分必是一個正交矩陣的充分必要條件為要條件為A的的 n 個列（或行）向量組是標準正交個列（或行）向量組是標準正交向量組。向量組。定理定理：設(shè)：設(shè)V是一個是一個n維歐氏空間，維歐氏空間，是是V的一個線性的一個線性變換，那么下列陳述等價：變換，那么下列陳述等價：（1）是正交變換；是正交變換；（2） 將將V的標準正交基底變成標準正交基底；的標準正交基底變成標準正交基底；（3）線性變換在標準正交基下的矩陣表示為正交）線性變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣。矩陣。定義定義： 設(shè)設(shè)V是一個是一個n維歐氏空間維歐氏空間, 是是V的一個線性變換，如果的一個線性變換，如果對任意的對任意的 都有都有對稱變換與對稱矩陣對稱變換與對稱矩陣則稱則稱是是V的一個的一個對稱變換對稱變換。)(,(),(定理定理： 線性變換線性變換是實對稱變換的充分必要條件是：是實對稱變換