中考數(shù)學(xué)新概念題材

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。中考數(shù)學(xué)新概念題材如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊上的定點(diǎn),且AE=2,點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，以PE為邊做菱形PEFH，且點(diǎn)F在邊CD上如圖,在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊上的定點(diǎn),且AE=2,點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，以PE為邊做菱形PEFH，且點(diǎn)F在邊CD上（1）當(dāng)BP=1時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)（2）求滿足條件的線段BP的長(zhǎng)的取值范圍（3）證明：不論菱形如何變化，點(diǎn)H到CD的距離為定值中考新概念四邊形賞析湖北省鄖縣第二中學(xué)楊育穎新概念問(wèn)題是近年來(lái)中考試題中，涌現(xiàn)出的一

2、種新型試題，它既能考查學(xué)生適應(yīng)新問(wèn)題、接受新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新事物的能力，又能考查學(xué)生的自學(xué)能力，信息的收集、遷移和應(yīng)用能力。 該試題新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中的一朵奇葩，現(xiàn)就四邊形中新概念題舉兩例供大家賞析。一、中點(diǎn)四邊形例2、（內(nèi)江市中考題）如圖2，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形。連接AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形。         （1）如果改變?cè)倪呅蜛BCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀也隨之改變

3、，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC = BD時(shí)，四邊形EFGH 為菱形； 當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_時(shí)，四邊形EFGH為矩形； 當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足_時(shí)，四邊形EFGH為正方形； （2）探索三角形AEH，三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并加以證明； （3）如果四邊形ABCD面積為2，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是多少？  分析：相對(duì)來(lái)講，中點(diǎn)四邊形是我們比較熟悉的一個(gè)概念。本題中，當(dāng)對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形為菱形；當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形為矩形；當(dāng)對(duì)角線既相等又垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形為正方形。探索三角形與四邊形之間的面積

4、關(guān)系，可利用相似三角形的面積比等于相似比的平方這一定理。解：（1）ACBD，ACBD且ACBD。（2）SAEHSCFGS四邊形ABCD。證明：在ABD中，EH=BD，所以AEHABD，所以即，同理可證：，所以。（）由（）的結(jié)論可知：。二、等對(duì)角線四邊形例2、（北京市中考題） 我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對(duì)角線四邊形。請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （1）寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等對(duì)角線四邊形的兩種圖形的名稱； （2）探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60O時(shí)，這對(duì)60O角所對(duì)的兩邊之和與其中一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 分析：本題以定義的形式，提

5、出了新的數(shù)學(xué)概念“等對(duì)角線四邊形”這一新知識(shí)點(diǎn)，要理解并結(jié)合圖形后才能運(yùn)用，形成一道考查同學(xué)們的閱讀理解能力以及作圖、應(yīng)用、證明等能力的綜合題。 解：（1）等腰梯形、矩形等； （2）結(jié)論：等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)。 已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC = BD，且AOD = 60°，求證：BC + ADAC。 證明：過(guò)點(diǎn)D作DFAC，在DF上截取DE，使DE = AC，連接CE，BE，故EDO = 60°，四邊形ACED是平行四邊形，所以BDE是等邊三角形，CE

6、= AD，DE = BE = AC。 當(dāng)BC與CE不在同一條直線上時(shí)（如圖1），在BCE中，有BC + CEBE， BC+ADAC。 當(dāng)BC與CE在同一條直線上時(shí)（如圖2），則BC + CE = BE， BC + AD = AC。 綜合，得BC + ADAC。即等對(duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線所夾銳角為60°時(shí)，這對(duì)60°角所對(duì)的兩邊之和大于或等于一條對(duì)角線的長(zhǎng)。                三、相似梯形    例3（臺(tái)

7、州中考題）善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形。他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問(wèn)題，你能幫助解決嗎？問(wèn)題一  平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？（1）從特殊情形入手探究。假設(shè)梯形ABCD中， ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖2）。根據(jù)相似梯形的定義，請(qǐng)你說(shuō)明梯形AMND與梯形ABCD是否相似?  （2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形_     &#

8、160;         (填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”。不要求證明) 。問(wèn)題二  平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似?（1）從特殊平行線入手探究。梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形_               (填“相似”或“不相似”或“相似性無(wú)法確定”。不要求證明)。（2）從特殊梯形入手探究。同上假設(shè)，梯形ABCD中，ADBC，AB

9、=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P，Q在梯形的兩腰上，如圖2）， 使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎? 請(qǐng)根據(jù)相似梯形的定義說(shuō)明理由。 (3)一般結(jié)論：對(duì)于任意梯形（如圖2），一定        (填“存在”或“不存在”)平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似。 若存在，則確定這條平行線位置的條件是=        (不妨設(shè)AD= a，BC= b，AB=c，CD= d。不要求證明 ) 。解：?jiǎn)栴}

10、一（1）因?yàn)镸N是中位線，所以MN=，顯然對(duì)應(yīng)邊不成比例，所以梯形AMND與梯形ABCD不相似。    （2）平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形不相似。問(wèn)題二（1）因?yàn)镸N是中位線，顯然兩梯形對(duì)應(yīng)邊不成比例，所以梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形不相似。（2）如果梯形APQD與梯形PBCQ相似，則，即，解得PQ=4，此時(shí)，又AB=6，所以AP=2，所以當(dāng)AP=2，且PQBC時(shí)，又兩梯形對(duì)應(yīng)角相等，所以梯形APQD與梯形PBCQ相似。    （3）對(duì)于任意梯形，一定存在平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似。此時(shí)，所

11、以PQ=，故通過(guò)以上幾例可知，解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是在閱讀、理解的基礎(chǔ)上，由題中提供的信息，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用聯(lián)想類比、模仿遷移的方法實(shí)現(xiàn)信息的遷移，從而掌握符合問(wèn)題的條件及其性質(zhì)的運(yùn)用。閱讀以下短文，然后解決下列問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖8所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”. 顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè) .(1) 仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；(2) 如圖8，若ABC為直角三角形，且C=90°，

12、在圖8中畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；(3) 若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖8中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.  9.如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2) 此時(shí)共有2個(gè)友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于ABC面積的2倍， ABC的“友好矩形”的面積相等.(3) 此時(shí)共有3個(gè)友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最小 .證明如下：易知，這三個(gè)矩形的面