第三章1.3可線性化的回歸分析

1、1.3可線性化的回歸分析戸預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)全挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1進(jìn)一步體會(huì)回歸分析的基本思想2通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度知識(shí)鏈接1有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)，怎樣確定回歸模型？答首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，這時(shí)可以根據(jù)已有函數(shù)知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型2如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？答可以通過對(duì)解釋變量進(jìn)行變換，如對(duì)數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變量間的回歸方程，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程

2、預(yù)習(xí)導(dǎo)引1非線性回歸分析對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型2非線性回歸方程曲線方程曲線圖形公式變換變換后的線性函數(shù)y=axboifon*c=lnav=lnxu=lnyu=cbvy=aebxV1亠、J00fr>0>(cr>DrA<D)c=lnau=lnyu=c+bxby=aex9A們(a>Oi麻ugc=lnav=-xu=lnyu=c+bvy=a+bInxKXv=lnxu=yu=a+bv尹課堂講義全重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破要點(diǎn)一線性回歸分析例1某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49

3、263954由數(shù)據(jù)易知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，若b=9.4,求線性回歸方程y=a+bx；(2)據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為4萬元時(shí)的銷售額4+2+3+54=3.5,y=49+26+39+544=42,a=y-bx=42-9.4X3.5=9.1回歸直線方程為y=9.1+9.4x.(2)當(dāng)x=4時(shí),y=9.1+9.4X4=46.7,故廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為46.7萬元跟蹤演練1為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關(guān)系，某地區(qū)觀察了2006年2011年的情況，得到了下面的數(shù)據(jù)：年份200620072008200920102011x/C24.429.632.928.7

4、30.328.9y/日19611018(1) 對(duì)變量x，y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；(2) 據(jù)氣象預(yù)測(cè)，該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27°C,試估計(jì)2012年4月化蛹高峰日為哪天(1)r=0.9498.解制表.i123456x.124.429.632.928.730.328.9yi19611018x29.13，fiy2=563，y=7.5，£x?=5130.92，z=1z=11£x.y.=1222.6z=111.沖-6兀y1由Irl>0.75，可知變量y和x存在很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.b=1522.0«.29.；32.523a=ybx-74.5.所以，線

5、性回歸方程為y=74.5-2.3x.當(dāng)x=27時(shí)，y=74.5-2.3X27=12.4.據(jù)此，可估計(jì)該地區(qū)2012年4月12日或13日為化蛹高峰日要點(diǎn)二可線性化的回歸分析例2在一化學(xué)反應(yīng)過程中，化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了8組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：催化劑的量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(gmin-1)6830277020565350解根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖(如圖)，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)y=c1ec2x的周圍，其中q和c2是待定的參數(shù).令z=lny，貝Uz=lny=lnc1+c2x，即變

6、換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=a+bx(a=lnc1，b=c2)的周圍.oooooo505050332211-.Eul.a牌瑕50021*5*8212427303336催化劑的量/g由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表:x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z與x的散點(diǎn)圖（如圖）6:.J2.121518212427303336催化劑的量/g由散點(diǎn)圖可觀察到，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，所以可用線性回歸方程來擬合由Z與X的數(shù)據(jù)表，可得線性回歸方程：z=0.848+0.81x,所以y與x之間的非線性回

7、歸方程為y=e-0-848+0.81x.規(guī)律方法可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，選擇跟散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，用線性回歸模型擬合跟蹤演練2電容器充電后，電壓達(dá)到100V,然后開始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道，此后電壓U隨時(shí)間t變化的規(guī)律用公式U=Aebt(b<0)表示，現(xiàn)測(cè)得時(shí)間t(s)時(shí)的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程.(提示：對(duì)公式兩邊取自然對(duì)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題)解對(duì)U=Aebt兩邊取對(duì)數(shù)得InU=lnA+bt，令y=lnU,a=l

8、nA,x=t,則y=a+bx，得y與x的數(shù)據(jù)如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如下圖所示，從圖中可以看出，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)求得x=5,y-3.045,進(jìn)而可以求得b-0.313,a=y-bx=4.61，所以y對(duì)x的線性回歸方程為y=4.61-0.313x.A.32-.匸-0.5012345678910x由y=lnU,得U=ey,U=e4-61-0-313x=e4-16e-0-313x,因此電壓U對(duì)時(shí)間t的回歸方程為U=e4.61e-0.313x.要點(diǎn)三非線性回歸模型的綜合應(yīng)用例3

9、某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程解根據(jù)題干表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示由圖看出,樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y=c1ec2x的周圍,于是令z=lny.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01畫出散點(diǎn)圖如圖所示O2

10、0406080100120140160180x由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程：z=0.693+0.020x,則有y=e0-693+0.020x.規(guī)律方法根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y=c1ec2x的周圍，其中q和c2是待定參數(shù)；可以通過對(duì)x進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系跟蹤演練3對(duì)兩個(gè)變量x，y取得4組數(shù)據(jù)（1，1），（2，1.2），（3，1.3），（4，1.37），甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下：甲y=0.1x+l,乙y0.05x2+0.35x+0.7,丙y0.80.5x+1.4，試判斷三人誰的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.解甲模型，當(dāng)x=1時(shí)，y=1

11、.1;當(dāng)x=2時(shí)，y=1.2;當(dāng)x=3時(shí)，y=1.3;當(dāng)x=4時(shí)，y=1.4.乙模型，當(dāng)x=1時(shí)，y=1;當(dāng)x=2時(shí)，y=1.2;當(dāng)x=3時(shí)，y=1.3;當(dāng)x=4時(shí)，y=1.3.丙模型，當(dāng)x=1時(shí)，y=1;當(dāng)x=2時(shí)，y=1.2;當(dāng)x=3時(shí)，y=1.3;當(dāng)x=4時(shí)，y=1.35.觀察4組數(shù)據(jù)并對(duì)照知，丙的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.尹當(dāng)堂檢測(cè)全當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功1.在一次試驗(yàn)中，當(dāng)變量x的取值分別為1，1，1，1時(shí)，變量y的值分別為2,3，4，5，則y與g的回歸方程為（）xAy1+1x2Byx+3Cy2x+1Dyx1答案A解析由數(shù)據(jù)可得，四個(gè)點(diǎn)都在曲線yj+1上.x2某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額

12、(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)廣告費(fèi)24568銷售額3040605070則廣告費(fèi)與銷售額間的相關(guān)系數(shù)為()A0.819B0.919C0.923D0.95答案B3根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，我國能源生產(chǎn)發(fā)展迅速下面是我國能源生產(chǎn)總量(單位：億噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份1996200120062011產(chǎn)量12.916.119.322.3根據(jù)有關(guān)專家預(yù)測(cè)，到2020年我國能源生產(chǎn)總量將達(dá)到27.6億噸左右，則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種()A.y=ax+b(aHO)B.y=ax2+bx+c(aH0)C.y=ax(a>0且aH1)D.y=og(x(a>0且aH1)答案A4. 某種

13、產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y之間有下表關(guān)系，現(xiàn)在知道其中一個(gè)數(shù)據(jù)弄錯(cuò)了，則最可能錯(cuò)的數(shù)據(jù)是.x/萬元24568y/萬元3040605070答案(6，50)h分層訓(xùn)練解疑糾偏，訓(xùn)練檢測(cè)一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程是y=0.7x+0.35，那么表中t的值是()x3456A.4.5B4C3D3.15y2.5t44.5A.y=2TDy=2+lnxx12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3答案C2下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型

14、()1B.y=2ex1C.y=2ex答案D解析取x=1,2,，10分別代入各解析式判斷.3.指數(shù)曲線y=aebx的圖像為()答案B據(jù)如下表：解析Ty=aebx,.a>0時(shí)y>0,排除A、C,且xR，排除D,選B.廣告費(fèi)用x/千兀1.04.06.010.014.0銷售額y/千兀19.044.040.052.053.04.為研究廣告費(fèi)用x與銷售額y之間的關(guān)系，有人抽取了5家餐廳，得到的數(shù)在同一坐標(biāo)系中畫散點(diǎn)圖，直線L：y=24+2.5x,曲線C：歹=疋，如圖所示.更能表現(xiàn)這組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系的是()A. 直線LB. 曲線CC. 直線L和曲線C都一樣D. 無法確定答案B5. 已知線性回歸方

15、程的斜率的估計(jì)值是0.5，樣本點(diǎn)的中心為(4.5，5)，則線性回歸方程是.答案y=2.75+0.5x解析在回歸方程中，已知b=0.5,則a=y_bx=2.75.6. 對(duì)于回歸方程y=257+4.75x,當(dāng)x=28時(shí)，y的估計(jì)值是.答案390解析當(dāng)x=28時(shí)，y=257+4.75X28=390,.的估計(jì)值為390.7. 某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量(mg/L)與消光系數(shù)讀數(shù)結(jié)果如下.尿汞含量(x.)246810消光系數(shù)(y.)64138205285360(1) 畫出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2) 求線性回歸方程；(3) 根據(jù)(2)的結(jié)果，估計(jì)當(dāng)x.為12mg/L時(shí)的消光系數(shù)y.解(1)13

16、50-300-250-200150100501IO246810X(2)y=-11.3+36.95x.當(dāng)xi=12時(shí)代入y=11.3+36.95x,得yi=432.二、能力提升8觀察下圖中的4個(gè)散點(diǎn)圖，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是().*/J*OxoA.B.C.D.答案B解析在研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)這種方法既直觀又方便，因而對(duì)解決相關(guān)性檢驗(yàn)問題比較常用9.下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)，月份x1234用水量y4.5432.5由某散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸

17、方程是y=0.7x+a，貝Ua=.答案5.25解析x=2.5,y=3.5,b=0.7,/.a=3.5+0.7X2.5=5.25.10.已知某個(gè)樣本點(diǎn)中的變量x，y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)rVO，則在以(x，y)為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系下的散點(diǎn)圖中，大多數(shù)的點(diǎn)都落在第象限答案二、四解析Vr<0時(shí)b<0,大多數(shù)點(diǎn)落在第二、四象限.11在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程k1解根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y=k令t=x，則JiJiy=kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)橛缮Ⅻc(diǎn)圖也可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系.列表如下:

18、序號(hào)t.1y.t2Iy2141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062517.753694.2521.3125430t=1.55,y=7.2.2卩廠51yb=-5公4.1344.Et2-5(t)2z=1Ia=y-bt-0.8.y=0.8+4.134t.4.134y與x的回歸方程是y=0.8+.x12某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表.氣溫/°C261813104-1杯數(shù)202434385064畫出散點(diǎn)圖并判斷熱茶銷售量與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系解畫出散點(diǎn)圖如圖所示x=6(26+18+13+10+4-1)11.7,y=6(20+24+34+38+50+64)38.3,Z=1xiyi=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50-1X64=1910,(1)2=1286,=262+182+132+102+42+=202+242+342+382+502+642=10172,由xiyinxy可得r0.97.由于r的值較大，所以x與y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)