導數的應用二——函數的極值

1、導數的應用二一一函數的極值、目標與策略明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數!學習目標：理解極值的概念和極值點的意義；會用導數求函數的極大值、極小值；會求閉區(qū)間上函數的最大值、最小值；掌握函數極值與最值的簡單應用.二、學習與應用“凡事預則立，不預則廢”科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對知識回顧一一復習學習新知識之前，看看你的知識貯備過關了嗎？氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是導數的符號與函數的單調性：一般地，設函數yf(x)在某個區(qū)間內有導數，則在這個區(qū)間上，(1若f(x)0,則f(x)在這個區(qū)間上為函數;(2)若f(x)0，

2、則f(x)在這個區(qū)間上為函數；(3)若恒有f(x)0，貝Uf(x)在這一區(qū)間上為函數.反之，若f(x)在某區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有;若f(x)在某區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有(2)求函數yx3ax(aR)的單調區(qū)間。例2.已知函數f(x)2234xaxx(xR)在區(qū)間1,1上是增函數，求實數a的取值范圍.3例1.(1確定函數f(X)322x6x7的單調區(qū)間要點梳理一一預習和課堂學習認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內容補充完整，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習課堂筆記或者其它補充填在右欄預習和課堂學習更多知識點解析請學習網校資源ID:#44929#404961要點一：函數的極值1.

3、函數的極值的定義：一般地，設函數f(X)在點xx0及其附近有定義，(1) 若對x0附近的所有點，都有，則稱函數f(x)在x0處取極大值，記作y極大f(xo)；并把x0稱為函數f(x)的一個.(2) 若對x0附近的所有點，都有,則稱函數f(x)在x0處取極小值，記作y極小f(xo)；并把冷稱為函數f(x)的一個.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，極值點是自變量的值，極值指的是函數值2. 用導數求函數極值的的基本步驟：(1) 確定函數的定義域；(2) 求導數f(x)；(3) 求方程f(x)0的根；(4) 檢查f'(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則f(x)在這個根處取得極大值；如

4、果左負右正，則f(x)在這個根處取得極小值.(最好通過列表法)悔丿要點二：函數的最值1. 函數的最大值與最小值定理若函數yf(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有最大值和最小值；在開區(qū)間(a,b)內連續(xù)的函數f(x)有最大值與最小值.(橫線上填“一定”或“不一定”)要點詮釋： 函數的最值點必在函數的極值點或者區(qū)間的端點處取得； 函數的極值可以有多個，但最值只有一個.2. 求函數最值的的基本步驟:若函數yf(x)在閉區(qū)間a,b有定義，在開區(qū)間(a,b)內有導數，則求函數yf(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下：(1) 求函數f(x)在(a,b)內的導數f(x)；(2) 求方程f

5、(x)0在(a,b)內的根；(3) 求在(a,b)內所有使f(x)0的點的函數值及f(x)在閉區(qū)間端點處的函數值f(a)，f(b)；(4) 比較上面所求的值，其中最大者為函數yf(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值，最小者為函數yf(x)在閉區(qū)間a,b上的最小值.3. 最值與極值的區(qū)別與聯系 函數的最大值和最小值是比較整個定義域上的函數值得岀的(具有絕對性)，是整個定義域上的整體性概念.最大值是函數在整個定義域上所有函數值中的最大值；最小值是函數在整個定義域上所有函數值中的最小值.函數的極大值與極小值是比較極值點附近兩側的函數值而得出的(具有相對性)，是局部的概念； 極值可以有多個，最大(小)值若存

6、在只有一個；極值只能在區(qū)間內取得，不能在區(qū)間端點取得；最大(小)值可能是某個極大(小)值，也可能是區(qū)間端點處的函數值； 有極值的函數不一定有最值，有最值的函數未必有極值，極值可能成為最值要點三：函數極值與最值的簡單應用1. 不等式恒成立，求參數范圍問題一些含參不等式，一般形如f(x,m)0，(1) 若能隔離參數，即可化為：mg(x)(或mg(x)的形式若其恒成立，則可轉化成(或)，從而轉化為求函數g(x)的最值問題.(2) 若不能隔離參數，就是求含參函數f(x,m)的最小值f(x,m)min，使所以仍為求函數g(x)的最值問題，只是再求最值時可能需要對參數進行分類討論2. 證不等式問題當所要證

7、的不等式中只含一個未知數時，一般形式為f(x)g(x)則可化為f(x)g(x)0一般設然后求，證明，即可.所以證不等式問題也可轉化為求函數最小值問題3兩曲線的交點個數問題(方程解的個數問題)一般可轉化為方程f(x)g(x)的問題，即f(x)g(x)0的解的個數問題,我們可以設F(x)f(x)g(x)，然后求岀F(x)的，根據解的個數討論與的大小關系即可.所以此類問題可轉化為求函數的極值問題典型例題一一自主學習認真分析、解答下列例題，嘗試總結提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三.課堂筆記或者其它補充填在右欄.更多精彩內容請學習網校資源ID:#44934#404961I類型一：求函數的極值

8、例1.下列函數的極值:32x(1)f(x)x12x；(2)f(x)xe解：總結升華：.舉一反三：10【變式1】討論函數f(x)x4x32x21(xR)的單調性并求極值.3【變式2】函數f(x)的定義域為區(qū)間(a，b)，導函數f'(x)在(a，b)內的圖如圖所示,則函數f(x)在(a，b)內的極小值有()C.3個D.4個【變式3】(2017重慶模擬)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或18権；類型二：函數極值的逆向應用例2.已知函數f（x）ax3bx2ex在點x0處取得極大值5,其導函數yf'（

9、x）的圖象經過點（1,o），（2，0），如圖所示,求：(1) Xo的值；(2) a,b,e的值。解:總結升華：舉一反三：【變式】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，求a,b的值.悔：類型三：求函數的最值32例3.求函數fXx2x1在區(qū)間-1,2上的最大值與最小值。解：總結升華：舉一反三：【變式】求函數y=x42*+5在區(qū)間一22上的最大值與最小值。例4.求函數f(x)x42x23,x-3,2的最值.解：總結升華：舉一反三:12【變式】求函數f(x)In(1X)X,x0,2的最值.4la：類型四：極值與最值的應用一一證明不等式x2例5.求證：當x>0時，In(1

10、x)X2解:總結升華：.舉一反三：2x【變式】求證：當x>0時，In(lx)x.2I:類型五：極值與最值的應用一一不等式恒成立，求參數范圍問題。例6.設函數f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x>0,都有f(x)a成立，求實數a的取值范圍.解：總結升華：.舉一反三：【變式1】(2014遼寧)當x-2，1時，不等式ax3-x2+4x+3>0恒成立，_則實數a的取值范圍是()9A.-5，-3B.-6，-8C.-6，-2D.-4，-3【變式2】已知函數f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，+®)上是增函數，求實數a的取值范圍；(2)若x=3是f(x)的

11、極值點，求f(X)在x1，a上的最小值和最大值.1口；類型六：極值與最值的應用-兩曲線的交點個數問題(方程解的個數問題)3例7.已知函數f(x)x3ax1,a0若f(x)在x1處取得極值，直線y=m與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍解:自我反饋學完本節(jié)知識，你有哪些新收獲？總結本節(jié)的有關習題，將其中的好題及錯題分類整理如有問題，請到北京四中網校的“名師答疑”或“互幫互學”交流.我的收獲習題整理題目或題目岀處所屬類型或知識點分析及注意問題好題錯題注：本表格為建議樣式，請同學們單獨建立錯題本，或者使用四中網校錯題本進行記錄.知識導學：導數的應用二-函數的極值（理）（ID:#404961）高清視頻：函數的極值與最值（ID:#370875）若想知道北京四中的同學們在學什么