巧用勾股定理求最短路徑的長

1、專訓(xùn)1.巧用勾股定理求最短路徑的長名師點金：求最短距離的問題，第一種是通過計算比較解最短問題；第二種是平面圖 形，將分散的條件通過幾何變換（平移或軸對稱）進(jìn)行集中，然后借助勾股定理 解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程 轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程 （距 離）.龕若遨用計算法求平面中最短問題1 .如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從 A走到B,為了避免拐角 C走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1 m）,卻踩傷了花草.（第1題）2 .小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，

2、以往 從黃石A坐客車到武昌客運站B,現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武 漢青山站C,再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站 B.設(shè)AB=80 km, BC =20 km, /ABC = 120.請你幫助小明解決以下問題：（1）求A, C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)收 = 4.6）（2）若客車的平均速度是60 km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h, “武黃城際列車”的平均速度為180 km/h,為了在最短時間內(nèi)到達(dá)武昌客運站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請說明理由.（不計候車時間）邈連&用平移法求平面中最短問題3 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50 cm, 30 c

3、m,10 cm, A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只壁虎，它想到B點 去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從 A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，至少需爬（）A. 13 cm B. 40 cm C. 130 cm D. 169 cm4 .如圖，已知/ B = /C=/D = /E=90,且 AB = CD = 3, BC = 4, DE = EF= 2,則AF的長是.盤逑逐 ;用對稱法求平面中最短問題5 .如圖，在正方形 ABCD中，AB邊上有一點E, AE = 3, EB = 1,在AC 上有一點P,使EP+ BP最短，求EP+ BP的最短長度.（第5題）6 .高速公路的同一側(cè)有 A、

4、B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線 MN的距離分別為 AA=2 km, BB=4 km, A 里8 km.要在高速公路上 A、B 之間建一個出口 P,使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個最短距離.（第6題）遨洛淳 用展開法求立體圖形中最短問題 類型1圓柱中的最短問題(第7題)7 .如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為2,高為2, AB, CD分別是兩底面的 直徑.若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到 C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留根號).類型2圓錐中的最短問題8 .已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為 .(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪

5、開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個 .(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的 食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在 側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10,側(cè)面展開圖的圓心角為90,請你求出蝸牛爬行的最短路 程.類型3正方體中的最短問題(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只9 .如圖，一個正方體木柜放在墻角處 螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角 Ci處.(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長.類型4長方體中的最短問題10

6、 .如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是 12 cm, 8 cm, 30 cm,在AB的 中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從 E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行 的最短路程.（第10題）專訓(xùn)2.巧用勾股定理解折疊問題名師點金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊問題就是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：（1）運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；（2）在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x,將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；（3）利用勾股定理列方程求出x; （4）進(jìn)行相關(guān)計算解決

7、問題.St通電巧用全等法求折疊中線段的長1 .（中考 泰安）如圖是一直角三角形紙片，/ A = 30, BC=4 cm,將其 折疊，使點C落在斜邊上的點C處，折痕為BD,如圖，再將圖沿 DE折 疊，使點A落在DC的延長線上的點A處，如圖，則折痕DE的長為（）A.3 cm B. 2 於 cmC. 2 V2 cm D . 3 cm巍t噬妻巧用對稱法求折疊中圖形的面積2.如圖所示，將長方形ABCD沿直線BD折疊，使點 交 AD 于 E, AD=8, AB =4,求 ABED 的面積.C落在點C處，BC魄曖至巧用方程思想求折疊中線段的長3 .（中考 東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD

8、的中點, WAADE沿AE對折至 AFE,延長EF交BC于點G,連接AG.（1）求證： ABGAAFG;（2）求BG的長.rG（第3題）讖；凝簽巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4 .如圖，將長方形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交 AD于點E,交BC于點F,連接CE.(1)求證：AE=AF = CE = CF;(2)設(shè)AE = a, ED = b, DC = c,請寫出一個 a, b, c三者之間的數(shù)量關(guān)系專訓(xùn)3.利用勾股定理解題的 6種常見題型名師點金：勾股定理建立起了 “數(shù)”與“形”的完美結(jié)合 ，應(yīng)用勾股定理可以解與直 角三角形有關(guān)的計算問題，證明含有平方關(guān)系的幾何問題，作長為

9、F(n為正整 數(shù))的線段，解決實際應(yīng)用問題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問題、折疊問題等， 在解決過程中往往利用勾股定理列方程(組)，有時需要通過作輔助線來構(gòu)造直 角三角形，化斜為直來解決問題.建邀港利用勾股定理求線段長1 .如圖所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ABC =90,點D為AC邊的 中點，過D點作DELDF,交AB于E,交BC于F,若AE = 4, FC=3,求EF 的長.懣微鎏利用勾股定理作長為g的線段2 .已知線段a,作長為33a的線段時，只要分別以長為和的線段為直角邊 作直角三角形，則這個直角三角形的斜邊長就為 幣3a.踵懣逐利用勾股定理證明線段相等3 .如圖，在四邊形 ABF

10、C 中，/ABC=90, CDXAD , AD2 = 2AB2CD2. 求證：AB = BC.:懣量姜利用勾股定理解非直角三角形問題4 .如圖，在 ABC 中，/C=60, AB = 14, AC=10求 BC 的長.:遨量罷利用勾股定理解實際生活中的應(yīng)用5 .在某段限速公路 BC上（公路視為直線），交通管理部門規(guī)定汽車的最高 行駛速度不能超過60 km/h ?P50 m/s j,并在離該公路100 m處設(shè)置了一個監(jiān)測 點A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點 A位于y軸上，測速路段BC在x軸上， 點B在點A的北偏西60方向上，點C在點A的北偏東450方向上.另外一條公 路在y軸上，AO為其中的一段

11、.求點B和點C的坐標(biāo)；（2）一輛汽車從點B勻速行駛到點C所用的時間是15 s,通過計算，判斷該 汽車在這段限速路上是否超速.（參考數(shù)據(jù)：V3- 1.7）（第5題）濯蟹隹利用勾股定理探究動點問題6 .如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90, AB =5 cm, AC = 3 cm,動點 P 從點B出發(fā)沿射線BC以1 cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為t秒.求BC邊的長；(2)當(dāng)4ABP為直角三角形時，借助圖求t的值；(3)當(dāng)4ABP為等腰三角形時，借助圖求t的值.答案專訓(xùn)11. 4(第2題)2.解：(1)如圖，過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E. /ABC=120, . ./BCE

12、= 30.在 RtACBE 中，. BC = 20 km, .BE=10 km.由勾股定理可得CE=10小km.在 RtAACE 中，AC2 = AE2+CE2=(AB + BE)2 + CE2=8 100+ 300=8 400, .AC = 20 V21 = 20X 4.6= 92(km).(2)選擇乘“武黃城際列車”.理由如下：乘客車需時間11 = 80=13什)，乘“武黃城際列車”需時間t2 = U + 20=忌(h).180 4090J /1 13190，選擇乘“武黃城際列車”.3. C點撥：將臺階面展開，連接AB,如圖，線段AB即為壁虎所爬的最 短路線.因為 BC=30X 3+10X

13、3=120（cm）, AC = 50 cm,在 RtAABC 中，根 據(jù)勾股定理，得 AB2=AC2+BC2= 16 900,所以AB = 130 cm.所以壁虎至少爬 行 130 cm.匚（第3題）。（第5題）4. 105. 解：如圖，連接BD交AC于O,連接ED與AC交于點P,連接BP.易知BDXAC,且 BO=OD, ；BP=PD, WJ BP+ EP=ED,此時最短.AE = 3, AD = 1 + 3 = 4,由勾股定理得ED“ = AE + AD”=3 +4/ = 25 = 5 , .ED=BP+EP = 5.6 .解：作點B關(guān)于MN的對稱點C,連接AC交MN于點P,則點P即為 所

14、建的出口.止匕時A、B兩城鎮(zhèn)到出口 P的距離之和最小，最短距離為 AC的 長.作 ADLBB于點 D,在 RtAADC 中，AD=A B =8 km, DC = 6 km. . . AC =、AD2+DC2 =10 km, 這個最短距離為 10 km.（第6題）7 . 2也 點撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開并鋪平得長方形 AA D P連接AC,如圖.線段AC就是小蟲爬行的最短路線.根據(jù)題意得 AB=2/2$ 1 九 2=2.在 RtABC 中，由勾股定理，得 AC2=AB2+BC2 = 22+22=8, a AC=8 =2 2.8 .解：(1)圓錐(2)扇形把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC

15、為蝸牛爬行的最短路線.(4)在 RtASC 中，由勾股定理，得 AC2= 102 + 52= 125,.AC = /125= 5 依5 5.故蝸牛爬行的最短路程為9 .解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC i和ACi.(2)如圖，AC 1 :42+ (4 + 4) 2= 4 V5.AC1 = 4 (4 + 4) 2+42 = 445.所以螞蟻爬過的最短路徑的長是 4 V5.10 .解：分為三種情況：1 一(1)如圖，連接 EC,在 RtAEBC 中，EB = 12+8 = 20(cm), BC=X30=15(cm).(第10題)由勾股定理，得 EC = V202+ 152=

16、25(cm).(2)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE = y1673 cm25 cm(3)如圖，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求 CE =4122+ (30+ 8+15) 2=弋2 953(cm)25cm.綜上可知，小蟲爬彳T的最短路程是 25 cm 專訓(xùn)21 . A2 .解：由題意易知AD / BC, ；/2=/3. .BC D與 BCD關(guān)于直線BD對稱， / 1 = / 2.；/ 1 = / 3. ；EB=ED.設(shè) EB=x,則 ED = x, AE = AD ED = 8 x.在 RtAABE 中，AB2 + AE2=BE2, .42+ (8 x)2 = x2 . .x=5. 1_

17、 _1 DE = 5. Sa bed =2DEAB=2X5X4=10.3. (1)證明：在正方形 ABCD 中，AD = AB, /D = /B = 90.將 ADE沿AE對折至 AFE, .AD=AF, DE = EF, /D=/AFE = 90. .AB=AF, /B = /AFG=90.又AG = AG, a RtA ABGRtAAFG(HL).(2)解：vAABGAAFG,.BG=FG.設(shè) BG=FG=x,貝U GC = 6 x,. E 為 CD 的中點，.二 CE=DE=EF=3, . EG = 3 + x. 在 RtACEG 中，32+(6x)2=(3 + x)2,解得 x=2.

18、.BG = 2.4. (1)證明：由題意知，AF=CF, AE = CE, /AFE = /CFE,又四邊形 ABCD是長方形，故 AD B BC,丁. / AEF= / CFE./. / AFE = / AEF. .AE = AF = EC=CF.(2)解：由題意知，AE = EC = a, ED = b, DC = c,由/D=90知，ED2 +DC2 = CE2,即 b2+c2=a2.專訓(xùn)3* LF X. L X看 LASF C（第1題）1 .解：如圖，連接BD.二.等腰直角三角形ABC中，點D為AC邊的中點，BDXAC, BD 平分/ ABC（等腰三角形三線合一），. / ABD =

19、/ CBD = 45,又易知/ C = 45,丁. / ABD = / CBD = / C. ； BD = CD.VDEXDF, BDXAC ,丁. / FDC+ / BDF = / EDB+ / BDF. / FDC= / EDB.在AEDBAFDC 中，/EBD = /C, BD = CD,.EDBAFDC（ASA）,/EDB = / FDC,.BE=FC = 3.AB = 7, WJ BC = 7.； BF = 4.在 RtA EBF 中，EF2=BE2 + BF2=32 + 42=25,.EF = 5.2 . 2a； 3a3 .證明：vCDXAD , ；/ADC =90,即 ADC是直

20、角三角形.由勾股定理，得ad2+cd2=ac2.又= AD2 = 2AB2 CD2, AD2 + CD2=2AB2 . .AC2=2AB2. /ABC = 90,.ABC是直角三角形.由勾股定理，得 AB2+BC2=AC2, AB2+BC2=2AB2,故 BC2 = AB2,即 AB = BC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時，應(yīng)選擇用勾股定理證明， 應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：找出圖中證明結(jié)論所要用到的 直角三角形；根據(jù)勾股定理寫出三邊長的平方關(guān)系；聯(lián)系已知，等量代 換，求之即可.4 .解：如圖，過點A作ADLBC于點D. ./ADC = 90.又C = 60, ./ CAD = 90/ C = 30,(第4題)1- . CD = /AC = 5. 在 RtAACD 中，AD=AC2-CD2 =110252 = 5 事. 在 RD ABD 中，BD=，AB2AD2 =11. .BC=BD + CD=11 + 5=16.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長的方法：作三角形一 邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用 推理或列方程的方法解決問題.5.解：(1)在 RtAAOB 中，一一 。 ，一