高三T能力(類比思維2星)

1、能力：類比思維 5在學(xué)習(xí)立體幾何時，常從平面幾何中的知識獲得啟發(fā), 勾股定理，它能推廣到立體幾何中去嗎？發(fā)現(xiàn)立體圖形的新知識平面幾何里最著名定理莫過于拿長方體和直角三角形作類比，長方體的三度：長、寬、高，如圖1-1 ,考察長方體的體對角線AIC和長Al BI a，寬BiCi b，高AAI C之間有何聯(lián)系? CCi底面 AI BiCi Di，平面 AGAi BiCi Di,° CCiAC.令A(yù)lCd ,則d2 CCi2 AG2Ai BiBiCi ,A1Bi2B1C122 2a b ,又 CCi AAl代入，得d2a2 b2這一結(jié)果就是勾股定理在立體幾何中的推廣世界上許多事物是由相似的單

2、元， 層次排列組合而來的因此可以從某一類事物的性質(zhì)， 推想與這一類事物相 似的另一類事物是否也具有類似的性質(zhì)，這就是類比推理 也是自然科學(xué)中的一種有效的思維方法 在數(shù)學(xué)中，從 整數(shù)的因式分解通過類比研究整式的因式分解；從分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，通過類比獲得分式的基本性質(zhì) 整數(shù)與整式, 分?jǐn)?shù)與分式之間存在許多類似地定理，平面幾何與立體幾何也有許多類似定理當(dāng)然事物存在相同的一面，同時也存在相異的一面相似就是客觀事物中存在相同與變異的矛盾的統(tǒng)一因而 類比推理是合情推理，是發(fā)現(xiàn)真理的思維方法，但不是證明的工具等式與不等式有不少相似的性質(zhì)：等式不等式1ab , bC ,則a C,ab ,bC,則aC 2ab則a

3、Cb C,ab ,則a CbG3ab ,則acbC,ab ,C0,則aCbe ；ab ,C0 ,則aCbc性質(zhì)1、2等式與不等式是完全類同的，但性質(zhì)3則是相異的，忽略這一點，常易導(dǎo)致錯誤12 min.例1()已知平面上的邊等邊多邊形的面積為S,邊長為a ,點P為其形內(nèi)任意一點， 那么點P到各邊的距離之和為定值通過類比，在立體幾何中能獲得類似地定理嗎？S)，體積為定值V ,解：通過類比，可知空間多面體，如果每個面都是全等的多面邊(面積為 則此多面體內(nèi)任意一點 P到各個面的距離之和必為定值 點P與多面體的各個頂點的連線，將多面體分割成許多小棱錐，它們的體積之和:III1Sh -Sh2-Sh3 L

4、-ShI V .33333V h1 h2 h3 L hn （定值）.例2.（）平面上無三直線共點和二直線平行的n條直線能將平面劃分成幾個部分.通過類比能否獲得空間無四平面共點，無三平面共線，無兩平面平行的n個平面能將空間劃分成幾部分？解：設(shè)n條直線，無三直線共點和無二直線平行將平面劃分成f n部分.（如圖1-4）f 12, f 24, f 3 7, f 411,L這里有什么規(guī)律？由于f 12是很明顯的，第二條直線與第一條直線相交，有一交點，將第二條直線分為兩部分，故第三條直線與第一，二兩條直線都相交，有兩個交點將第三條直線分為三部分，故條直線與前三條直線都相交，有三個交點，將第四條直線分成四部

5、分，故按此規(guī)律，可知第n條直線與前 n 1條直線都相交，有 n 1個交點，將第n條直線分成n部分，故fnf n 1n將 f 12,f 2f12,13 f 23,L , 1F nf n 1 n （共）n個等式相加f 1 f 21F 3Lf n2 2 3 L nf1 F2 L fn 1 f n 2 2 3 Lnn n21 1.與此類似，設(shè)空間n個平面（無四平面共點，無三平面共線，無二平面平行）將空間劃分成F n部分，則F 1 2, F 2 F 1 f 1 , F 3 F 2 f 2 , L .Fn F n 1f n 1這是由于第n個平面與前 n 1個平面都相交，共有n 1條交線，將第n個平面劃分成

6、f n 1部分，所以Fn比F n 1增加f n 1部分.F 1 F 2 F 3 L FnF 1 F2LF n12f 1f2Lfn1故 Fn 211 211 2311 341L1n n1 122222ClCaC：LCnn1QC2nCi13Cn,n31c43c33c53C：LCn 1Cni2n1Cn1n 11n1n(n1)n 11n12 nn6 .6620 min.鞏固練習(xí):1. ()已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的【解題思路：從方法的類比入手?！?,把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是31 1解：原問題的解法為等面積法，即S Iah 3 Iar2 2r 1h ,類比問題的解法應(yīng)為等體積法,3

7、V 1 Sh 4 1 Srr 1 h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高13 344【總結(jié):(1)不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比(2)類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等】2. ()在 ABC中若 C 900 ,則Cos2A cos2 B 1 ,用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明 你的猜想?！窘忸}思路：考慮兩條直角邊互相垂直如何類比到空間以及兩條直角邊與斜邊所成的角如何類比到空間。分析：由平面類比到空間，有如下猜想: 面所成的角分別為 ，則Cos2“在三棱錐 P ABC中，三個側(cè)面 PAB,P

8、BC,PCA兩兩垂直，且與底 cos2cos21 ”。由PCPA, PCPB得PC 面PAB ,從而PCPM,又PMChhhcosSin PCO，cos，cosPCPAPBQVP ABC1 PA PB PC 1(1 PAPB cos1 PB PC cos1 PC63 222coscoscos2 22()h 1 即 coscoscos1PCPAPB證明：設(shè)P在平面ABC的射影為0,延長CO交AB于M ,記POhPA cos ) h【總結(jié):(1) 找兩類對象的對應(yīng)元素，如：三角形對應(yīng)三棱錐，圓對應(yīng)球，面積對應(yīng)體積，平面上的角對應(yīng)空間角等等;(2) 找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線

9、面垂直或面面垂直，邊相等對應(yīng)面積相等。3. ()現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂2點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為類比到4間，有兩個棱長均為 a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心， 這兩個正方體重疊部分的體積恒為 .3 解：解法的類比(特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為a84.()已知 ABC的三邊長為a,b,c ,內(nèi)切圓半徑為r ,則S ABC-r(a b C)；類比這一結(jié)論有：若2三棱錐A BCD的內(nèi)切球半徑為 R ,則三棱錐體積 VABCD1解: 3 R(S ABCS ABD S ACDS BCD )5. ()在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為AX By C 0,圓心在(Xo,y°)的圓的一般方程為(X X。)2 (y y0)2 r2 ；則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為 ,球心解: AX By CZ D在