王淑華固體答案五學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1王淑華固體王淑華固體(gt)答案五答案五第一頁(yè)，共75頁(yè)。 xeaxkiknak 由此得由此得（1） xasinaxasin xasinexasin1iknan 于是于是(ysh) nikna1e 因此因此(ync)得得 n12skna 所以所以(suy) 0,1,2.s a12sk 第2頁(yè)/共75頁(yè)第二頁(yè)，共75頁(yè)。（2） axcosexaicosaxaicosikna 即即 niknaie 得得n232skna 所以所以(suy) 0,1,2.s a232sk 第3頁(yè)/共75頁(yè)第三頁(yè)，共75頁(yè)。（3） llka1lxflaaxfax令令1ll 得得 xexalxfaxkiknakl

2、k 由上知由上知1eikna 可知可知(k zh)2skna 所以所以(suy) 2.1,n 0,1,2.s na2sk 第4頁(yè)/共75頁(yè)第四頁(yè)，共75頁(yè)。5.2 5.2 電子在周期場(chǎng)中得勢(shì)能電子在周期場(chǎng)中得勢(shì)能 0naxbm21xV222bnaxbna 當(dāng)當(dāng) bnaxba1-n 當(dāng)當(dāng)且且4b,a 是常數(shù)。是常數(shù)。試畫出此勢(shì)能曲線，并求此勢(shì)能的平均值。試畫出此勢(shì)能曲線，并求此勢(shì)能的平均值。解：解：Oa2a3axV(x)如圖所示，由于勢(shì)能具有如圖所示，由于勢(shì)能具有(jyu)周期性，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均周期性，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均第5頁(yè)/共75頁(yè)第五頁(yè)，共75頁(yè)。即可，即可，于是于是(ys

3、h)得得 dxxV4b1dxxVa1V2b2b2a2a dxxbm214b1222bb bb322x31xb8bm 22bm61 第6頁(yè)/共75頁(yè)第六頁(yè)，共75頁(yè)。5.3 用近自由電子模型用近自由電子模型(mxng)求解上題，確定晶體的第一及第二個(gè)禁帶求解上題，確定晶體的第一及第二個(gè)禁帶寬度寬度(kund)。解：解：在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量在布里淵區(qū)邊界上，電子的能量(nngling)出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度的表示式為式為ngV2E 其中其中nV是周期勢(shì)場(chǎng)是周期勢(shì)場(chǎng)V(x)付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)， dxexVa1Vnxa2i2a2an 求得。求得。第一禁帶寬度

4、為第一禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa2i2a2a1g1 該系數(shù)可由式該系數(shù)可由式第7頁(yè)/共75頁(yè)第七頁(yè)，共75頁(yè)。 dxexb2m4b12xa2ibb222 322bb222b8mdxx2bcosxb2m4b12 第二第二(d r)禁帶寬度為禁帶寬度為 dxexVa12V2Exa4i2a2a2g2 dxexb2m4b12xbibb222 222bb222bmdxxbcosxb2m4b12 第8頁(yè)/共75頁(yè)第八頁(yè)，共75頁(yè)。5.4 用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶態(tài)電子的能帶 2akcos2akcos2akcos8JAEkEzyxats并求能帶寬度。

5、并求能帶寬度。解：解：用緊束縛方法用緊束縛方法(fngf)處理晶格的處理晶格的s態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，的相互作用時(shí)， 是最近鄰格矢是最近鄰格矢nRk inatsR,eJAEkEn 對(duì)體心對(duì)體心(t xn)立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為（立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，0），），則則8個(gè)個(gè)最近最近(zujn)鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為 2a,2a,2a其能帶的表示式為其能帶的表示式為第9頁(yè)/共75頁(yè)第九頁(yè)，共75頁(yè)。將上述將上述(shngsh)8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得 nRk inatseJAEkE zyx2aizy

6、x2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aizyx2aiatskkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkekkkeJAE第10頁(yè)/共75頁(yè)第十頁(yè)，共75頁(yè)。 2akcose2akcose2akcose2akcose2JAEzkk2aizkk2aizkk2aizkk2aiatsyxyxyxyx 2akcos2akcosee4JAEzyk2aik2aiatsxx2akcos2akcos2ak8JcosAEzyxats 由余弦函數(shù)由余弦函數(shù)(hnsh)的性質(zhì)，用觀察法即可斷定，的性質(zhì)，用觀察法即可斷定，當(dāng)當(dāng)0kkkzyx 時(shí)，時(shí)，能帶中的能量能帶中的能量(nngl

7、ing)取最小值取最小值第11頁(yè)/共75頁(yè)第十一頁(yè)，共75頁(yè)。8JAEE0min 當(dāng)當(dāng)a1k,a1k,a1kzyx 時(shí)，時(shí)，能量能量(nngling)取最大值取最大值8JAEE0max 因而因而(yn r)能帶的寬度為能帶的寬度為16JEEEminmax 第12頁(yè)/共75頁(yè)第十二頁(yè)，共75頁(yè)。5.5由由N格原子組成的三維晶體（簡(jiǎn)單晶格格原子組成的三維晶體（簡(jiǎn)單晶格),其孤立原子中的其孤立原子中的 ,e1xxat 為正的常數(shù)。為正的常數(shù)。（1）試寫出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；）試寫出該晶體的緊束縛近似波函數(shù)；（2）證明上面寫出的緊束縛近似波函數(shù)具有布洛赫波函數(shù)）證明上面寫出的緊束縛近似波函數(shù)具有

8、布洛赫波函數(shù)（3）對(duì)比說(shuō)明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及）對(duì)比說(shuō)明孤立原子的電子和晶體中的電子的波函數(shù)及電子基態(tài)波函數(shù)為電子基態(tài)波函數(shù)為的性質(zhì)；的性質(zhì)；能量的特征。能量的特征。解：解：（1）按緊束縛近似）按緊束縛近似(jn s)，三維晶體電子的波函數(shù)為，三維晶體電子的波函數(shù)為 latRk iRatRkeN1r , kll 第13頁(yè)/共75頁(yè)第十三頁(yè)，共75頁(yè)。一維晶體情況下，晶格常數(shù)一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl 所以所以(suy) naxeN1x, katnak in 又又 xate1x 得得 naxnak ineeN1x, k （2）按正交化平面波方法按正交化平面波方法(fn

9、gf)，三維晶體電子的波函數(shù)為，三維晶體電子的波函數(shù)為第14頁(yè)/共75頁(yè)第十四頁(yè)，共75頁(yè)。 reN1xiikkj,ijM1jrkki deRr1liiRrkkilatjkk ,kij latjRk ilk jRreN1l 對(duì)于一維晶體情況下，晶格常數(shù)對(duì)于一維晶體情況下，晶格常數(shù)a，naRl ，a xeNa1xiikkj,ijM1jxkki dxenaxa1naxkkiaatjkk ,kijii 第15頁(yè)/共75頁(yè)第十五頁(yè)，共75頁(yè)。此處此處 xate1x dxeea1naxan2kianaxkk ,kiji naxiknanjkeeN1 若只取一項(xiàng)，則若只取一項(xiàng)，則 nnaxeiknaedx

10、naxikeanaxeNa1ikxeNa10 x第16頁(yè)/共75頁(yè)第十六頁(yè)，共75頁(yè)。5.6 一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng)一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng) ma10102 ， mb10104 （1）畫出倒格子圖；）畫出倒格子圖；（2）以廣延圖和簡(jiǎn)約圖兩種形式，畫出第一布里淵區(qū)和）以廣延圖和簡(jiǎn)約圖兩種形式，畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費(fèi)密面。）畫出自由電子的費(fèi)密面。(設(shè)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子。）設(shè)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子。）解：解：jAjbbiAiaa0042 倒格子倒格子(g zi)基矢為基矢為jAbiAaoo4121* (1)因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)第17頁(yè)/共75頁(yè)第十七頁(yè)，共75頁(yè)

11、。以以*,ba如圖如圖6-11所示所示,圖中圖中“。”代表倒格點(diǎn)。由圖可見，代表倒格點(diǎn)。由圖可見，矩形矩形(jxng)晶格的倒格子也是晶格的倒格子也是矩形矩形(jxng)格子。格子。為基矢構(gòu)成為基矢構(gòu)成(guchng)的倒格子的倒格子第一區(qū)第一區(qū)第二區(qū)第二區(qū)xkyk a bo1A2A3A4A1B2B3B4B第18頁(yè)/共75頁(yè)第十八頁(yè)，共75頁(yè)。（2）其結(jié)果其結(jié)果(ji gu)如圖所示。如圖所示。iA、次近鄰、次近鄰 iB的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)的連線的中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)(如上圖如上圖)，這，這是布里淵區(qū)的廣延圖。是布里淵區(qū)的廣延圖。取任意倒格點(diǎn)取任意倒格點(diǎn)o作為原點(diǎn)，

12、由原點(diǎn)至其最近鄰作為原點(diǎn)，由原點(diǎn)至其最近鄰如采用簡(jiǎn)約形式如采用簡(jiǎn)約形式(xngsh)，將第二區(qū)移入第一區(qū)，將第二區(qū)移入第一區(qū)，xkyk第19頁(yè)/共75頁(yè)第十九頁(yè)，共75頁(yè)。（3）簡(jiǎn)約簡(jiǎn)約(jinyu)布里淵區(qū)的面積布里淵區(qū)的面積 便有便有2N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)(zhungti)。2*)(81oAbaA 而狀態(tài)而狀態(tài)(zhungti)密度密度2*)(162)(oANANkg 當(dāng)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子時(shí)，晶體電子的總數(shù)為當(dāng)每個(gè)原胞有兩個(gè)電子時(shí)，晶體電子的總數(shù)為 201622FkkNkdkkgNF 設(shè)晶體共有設(shè)晶體共有N個(gè)原胞，計(jì)入自旋后，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中個(gè)原胞，計(jì)入自旋后，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中第20頁(yè)/共75頁(yè)

13、第二十頁(yè)，共75頁(yè)。所以所以(suy)11112/11022 . 081 mAkoF 這就是費(fèi)米這就是費(fèi)米(fi m)圓的圓的半徑，據(jù)此做出半徑，據(jù)此做出費(fèi)米費(fèi)米(fi m)圓如圖所示。圓如圖所示。xkykoFk第21頁(yè)/共75頁(yè)第二十一頁(yè)，共75頁(yè)。5.7 有一平面有一平面(pngmin)正六角形晶格，六角形兩個(gè)平行對(duì)邊的間距為正六角形晶格，六角形兩個(gè)平行對(duì)邊的間距為a（見圖），試畫出此晶體的第一（見圖），試畫出此晶體的第一(dy)、第二、第三布里淵區(qū)。若、第二、第三布里淵區(qū)。若每個(gè)原胞有每個(gè)原胞有2個(gè)電子試畫出其費(fèi)米個(gè)電子試畫出其費(fèi)米(fi m)圓周。圓周。解：解：如圖所示，平面六角晶格如

14、圖所示，平面六角晶格1a2aoxya取六角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，取六角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，原胞也如圖中畫出。原胞也如圖中畫出。每個(gè)原胞中包含有兩個(gè)原子。每個(gè)原胞中包含有兩個(gè)原子。是一個(gè)復(fù)式格子。是一個(gè)復(fù)式格子?；富缚捎上率浇o出可由下式給出21a,a第22頁(yè)/共75頁(yè)第二十二頁(yè)，共75頁(yè)。 j a23i a23aj a23i a23a21，可得到，可得到(d do)倒格基矢倒格基矢 j a23i a232aa2bj a23i a232aa2b132321在二維晶格在二維晶格(jn )下，取下，取ka3 其中其中(qzhng)由由 2321a233aaa 給出。給出。第23頁(yè)/共75頁(yè)第二十三頁(yè)

15、，共75頁(yè)。所以所以(suy) j31i33a2bj31i33a2b21根據(jù)根據(jù)(gnj)倒格基矢就可以倒格基矢就可以畫出個(gè)倒格點(diǎn)，從而畫出個(gè)倒格點(diǎn)，從而畫出布里淵區(qū)如圖。畫出布里淵區(qū)如圖。當(dāng)每個(gè)原子有當(dāng)每個(gè)原子有2個(gè)電子個(gè)電子(dinz)時(shí)，則二維晶格的價(jià)時(shí)，則二維晶格的價(jià)電子電子(dinz)面密度為面密度為1b2b第24頁(yè)/共75頁(yè)第二十四頁(yè)，共75頁(yè)?？伤愠鲑M(fèi)米可算出費(fèi)米(fi m)圓的半徑圓的半徑a3.1a3316n2k2F 由此可以由此可以(ky)畫出自由電子的畫出自由電子的費(fèi)米圓，如圖中的所示。費(fèi)米圓，如圖中的所示。2Ca338A4n 考慮周期勢(shì)場(chǎng)的微擾，對(duì)自由電子的費(fèi)米圓作兩點(diǎn)修

16、正：（考慮周期勢(shì)場(chǎng)的微擾，對(duì)自由電子的費(fèi)米圓作兩點(diǎn)修正：（1）在布里淵區(qū)的邊界線處發(fā)生分裂。（）在布里淵區(qū)的邊界線處發(fā)生分裂。（2）費(fèi)米圓與布里淵區(qū)邊界線間的交角進(jìn)行）費(fèi)米圓與布里淵區(qū)邊界線間的交角進(jìn)行(jnxng)鈍化。鈍化。1b2b第25頁(yè)/共75頁(yè)第二十五頁(yè)，共75頁(yè)。5.8 平面正三角形晶格（見圖），相鄰原子間距為平面正三角形晶格（見圖），相鄰原子間距為a。試求。試求（1）正格矢和倒格矢；）正格矢和倒格矢；（2）畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。）畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域的內(nèi)接圓的半徑。1a2aa解：解：（1）正格正格(zhn )原胞的基矢原胞的基矢如圖所示取為如圖所示取

17、為j23i2aa, i aa21 其中其中 和和 是相互是相互(xingh)垂直的垂直的單位單位(dnwi)矢量。矢量。ij第26頁(yè)/共75頁(yè)第二十六頁(yè)，共75頁(yè)。取單位矢量取單位矢量 垂直于垂直于 和和 ，則，則 和和 構(gòu)成的體積構(gòu)成的體積ijk21a,ak3a23 倒格原胞的基矢為倒格原胞的基矢為 ja34ak2bja32ia2ka2b1221 （2）選定一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近選定一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)的最近(zujn)鄰倒格矢有鄰倒格矢有6個(gè)，它們個(gè)，它們是是 2121bb,b,b 第27頁(yè)/共75頁(yè)第二十七頁(yè)，共75頁(yè)。這這6個(gè)倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)成個(gè)倒格矢的中垂線圍成的區(qū)間構(gòu)

18、成(guchng)了兩部分，以原點(diǎn)為對(duì)稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū)。了兩部分，以原點(diǎn)為對(duì)稱心的正六邊形是第一布里淵區(qū)。第一第一(dy)布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑為布里淵區(qū)內(nèi)切圓的半徑為a322bk2 21bb 21bb- 1b1b-2b2b-第28頁(yè)/共75頁(yè)第二十八頁(yè)，共75頁(yè)。5.9 證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對(duì)應(yīng)于證明：體心立方晶格第一布里淵區(qū)的界面對(duì)應(yīng)于 110晶面的布拉格反射。晶面的布拉格反射。證明證明(zhngmng)： , 3 , 2 , 1sin2 nnd 對(duì)于對(duì)于(duy)一級(jí)反射，一級(jí)反射，n=1,則有則有 sin2d (1) 式中，式中，d為反射為反射(fnsh)晶面

19、族的面間距，晶面族的面間距， 為布拉格角。為布拉格角。在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有 2sinnKk 根據(jù)布拉格衍射公式根據(jù)布拉格衍射公式第29頁(yè)/共75頁(yè)第二十九頁(yè)，共75頁(yè)。此處此處nK為被界面為被界面(jimin)垂直平分的倒格矢，垂直平分的倒格矢，nKk sin21 (2) 令令(1)(2)兩式右邊兩式右邊(yu bian)相等，便得相等，便得2221lkhaKdn (3) 式中式中a為立方晶系的晶格為立方晶系的晶格(jn )常數(shù)，常數(shù)，h,k,l為晶面指數(shù)。為晶面指數(shù)。 對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，其倒格子原胞是邊長(zhǎng)為對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，其倒格子原胞是邊長(zhǎng)為2/a的面心

20、立方的面心立方格子，布里淵區(qū)則是從坐標(biāo)原點(diǎn)到最近鄰的格子，布里淵區(qū)則是從坐標(biāo)原點(diǎn)到最近鄰的12個(gè)面心的倒個(gè)面心的倒格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長(zhǎng)度格矢的中垂面圍成的十二面體，這些倒格矢的長(zhǎng)度nK由此得由此得第30頁(yè)/共75頁(yè)第三十頁(yè)，共75頁(yè)。正好等于正好等于(dngy)面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半， 即即 aaKn22221 于是于是(ysh)從從(3)式給出式給出21aKdn (4) 根據(jù)衍射理論，對(duì)于體心立方格子，只有晶面指數(shù)之和為偶數(shù)根據(jù)衍射理論，對(duì)于體心立方格子，只有晶面指數(shù)之和為偶數(shù)的晶面族才能產(chǎn)生的晶面族才能產(chǎn)生1級(jí)反射，因此從級(jí)反射，因此從(3)(4)兩式

21、容易兩式容易(rngy)看出，與布看出，與布里淵區(qū)邊界面相對(duì)應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為里淵區(qū)邊界面相對(duì)應(yīng)的反射晶面族的面指數(shù)為 . 110第31頁(yè)/共75頁(yè)第三十一頁(yè)，共75頁(yè)。解：解： snRRRki0JeAEkEnsn 最最近近臨臨(1) 式中式中sR和和nR分別為參考分別為參考(cnko)原子及其最近鄰的位矢。原子及其最近鄰的位矢。 在面心立方格子在面心立方格子(g zi)中，有中，有12個(gè)最近鄰。個(gè)最近鄰。=0,12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)個(gè)最近鄰的坐標(biāo)(zubio)分別是分別是sR5.10 用緊束縛方法處理面心立方晶格的用緊束縛方法處理面心立方晶格的s態(tài)電子，若只計(jì)最態(tài)電子，若只計(jì)最近鄰的相互作

22、用，試導(dǎo)出其能帶表達(dá)式。近鄰的相互作用，試導(dǎo)出其能帶表達(dá)式。原點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)時(shí)，晶體中晶體中s態(tài)電子的能量表示為態(tài)電子的能量表示為若只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，若只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似所得的結(jié)果，當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)當(dāng)取參考原子為坐標(biāo)第32頁(yè)/共75頁(yè)第三十二頁(yè)，共75頁(yè)。對(duì)于對(duì)于s態(tài)電子態(tài)電子(dinz)，原子與各個(gè)最近鄰的交迭積分皆相等，原子與各個(gè)最近鄰的交迭積分皆相等，JJsn ，則從，則從(1)式得式得 1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 0 , 12,1 , 0 , 12,1, 1, 02,1 , 1, 02,1, 1 , 02,1 , 1

23、 , 02,0 , 1, 12,0 , 1 , 12,0 , 1, 12,0 , 1 , 12aaaaaaaaaaaa )kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai)kk(2ai)kk(2ai)k(k2ai)k(k2ai0zxzxzxzxzyzyzyzyyxyxyxyxeeeeeeeeeeeeJAEkE令令第33頁(yè)/共75頁(yè)第三十三頁(yè)，共75頁(yè)。 zyzxyx0k2acosk2acosk2acosk2acosk2acosk2acos4JAE zzyyxxzzyyxxk2aik2aik2aik2aik2aik2aik2aik2a

24、ik2aik2aik2aik2ai0eeeeeeeeeeeeJAE第34頁(yè)/共75頁(yè)第三十四頁(yè)，共75頁(yè)。5.11 證明：在三維晶格中，電子的能量在證明：在三維晶格中，電子的能量在k空間中具有空間中具有 hKkEkE , ,式中式中hK為任一倒格矢。為任一倒格矢。周期性：周期性：證明證明(zhngmng)： ruerkrkik 2(1) 波函數(shù)波函數(shù) rk 具有如下具有如下(rxi)性質(zhì)：性質(zhì)： reTrrTkTkikk 2(2) 代表代表(dibio)平移算符。平移算符。 T顯然，平面波顯然，平面波可寫成可寫成按照布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)按照布洛赫定理，在周期性勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

25、的電子的波函數(shù)第35頁(yè)/共75頁(yè)第三十五頁(yè)，共75頁(yè)。 riKkhKkhCer 2滿足滿足(mnz)(2)式，式， hK為任意為任意(rny)倒格矢。倒格矢。 因此，電子因此，電子(dinz)波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是所有波函數(shù)應(yīng)當(dāng)是所有 rhKk 的線性疊加，即的線性疊加，即 rArhhhKkKKkk rKi2KKkrki2rKki2KKkhhhhhheBeeB (3) 其中其中 hhKkKkCAB 。 對(duì)比對(duì)比(1)(3)兩式可知兩式可知 rKiKKkkhhheBru 2(4) 第36頁(yè)/共75頁(yè)第三十六頁(yè)，共75頁(yè)。容易容易(rngy)看出，看出， ruk具有具有(jyu)晶格的周期性。晶格的周期性。

26、 由由(4)式還可得到式還可得到(d do) rKiKKKkKkhhmhmeBru 2其中其中 mK也為任一倒格矢。也為任一倒格矢。 令令 hmlKKK ， 則上式可以寫成則上式可以寫成 r)K(Ki2KKkKkmlllmeBru rKi2KKkrKi2lllmeBe ruekrKi2m (5) 第37頁(yè)/共75頁(yè)第三十七頁(yè)，共75頁(yè)。由由(1)(5)式，有式，有 ruerhhhKkrKki2Kk rueekrKi2rKki2hh rruekkrki2 (6) 即電子即電子(dinz)波函數(shù)在波函數(shù)在k空間空間(kngjin)具有平移對(duì)稱性。具有平移對(duì)稱性。由薛定諤方程由薛定諤方程(fngch

27、ng) rkErHkk rKkErHhhKkhKk 結(jié)合結(jié)合(6)式，立即得到式，立即得到 hKkEkE 第38頁(yè)/共75頁(yè)第三十八頁(yè)，共75頁(yè)。5.12 證明在任何能帶中，波矢為證明在任何能帶中，波矢為k和波矢為和波矢為k的狀態(tài)有相同的狀態(tài)有相同的能量，即的能量，即 kEkEnn kEn這里這里 代表簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中第代表簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中第n個(gè)能帶的態(tài)能量。個(gè)能帶的態(tài)能量。 證明證明(zhngmng)： rV表示表示(biosh)，電子波函數(shù)用，電子波函數(shù)用 rnk 表示表示(biosh)， 則薛定諤方程為則薛定諤方程為 rkErrVrmhnknnknk 222從布洛赫定理知道，波函數(shù)從布洛赫定

28、理知道，波函數(shù) ruernkrkink 2若周期性勢(shì)場(chǎng)用若周期性勢(shì)場(chǎng)用第39頁(yè)/共75頁(yè)第三十九頁(yè)，共75頁(yè)。代入薛定諤方程代入薛定諤方程(fngchng)，并由，并由 zkykxkrkzyxzyx2222222便可得到便可得到(d do)決定函數(shù)決定函數(shù) runk的方程的方程(fngchng)： rukErurVrukk imhnknnknk 2222442 (1) 取取(1)式的共軛復(fù)式，得式的共軛復(fù)式，得 rukErurVrukk imhnknnknk*2222442 (2) 第40頁(yè)/共75頁(yè)第四十頁(yè)，共75頁(yè)。若在若在(1)式中用式中用(zhngyng) k 代替代替(dit) k，

29、則有，則有 rukErurVrukk imhknnknkn ,2222442 (3) 比較比較(2)(3)式可知，除了式可知，除了(ch le)滿足滿足 ruruknnk ,*之外，之外， 顯然有顯然有 kEkEnn 可見，在任一能帶可見，在任一能帶 nE中，波矢為中，波矢為 k k相同的能量。相同的能量。和和 的兩狀態(tài)具有的兩狀態(tài)具有第41頁(yè)/共75頁(yè)第四十一頁(yè)，共75頁(yè)。5.13 證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由證明：二維正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大倍。電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大倍。 對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，其相應(yīng)

30、的倍數(shù)是多少？對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？證明證明(zhngmng)：角隅處角隅處C和側(cè)邊和側(cè)邊(c bin)中點(diǎn)處中點(diǎn)處A的的波矢分別為波矢分別為ACoxkyka1akakCA22,21 k空間空間 中一個(gè)邊長(zhǎng)為中一個(gè)邊長(zhǎng)為1/a的正方形的正方形(如圖如圖 )。 對(duì)邊長(zhǎng)為對(duì)邊長(zhǎng)為a的二維正方格子的二維正方格子, 其第一布里淵區(qū)是其第一布里淵區(qū)是第42頁(yè)/共75頁(yè)第四十二頁(yè)，共75頁(yè)。相應(yīng)相應(yīng)(xingyng)的自由電子能量為的自由電子能量為222222224282mahmkhEmahmkhECCAA 可見可見(kjin)， ACEE2 對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方晶格，若晶格

31、常數(shù)為晶格，若晶格常數(shù)為a，第一第一(dy)布里淵區(qū)是一個(gè)邊布里淵區(qū)是一個(gè)邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為1/a的立方體的立方體(如圖如圖)，akakCA23,21 。ACoxkykzka1此時(shí)此時(shí)第43頁(yè)/共75頁(yè)第四十三頁(yè)，共75頁(yè)。相應(yīng)相應(yīng)(xingyng)的自由電子能量為的自由電子能量為2222222283282mahmkhEmahmkhECCAA 可見可見(kjin)， ACEE3 即對(duì)簡(jiǎn)單立方即對(duì)簡(jiǎn)單立方(lfng)晶格，第一布里淵區(qū)角隅晶格，第一布里淵區(qū)角隅 處一個(gè)自由電子的能量等于側(cè)面中點(diǎn)處能量的處一個(gè)自由電子的能量等于側(cè)面中點(diǎn)處能量的3倍。倍。第44頁(yè)/共75頁(yè)第四十四頁(yè)，共75頁(yè)。5.14 應(yīng)用

32、緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可表示為應(yīng)用緊束縛近似證明，正交晶系的能帶可表示為 3322110coscoscos2akJakJakJAEkEzyx 式中，式中， 3210，、 iJAEi對(duì)已知晶體可視為常數(shù)；對(duì)已知晶體可視為常數(shù)； 321 ， iai是晶格常數(shù)。是晶格常數(shù)。證明證明(zhngmng)： snRRRkiJeAEkEnsn 最近臨 20 (1) 式中式中 nsRR,分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢，分別代表參考原子及其最近鄰原子的位矢， snJ是位矢為是位矢為 nsRR,兩原子兩原子s態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。態(tài)電子波函數(shù)的交迭積分。 在緊束縛近似條件在緊束縛近似條件(tioj

33、in)下，下，s態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為態(tài)布洛赫電子的能帶可表示為第45頁(yè)/共75頁(yè)第四十五頁(yè)，共75頁(yè)。取取 0 sR，即以參考，即以參考(cnko)原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，其六個(gè)最近其六個(gè)最近(zujn)鄰的坐標(biāo)分別為鄰的坐標(biāo)分別為 332211, 0 , 0, 0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,0 , 0 ,aaaaaa 代入代入(1)式，得式，得 1120, 120, 10akiakixxeJeJAEkE 332220,320,320,220,2akiakiakiakizzyyeJeJeJeJ (2) 注意注意(zh y)到到 0 , 0 ,1a和和 0 ,

34、0 ,1a 兩原子與原點(diǎn)距離相等，兩原子與原點(diǎn)距離相等， 應(yīng)有應(yīng)有 則對(duì)于簡(jiǎn)單正交晶系，則對(duì)于簡(jiǎn)單正交晶系， 第46頁(yè)/共75頁(yè)第四十六頁(yè)，共75頁(yè)。10, 10, 1JJJ 同理同理 20,20,2JJJ 30,30,3JJJ 代入代入(2)式，并應(yīng)用尤拉公式式，并應(yīng)用尤拉公式(gngsh)進(jìn)行化簡(jiǎn)即得進(jìn)行化簡(jiǎn)即得 33221102cos2cos2cos2akJakJakJAEkEzyx 或統(tǒng)一或統(tǒng)一(tngy)表示為表示為 iiiiakJAEkE 2cos2310 第47頁(yè)/共75頁(yè)第四十七頁(yè)，共75頁(yè)。5.15 設(shè)電子能譜仍和自由電子一樣，試采用簡(jiǎn)約能區(qū)圖形式，設(shè)電子能譜仍和自由電子一樣

35、，試采用簡(jiǎn)約能區(qū)圖形式，粗略畫出簡(jiǎn)單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)區(qū)域粗略畫出簡(jiǎn)單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)區(qū)域內(nèi)沿內(nèi)沿 100方向的電子的方向的電子的 kE圖。圖。 解：解：k空間空間(kngjin)中一個(gè)邊長(zhǎng)為中一個(gè)邊長(zhǎng)為1/a的的簡(jiǎn)單立方簡(jiǎn)單立方(lfng)格子，如圖所示。格子，如圖所示。6個(gè)最近個(gè)最近(zujn)鄰的倒格點(diǎn)，分別位于各鄰近區(qū)域內(nèi)，它們對(duì)應(yīng)的倒格鄰的倒格點(diǎn)，分別位于各鄰近區(qū)域內(nèi)，它們對(duì)應(yīng)的倒格矢分別為矢分別為 0 , 0 ,1,1, 0 , 0,1, 0 , 0,0 ,1, 0,0 ,1, 0,0 , 0 ,1aaaaaa簡(jiǎn)單立方晶格的第一布里淵區(qū)是簡(jiǎn)

36、單立方晶格的第一布里淵區(qū)是取立方體中心的倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，它有取立方體中心的倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，它有第48頁(yè)/共75頁(yè)第四十八頁(yè)，共75頁(yè)。在簡(jiǎn)約在簡(jiǎn)約(jinyu)能區(qū)圖式表示法中，能區(qū)圖式表示法中，所有所有(suyu)的電子波矢的電子波矢k都要變都要變 換到第一換到第一(dy)布里淵區(qū)內(nèi)。布里淵區(qū)內(nèi)。 為簡(jiǎn)為簡(jiǎn) 單計(jì)，本題的計(jì)算只取原點(diǎn)單計(jì)，本題的計(jì)算只取原點(diǎn)o和界面上的點(diǎn)和界面上的點(diǎn)A,B。 這樣，這樣， 設(shè)設(shè) k可取可取 100方向上所有方向上所有可能的值，其對(duì)應(yīng)的能量為可能的值，其對(duì)應(yīng)的能量為 222KkmhE 1E2E6543EEEE,7E kE2a1 2a1ko02040608第49頁(yè)/共

37、75頁(yè)第四十九頁(yè)，共75頁(yè)。于是，第一區(qū)及其鄰近于是，第一區(qū)及其鄰近(ln jn)區(qū)域內(nèi)沿區(qū)域內(nèi)沿 100方向方向(fngxing)的的Ek圖可分別求出圖可分別求出 如下如下(rxi)： (1)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)0 K2222008,0 , 0 ,218,0 , 0 ,210, 0mahEakmahEakEkBBAA 據(jù)此可作略圖，如圖中的據(jù)此可作略圖，如圖中的 1E曲線。曲線。 圖中圖中 2208/ mah 取作能量的單位。取作能量的單位。第50頁(yè)/共75頁(yè)第五十頁(yè)，共75頁(yè)。(2)各鄰近各鄰近(ln jn)區(qū)域區(qū)域當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1aK時(shí)，則時(shí)，則 222222222220020

38、89,0 , 0 ,238,0 , 0 ,212,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖作略圖(lt)如曲線如曲線 2E。 第51頁(yè)/共75頁(yè)第五十一頁(yè)，共75頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0aK時(shí)，則時(shí)，則 22332233223003085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1, 0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖作略圖(lt)如曲線如曲線 3E。 第52頁(yè)/共75頁(yè)第五十二頁(yè)，共75頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 0 ,1, 0aK時(shí)，則時(shí)，則 22442244224004085,01,2185,0 ,1,212,0 ,1,

39、0mahEaakKkmahEaakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖作略圖(lt)如曲線如曲線 4E。 當(dāng)當(dāng) aK1, 0 , 0和和 aK1, 0 , 0時(shí)，時(shí)， 所得所得(su d)曲線曲線 65,EE與曲線與曲線(qxin) 43,EE重合。重合。 第53頁(yè)/共75頁(yè)第五十三頁(yè)，共75頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 0 , 0 ,1aK時(shí)，有時(shí)，有 2277227722700708,0 , 0 ,2189,0 , 0 ,232,0 , 0 ,1mahEakKkmahEakKkmahEakKkBBBAAA 作略圖作略圖(lt)如曲線如曲線 7E。 第54頁(yè)/共75頁(yè)第五十四頁(yè)，共75頁(yè)。5.16 設(shè)有晶格

40、常數(shù)設(shè)有晶格常數(shù)(chngsh)為為a、2a、3a的簡(jiǎn)單正交晶格，試求：的簡(jiǎn)單正交晶格，試求：（1）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖形）簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的圖形(txng)及體積；及體積；（2）在自由電子近似下，費(fèi)密面與簡(jiǎn)約）在自由電子近似下，費(fèi)密面與簡(jiǎn)約(jinyu)布里淵區(qū)的各邊界面相切時(shí)所對(duì)應(yīng)的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比；布里淵區(qū)的各邊界面相切時(shí)所對(duì)應(yīng)的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比；（3）若該晶體的費(fèi)密面正好是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊界面相切的橢球面，求該晶體的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比。）若該晶體的費(fèi)密面正好是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各邊界面相切的橢球面，求該晶體的價(jià)電子數(shù)與原子數(shù)之比。解：解：（1）令簡(jiǎn)單正交晶格的三個(gè)晶軸分別為）令簡(jiǎn)單

41、正交晶格的三個(gè)晶軸分別為X、Y、Z軸，則軸，則它的基矢可寫成它的基矢可寫成 k3aaj2aai aa321第55頁(yè)/共75頁(yè)第五十五頁(yè)，共75頁(yè)?？汕蟪鏊牡垢褡涌汕蟪鏊牡垢褡?g zi)基矢基矢 k3a2bjabi2b321a由此倒格矢可寫成由此倒格矢可寫成 kh31jh21iha2bhbhbhK321332211h而布里淵區(qū)邊界而布里淵區(qū)邊界(binji)面由式面由式02KkKhh 給出給出第56頁(yè)/共75頁(yè)第五十六頁(yè)，共75頁(yè)。0k3ahkj2ahkiahkkh31jh21iha23z2y1x321 即即03ahkh312ahkh21ahkh3z32y21x1 取最短的幾個(gè)倒格矢，得到

42、取最短的幾個(gè)倒格矢，得到(d do)的相應(yīng)邊界面可列表如下：的相應(yīng)邊界面可列表如下：第57頁(yè)/共75頁(yè)第五十七頁(yè)，共75頁(yè)。邊界面方程邊界面方程邊界面方程邊界面方程 321h,h,h 321h,h,h 1,0,0 1,00, 10,0, 1,01, 11,0, 11,0, akx 2aky 3akz 2a5k2kyx 3a10k3kzx 6a132k3kzy 從上面的平面從上面的平面(pngmin)方程中，可以看到離原點(diǎn)最近的幾個(gè)面是上表中方程中，可以看到離原點(diǎn)最近的幾個(gè)面是上表中列出的最前面三個(gè)方程列出的最前面三個(gè)方程(fngchng)所表示的六個(gè)平面。所表示的六個(gè)平面。這六個(gè)平面這六個(gè)平面

43、(pngmin)圍成圍成一個(gè)長(zhǎng)方體如圖所示，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)，一個(gè)長(zhǎng)方體如圖所示，這就是該晶格的第一布里淵區(qū)，它的它的第58頁(yè)/共75頁(yè)第五十八頁(yè)，共75頁(yè)。體積體積(tj)是是 3321a34bbb xkzkyk（2）在自由電子近似下，費(fèi)米）在自由電子近似下，費(fèi)米(fi m)面為球面。面為球面。當(dāng)費(fèi)米面與第一布里淵區(qū)的當(dāng)費(fèi)米面與第一布里淵區(qū)的三對(duì)平面三對(duì)平面(pngmin)相切時(shí)的半徑分別為相切時(shí)的半徑分別為 3ak2akak321FFF（1）第59頁(yè)/共75頁(yè)第五十九頁(yè)，共75頁(yè)。由由 312312Fn3VN3h 式可得各情況式可得各情況(qngkung)下的相應(yīng)電子密度下的相應(yīng)

44、電子密度 332F223332F322332F32181a3a31k31n24a2a31k31n3aa31k31n321每個(gè)原胞的體積每個(gè)原胞的體積(tj) 33216aaaa 根據(jù)以上幾式可求出各個(gè)根據(jù)以上幾式可求出各個(gè)(gg)原胞內(nèi)所含的自由電子數(shù)原胞內(nèi)所含的自由電子數(shù)（2）第60頁(yè)/共75頁(yè)第六十頁(yè)，共75頁(yè)。0.2327281a6anN0.79424a6anN6.323a6anN333333223311 因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子(g zi)是簡(jiǎn)單格子是簡(jiǎn)單格子(g zi)，所以每個(gè)原胞中只包含一個(gè)，所以每個(gè)原胞中只包含一個(gè)原子原子(yunz)，因而上面算得的，因而上面算得的即分

45、別是三種即分別是三種(sn zhn)情況下的情況下的321N,N,N自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。自由電子數(shù)與原子數(shù)之比。（3）如果費(fèi)米面是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各個(gè)邊界面相切的橢球如果費(fèi)米面是與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的各個(gè)邊界面相切的橢球面，則它的費(fèi)米面方程可寫成面，則它的費(fèi)米面方程可寫成第61頁(yè)/共75頁(yè)第六十一頁(yè)，共75頁(yè)。1kkkkkk2F2z2F2y2F2x321 這里這里(zhl)的的321FFFk,k,k分別分別(fnbi)是橢球的三個(gè)主軸長(zhǎng)度，由（是橢球的三個(gè)主軸長(zhǎng)度，由（2）給出。）給出。橢球橢球 V中可以中可以(ky)有有 V2V3 個(gè)軌道狀態(tài)。個(gè)軌道狀態(tài)。考慮自旋，則在橢球費(fèi)米面內(nèi)可容納的電子

46、數(shù)為考慮自旋，則在橢球費(fèi)米面內(nèi)可容納的電子數(shù)為 V22VN3因此晶體的電子密度為因此晶體的電子密度為 V22VNn3（3）第62頁(yè)/共75頁(yè)第六十二頁(yè)，共75頁(yè)。每個(gè)原胞所含的電子每個(gè)原胞所含的電子(dinz)數(shù)即為數(shù)即為 V22nN3C因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，每個(gè)原胞只含一個(gè)原子因?yàn)楹?jiǎn)單正交格子是簡(jiǎn)單格子，每個(gè)原胞只含一個(gè)原子(yunz)，所以，所以CN也即是自由電子也即是自由電子(z yu din z)數(shù)與原子數(shù)之比。數(shù)與原子數(shù)之比。為了得到為了得到CN值，必須值，必須知道橢球的體積知道橢球的體積 。 V為此。令為此。令 zrkkyrkkxrkk321FzFyFx（5）由（由（3）、（

47、）、（5）兩式可知）兩式可知（4）第63頁(yè)/共75頁(yè)第六十三頁(yè)，共75頁(yè)。2222rzyx 即變成一個(gè)即變成一個(gè)(y )半徑為半徑為r的球面方程，它的體積為的球面方程，它的體積為3r34V 在作（在作（5）式的變換）式的變換(binhun)時(shí)，相對(duì)應(yīng)的體積變換時(shí)，相對(duì)應(yīng)的體積變換(binhun)關(guān)系為關(guān)系為3FFF3FFFzyxrkkkxyzrxyzkkkxyzkkkVV321321 所以所以(suy)321321FFF3FFFkkk34VrkkkV 第64頁(yè)/共75頁(yè)第六十四頁(yè)，共75頁(yè)。把上式代入（把上式代入（4）式，并利用）式，并利用(lyng)（1）、（）、（2）式，即可得晶體中）式，

48、即可得晶體中自由電子自由電子(z yu din z)數(shù)與原子數(shù)之比數(shù)與原子數(shù)之比 321FFF333Ckkk346a2222N 3a2aa2akkk2a23FFF23321 1.053 第65頁(yè)/共75頁(yè)第六十五頁(yè)，共75頁(yè)。5.17 體心立方晶格體心立方晶格(jn )，原子總數(shù)為，原子總數(shù)為N 。假設(shè)電子等能面為球面，。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。解：解：因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)(q ni)實(shí)際填充的電子數(shù)應(yīng)等于同布里淵區(qū)的邊界面相切的費(fèi)米球內(nèi)所容納的電子數(shù)。實(shí)際填充的電子數(shù)應(yīng)等于同布里淵區(qū)的邊界面相切的費(fèi)米球內(nèi)所容納的電子數(shù)。設(shè)體心立方的晶格設(shè)體心立方的