第三章力系的合成與平衡

1、3 3 力系的基本類型力系的基本類型31 31 平面力系合成與平衡平面力系合成與平衡32 32 力偶系的合成與平衡力偶系的合成與平衡 33 33 平面一般力系合成與平衡平面一般力系合成與平衡34 34 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡36 36 空間力系的合成與平衡空間力系的合成與平衡第第三三章章 力力系系的的合合成成與與平平衡衡35 35 考慮摩擦?xí)r物體的平衡考慮摩擦?xí)r物體的平衡共點(diǎn)力系共點(diǎn)力系力偶系力偶系 力系的基本類型力系的基本類型共點(diǎn)力系共點(diǎn)力系各力均作用于同一點(diǎn)的力系。各力均作用于同一點(diǎn)的力系。平行力系平行力系力的作用線平行的力系。力的作用線平行的力系。平面力系平面力系各力的作用線都在同

2、一平面內(nèi)的力系。各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系。力力 偶偶 系系若干個(gè)力偶組成的力系。若干個(gè)力偶組成的力系?？臻g力系空間力系各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。力系力系空間力系空間力系平面力系平面力系平面匯交力系平面匯交力系平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面力偶系空間匯交力系空間匯交力系空間力偶系空間力偶系空間一般力系空間一般力系 把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個(gè)多邊形，稱加上一封閉邊，就得到一個(gè)多邊形，稱為力多邊形。為力多邊形。2 2、力的多邊形規(guī)則：、力的多邊形

3、規(guī)則：R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A 空間共點(diǎn)力系和平面情形類似，在理論上也可空間共點(diǎn)力系和平面情形類似，在理論上也可以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空間圖形。間圖形。給實(shí)際作圖帶來困難。給實(shí)際作圖帶來困難。R RF F1 1B BF F2 2C CF F3 3D DF F4 4E EA A1 1、平面匯交力系的合成結(jié)果、平面匯交力系的合成結(jié)果 0F 該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和等于零。的矢量和等于零。 共點(diǎn)力系可以合成為一個(gè)力，合

4、力作用在力系共點(diǎn)力系可以合成為一個(gè)力，合力作用在力系的公共作用點(diǎn)，它的公共作用點(diǎn)，它等于這些力的矢量和，并可由這等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。力系的力多邊形的封閉邊表示。nii1F矢量的表達(dá)式矢量的表達(dá)式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn2 2、平面匯交力系平衡的充要幾何條件：、平面匯交力系平衡的充要幾何條件：31 31 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法A A6060P PB B3030a aa aC C(a)(a)N NB B(b)(b)B BN NA AD DA AC C60603030P PE EP PN NB BN NA A

5、60603030H HK K(c)(c)解：解：(1) (1) 取梁取梁AB AB 作為研究對(duì)象。作為研究對(duì)象。(4) (4) 解出：解出：N NA A=P=Pcos30cos30 = =17.3kN17.3kN，N NB B=P=Psin30sin30 = =10kN10kN(2) (2) 畫出受力圖。畫出受力圖。(3) (3) 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出P P、N NA A 和和N NB B 的閉合力三角形。的閉合力三角形。 例題例題 3-1 3-1 水平梁水平梁AB AB 中點(diǎn)中點(diǎn)C C 作用著力作用著力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方，方向與梁的軸線成向與梁的軸

6、線成6060角，支承情況如圖角，支承情況如圖(a)(a)所示，試求固定鉸鏈所示，試求固定鉸鏈支座支座A A 和活動(dòng)鉸鏈支座和活動(dòng)鉸鏈支座B B 的反力。梁的自重不計(jì)。的反力。梁的自重不計(jì)。 31 31 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)解：解：(1) (1) 取制動(dòng)蹬取制動(dòng)蹬ABD ABD 作為研究對(duì)象。作為研究對(duì)象。(2) (2) 畫出受力圖。畫出受力圖。P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3

7、) 應(yīng)用平衡條件畫出應(yīng)用平衡條件畫出P P、S SB B 和和N ND D 的閉和的閉和力力三角形。三角形。例題例題3-2 3-2 圖示是汽車制動(dòng)機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動(dòng)蹬上圖示是汽車制動(dòng)機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動(dòng)蹬上的力的力P P=212N=212N，方向與水平面成，方向與水平面成 =45=45 角。當(dāng)平衡時(shí)，角。當(dāng)平衡時(shí)，BCBC水平，水平，ADAD鉛直，試求拉桿所受的力。已知鉛直，試求拉桿所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 點(diǎn)點(diǎn)E E在鉛在鉛直線直線DADA上上 ，又，又B B、C C、D D都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的自重不計(jì)自重不計(jì)。3

8、1 31 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法cm 24 EAOE25. 0tgOEDE 214.250arctgPSBsin180sin （5 5） 代入數(shù)據(jù)求得：代入數(shù)據(jù)求得： S SB B=750 N=750 N。（4 4）由幾何關(guān)系得：）由幾何關(guān)系得： 由力三角形可得：由力三角形可得：31 31 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)J JN ND DK KS SB BP PI I (c)(c)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a) 反之，

9、當(dāng)投影反之，當(dāng)投影Fx 、Fy 已知時(shí)，則可求出已知時(shí)，則可求出力力 F F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐標(biāo)軸上的投影：力在坐標(biāo)軸上的投影：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間該軸正向間夾角的余弦。夾角的余弦。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy yA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 合力在任一軸上的投影，等于它的各分力

10、在合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和同一軸上的投影的代數(shù)和。證明：證明： 以三個(gè)力組成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個(gè)以三個(gè)力組成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個(gè)共點(diǎn)力共點(diǎn)力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如圖。如圖。合力投影定理：合力投影定理：31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法合力合力 R 在在x 軸上投影：軸上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推廣到任意多個(gè)推廣到任意多個(gè)力力F1、F2、 Fn 組成的平面組成的平面共共點(diǎn)力系，可得：點(diǎn)力系，可得：a ab bc cd d各力在

11、各力在x 軸上投影：軸上投影：31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析平面匯交力系合成與平衡的解析法法abFx1bcFx2dcFx3dcbcabadRxxxxxFFFR321xnxxxxxFFFFFR321xnxxxFFFFR21xynyyyyFFFFR21 合力的大小合力的大小222222zyxzyxFFFRRRR合力合力R R 的方向余弦的方向余弦RFRRRFRRRFRRzzyyxxcos , cos , cos根據(jù)合力投影定理得根據(jù)合力投影定理得31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析平面匯交力系合成與平衡的解析法法znzzzzFFFFR21共點(diǎn)力系平衡的充要解析條件：共點(diǎn)力系平衡的充要

12、解析條件： 力系中所有各力在各個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的力系中所有各力在各個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。投影的代數(shù)和分別等于零。 0 xF 0yF空間共點(diǎn)力系的平衡方程空間共點(diǎn)力系的平衡方程: :31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法平面共點(diǎn)力系的平衡方程平面共點(diǎn)力系的平衡方程: : 0zF 0 xF 0yF31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析平面匯交力系合成與平衡的解析法法解：解：(1) (1) 取制動(dòng)蹬取制動(dòng)蹬ABD ABD 作為研究對(duì)象。作為研究對(duì)象。例題例題 3-3 3-3 圖所示是汽車制動(dòng)機(jī)構(gòu)的一部分。司機(jī)踩到制動(dòng)圖所示是汽車制動(dòng)機(jī)構(gòu)的一

13、部分。司機(jī)踩到制動(dòng)蹬上的力蹬上的力P P=212N=212N，方向與水平面成，方向與水平面成 =45=45 角。當(dāng)平衡時(shí)，角。當(dāng)平衡時(shí)，BCBC水水平，平，AD AD 鉛直，試求拉桿所受的力。已知鉛直，試求拉桿所受的力。已知EAEA=24cm=24cm，DEDE=6cm=6cm 點(diǎn)點(diǎn)E E在鉛直線在鉛直線DADA上上 ，又，又B B、C C、D D 都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的都是光滑鉸鏈，機(jī)構(gòu)的自重不自重不計(jì)計(jì)。O O P PA AS SB BB BN ND DD D (b)(b)P P 24246 6A AC CB BO OE ED D(a)(a)(3) (3) 列出平衡方程：列出平衡方程：00y

14、xFF 045sinsin 0cos45cosDBPFFPFD聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得N750BFO O4545P PF FB BF FD DD D (b)(b)x xy y 969. 0cos , 243. 0sin 214又又31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法3030B BP PA AC C3030 a a 解：解：1. 1. 取滑輪取滑輪B B 軸銷作為研究對(duì)象。軸銷作為研究對(duì)象。2. 2. 畫出受力圖（畫出受力圖（b)b)。S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B B例題例題 3-4 3-4 利用鉸車?yán)@過定滑

15、輪利用鉸車?yán)@過定滑輪B B的繩子吊起一重的繩子吊起一重P=P=20kN20kN的貨物，的貨物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿AB AB 和斜剛桿和斜剛桿BC BC 支持于點(diǎn)支持于點(diǎn)B B ( (圖圖( (a a) ) )。不計(jì)鉸車的自重，試求桿不計(jì)鉸車的自重，試求桿AB AB 和和BC BC 所受的力。所受的力。31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：00yxFF4. 4. 聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得 反力反力S SAB AB 為負(fù)值，說明該力實(shí)際指向與圖上假為負(fù)值，說明該力實(shí)際指向與圖上假定指向相反。即桿

16、定指向相反。即桿AB AB 實(shí)際上受拉力。實(shí)際上受拉力。 030sin30con QSSABBC030 cos60 cosQPSBC31 31 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法S SBCBCQ QS SABABP Px xy y30303030 b b B BkN5 .54ABSkN5 .74BCS投影法的符號(hào)法則：投影法的符號(hào)法則： 當(dāng)由平衡方程求得某一未知力的值為負(fù)時(shí)，表當(dāng)由平衡方程求得某一未知力的值為負(fù)時(shí)，表示原先假定的該力指向和實(shí)際指向相反。示原先假定的該力指向和實(shí)際指向相反。解析法求解共點(diǎn)力系平衡問題的一般步驟解析法求解共點(diǎn)力系平衡問題的一般步驟: :1.

17、1.選分離體，畫受力圖。分離體選取應(yīng)最好含題設(shè)選分離體，畫受力圖。分離體選取應(yīng)最好含題設(shè) 的已知條件。的已知條件。2.2.建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系。3.3.將各力向各個(gè)坐標(biāo)軸投影，并應(yīng)用平衡方程將各力向各個(gè)坐標(biāo)軸投影，并應(yīng)用平衡方程F Fx x= =0 0，F(xiàn) Fy y= =0 0，求解求解。24 24 共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法 平面力偶系可合成為一力偶。合力偶的矩等于平面力偶系可合成為一力偶。合力偶的矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。各分力偶矩的代數(shù)和。llllLn21一、力偶系的合成一、力偶系的合成3-2 3-2 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡 合力矩等于零

18、，即力偶系中各力偶矩的代數(shù)合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。和等于零。0l二、平面力偶系平衡的充要條件二、平面力偶系平衡的充要條件平衡方程平衡方程3-2 3-2 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡例題例題 3-6 3-6 圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)圖示的鉸接四連桿機(jī)構(gòu)OABDOABD，在桿，在桿OA OA 和和BD BD 上分別作用著矩為上分別作用著矩為 l1 1 和和 l2 2 的力偶，而使機(jī)構(gòu)在的力偶，而使機(jī)構(gòu)在圖示位置處于平衡。已知圖示位置處于平衡。已知OA OA = = r r，DB DB = 2= 2r r，= = 3030，不計(jì)桿重，試求，不計(jì)桿重，試求 l1 1

19、 和和 l2 2 間的關(guān)系。間的關(guān)系。D Dl2B BN ND DS SBABAO Ol1N NO OS SABABA AO OB BD Dl1l2A A3-2 3-2 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡解：解： 桿桿ABAB為二力桿。為二力桿。分別寫出桿分別寫出桿AO AO 和和BD BD 的平衡方程：的平衡方程：3-2 3-2 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡D Dl2B BN ND DS SBABAO Ol1N NO OS SABABA A0cos1rSlAB0cos22rSlBA, 0l122llSSBAAB小結(jié)小結(jié)1 1、掌握共點(diǎn)力系合成與平衡的幾何法與解析法、

20、掌握共點(diǎn)力系合成與平衡的幾何法與解析法3 3、熟練運(yùn)用平衡方程求解共點(diǎn)力系的平衡問題、熟練運(yùn)用平衡方程求解共點(diǎn)力系的平衡問題4 4、理解力偶和力偶矩的概念，、理解力偶和力偶矩的概念，并運(yùn)用平衡條件并運(yùn)用平衡條件 求解力偶系的平衡問題求解力偶系的平衡問題2 2、能正確地將力沿坐標(biāo)軸分解并求力在坐標(biāo)軸、能正確地將力沿坐標(biāo)軸分解并求力在坐標(biāo)軸 上的投影。正確理解合力投影定理上的投影。正確理解合力投影定理作業(yè)作業(yè)2 21 1、 2 2、 8 8、 1212、 1313、 1515、 181823 23 力的投影力的投影. .力沿坐標(biāo)軸的分解力沿坐標(biāo)軸的分解cosxFF cosFFy22y2xzFFFF

21、FFFFFFzcoscos cosyxcosFFz例題例題 2-5 2-5 如圖所示，用起如圖所示，用起重機(jī)吊起重物。起重桿的重機(jī)吊起重物。起重桿的A A端端用球鉸鏈固定在地面上，而用球鉸鏈固定在地面上，而B B端則用繩端則用繩CBCB和和DBDB拉住，兩繩拉住，兩繩分別系在墻上的分別系在墻上的C C點(diǎn)和點(diǎn)和D D點(diǎn)，點(diǎn)，連線連線CDCD平行于平行于x x軸。已知軸。已知CE=EB=DECE=EB=DE, ,角角=30=30o o ，CDBCDB平平面與水平面間的夾角面與水平面間的夾角EBFEBF= = 3030o o , ,重物重物G=G=10 kN10 kN。如不計(jì)。如不計(jì)起重桿的重量起重

22、桿的重量, ,試求起重桿所試求起重桿所受的力和繩子的拉力。受的力和繩子的拉力。24 24 共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法1. 1. 取桿取桿ABAB與重物為研究對(duì)象，受力分析如圖。與重物為研究對(duì)象，受力分析如圖。解：解：GF1F2FAGF1FA其側(cè)視圖為其側(cè)視圖為24 24 共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法3. .聯(lián)立求解。聯(lián)立求解。045 sin45 sin, 021FFFxkN 66. 8kN 3.5421AFFF2. . 列平衡方程。列平衡方程。24 24 共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法共點(diǎn)力系合成與平衡的解析法G030cos45 cos30 cos45 cos30 sin, 0 21FFFFAy