第5章誤差理論

1、491492一、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因493494495 鋼尺尺長(zhǎng)誤差 Dk 鋼尺檢定,尺長(zhǎng) 鋼尺溫度誤差 Dt 鋼尺檢定,溫度 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差 i 中間法水準(zhǔn),前后視等距 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差 C 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無(wú)法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無(wú)常變化,以及環(huán)境的干擾等)。 偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。 偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀

2、測(cè)。496（四）誤差處理原則497系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 找出發(fā)生規(guī)律，用觀測(cè)方法和 加改正值等方法抵消。iilX 498l1, l2, ln1,2,n499 4910誤差區(qū)間 d 負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值kk/nkk/nkk/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.0172

3、4以上0000001810505177049535810004911d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f0limlimn21nnnn491222221)(efnnnnlimlim2nnnnn2222212limlim式中參數(shù)稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方 2 稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：4913nnm2n2221按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差4914m1= 2.7m2= 3.6=xy= f()()f()fm1m1m2m212m1m2+-22 1149154916二、相對(duì)中誤差emfpmd21d)()(222 將上式積分，得到偶然誤差在任意大小

4、區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間,則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率：4917%7 .999973. 0)3(%4 .959545. 0)2(%3 .686826. 0)(mPmPmPemkmpmd21)(2224918一、算術(shù)平均值nlnlllnlniixn211x 算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來(lái)證明：證明算術(shù)平均值是最或然值nn2211lXlXlX4919Xlim0limnlnnnnlXn根據(jù)偶然誤差特性：Xnlx將上列等式相加，并除以n,得到：二、觀測(cè)值的改正值最或然值與觀測(cè)值之差稱為“觀測(cè)值的改正值”(簡(jiǎn)稱改正值) v :4920n)1(ilxvii0lxnv

5、vimin)(2lxvvnlxlx, 0)(取改正值總和：說明：一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，各個(gè)觀測(cè)值的改正值之和恒等于零，此可以作為計(jì)算的檢核。0)(2lxxdxvvd5-4 觀測(cè)值的精度評(píng)定49211112nvvnvmniinmxiiiilxvlX,兩式取總和1nvvn1nvvm4922nllx01nvvm4923 次序觀測(cè)值l(m)l(cm)改正值v(cm)vv (cm2)1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017 (m)觀測(cè)值中誤差:=3.0 (cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.

6、09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81(lo=120.000)+10.20.045.26 nllx01nvvm一、 已知真值X,進(jìn)行n次觀測(cè)，則計(jì)算觀測(cè)值的真誤差與中誤差。4924iilX nmilxivnlolx1nvvm真誤差：5-5 誤差傳播定律4925n21dddD.),(21xxfydD1000nlnlnlnx11121 cosSD4926 aabbababP = b-+-+ababaPdbbPdaaPdPbaaPddbdbaa bP4927)1(,Piniabbiai nabnanbnbabbaaPP222, 0limnbann

7、anbnbbaaPP22222222222,baPbaPmambmmambm49282222222121nnZmxfmxfmxfm ),(21nxxxfZ ixf4929iikxZnnxkxkxkZ 2211按照誤差傳播定律，得到線性函數(shù)的中誤差：2222222121nnZmkmkmkm x22222212111nxmnmnmnm 4930)1(nnvvnmmxnkxZ xkmzm4931m1.0)mm2.0(500m35.67mm7.134500DmD0m1 . 0m35.67D4932yxzyxz222yxzmmm大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向22222大氣儀器讀數(shù)瞄準(zhǔn)對(duì)中方向mmmmmm第一步

8、：寫出包含各個(gè)自變量(獨(dú)立觀測(cè)值)的函數(shù)式第二步：寫出全微分式(計(jì)算對(duì)各個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù))第三步：按誤差傳播定律寫出中誤差關(guān)系式注意：誤差傳播定律只適用于將各個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值作 為自變量。如果觀測(cè)值之間是相關(guān)的，則得到 的結(jié)果將是不嚴(yán)格的。4933),(21nxxxfZ 2222222121nnZmxfmxfmxfm 函數(shù)式：函數(shù)中誤差：5-6 誤差傳播定律的應(yīng)用493422220NnfCNSffSnnSnfCSddd4d0493522222204fmSnmSmnfCmfnS22)(bSamS49365 . 8262 mm0 .1225 . 82 mm712212 mm多邊形水平角觀測(cè)角度閉合差的

9、規(guī)定 多邊形內(nèi)角(水平角)之和在理論上應(yīng)為(n-2)180,由于水平角觀測(cè)中的偶然誤差，產(chǎn)生角度閉合差：4937180)2(180)2(21 nnfnnmmn2m允f06381232 m4938mm4 . 12 mmhmm22hhmm4939)()()(2211nnbababah nmnmmhh2dLn2LmLdmdLmmh0dmm 0，Lmmh04940Lmmoh水準(zhǔn)測(cè)量等級(jí) 一等一等 二等二等 三等三等 四等四等mo1 mm2 mm6 mm10 mmmm225mm10hm4941sin,cosDyDxcossinsincosdDdyddDdxdDD4942222222222222)(sin

10、)cos()(sin)(cos)sin()(cos mxmmDmmmymmDmmDDyDDx222222utDyxABmmmDmmmM 49432iimCP ioiioiPmmmmP1,224944nPnmmnn測(cè)回）測(cè)回()(, 又例如水準(zhǔn)測(cè)量以一公里的高程測(cè)量中誤差mo作為單位權(quán)中誤差，則L(km)高差測(cè)量中誤差及其權(quán)為：LLmmPLmmookmLokmL1,22)()(例例2. 觀測(cè)值觀測(cè)值l1,l2,l3的中誤差分別為：的中誤差分別為：m1=6”,m2=3”,m3=2”取取m1= =6”,則則P1=1, P2=4, P3=9.m2= =3”,則則P1=1/4 ,P2=1, P3=9/4

11、m2= =2”,則則P1=1/9, P2=4/9, P3pLpppLpLpLpxnnnPLPLxo例例1:某同學(xué)期末成績(jī)?nèi)缦卤硭灸惩瑢W(xué)期末成績(jī)?nèi)缦卤硭?請(qǐng)求出該同學(xué)的算術(shù)平均值及以學(xué)分為權(quán)的加權(quán)平均值請(qǐng)求出該同學(xué)的算術(shù)平均值及以學(xué)分為權(quán)的加權(quán)平均值?科目科目成績(jī)成績(jī)學(xué)分學(xué)分英語(yǔ)英語(yǔ)784高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)906普通物理普通物理853算術(shù)平均值(78+90+85)/3=84.33加權(quán)平均值15.85132555403123643856904784949nnLPPLPPLPPx2211 2222222121nnxmPPmPPmPPm 222210PPPPPPmmnx,P

12、PPmmxox495022ioimmP 2222222112,nnooomPmmPmmPm 取以上各式總和，并處以n，得到:nPmmnPmmo22nPmo1nPvvmo4951組號(hào)測(cè)回?cái)?shù)各組平均值 LL權(quán) P PL改正值 V Pv1232464024124024184024241218242462472144+8+2-4+16+8-24122400加權(quán)平均值及其中誤差0042400 L312/111102424012/02442400 xmmx 四、測(cè)量中幾種定權(quán)方法四、測(cè)量中幾種定權(quán)方法1）水準(zhǔn)測(cè)量中按測(cè)站數(shù)水準(zhǔn)測(cè)量中按測(cè)站數(shù)N和路線距離和路線距離L定權(quán)。定權(quán)。由由n條不等精度的水準(zhǔn)路線測(cè)定

13、條不等精度的水準(zhǔn)路線測(cè)定E點(diǎn)的高程。點(diǎn)的高程。a.按按N定權(quán)：設(shè)每測(cè)站高差中誤差為定權(quán)：設(shè)每測(cè)站高差中誤差為m站，站數(shù)為站，站數(shù)為Ni,路線高路線高差中誤差差中誤差為為mi= m站站 Ni,取取C個(gè)站觀測(cè)的高差為單位權(quán)觀測(cè)值，則單位權(quán)中個(gè)站觀測(cè)的高差為單位權(quán)觀測(cè)值，則單位權(quán)中誤差誤差 m站站CC。Pi=Pi=/ mi= (m站站C)/ (C)/ (m站站 Ni )= C/Ni. 即：各條水準(zhǔn)路線高差的權(quán)與其測(cè)站數(shù)成反比。即：各條水準(zhǔn)路線高差的權(quán)與其測(cè)站數(shù)成反比。b.按按L定權(quán)定權(quán)設(shè)每公里高差中誤差為設(shè)每公里高差中誤差為m公里，線路長(zhǎng)為公里，線路長(zhǎng)為L(zhǎng)i,路線高路線高差中誤差為差中誤差為mi=

14、m公里公里 Li,取取C公里觀測(cè)的高差為單位權(quán)觀測(cè)值，則單位權(quán)中公里觀測(cè)的高差為單位權(quán)觀測(cè)值，則單位權(quán)中誤差誤差 m公里公里CC。Pi=Pi=/ mi=( m公里公里C)/ (C)/ (m公里公里 Li )= C/Li.即：各條水準(zhǔn)路線高差的權(quán)與其線路長(zhǎng)成反比。即：各條水準(zhǔn)路線高差的權(quán)與其線路長(zhǎng)成反比。2)水平角測(cè)量按測(cè)回?cái)?shù)定權(quán)水平角測(cè)量按測(cè)回?cái)?shù)定權(quán)一測(cè)回測(cè)角中誤差一測(cè)回測(cè)角中誤差m,Ni為測(cè)回?cái)?shù)為測(cè)回?cái)?shù)mi=m/Ni,取取C測(cè)回算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測(cè)值測(cè)回算術(shù)平均值為單位權(quán)觀測(cè)值Pi=/mi=(m/C)/(m/Ni)= Ni/C可見，可見，角度測(cè)量權(quán)值與各組觀測(cè)的測(cè)回?cái)?shù)成正比。角度測(cè)量權(quán)值與

15、各組觀測(cè)的測(cè)回?cái)?shù)成正比。3)距離丈量按觀測(cè)值距離丈量按觀測(cè)值D定權(quán)定權(quán)Pi = C / Di4) 坐標(biāo)方位角按轉(zhuǎn)角數(shù)坐標(biāo)方位角按轉(zhuǎn)角數(shù)N定權(quán)定權(quán)Pi = C / Ni例例3.對(duì)某角進(jìn)行兩組不等精度觀測(cè)，第一組觀測(cè)三個(gè)測(cè)對(duì)某角進(jìn)行兩組不等精度觀測(cè)，第一組觀測(cè)三個(gè)測(cè)回，平均值回，平均值145 30 11“，第二組觀測(cè)六個(gè)測(cè)回，平第二組觀測(cè)六個(gè)測(cè)回，平均值均值145 30 20“，試求該角的或然值。，試求該角的或然值。解解:Pi= Ni/C,取取C3,則則P1=3/3=1, P2=6/3=2的帶權(quán)平均值為的帶權(quán)平均值為（1 45 30 11“+2 45 30 20“ ）/(1+2)= 45 30 17“.例例3.對(duì)某角進(jìn)行兩組不等精度觀測(cè)，第一組觀測(cè)對(duì)某角進(jìn)行兩組不等精