第06課 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

1、機(jī)械振動(dòng)(Mechanical Vibration)交通與車(chē)輛工程學(xué)院交通與車(chē)輛工程學(xué)院 剛憲約剛憲約第七課 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 2022年年5月月8日日單自由度系統(tǒng)回顧單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的建模牛頓第二定律（向量方法），達(dá)朗伯原理能量方法d(U+T)=0虛位移原理（虛功原理）單自由度系統(tǒng)固有頻率計(jì)算方法根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程能量方法Umax=Tmax單位加速度法初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程mk /2n單自由度系統(tǒng)回顧 等效質(zhì)量與等效剛度計(jì)算 等效質(zhì)量動(dòng)能等效 等效剛度勢(shì)能等效 阻尼自由振動(dòng) 三種阻尼類(lèi)型（粘性，庫(kù)倫，結(jié)構(gòu)） 阻尼比與臨界阻尼，振動(dòng)方程的解，初始條件下的響應(yīng) 對(duì)數(shù)衰減率測(cè)定系統(tǒng)阻尼 粘性

2、阻尼與庫(kù)倫阻尼的衰減特征單自由度系統(tǒng)回顧 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)的解，復(fù)指數(shù)法 頻響函數(shù)與頻響特性曲線 品質(zhì)因數(shù)與半功率帶，半功率帶法測(cè)量阻尼 旋轉(zhuǎn)失衡與基礎(chǔ)振動(dòng)引起的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)方程、頻響函數(shù) 積極隔振與消極隔振原理 位移傳感器與加速度傳感器的頻響特性單自由度系統(tǒng)回顧 周期強(qiáng)迫振動(dòng)與非周期強(qiáng)迫振動(dòng) 傅立葉級(jí)數(shù)，正弦、余弦激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)，線性疊加原理 脈沖函數(shù)與脈沖響應(yīng) 卷積積分 頻響函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系本章主要內(nèi)容 3.1 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 3.2 頻率方程、振型與正則坐標(biāo) 3.3 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng) 3.4 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法 3.1 多自由度系統(tǒng)的

3、運(yùn)動(dòng)方程 牛頓第二定律矢量建模方法 影響系數(shù)法 剛度影響系數(shù)法 柔度影響系數(shù)法 Lagrange方程方法 約束、自由度與廣義坐標(biāo) Lagrange方程建模方法牛頓第二定律建模 以1m為研究對(duì)象，有 )(1122111221111tFxxcxcxxkxkxm （1） 以2m為研究對(duì)象，有 )(2232321221212tFxcxkxxcxxkxm （2） 將方程(1)、 （2）整理可得 )(1221212212111tFxkxkkxcxccxm （3） )(2232122321212tFxkkxkxccxcxm （4） 將方程(3)、(4)寫(xiě)成矩陣形式 )()(00212132222121322

4、2212121tFtFxxkkkkkkxxccccccxxmm 即 )(tFkxxCxM 這種用矩陣寫(xiě)出的運(yùn)動(dòng)微分方程與單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程非常相似。 象例題中在各個(gè)離散質(zhì)量上建立的坐標(biāo)系為描述系統(tǒng)的物理坐標(biāo)系物理坐標(biāo)系，在此坐標(biāo)下的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為系統(tǒng)的物理參數(shù)物理參數(shù)。 多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣一般均是對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣。)(tFkxxCxM 系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)的表達(dá)式與系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的關(guān)系為 xMx2100,212121212121222211xxmmxxxmxmT Kxx21,21 21212121322221213

5、232122211xxkkkkkkxxxkxxkxkU xCx21,21 21212121322221213232122211xxccccccxxxcxxcxcD 利用這三個(gè)函數(shù)可以分別求出三個(gè)矩陣的各個(gè)元素 根據(jù)上式得到列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的一種簡(jiǎn)單的方法： 先求出系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)，然后利用上式求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，最終求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 這樣的優(yōu)點(diǎn)是，由于系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和能量耗散函數(shù)是標(biāo)量，可以不考慮力的方向。jiijxxTm 2jiijxxDc 2jiijxxUk23.1 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 牛頓第二定律矢量建模方法牛頓第二定律矢量建模方法牛頓

6、第二定律矢量建模方法 影響系數(shù)法 剛度影響系數(shù)法 柔度影響系數(shù)法 LagrangeLagrangeLagrange方程方法方程方法方程方法 約束、自由度與廣義坐標(biāo)約束、自由度與廣義坐標(biāo)約束、自由度與廣義坐標(biāo) LagrangeLagrangeLagrange方程建模方法方程建模方法方程建模方法影響系數(shù)法 一般情況下，n 個(gè)自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有以下形式 000221122112222121222212112121111212111nnnnnnnnnnnnnnnnnnxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmxm 方程中各項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為

7、作用力方程。若用矩陣表示，則可寫(xiě)成 0KxxM T21T21nnxxxxxx xx， 式中分別是系統(tǒng)的坐標(biāo)矢量坐標(biāo)矢量和加速度矢量加速度矢量。 影響系數(shù)法 剛度矩陣中的元素稱剛度影響系數(shù)(在單自由度系統(tǒng)中，簡(jiǎn)稱彈性常數(shù))。它表示系統(tǒng)單位變形所需的作用力。具體地說(shuō)，如果使第 j 個(gè)質(zhì)量沿其坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位位移， 沿其它質(zhì)量的坐標(biāo)方向施加作用力而使它們保持不動(dòng)，則沿第 i 個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向施加的力，定義為剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)ijk；在第 j 個(gè)質(zhì)量坐標(biāo)方向上施加的力稱剛度影響系數(shù)jjk。 由剛度影響系數(shù)的物理意義， 可直接寫(xiě)出剛度矩陣， 從而建立作用力方程， 這種方法稱為剛度剛度影響系影響系數(shù)法

8、數(shù)法； 同理， 還可以根據(jù)柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)建立位移方程。位移方程。 K kkkkkkkkknnnnn n111212122212現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣?，F(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 x11xx230kkk112131、0312212111kkkkkk，畫(huà)出各物塊的受力圖根據(jù)平衡條件，有首先令在此條件下系統(tǒng)保持平衡，按定義需加于三物塊的力畫(huà)出受力圖，則有xxx123010，kkkkkkk1222223323 ，同理，令畫(huà)出受力圖，有xxx12301，kkkkk132333330 ，最后令因此剛度矩陣為K kkkkkkkkk12221333300剛度矩陣一般

9、是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即kkijjiKKT 在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是k，則k1就是物塊上作用單位力時(shí)彈簧的變形，稱柔度影響系數(shù)，用表示。 n 自由度系統(tǒng)的柔度矩陣為 n 階方陣，其元素ij稱為柔度影響系數(shù)，表示單位力產(chǎn)生的位移。具體地說(shuō)，僅在第 j 個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于在第 i個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為ij。 當(dāng)受到F1作用后，第一個(gè)彈簧的變形為 ，第二和第三個(gè)彈簧的變形為零。11k111211311111kkk,01321FFF，首先施加單位力112131、這時(shí)三物塊所產(chǎn)生的靜位移分別是所以三物塊的位移都是F1F1

10、現(xiàn)分析求出圖所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。 第三個(gè)彈簧不受力，故其變形為零。因此有1112kk,1212212321211111kkkkk,01312FFF，令F2第一和第二彈簧均受單位拉力，其變形分別為F3再令1, 0321FFF131231233123111111kkkkkk,可得到 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkkkkkkkkkkkk系統(tǒng)的柔度矩陣為柔度矩陣一般也是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)。即 1112132122233132331111121211212311111111111111kkkk

11、kkkkkkkkkkijjiT系統(tǒng)的柔度矩陣為對(duì)于圖所示的系統(tǒng)，也可用柔度影響系數(shù)來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)微分方程。 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)量的慣性力使彈簧產(chǎn)生變形xm xm xm xxm xm xm xxm xm xm x111112212331321121222233233113122323333 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )333322311323322221121331221111)()()()()()()()()(FFFxFFFxFFFx應(yīng)用疊加原理可得到寫(xiě)成矩陣形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000 xMx Mxx0位移方程K

12、xMx xKMx1()是非奇異的，即 的逆矩陣存在K1K與作用力方程比較 K1即當(dāng)剛度矩陣是非奇異時(shí)，剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣；當(dāng)剛度矩陣是奇異時(shí)，不存在逆矩陣即無(wú)柔度矩陣。 此時(shí)系統(tǒng)的平衡位置有無(wú)限多或者說(shuō)它有剛體運(yùn)動(dòng)。 如圖示系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)，柔度矩陣不存在。 K1柔度矩陣與剛度矩陣之間的關(guān)系柔度矩陣與剛度矩陣之間的關(guān)系3.1 多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程 牛頓第二定律矢量建模方法牛頓第二定律矢量建模方法牛頓第二定律矢量建模方法 影響系數(shù)法影響系數(shù)法影響系數(shù)法 剛度影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法剛度影響系數(shù)法 柔度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法柔度影響系數(shù)法 Lagrange方程方法 約束、自由度與廣義

13、坐標(biāo) Lagrange方程建模方法約束、自由度與廣義坐標(biāo) 約束是對(duì)自由而言得,是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)概念,他強(qiáng)調(diào)力學(xué)體系在運(yùn)動(dòng)時(shí)必須滿足某些規(guī)定的條件.約束條件必須通過(guò)約束方程的形式才能確切的表示出來(lái). 完整約束完整約束是指約束條件只和體系各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)及時(shí)間有關(guān),約束方程可寫(xiě)成 0),(111tzyxzyxfnnn 的形式.如果一個(gè)力學(xué)體系受到的約束都是完整的,那么這個(gè)體系稱為完整體系完整體系. 雙單擺的約束條件為 22212212212121lyyxxlyx 是完整約束. 約束、自由度與廣義坐標(biāo) 凡是完整約束,都可以通過(guò)約束方程用代數(shù)方法將不獨(dú)立坐標(biāo)消去.每一個(gè)完整約束方程可以消去一個(gè)不獨(dú)立坐標(biāo).如

14、果一個(gè)力學(xué)體系有k個(gè)完整約束條件 kitzyxzyxfnnni, 2 , 1 0),(111 則可消去k個(gè)不獨(dú)立坐標(biāo)，留下的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)為 kns 3 s稱為體系的自由度自由度. . 約束、自由度與廣義坐標(biāo) 如果不能由約束方程直接消去不獨(dú)立坐標(biāo),這種約束稱為非完整約束. 非完整約束有兩種情況.一種是約束方程中含有坐標(biāo)和時(shí)間的微分,在動(dòng)力學(xué)方程未解出以前,不能通過(guò)積分的方法把微分消去。 這種約束也稱為不可積微分約束. 另一種非完整約束稱為可解約束或單面約束,其約束方程并不包含坐標(biāo)和時(shí)間的微分,但是包含一個(gè)不等式. 例如，約束0),(zyxf，質(zhì)點(diǎn)可以在曲面0),(zyxf上，也可以在0),(zyx

15、f的方向離開(kāi)這個(gè)曲面。 約束、自由度與廣義坐標(biāo) 建立一個(gè)力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)方程所需要的獨(dú)立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo).對(duì)于完整約束體系,廣義坐標(biāo)數(shù)目和體系自由度相同.對(duì)于非完整約束體系,廣義坐標(biāo)數(shù)目大于體系的自由度. 一個(gè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)的選取不是唯一的，圖示的雙單擺，我們可取圖中所示的兩個(gè)角坐標(biāo)1和2為廣義坐標(biāo)，也可取直角坐標(biāo)1x、1y和2x、2y中的各一個(gè)為廣義坐標(biāo)，還可取組合為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 2211q，2212q 2211,xqq Lagrange方程 ), 2, 1(ddniQqVqTqTtiiii拉格朗日方程提供了解決有限自由度完整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)普遍的簡(jiǎn)單而又統(tǒng)一的方法。虛位移qi

16、是任意的，而且qi彼此獨(dú)立的。著名的拉格朗日方程拉格朗日方程), 2, 1(ddniQqDqqTqTtiiiii保守系統(tǒng)非保守系統(tǒng)解：取剛體質(zhì)心O點(diǎn)偏離平衡位置的x、y和剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，即例題例題 圖示的剛體由四根拉伸彈簧支承，被限制在圖示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。圖示位置為平衡位置。且質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO。試導(dǎo)出微幅運(yùn)動(dòng)微分方程。321,qyqxq并且四根彈簧端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0, 0,432144332211xxyyayyayyaxxaxx22221)(21OIyxmT244233222211)(21)(21)(21)(21aykaykaxkaxkV系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為計(jì)算拉格朗日方程中

17、各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)0;ddxTxmxTt )()(2211axkaxkxV)()(4433aykaykyV), 2, 1(ddniQqVqTqTtiiii拉格朗日方程0;ddyTymyTt 代入拉格朗日方程，得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為0)()(221121akakxkkxm 0)()(443343akakykkym 0)()()(24423322221144332211akakakakyakakxakakIO 222111)()(aaxkaaxkV444333)()(aaykaayk0;ddTITtO Lagrange方程建模練習(xí) 不考慮阻尼和外激振力，建立如下二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：Lagranges

18、equations for a nonconservative system Consider an n-degree-of-freedom system with generalized coordinates nxxx,21 acted on by external nonconservative forces. The system is moved through small displacements to a new arbitrary state specified by nnxxxxxx,2211. The changes in displacements are called

19、 virtual displacements. The work done by the conconservative forces as the system moves through the virtual displacements is called the virtual work and is calculated by using the usual definition of work done by a force. The virtual work can be written in the form niiixQW1 The iQ terms are called g

20、eneralize forces. It can be shown that Lagranges equations for a nonconservative system take the form niQxLxLdtdiii, 2 , 1 ExampleUsing Lagranges equations to derive the differential equations governing the motion of the nonconservative system of the following figure, using x and as generalized coordinates.Example練習(xí)練習(xí)練習(xí)1: 試寫(xiě)出圖所示剛體AB的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：剛體AB在圖面內(nèi)的位置可以由其質(zhì)心C的坐標(biāo)yC(以水平位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動(dòng)不計(jì))和繞C的轉(zhuǎn)角 確定。圖為 時(shí)的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在C點(diǎn)的力和力偶矩yC10,kk1121,kkkkk lk l1112211 12 2,由剛體AB的平衡條件得到圖為 時(shí)的受力圖， 分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在C點(diǎn)的力。yC01,kk2212,kk l