回歸分析在股票預(yù)測中的應(yīng)用

1、摘要回歸分析預(yù)測被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)和生物學(xué)等許多領(lǐng)域當(dāng)中，進行各專業(yè)指標(biāo)變量的統(tǒng)計分析和預(yù)測控制。本文從回歸分析預(yù)測與其他預(yù)測方法的簡單算法對比出發(fā)，系統(tǒng)的討論了線性回歸分析和非線性回歸分析的基本算法，再以八一鋼鐵股票的歷史價格為例，對比多元線性回歸和非線性回歸分析預(yù)測，得出非線性回歸分析擬合能力更強、擬合優(yōu)度更高的結(jié)論。關(guān)鍵字：回歸分析預(yù)測；非線性回歸；線性回歸；擬合度4RegressionanalysisinthestockoftheuseofforecastAbstract:Theregressionanalysisforecastiswidelyappliedint

2、heeconomic,thesocialsciences,theengineeringtechnologyandthebiologyandsoonthemiddleofmanydomains,carriesoneachspecializedtargetvariablethestatisticalanalysisandthepredictivecontrol.Thisarticleembarksfromtheregressionanalysisforecastwithotherforecasttechnique'ssimplealgorithmcontrast,system'sd

3、iscussionlinearregressionanalysisandnon-linearregressionanalysis'sprimaryalgorithm,againtake81steelandironstock'shistoricalpriceastheexample,thecontrastmulti-dimensionallinearregressionandthenon-linearregressionanalysispredictthatobtainedthenon-linearregressionanalysisfittingabilitytobestron

4、ger,agoodnessoffithigherconclusion.Keywords:Forecastregressionanalysis，Non-linearregression，Linearregression，F(xiàn)it目錄第1章前言11.1選題背景和意義11.2股票的可預(yù)測性21.3回歸的發(fā)展概況31.4 文章結(jié)構(gòu)4第2章預(yù)測方法概述62.1 趨勢分析法62.2 時間序列法72.3 灰色預(yù)測法72.4 模糊數(shù)學(xué)法82.5 回歸分析法9第3章回歸分析103.1 線性回歸分析113.1.1一元回歸模型113.1.2多元回歸線性分析模型123.1.3線性相關(guān)程度測定及相關(guān)性檢驗預(yù)測163.2

5、非線性回歸分析173.2.1非線性回歸分析173.2.2 參數(shù)估計和模型檢驗193.2.3非線性回歸分析存在的問題21第4章實例分析234.1用回歸分析進行預(yù)測的步驟234.2 數(shù)據(jù)的選取234.3線性回歸分析的程序?qū)崿F(xiàn)244.3.1回歸方程求解244.3.2運行結(jié)果264.3.2模型預(yù)測273.3.3結(jié)果分析274.4非線性回歸分析的程序?qū)崿F(xiàn)274.4.1 模型擬合294.4.2 差分運算294.4.3 模型定階314.4.4 建立模型314.4.5 模型檢驗314.4.6模型預(yù)測324.4.7繪圖324.4.8結(jié)果分析33結(jié)論34致謝35參考文獻36附件37第1章前言1.1選題背景和意義股

6、票價格是中國絕大多數(shù)公民關(guān)心的問題，也是經(jīng)濟、系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域研究的熱點問題。目前，證券市場的成熟程度己經(jīng)成為衡量一個國家經(jīng)濟總體發(fā)展水平的重要指標(biāo)。西方發(fā)達國家證券化比率（股票市場總市值占GDP的比重）高達50%-100%。新中國的證券市場雖然起步較晚，但有了較快發(fā)展，主要表現(xiàn)在股票市場的總市值和上市公司數(shù)目的不斷增長。我國加入WTO,所有經(jīng)濟元素都在向國際看齊，諸如法律法規(guī)，關(guān)稅水平等。但隨著貿(mào)易制度的完善，股市作為經(jīng)濟的“晴雨表”與國際接軌，逐步走向成熟、規(guī)范是必然趨勢。隨著國家對證券市場的開放，政策調(diào)控水平以及投資集團群體思維能力的提高，人們在交易行動之前對證券市場的未來加以預(yù)測也會成為一

7、種自覺的思維活動。投資者們時刻在關(guān)心股市、分析股市、試圖預(yù)測股市的發(fā)展趨勢，然而影響股票價格的因素很多，其作用機制也相當(dāng)復(fù)雜，其走勢的預(yù)測非常困難。主要因為我們?nèi)狈π畔κ袌鲇绊懙膫鲗?dǎo)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)模型，并且不能準(zhǔn)確把握金融政策、利率政策、公司狀況、國際市場及投資者心理承受能力等因素的變化及其對市場的影響方式和作用。因此，對我國證券投資預(yù)測的研究，不僅可以使投資者獲得風(fēng)險既定下的最大收益或收益最大下的最小風(fēng)險，而且對研究證券價格的形成機制、評價證券市場效率以及對證券市場實施有效監(jiān)管都具有重要作用。也正因為如此，如何判斷或預(yù)測股票市場價格走勢引起了眾多經(jīng)濟金融學(xué)家和市場分析人員的極大興趣，各種

8、預(yù)測方法相繼涌現(xiàn)，證券投資領(lǐng)域可以說是研究和運用各種預(yù)測方法最多的領(lǐng)域之一。股市預(yù)測是經(jīng)濟預(yù)測的一個分支，它是以準(zhǔn)確的調(diào)查統(tǒng)計資料和股市信息為依據(jù)，從股票市場的歷史現(xiàn)狀和規(guī)律性出發(fā)，運用科學(xué)的方法，對股票市場的未來發(fā)展前景做出測定。股市的可預(yù)測性問題與有效市場假說（三ffieientMarketHypothesis，簡稱EMH）密切相關(guān)。如果有效市場理論或有效市場假說成立，股票價格充分反映了所有相關(guān)的信息，價格變化服從隨機游走，股票價格的預(yù)測則毫無意義。從中國股票市場的特征來看，大多數(shù)學(xué)者的結(jié)論支持中國的股票市場尚未達到弱勢有效，也就是說，中國股票市場的股票價格時間序列并非序列無關(guān)，而是序列相

9、關(guān)的，即歷史數(shù)據(jù)對股票的價格形成起作用，因此，可以通過對歷史信息的分析預(yù)測價格。隨著計算機技術(shù)、混沌、分形理論的發(fā)展，人們開始將股票的市場行為納入非線性動力學(xué)研究范疇。我國學(xué)者閏冀楠、張維和美國學(xué)者AF.Darart和MZhong等分別采用非參數(shù)檢驗等方法，發(fā)現(xiàn)我國股市的指數(shù)收益中，存在經(jīng)典線性相關(guān)之外的非線性相關(guān)，從而拒絕了隨機游走的假設(shè)，指出股價的波動不是完全隨機的，它貌似隨機、雜亂，但在其復(fù)雜表面的背后，卻隱藏著確定性的機制，因此存在可預(yù)測成分。當(dāng)然，認(rèn)為股價可預(yù)測，并不等于說可以100%的準(zhǔn)確預(yù)見，而是指可以使用經(jīng)濟預(yù)測的方法，建立起能在一定誤差要求之下的預(yù)測股價變動的預(yù)測模型。一批學(xué)

10、者先后證實了證券市場的確存在著一些可利用的規(guī)律，其成功率之高和穩(wěn)定性之久，遠遠超出了“隨機行走理論”可以解釋的范圍,因此，最近二十年，持證券市場缺乏效率觀點人越來越多，證券市場預(yù)測的研究也再次成為人們關(guān)注的熱點，應(yīng)用技術(shù)分析等方法進行證券投資預(yù)測分析研究中逐漸成為證券投資的主要手段之一1。1.2 股票的可預(yù)測性通過對已知事實的分析總結(jié)，得到對客觀世界的認(rèn)識和規(guī)律。這些規(guī)律可以幫助人類認(rèn)識現(xiàn)有的世界，同時幫助人類對未知的現(xiàn)象做出正確的預(yù)測和判斷，預(yù)測不能直接觀測的事實。預(yù)測是指從已知事件測定未知事件。預(yù)測理論作為一種通用的方法論，既可以應(yīng)用于研究自然現(xiàn)象，也可以應(yīng)用于研究社會現(xiàn)象。將預(yù)測理論應(yīng)用

11、于各個領(lǐng)域，就產(chǎn)生了預(yù)測的各個分支，如醫(yī)學(xué)預(yù)測、電力預(yù)測、經(jīng)濟預(yù)測、氣象預(yù)測等等。在金融經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展上，人們對金融預(yù)測作了大量的探索，取得了豐碩的成果。典型的金融預(yù)測是回歸分析預(yù)測?；貧w分析預(yù)測就是在大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，找出這些變量之間的內(nèi)部規(guī)律，從而定量的建立起一個變量與其它變量的數(shù)學(xué)表達式。為了研究這種規(guī)律性，人們提出了許多預(yù)測模型，并對這模型的性質(zhì)及分析方法進行了深入的研究2。這些在理論上很成功，但它們都是建立在很理想的假設(shè)上，而這些假設(shè)與市場的實際情況有很大差距，所以這些理論在實際效果中并不理想。另一種方法是從統(tǒng)計角度對金融時間序列進行研究。這種方法直接從實際數(shù)據(jù)出發(fā)，應(yīng)用概率統(tǒng)計推

12、斷出市場未來的變化規(guī)律。雖然這種方法從經(jīng)濟學(xué)角度來講缺乏理論性，但是在實際應(yīng)用中效果較好。而且，統(tǒng)計方法還可以對經(jīng)濟模型的好壞進行檢驗和評價。股市預(yù)測，是金融經(jīng)濟預(yù)測的一個重要分支。它對股票市場所反映的各種資訊進行收集、整理、綜合等工作，從股市的歷史、現(xiàn)狀和規(guī)律性出發(fā)，運用科學(xué)的方法，對股市未來發(fā)展前景進行測定11。1.3 回歸的發(fā)展概況回歸分析方法通常分為線性和非線性回歸方法兩大類，其中線性回歸方法己經(jīng)發(fā)展成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的一個相對成熟的重要分支之一，并被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)和生物學(xué)等許多領(lǐng)域當(dāng)中，進行各專業(yè)指標(biāo)變量的統(tǒng)計分析和預(yù)測控制，并取得可喜成績。隨著回歸分析方法研究的逐

13、步深入以及具體實踐遇到的大量復(fù)雜的非線性問題，在線性統(tǒng)計的基礎(chǔ)上，非線性回歸分析研究也逐漸發(fā)展起來并成為處理非線性問題的主要手段之一，起到傳統(tǒng)線性回歸方法不可替代的重要作用。統(tǒng)計學(xué)理論的預(yù)測方法，主要是基于模型擬合和最小二乘原理建立各種回歸、自回歸、混合回歸模型進行預(yù)測。此類方法，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，應(yīng)用也最廣泛，近年也有相當(dāng)?shù)陌l(fā)展。如Nelder,JA和城dderburn,RwM提出了廣義線性模型13，它放松了經(jīng)典線性模型的假設(shè)，極大地豐富了回歸分析的理論。Aarno,Li和Duan對假設(shè)進一步放松，提出了一般回歸模型，該領(lǐng)域研究具有十分驚人的前景，但由于其僅能辨識參數(shù)的方向,應(yīng)用起來十分不

14、便,僅能對建模提供指導(dǎo)。在計量經(jīng)濟研究中,Ichimura則提出了一類十分重要的模型一單指標(biāo)模型。研究的重點在于使之更適合于實際社會經(jīng)濟系統(tǒng)建模。非參數(shù)建模,數(shù)據(jù)驅(qū)動式建模所考慮的重要問題是,在事先對模型完全不了解的情況下,如何提出一個適當(dāng)?shù)哪Ｐ?。這方面研究的一個重要論題是非參數(shù)建模。Friedman和Stuetzle提出了pp回歸模型；Breioan和Friedman提出了建模的ACE方法，Hastie和TibS于lirani提出了廣義加性模型；Buja,Hastie和Tibshiran對加性建模進行了全面的評述與討論;Breiman提出了高維數(shù)據(jù)建模的MARS方法。它們共同的特點是模型形式

15、靈活，建模過程涉及很少假定。但計算量大，解釋困難，在指導(dǎo)變量選擇及模型設(shè)定方面深入的研究是必不可少的。至于估計問題，NL2SLS（非線性二階段最小二乘）、NL3SLS（非線性三階段最小二乘）和NLFIML（NLLIML）（非線性完全（有限）信息極大似然）估計方法是通常采用的方法，AmemiyA和Gallani均給予了總結(jié)與評述14。解決的關(guān)鍵在于輔助變量的選取，另外，有效初始點設(shè)置及考慮全局最小參數(shù)估計一方法的研究也是值得考慮的。1.4 文章結(jié)構(gòu)首先介紹論文研究背景和研究的可行性，并討論了回歸的簡單發(fā)展。股票預(yù)測已成為越來越多的股民和學(xué)者關(guān)注的問題，股票理論的可預(yù)測性被越來愈多的人認(rèn)可。回歸分

16、析和非線性回歸分析已越來越廣泛的使用于股票研究中，進行不斷的研究和改善，意圖得到更穩(wěn)定更符合規(guī)律的算法結(jié)構(gòu)。其次對各種預(yù)測方法進行了簡單的概述介紹。包括理論定義和基本算法，并簡單闡述了各種預(yù)測方法的優(yōu)缺點?？梢钥吹礁鞣N方法都有它的優(yōu)缺點和需要注重改善的地方。各種預(yù)測方法的對比中，可以發(fā)現(xiàn)回歸分析預(yù)測有操作簡單，容易理解等方面的優(yōu)點，但也有選不準(zhǔn)自變量的困擾。再次仔細介紹了回歸分析的兩部分，線性回歸分析和非線性回歸分析算法的算法結(jié)構(gòu)步驟和具體算法，從最基本的一元線性回歸分析著手，介紹與一元線性回歸分析算法相似度跟高的多元線性回歸，并進一步的引出非線性回歸分析，提出非線性回歸分析的分析結(jié)果依賴于人

17、為地設(shè)定出合理的期望函數(shù)和接近真實的初估值的缺點。最后，實例分析中簡單討論了數(shù)據(jù)處理的方法步驟，解決數(shù)據(jù)來源，選定八一鋼鐵歷史數(shù)據(jù)數(shù)量95期，分別做了線性和非線性回歸分析的程序?qū)Ρ?，線性回歸分析中使用matlab程序以開盤價、最高價、最低價、成交額、成交量為自變量，做出多元線性回歸函數(shù)，并進行相關(guān)性程度分析，進行了10期收盤價格預(yù)測;非線性回歸模型中，實現(xiàn)通過對每日收盤價的統(tǒng)計和規(guī)范化建立使用garch模型，先對數(shù)據(jù)進行差分規(guī)范化，使得數(shù)據(jù)達到平穩(wěn)序列，繪制時序圖，確定隨機波動比較平穩(wěn)，考查差分后序列的自相關(guān)圖確定其相關(guān)性，建立模型，檢驗?zāi)Ｐ?，實現(xiàn)模型擬合成功后成功預(yù)測10天的預(yù)測收盤價，數(shù)據(jù)

18、用程序處理成功。46第2章預(yù)測方法概述預(yù)測作為一門實用學(xué)科,它所研究的內(nèi)容就是如何對未來事物的發(fā)展進行科學(xué)的估計。所謂經(jīng)濟預(yù)測,就是指人們根據(jù)對客觀經(jīng)濟發(fā)展事物及規(guī)律的認(rèn)識,在觀察和分析經(jīng)濟發(fā)展過程的歷史與現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上,對未來的經(jīng)濟發(fā)展趨勢做出合理的判斷和估計。以個別經(jīng)濟單位生產(chǎn)經(jīng)營發(fā)展的前景作為考察對象,研究其各項有關(guān)指標(biāo)之間的聯(lián)系和發(fā)展變化狀況的,則屬于微觀經(jīng)濟預(yù)測,如對工業(yè)企業(yè)所生產(chǎn)的具體商品的生產(chǎn)量、需求量和市場占有率的預(yù)測等。微觀經(jīng)濟預(yù)測,是企業(yè)制定生產(chǎn)經(jīng)營決策以及編制和檢查計劃的依據(jù)。經(jīng)濟預(yù)測的方法大體可分為兩大類：一類是定性分析法(又稱經(jīng)驗判斷法),它是人們通過對事物的性質(zhì)、特點

19、和已占有情況的分析,依靠主觀判斷和邏輯分來析預(yù)測事物未來發(fā)展?fàn)顩r的其結(jié)果只是定性描述和大體估計。常用的定性預(yù)測方法有:市場調(diào)查預(yù)測法、專家評估法、主觀概率法等。另一類是定量分析法(又稱分析計算法),它是人們利用已占有的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)資料,通過建立數(shù)學(xué)模型進行計算來預(yù)測事物未來發(fā)展?fàn)顩r的,其結(jié)果則比較明確和具體。隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)被越來越多的應(yīng)用到金融中。它也給金融帶來了一場革命。其中最受人矚目的莫過于金融工程、定量投資以及風(fēng)險管理?；谝陨侠碚?，除了傳統(tǒng)的股票投資分析方法以外，近年來又發(fā)展了許多新的股市預(yù)測方法，并且取得了很好的效果7。2.1趨勢分析法趨勢分析法也稱趨勢曲線分析、曲線擬合或曲線回歸

20、，是根據(jù)已知的歷史資料來擬合一條曲線，使得這條曲線能反映負(fù)荷本身的增長趨勢，然后按照這個增長趨勢曲線，對要求的未來某一點估計出該時刻的負(fù)荷預(yù)測值。常用的趨勢模型有線性趨勢模型、多項式趨勢模型、線性趨勢模型、對數(shù)趨勢模型、冪函數(shù)趨勢模型、指數(shù)趨勢模型、邏輯斯蒂(logistic)模型、龔伯茨(gompertz)模型等，尋求趨勢模型的過程是比較簡單的，這種方法本身是一種確定的外推，在處理歷史資料、擬合曲線，得到模擬曲線的過程，都不考慮隨機誤差。采用趨勢分析擬合的曲線，其精確度原則上是對擬合的全區(qū)間都一致的。在很多情況下，選擇合適的趨勢曲線，確實也能給出較好的預(yù)測結(jié)果。但不同的模型給出的結(jié)果相差會很

21、大，使用的關(guān)鍵是根據(jù)地區(qū)發(fā)展情況，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?.2時間序列法時間序列，也叫時間數(shù)列、歷史復(fù)數(shù)或動態(tài)數(shù)列。它是將某種統(tǒng)計指標(biāo)的數(shù)值，按時間先后順序排到所形成的數(shù)列。時間序列預(yù)測法就是通過編制和分析時間序列，根據(jù)時間序列所反映出來的發(fā)展過程、方向和趨勢，進行類推或延伸，借以預(yù)測下一段時間或以后若干年內(nèi)可能達到的水平。設(shè)x為時間序列中時點i的觀測值，其樣本為N；每次移動地求算術(shù)平均值i所采用的觀測個數(shù)為n;則在第t時點的移動平均值M為1(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)M=（x+x+xHFx）=£x1ntt-1t-2t-n-1nii=t-n+1式中M第t時點的移動平均值，也可當(dāng)

22、做t第t+1時點的預(yù)測值打，即y=M，y=MT+1ttt-1由(2-2)式可導(dǎo)出：M=(x+x+x+x)+(x一x)tnt-1t-2t-n-1t-nntt-n1即得M=M+(x-x)tT-1ntt-n由（2-4）可見，在計算各時的移動平均值過程中,若已算得M,則用（2-4）式較易t-1于迭代計算出M12.3灰色預(yù)測法灰色預(yù)測法是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進行預(yù)測的方法?；疑A(yù)測模型稱為GM模型，GM（1,1）表示一階一個變量的微分方程型預(yù)測模型。GM（1,1）是一階單序列的線性動態(tài)模型。設(shè)有數(shù)列x(0)(1)，x(0)(2)，,x(0)(n)對x(0)作累加生成,得到新的數(shù)列x,其元素x(i)

23、=2xo(n)i=1,2,.,n(2-5)n=0對數(shù)列x(1),可建立預(yù)測模型的白化形式方程dx(1)+ax=卩dt(2-6)式中:a,R-為待估參數(shù).分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù).設(shè)a為待估參數(shù)向量,則入aa=最小二乘法求解，有：a=(BtB)-1BTyn(2-7)式中：B=1(x+x)12-(x(1)(2)+x)12-丄(x(n1)+x(n)2y=x(0)(2),x(0)(3),x(0)(n)Tn將(2-7)式求得的a代入(2-6)式,并解微分方程，有GM(1,1)預(yù)測模型為:x(1)(i+1)=x(0)(1)axai+(2-8)(2-9)(2-10)灰色模型法使用短期數(shù)據(jù)得到的結(jié)果比較

24、占優(yōu)，但是使用長數(shù)據(jù)列得到的結(jié)果與其它相比，并不占優(yōu)，數(shù)據(jù)列過長，系統(tǒng)受干擾的成分多，不穩(wěn)定因素大，反而易使模型精度降低，降低預(yù)測結(jié)果的可信度。2.4 模糊數(shù)學(xué)法模糊推理是在模糊邏輯基礎(chǔ)上對模糊命題進行演繹和歸納推理，以完成具有象人一樣的近似判斷能力的工作。模糊推理的句型表達如下:規(guī)則:如果x是A，且x是A，且x是A;那么Y是B。1122nnfff前提:如果x是A，且x是A，且x是A1122nn結(jié)論:那么Y是B簡記為：AAAAAATB122fffAAAAAA結(jié)論為Bf12n其中x,、Y為被研究對象的名稱，n為被研究對象的個數(shù)。A、B分別是論i域A、Y上的模糊子集，”a”表示”且”運算，給出建立

25、在推理規(guī)則上的邏輯i運算。2.5 回歸分析法回歸預(yù)測可以說是最為古老同時又應(yīng)用得最為廣泛的一種定量預(yù)測方法，是處理多變量相依關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，它是數(shù)理統(tǒng)計中應(yīng)用最為廣泛的一種方法之一。它的基本思想是分析預(yù)測對象與有關(guān)因素的相互關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)幕貧w模型（即回歸方程）表達出來，然后再根據(jù)數(shù)學(xué)模型預(yù)測其未來狀態(tài)。然而在許多實際問題中，由于各種關(guān)系錯綜復(fù)雜，要精確的建立變量間數(shù)學(xué)表達式又特別困難，同時很多變量之間還受到其它偶然因素的影響，使得這些變量之間的關(guān)系具有不確定性。回歸分析方法就是在大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，找出這些變量之間的內(nèi)部規(guī)律，從而定量的建立起一個變量與其它變量的數(shù)學(xué)表達式。因此簡單說來

26、，回歸分析就是研究一個變量與其它變量之間關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，由于有較為嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和較成熟的計算分析方法，所以，如果模型建立得當(dāng)，則可得到比較精確的預(yù)測結(jié)果。常用的回歸模型是多元線形回歸模型（一元線性回歸模型只是多元線性模型的一個特例）和多元非線形回歸模型3。第3章回歸分析回歸預(yù)測方法是以相關(guān)性原理為基礎(chǔ)的預(yù)測方法，是數(shù)理統(tǒng)計中回歸分析方法在預(yù)測中的應(yīng)用。從市場現(xiàn)象之間的因果關(guān)系出發(fā)，通過建立回歸預(yù)測模型，根據(jù)一種或幾種現(xiàn)象的變化去推測另一種現(xiàn)象變化的一種定量預(yù)測法。在經(jīng)濟預(yù)測中，人們把預(yù)測對象當(dāng)作因變量，把那些與預(yù)測對象有關(guān)的因素當(dāng)作自變量，收集自變量的充分?jǐn)?shù)據(jù)，應(yīng)用相關(guān)分析和回歸分析求得

27、回歸方程，并利用回歸方程進行預(yù)測。在回歸預(yù)測中，預(yù)測對象y是一個隨機變量，與之相關(guān)的普通變量x或一組普通變量x，x，x，x稱為自變量。如果對于自變量的每一個取值或每一123n組取值，預(yù)測對象y的取值都有相應(yīng)的分布。但由于變量間關(guān)系的復(fù)雜性或由于統(tǒng)計數(shù)據(jù)、試驗數(shù)據(jù)不可避免地存在隨機誤差而使它們之間的關(guān)系帶有不確定性，使預(yù)測者無法得到描述它們之間關(guān)系的精確的數(shù)學(xué)表達式，那么，就需要用回歸分析的方法，通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)或試驗數(shù)據(jù)，尋找它們之間潛在的統(tǒng)計規(guī)律性，并以回歸方程做出描述。根據(jù)回歸方程，就可以由一個或多個自變量的給定值對預(yù)測對象做出估計和預(yù)測。回歸預(yù)測法中的自變量與因變量之間，有的屬于因果關(guān)

28、系，有的屬于伴隨關(guān)系。不能認(rèn)為只有因果關(guān)系才能進行回歸預(yù)測，實際上伴隨關(guān)系也是一種相關(guān)關(guān)系，只要收集大量的足夠的資料，也可以用回歸預(yù)測法進行預(yù)測。在回歸預(yù)測法中，自變量不是隨機的或者是給定的，這與相關(guān)分析中自變量有所區(qū)別。相關(guān)分析中的自變量是隨機的。由于回歸分析方法有較嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)和較成熟的分析、計算方法，同時，各種社會現(xiàn)象都普遍地與某些因素存在著不同程度的相關(guān)關(guān)系，所以回歸預(yù)測方法在股票市場的預(yù)測中得到廣泛的應(yīng)用6。以下則初步介紹怎樣運用回歸分析的方法描述這種關(guān)系，并據(jù)此進行股票市場預(yù)測。3.1線性回歸分析3.1.1一元回歸模型應(yīng)用回歸分析法進行經(jīng)濟預(yù)測的關(guān)健就是建立回歸方程當(dāng)一個自變量與

29、因變量(即預(yù)測對象)之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計規(guī)律呈線性關(guān)系時,就稱其為一元線性回歸。一元線性回歸分析預(yù)測法,就是處理一個自變量與因變量間線性關(guān)系的一種用途很廣的方法。該方法簡單、適用,可用于處理有因果關(guān)系的經(jīng)濟方面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。一元線性回歸的基本模型為:y=a+bx其中，y為預(yù)測對象少的估計值。x為自變量，是預(yù)測對象的相關(guān)因素；a.b為回歸系數(shù)，回歸直線由回歸系數(shù)來確定。a和b應(yīng)滿足條件：使回歸線在總體上與各個數(shù)據(jù)點最為接近?；貧w系數(shù)a、b是根據(jù)最小二乘法和已知的樣本資料求出的,其求解結(jié)果是："xiyixi*丫yi工xy-nxy工(x-x)(y-y)工x2-i(Ex)2Nx2-n(X)2K(

30、X1-X)21n1a=y-bx式中：x,y分別為自變量x和預(yù)測對象y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，x,y分別為x和yii所取統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均值。按上述公式求出回歸系數(shù)a和b后即可確定回歸方程。根據(jù)回歸方程，可以由給定的自變量的取值x,對預(yù)測對象少的取值做出預(yù)測。線性回歸預(yù)測是在假定y與x之間存在著線性關(guān)系的條件下進行的。線性回歸預(yù)測模型能否做出較好的預(yù)測，這取決于y與x之間呈線性關(guān)系的近似程度。y與x之間在多大程度上可以近似地認(rèn)為它們之間存在著線性關(guān)系，不能僅憑散點的分布直觀判斷，還應(yīng)當(dāng)通過相關(guān)性檢驗做出定量判斷。相關(guān)性檢驗是根據(jù)y與x的相關(guān)系數(shù)來判斷它們之間的線性關(guān)系。相關(guān)系數(shù)r的絕對值|r越接近于1，則y與x

31、越接近于線性關(guān)系。|r|越接近于零，則y與x越偏離線性關(guān)系。只有當(dāng)r|足夠大時才能以線性回歸模型進行預(yù)測。確定y與之間線性關(guān)系的恰當(dāng)?shù)膢r|值，可以從相關(guān)系數(shù)臨界值表上查出臨界值r行判a斷。當(dāng)H>r時即可認(rèn)為y與x之間存在著顯著的線性關(guān)系。相關(guān)系數(shù):可由下a工(x-x)(y-y)iir=ii式求得:工(x-x)2(y-y)2ii'i=1由于線性回歸模型是對y與x關(guān)系的近似描述，所以當(dāng)以回歸模型進行預(yù)測時，得到的預(yù)測值y也只能是近似的。這就需要對預(yù)測值的置信區(qū)間做出判斷。預(yù)測值的置信區(qū)間可由下式計算:tIy下%±2(n】2)i'藝(y-y)2iiI2V1(x-x)

32、21+_+-n工(x-x)2ii-1式中y上表示預(yù)測置信區(qū)間的上、下限。t/2(n-2)是顯著性水平為a，自下a由度為n-2的t分布臨界值。它可以根據(jù)所確定的顯著性水平a和所取樣本數(shù)n從t分布表中查出。3.1.2 多元回歸線性分析模型在股票市場預(yù)測中，由于股票市場這一經(jīng)濟現(xiàn)象的復(fù)雜性，預(yù)測對象往往不是僅與一個自變量有關(guān)，而是受到多個相關(guān)因素的共同作用。為了全面地描述預(yù)測這一經(jīng)濟現(xiàn)象與諸相關(guān)因素的關(guān)系，更有效地做出預(yù)測，就需要建立有多個自變量的回歸預(yù)測模型。具有多個自變量的回歸預(yù)測稱為多元回歸預(yù)測4。假設(shè)預(yù)測對象y與一組自變量x,x,，x存在著線性回歸關(guān)系，那么預(yù)12n測對象與這一組自變量之間的

33、關(guān)系可以用多元線性回歸方程yb+bx+bx+bx01122nn來描述。式中b,b,b,，b為回歸系數(shù)。012n回歸系數(shù)的確定同一元回歸分析相類似，是以預(yù)測對象y及各自變量x,x，x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)按最小二乘法求出。2n設(shè)P,P,P，,P分別是b,b,b,，b的最小二乘估計值，于是有012n012ny二P+Px+PxHPx(3-1)01122nn式(3-1)中，y是y中的一個最小二乘估計對于每一個試驗數(shù)據(jù)6,x，,x),i=1,2,m,由式(3-1),可得一個y,即i1i2iniy二b+bx+Hbx,i=1,2,m這里稱y為實際值y的回歸值。i011ninii顯然，回歸值y與實際值y有誤差，即iiy-

34、y二y-(b+bxHHbx)(i二1,2,m)iii011nin當(dāng)然我們希望y與y值偏離程度越小越好,這樣才能使回歸值y與實際值iiiy擬合得最好,這里y和y偏差越小是指每一個y和y,于是對全部觀察值(實iiiii驗值)有:min工(y-y)2iii=1=min工(y-b-bxbx)2i01i1nini-1=minQ(b,b,b)01n為此我們可以用微分學(xué)中求極值的原理來確定b,b,b,b012n°Q(-)=-2(y.-y.)(3-2)cb110i=1=-2工(y-y)x=0(j=1,2,n)cbiiijji=0整理化簡為nb0門xIi=1n丿b1X2bi1丿工Xim丿i=1這里令i

35、1i=1ximi=1£xyi1ii=1工xyimii=1b0b1b+(工+1厶xxIi1i2i=1+ex.2丿i=1+gximi=1i1x2i1i=1工xxi1imi=1x11x1mXim丿b|工工xi2fxxi1i2i=1工xxi2imi=11x21x2mimbmXXi1im丿i=1+(工工ximi=1fxxi1imi=1工x2imi=1=Hyii=1=工xyi1ii=1工xyimii=1XTX(3-3)1xn1xnm所以(3-2)式可用矩陣形式表示為y1y=XtY2(xTX)B=XTY或AB=C如果系數(shù)矩陣A滿秩，則A-1存在，此時有3-4)B二A-iC二(XtX)-iXtY這里

36、式（3-4）即為多元回歸方程中參數(shù)的最小二乘估計。建立多元線性回歸方程之前，通常先對預(yù)測對象y與各個自變量的關(guān)系進行分析，描繪出y與各個自變量的散點圖。如果預(yù)測對象與自變量之間為某種非線性關(guān)系，則須以類似一元非線性回歸的方法，通過變量代換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系來處理。多元回歸預(yù)測是一元回歸預(yù)測的推廣，其基本原理和步驟與一元回歸預(yù)測大致相同，只是多元回歸預(yù)測的方法要復(fù)雜得多，計算量要大得多。多元線性回歸模型為：y二卩X+8其中，111XXX11121ny二（y1'兒''兒）'，X=X21X22X2n，XXXm1m2mnB=（P,P.B）'，8二（8,8.8y01n

37、01n其中X為設(shè)計矩陣，P為參數(shù)向量。利用最小二乘法我們可以得到參數(shù)向量的解為：八P二（x'x）-1Xy二2（y-Xp）'（y-Xp）C2=n這里通常假定模型滿足如下條件：1）隨機誤差是不相關(guān)的,即E（8）=0,Var（8）=c2,Cov（8,8）=0,i豐jij2）解釋變量與誤差相互獨立,即E（X8）=03）解釋變量之間線性無關(guān),即Rank(X)=m+13.1.3 線性相關(guān)程度測定及相關(guān)性檢驗預(yù)測運用回歸模型預(yù)測的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地把握住預(yù)測變量與相關(guān)變量之間的相關(guān)程度,只有在變量之間存在著密切的線性關(guān)系時,所建立的線性回歸模型涉及分析預(yù)測,才會變得有意義和有價值。因此,對于有不同

38、的變量,往往先進行相關(guān)分析,然后再選有明顯關(guān)系的變量進行回歸分析。在回歸分析中,兩個變量間相關(guān)程度的測定,一般通過計算相關(guān)系數(shù)r并進行相關(guān)顯著性檢驗判定。相關(guān)系數(shù)r的計算公式為:工(x-x)(y-y)r=i匚:乙(x-X)2(y-y)2ii相關(guān)性檢驗:在計算相關(guān)系數(shù)r的基礎(chǔ)上,再通過查相關(guān)系數(shù)檢驗表可得到r(n-2)的值，并將其與|r|進行比較(注:a為顯著性水平，一般取0.01或a0.05；n為已知的自變量(即因變量)的數(shù)據(jù)個數(shù);n-2稱為自由度)。若|r|>ra(n-2),則表明在a顯著性水平上y與x之間的線性關(guān)系是顯著的。|r|越接近于1, 預(yù)測變量y與相關(guān)變量x的相關(guān)程度就越高。

39、當(dāng)0.7W|r|<1時，表明預(yù)測變量與相關(guān)變量有較高程度的相關(guān)；當(dāng)0.3W|r|<0.7時，表明兩者有中等程度的相關(guān)；當(dāng)0W|r|<0.3時，表明兩者相關(guān)程度甚差；當(dāng)|r|<0.6時,就不能用線性回歸方法進行預(yù)測。通過理論分析和相關(guān)系數(shù)，如果預(yù)測對象(因變量)與影響因素(自變量)之間，確實存在著顯著的相關(guān)關(guān)系，那么過去和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)規(guī)律，能延續(xù)到未來，一也就是說，因變量和自變量之間的數(shù)量關(guān)系，能夠反映未來的情況。同時，對影響因素(自變量)的情況己作過調(diào)查或預(yù)測，掌握了自變量在預(yù)測期的數(shù)據(jù)。這樣，就可把自變量的數(shù)據(jù)代入回歸預(yù)測方程，求得預(yù)測對象(因變量)的預(yù)測值?；貧w方程的

40、一個重要的應(yīng)用是，對于給定的點x二x，可以以一定的置信度0預(yù)測對應(yīng)的y的觀測值的取值范圍，即所謂預(yù)測區(qū)間.由以上分析可知，當(dāng)x二x0時，可以取y=a+bx0y二a+bx+s000作為的預(yù)測值由統(tǒng)計學(xué)的知識可知：區(qū)間y'±t,(n-2)b1+1+(Xo-X)2即為y的置信度為的預(yù)測區(qū)間.0a2ynS0-xx-由此模型我們可以預(yù)測，一支股票在一個周期中經(jīng)過一波上漲后了由它上漲的幅度x，便可得到下一波下跌幅度y的預(yù)測區(qū)間。003.2非線性回歸分析3.2.1非線性回歸分析非線性回歸分析是近一、二十年來在線性回歸分析基礎(chǔ)上，借助專業(yè)統(tǒng)計軟件(如SAS、SPSS等)迅速發(fā)展起來的一種重要

41、統(tǒng)計方法。相對傳統(tǒng)的線性回歸分析方法，它主要以隨機變量與變量間的非線性(參數(shù))函數(shù)關(guān)系為處理對象，通過采用非線性最小二乘法建立非線性回歸模型來達到對實際問題的擬合、控制和預(yù)測目的。所以非線性回歸分析無論是處理的對象還是處理方法本身都比線性回歸更為復(fù)雜。本章主要介紹非線性回歸分析的基本方法和存在的問題以及有關(guān)參數(shù)初值估計和模型期望函數(shù)的選取原則5。設(shè)Y是一個可觀測的隨機變量，它受到m個非隨機因素變量x,x,x,123x.和隨機誤差E的影響，并且與x，x，x，x.有如下非線性關(guān)系m123my二F(x,x，,x;卩,卩，卩)+E(3-5)12m12p其中F(.;.)表示x與0的非線性期望函數(shù)(i=l

42、,2,，mj=l,2,，iiP);0表示未知參數(shù);E表示不可觀測的隨機擾動變量并滿足正態(tài)分布和iGauSS-Markov假設(shè)E（£）二0g2（i二j）0（i豐j）<C0V（8,&）二ii則稱(3-5)式為非線性回歸模型。對于隨機變量Y和非隨機變量X的n次觀測數(shù)據(jù)(稱為樣本)(x,x，x;y)i=1,2,ni1i2imi滿足模型y二f(X,x，,x;卩，卩，卩)+si二1,2,nii1i2im12pi若令Y=-yi-y2F(X,0)=rf(x,0)1F(x,0)2=rF_1F20=0102E=8182ynF(x,0)nFn0P8n則模型(3-5)可化為矩陣形式Y(jié)二F(X,

43、0)+E(3-6)非線性回歸分析就是通過對n次觀測數(shù)據(jù)(x,y)建立非線性回歸模型(3-6)ii來完成數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測。由于數(shù)據(jù)變化特點和相應(yīng)模型期望函數(shù)類型的不同，模型構(gòu)建方式可分為以下三種情形8:一、若F(x,卩)能通過變量變換和重新參數(shù)化轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，并且變換后模型的隨機擾動項E仍滿足Gauss-Markov正態(tài)分布條件，則可將處理對象轉(zhuǎn)化為線性問題而采用線性回歸方法予以處理。二、若F(x,卩)在變量變換后雖化成線性函數(shù)，但隨機擾動項E己不滿足方差齊性等假設(shè)條件，則可采用加權(quán)線性回歸方法。三、期望函數(shù)F(x,0)不可線性化或經(jīng)過線性變換后隨機擾動項E不滿足Gauss-Markov假設(shè)和正

44、態(tài)分布條件，則應(yīng)采用非線性回歸方法，這也是處理非線性問題的一般方法。非線性回歸分析的主要步驟分為觀測數(shù)據(jù)(x,y)的統(tǒng)計整理和模型期望函ii數(shù)類型的確定與參數(shù)迭代估計以及模型參數(shù)檢驗，最后是模型的重新修正和實際應(yīng)用?？捎脠D3-1表示為圖3-1非線性回歸分析流程圖3.2.2參數(shù)估計和模型檢驗1.參數(shù)非線性最小二乘估計0(NLSE)對于非線性回歸模型矩陣式1.2,球參數(shù)0的估計值0使其誤差平方和的0.5倍，即S(0)=1工62=1工(y-F(x,0)2(3-7)2i2iii=1i=1在0=0時達到最小值，稱之為非線性最小二乘準(zhǔn)則。若記e(0)=(y-F(x,0),y-F(x,0),.,y-F(x,

45、0)T1122nn=(e(0)，e(0)，.，e(0)T12n目標(biāo)函數(shù)為1s(0)=eT(0)e(0)則0的NLSE估計值戶也可看成求無約束最優(yōu)化問題minS(0)的全局最優(yōu)解，即最小值。一般情況下最優(yōu)化方法只能求得其局部最優(yōu)解，所以也可通過求解非線性正規(guī)方程組£衛(wèi)(y-F(x,P)=0j=1,2,p(3-8)dpiiiij得到的NLSE估計值，然后通過實際數(shù)據(jù)比較判斷出戶是否是全局最優(yōu)解。非線性情況下，無論是求解最優(yōu)化問題還是求解正規(guī)方程組，一般都采用迭代方法，首先設(shè)定參數(shù)P的初估值P0，然后不斷改進直到使誤差平方和SSE逐漸達到最小，即從P0開始，用觀測值(x,y)來計算和K使得

46、iiSSE(P0+KA)<SSE(P0)下次迭代用P0+KA代替p0，重復(fù)上述過程，直到SSE達到認(rèn)可的最小穩(wěn)定值，這時得到的參數(shù)向量即為非線性最小二乘估計值6。由于計算和K的方法不同，產(chǎn)生了不同的迭代過程。在統(tǒng)計軟件SAS/STAT的ProcNlin處理過程中包括了常用的五種迭代方法可供使用15：1、Gauss一Newton法。2、最速下降法。3、Newton法。4、Marquardt法。5、DUD法。其中Gauss-Newton法是最為常用的基本迭代方法，DUD法不需要計算期望函數(shù)導(dǎo)數(shù)，實際迭代中可針對具體的觀測數(shù)據(jù)和模型期望函數(shù)特征選擇不同的迭代方法。2參數(shù)和模型顯著性檢驗無論是求

47、解最優(yōu)化問題還是求解非線性正規(guī)方程組(3-8),所得到P的非線性最小二乘估計值戶己不再象線性模型那樣具有無偏性和最小方差等特性，所以在參數(shù)和模型顯著性檢驗中，要確定它的樣本分布和矩都是很困難的。這一點也是目前非線性回歸分析中較為復(fù)雜的問題之一。但己經(jīng)證明當(dāng)樣本容量充分大且模型滿足某些條件如較低的非線性性態(tài)時，可導(dǎo)出用于假設(shè)檢驗統(tǒng)計量的漸近性質(zhì).n(p-P)N(0Q2M-1)m=p-n近（鏟）（勺瀘）從而分別構(gòu)造用于參數(shù)和模型顯著性假設(shè)檢驗的T統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量ijn其中a.是M-1的主對角線上的第j個元素，y=1My另外，模型的檢驗還應(yīng)包括對隨即擾動項E的Gauss-Markov假設(shè)條件和正態(tài)性

48、的檢驗17，這一點可通過參數(shù)估計向量卩=（卩,卩卩）T中各個參數(shù)是否12n具有真實的專業(yè)背景意義并做出合理的解釋以及模型預(yù)測殘差圖進行分析判斷。必要時可考慮更換模型期望函數(shù)，選擇其他適合觀測數(shù)據(jù)的函數(shù)類型，直到獲得滿意的檢驗結(jié)果。包括參數(shù)迭代估計和參數(shù)以及模型的顯著性檢驗在內(nèi)的全部建模過程，都能采用SAS/STAT軟件中的ProcNlin過程進行編程處理，程序運行結(jié)果可根據(jù)需要輸出迭代收斂過程、參數(shù)估計值、方差分析表、參數(shù)相關(guān)矩陣、模型預(yù)測值、殘差圖以及程序要求輸出的相關(guān)結(jié)果。3.2.3 非線性回歸分析存在的問題盡管非線性回歸分析的主要計算過程能夠借助有關(guān)統(tǒng)計軟件來完成，但程序運行結(jié)果是否滿意

49、卻要依賴于人為地設(shè)定出合理的期望函數(shù)和接近真實的初估值。這是保證參數(shù)迭代快速收斂和模型預(yù)測誤差小、穩(wěn)定性高的前提，要做到這一點需對觀測數(shù)據(jù)變化的具體特點和備擇期望函數(shù)參數(shù)的實際意義做出準(zhǔn)確判斷和理解，目前尚無一般可供遵循的固定程式，己成為非線性回歸分析中許多值得進步探討的問題之一12。對于一組給定的實際觀測數(shù)據(jù)（x,y），選擇某一類備擇期望函數(shù)建立非線性回歸模型的主要目的在于通過回歸模型進行指標(biāo)量變化關(guān)系的擬合、預(yù)測和控制，過分強調(diào)模型對數(shù)據(jù)的“逼真”擬合（如樣條函數(shù)的擬合）而忽略預(yù)測和控制作往往并無太大實際意義。所以在模型期望函數(shù)的選取方而原則上應(yīng)使所構(gòu)建的問歸模型具有良好的預(yù)測控制效果和方

50、便簡明的實用性，一般應(yīng)遵循以下幾點原則：1、非線性回歸模型對觀察數(shù)據(jù)擬合“良好”，殘差分析結(jié)果滿意；2、使非線性回歸模型盡可能地具有簡潔明了的表達式；3、使非線性回歸模型和參數(shù)估計結(jié)果通過顯著性檢驗；4、使非線性回歸模型和期望函數(shù)的各項參數(shù)具有明確的專業(yè)背景意義；5、使非線性回歸模型具有較低的非線性性態(tài)，即較低的固有非線性性態(tài)和參數(shù)效應(yīng)非線性性態(tài)。非線性回歸模型的非線性強度研究表明：當(dāng)模型期望函數(shù)接近線性性態(tài)時，其參數(shù)迭代估計的收斂性和收斂速度對參數(shù)初估值的人為設(shè)定依賴性不強，即使較差的參數(shù)初估值往往也能很快獲得收斂；同時，參數(shù)的非線性最小二乘估計結(jié)果(NLSE)幾乎具有無偏性和正態(tài)性，各項檢

51、驗和預(yù)測結(jié)果也會更為準(zhǔn)確真實。第4章實例分析本章將通過使用前兩章的線性回歸和非線性回歸分析對股票價格進行預(yù)測。4.1用回歸分析進行預(yù)測的步驟應(yīng)用回歸分析進行預(yù)測的步驟9：1）試驗規(guī)模的選取，決定試驗集的數(shù)量，回歸模型期望函數(shù)的選取是否合理以及參數(shù)初估值的設(shè)定是否接近真實值，將直接影響參數(shù)迭代的收斂速度乃至整個模型的預(yù)測的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性；2）預(yù)測參數(shù)的選取，不管是多元線性回歸還是非線性回歸預(yù)測方法的參數(shù)選定，直接影響結(jié)果的分析；4）函數(shù)的確定和分析；5）預(yù)測，采用相應(yīng)預(yù)測的計算方法計算預(yù)測數(shù)值。4.2數(shù)據(jù)的選取本文主要針對中短期預(yù)測，所使用的股票數(shù)據(jù)均是日收盤價，數(shù)據(jù)是從網(wǎng)上下載的“八一鋼鐵數(shù)據(jù)

52、”16，試驗中我們采用線性回歸分析和非線性回歸分析分別做了數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測，處理程序見下節(jié)。選取部分?jǐn)?shù)據(jù)表4-1：開盤價最高價最低價成父量（萬股）成父額（萬元）收盤價19.219.79.211,274.6512095.109.5829.359.419.09704.416499.249.1539.29.449.011,115.6810341.929.2749.349.569.2953.369002.979.5259.449.799.381,108.8710619.009.4669.99.99.511,313.4212700.969.5679.610.159.62,085.7820487.799.

53、8989.419.579.241,096.4910338.309.5599.649.79.231,264.5511883.309.41109.659.759.431,487.4014202.889.64119.610.29.63,969.1339706.319.74128.859.578.763,390.1131960.859.55139.159.68.822,788.3625915.979.01141516171819208.958.988.668.787.917.767.369.249.68.788.98.517.897.628.838.988.528.567.917.657.362.249.764,727.492,309.853.145.762,161.971,111.951,000.7520440.6443979.5020144.2727568.3618342.648659.257558.369.159.198.768.648.517.737.56表4-1八一鋼鐵歷史數(shù)據(jù)表4.3 線性回歸分析的程序?qū)崿F(xiàn)線性回歸分析使用開盤價、最高價、最低價、成交量和成交額作為自變量收盤價為因變量做出多元線性方程進行求解預(yù)測。4.3.1回歸方程求解functionduoyuan2(X,Y