線(xiàn)性代數(shù)—分塊矩陣

1、一、矩陣的分塊一、矩陣的分塊對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 ，為了，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法分塊法，使大矩陣的，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算. . 具體做法是：將具體做法是：將矩陣矩陣 用若干條縱線(xiàn)和橫線(xiàn)分成許多個(gè)小用若干條縱線(xiàn)和橫線(xiàn)分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為矩陣，每一個(gè)小矩陣稱(chēng)為 的的子塊子塊，以子，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣分塊矩陣. .AAA第三節(jié)第三節(jié) 分塊矩陣分塊矩陣,321 BBB bbaaA110101000001例例 A001aba110000b110 1B2B3B即即

2、bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即, BEOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 有有相相同同的的分分塊塊法法采采用用列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與設(shè)設(shè)矩矩陣陣,1BA那那末末列列數(shù)數(shù)相相同同的的行行數(shù)數(shù)相相同同與與其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)

3、則 srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111, 那末那末為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè),21111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分塊塊成成矩矩陣陣為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè),3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行數(shù)數(shù)的的列列數(shù)數(shù)分分別別等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中 即即是是方方陣陣且且非非零零子子塊塊都都其其余余子子塊塊都都為為零零矩矩陣陣上上有有非非零零子子塊塊角角線(xiàn)線(xiàn)的的分分塊塊矩矩陣陣只只有有在在主主對(duì)對(duì)若若階階

4、矩矩陣陣為為設(shè)設(shè).,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA設(shè)設(shè)rA11sA.11 TsrTTAAA則則TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA則則,21 sAAAAOO ., 2 , 1對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣為為分分塊塊那那末末稱(chēng)稱(chēng)都都是是方方陣陣其其中中AsiAi .21sAAAA 分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì)分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì): 并并有有則則若若, 0, 2 , 10 AsiAi.21 sAAAAoo ,621 sAAAA設(shè)設(shè)oo1 1 1 1 ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA例例1 設(shè)設(shè),

5、1011012100100001 A,0211140110210101 B.AB求求解解分塊成分塊成把把BA, 1011012100100001A 10011001A00001121 , EEO1A 0211140110210101B 11BE21B22B則則 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 例例2 設(shè)設(shè)smijaA

6、)(nsijbB )(如果將矩陣如果將矩陣B按列分塊為按列分塊為 1112222111211sssnnbbbbbbbbbB) (21nBBB 其中其中), 2 , 1( ,),(21njbbbBTsjjjj 則則AB) (21nBBBA ) (21nABABAB mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111例例3 如果把線(xiàn)性方程組如果把線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣nmijaA )(按列分塊為按列分塊為) (21nAAAA 其中其中), 2 , 1( ,),(21njaaaATmjjjj mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxa

7、bxaxaxa22112222212111212111) (21nAAAA TnxxxX) (21 ) (21nbbbB 記記則線(xiàn)性方程組的矩陣形式則線(xiàn)性方程組的矩陣形式 就可以寫(xiě)成就可以寫(xiě)成BAX BxxxAAAnn 2121) (即即BxAxAxAnn 2211,0都都是是可可逆逆方方陣陣和和其其中中設(shè)設(shè)CBCDBA .,1 AA并求并求可逆可逆證明證明例例4證證, 可可逆逆由由CB, 0 CBA有有.可逆可逆得得A,1 YWZXA設(shè)設(shè).000 EEYWZXCDB則則 .,ECYOCWODYBZEDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因因此此三、小結(jié)三、小結(jié) 在矩陣?yán)碚摰难芯恐性诰仃嚴(yán)碚摰难芯恐? ,矩陣的分塊是一種最矩陣的分塊是一種最基本基本, ,最重要的計(jì)算技巧與方法最重要的計(jì)算技巧與方法. .(1) 加法加法采采用用相相同同的的分分塊塊法法同同型型矩矩陣陣 ,(2) 數(shù)乘數(shù)乘的每個(gè)子塊的每個(gè)子塊乘乘需需乘矩陣乘矩陣數(shù)數(shù)AkAk,(3) 乘法乘法的劃分相一致的劃分相一致的列的劃分與的列的劃分與需需相乘相乘與與若若BABA, 分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間