高一數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)綜合練習(xí)題(標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1 .例題分析:例1 用loga X , log a y , loga z表示以下各式:, xy (1 ) log a 一Z(2) loga 攀.解: (1) loga xyZ(2)loga(xy) lOgaZlog a X log ay log a Z ；例2.求以下各式的值:loga(x y) loga3 Z loga /y loga3 Z -loga y DogaZ.23loga x22lOg a X(1)log2 47 25 ；(2)ig5ioo .解：(1)原式=log2 47log2 25 = 7log5log 227 219 ;1 2(2)原式= lg102例3.計(jì)

2、算：(1)ig1421g7 lg7 lg 18 ；3lg 27 lg8 3lg .1Oig1.2解：(1)解法一:解法二:2lg -3lg7lg18lg(27) 2(lg7lg3)lg7lg72lg72lg3lg72lg3 lg 20 ；72lglg7lg18lg147 2lg(-)2 lg7lg18=lg(3)lg 14ig2lg14lg(32 2)(2)將；lg914 72(3)lg1 0 ；18說明：本例表達(dá)了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用，運(yùn)算性質(zhì)常常逆用，應(yīng)引起足夠的重視。lg 355lg3Ig8 3lg 一101 1lg(33)2 Ig23 3lg102lg1.2,3 22 lg10|(l

3、g3 2lg2 1)lg3 2lg 2 1例 4. lg 20.3010，lg3 0.4771，求 lg1.44 的值。故應(yīng)將1.44進(jìn)行恰當(dāng)變形:分析：此題應(yīng) 注意條件中的真數(shù)2 , 3 ,與所求中的真數(shù)有內(nèi)在聯(lián)系，1.441.22(3 22 10 1)2，然后應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可出現(xiàn)條件的形式。解：lg1.44lg1.22 lg(3 22 10 1)22(lg3 2lg 2 1)2(0.47712 0.30101) 0.1582 .說明：此題應(yīng)強(qiáng)調(diào)注意與所求的內(nèi)在聯(lián)系。例 5. loga X loga c b，求 X .分析：由于x是真數(shù)，故可直接利用對(duì)數(shù)定義求解；另外，由于等式右端為兩

4、實(shí)數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將lOga C移到等式左端，或者將 b變?yōu)閷?duì)數(shù)形式。解：(法一)由對(duì)數(shù)定義可知：x alogac b alogac ab c ab.c ab.(法二)由移項(xiàng)可得 log a x log a c b，即log ab，由對(duì)數(shù)定義知：abcc(法三)Q b loga ab, loga x logaC loga abloga c ab, x c ab.說明：此題有多種解法，表達(dá)了根本概念和運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用，可以對(duì)于對(duì)數(shù)定義及運(yùn)算性質(zhì)的理解。1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 a > 0 , a 1, M > 0 , N > 0,那么(1)loga

5、(MN) logaMloga N ；( 2)MaNloga M -loga N ；(3) loga M n nlogaM (n R).證明：(性質(zhì)1)設(shè)loga Mp , loga由對(duì)數(shù)的定義可得aP , Naq,- MN ap aqapq , loga(MN )(性質(zhì)3)設(shè) loga M p , 由對(duì)數(shù)的定義可得 M nanp,- loga M n 叩, 即證得loga M nM ap,即證得log a MNloga Mloga N練習(xí):說明：證明性質(zhì)(1)2.語言表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)的和(簡易表達(dá)以幫助記憶)；(2)注意有時(shí)必須逆向運(yùn)算:log® 5log102 log 1010

6、1 ；例6.(3)(4)注意定義域：log 2(3)( 5) log2(3) log2( 5)是不成立的,留神記憶錯(cuò)誤:(1)3a解：(1)：3alogio(2,用(2)v3b又log3 21.換底公式:loga10 )22log!o(10)是不成立的;loga(MN )log a(MNa表示log 3 4log3 2 , b log 35 ,loga Mloga N，試舉反例,)loga M loga N，試舉反例。log3 6 ； (2) log3 2a , 3b5，用 a、b表示log 3 30 log 3 4log 3 6 = log 323log3 2 1a , log3 . 30

7、=一 log313 5 log 3 22換底公式log3 3log3 5i(a b1) N( a > 0 , a 1log mam 0, m 1)證明：設(shè)loga N x，那么ax兩邊取以m為底的對(duì)數(shù)得：logma logm N , xlogmalOgm N ,從而得：x l°glogm a logaNlogm N log m a說明：兩個(gè)較為常用的推論:(1) logablogba 1 ；(2)logam bnn loga b ( a、b 0且均不為 m1).證明：(1)logab logbalgblg alg alg b(2)logam bnlg bn nlg b lg a

8、m mlg amlogab.2 .例題分析:例1.計(jì)算:(1)51 log0.23(2)log4 3 Iogg2log2 432.解：(1)原式55log0.2315 ；(2)原式=12 log 2 312log32 4log22例2.log18 918b 5,求 log 36 45 (用a, b表示).解：t log 18 9 a ,- log18182log18 2log 18 21 a ,又/ 18blog" b, log36 45log 18 45 log 18 9 log18 5log 18 361 log 18 2設(shè)3x4y6zt 1，求證:12y證明:t 3x4y6z里

9、lg3，Jg! lg4，lg6，lg6lgtlg3lgtlg2lgtlg 42 lgt12y假設(shè) log8 3p, log35q，求 lg 5.解: t log83 p , log 2 3 3plg33plg23p(1lg5),又 t log 3 5 q , lg 5lg 3qlg33pq(1lg 5), (1 3pq) lg5 3pq3pq1 3pq例 5.計(jì)算：(log 4 3 log83)(log32logg2)log224 32 .解：原式(log22 3 log23 3)(log32log32 2)(1log23 1log2 3)(loga223log3 2)5 35555log 2

10、 3 log 3 26 24442例 6.假設(shè) log34 log48 log8 m log 4 2，求 m .解:由題意可得：lg4 lg8 lgm1 , lgm 1lg3 , m .3 .lg3 lg4 lg822對(duì)數(shù)函數(shù)例1.求以下函數(shù)的定義域：2 2(1)y logaX ；(2) y log a (4 x) ；(3) y log a (9 x ).說明：此題只是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用,應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意書寫格式。例2.求函數(shù)y2和函數(shù)y廣2(x0)的反函數(shù)。解：( 1) 1x5 f 1(x)log2(x 2) (x5-2)y-2 f-1(x)logMx-2)(2分析：此題主要利用對(duì)數(shù)函數(shù)y

11、 logax的定義域(0,)求解。解:(1) 由x2 >0得x 0 ,函數(shù)y loga x2的定義域是 xx 0 ；(2) 由4 x 0得x 4,.函數(shù)y loga(4 x)的定義域是 x x 4 ；(3)由 9- x20得-3 x 3,.函數(shù) y loga(9 x2)的定義域是x 3 x 3 .例4.比擬以下各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:(3) log a 5.1 ,呱5.9.(1) log 23.4 , log2 8.5 ；(2) log 0.31.8 , log 0.3 2.7 ；解：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y log2x在(0,)上是增函數(shù)，于是 log2 3.4log2 8.5 ；(2 )對(duì)數(shù)函

12、數(shù)ylog0.3x在(0,)上是減函數(shù)，于是 log 0.31.8 log 0.3 2.7 ;(3)當(dāng)a 1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y logax在(0,)上是增函數(shù)，于是 log a 5.1 log a 5.9 ,當(dāng)o a 1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y logaX在(0,)上是減函數(shù),于是 loga 5.1 log a 5.9 .例5.比擬以下比擬以下各組數(shù)中兩個(gè)值的大小:Iog3, log 2 0.8 ；0 9(3) 1.1 . , Iog1.10.9, log。® ；(4)log5 3 , Iog6 3 , log 7 3.解: (l)：Tog6 7 Iog6 6 1 ,log 7 6 Iog7 71

13、, log 6 7 Iog7 6 ；(2)v log 3 Iog3 10 ,log2 0.8 Iog210 , Iog3Iog2 0.8 .(3)v 1.10.91.101 ,log1.10.9 log1.11log 0.71logo.7 0.8 logo.7 0.7 1 , Iog6 7 , log 7 6 ；- 1.10.9log 0.70.8 log 1.1 0.9 .(4)t 0 log3 5 logs 6 Iogg7 ,log 5 3Iog6 3Iog7 3 .例6.logm 4 log n 4，比擬m , n的大小。解: V logm 4log n 4 ,log 4 m log 4

14、 n '1,1時(shí),log4 mlog4 nlog 4 m ,1時(shí),得log 4 mIog4 nlog 4 m ,1 .當(dāng)01時(shí),得 log 4 mlog 4 n ,綜上所述，m , n的大小關(guān)系為mn1或 0 n m1或0m 1 n .例7.求以下函數(shù)的值域：(1) y Iog2(x 3) ； (2) y log2(32、x ) ； (3) y2loga(x4x 7) ( a 0且 a 1).解: (1 )令 t x 3，那么 y log 21,v t 0 ,y R,即函數(shù)值域?yàn)镽 .2(2 )令 t 3 x ,那么 0 t 3,- y log 2 3 ,即函數(shù)值域?yàn)?,Iog2 3.

15、(3)令 t x2 4x 7 (x 2)233,當(dāng)a1時(shí)，y log a 3 ,即值域?yàn)閘og a 3,當(dāng) 0 a 1 時(shí)，y loga 3 ,即值域?yàn)?,log ;a 3.例&判斷函數(shù)f(x) log2C、x2 1x)的奇偶性。- 0 m- 0 m 1n.),f ( x) log2( x2 1 x),解：V、.,x2 1 x恒成立，故f(x)的定義域?yàn)?1, n 1 ,1Vx21ogx_xlog2 (廠)2log2r21 x f (x)，所以，f(x)為奇函數(shù)。例9.求函數(shù)y 2log 1 (x2 3x 2)的單調(diào)區(qū)間。3解：令 u x2 3x 2 (x3 21 亠 3-);在匕，4

16、上遞增，在3、,上遞減，2又 x2 3x 2 0 , x 2 或 x1,故 u x2 3x 2 在(2,上遞增，在,1上遞減，又 y 2 log 1 u為減函數(shù),3所以，函數(shù)y 2log 1 (x233x 2)在(2,上遞增，在,1上遞減。說明：利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，首先要考察函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法來求單調(diào) 區(qū)間。例10.假設(shè)函數(shù)ylog2(xax a在區(qū)間,1. 3上是增函數(shù),a的取值范圍。解：令ug(x)x2ax函數(shù)ylog2 u為減函數(shù),g(x)axa在區(qū)間,1-、3上遞減，且滿足u0 , 21，解得 2 2一 2 ,g(i0所以，a的取值范圍為2 2.

17、 3,2.對(duì)數(shù)函數(shù)的取值，那么相應(yīng)于曲線值依次為(B)(C)(D)2.函數(shù)y=log x - i(3 - x)的定義域是 如果對(duì)數(shù)log % 7(x2 6x 5)有意義，求x的取值范圍； 解：要使原函數(shù)有意義，那么x2 6x 50x 70x 71解之得：-7<x<-6 或-6<x<-5 或 x>-1原函數(shù)的定義域?yàn)?7 , -6) U (-6 , -5) U (-1 , +)函數(shù)ylgx2 (k 2)x 5的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，求 k的取值范圍45 2k 52利用圖像判斷方程根的個(gè)數(shù)3關(guān)于x的的方程log3 a，討論a的值來確定方程根的個(gè)數(shù)。作岀函數(shù)與y為o個(gè)；為1

18、個(gè)；為2個(gè)。取值范圍.a的圖象，如log3 x(x 1)解：因?yàn)閥 log3 x在同一直角坐標(biāo)系中l(wèi)og3x(0 x 1)圖可知：當(dāng)a 0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象無公共點(diǎn)，所以原方程根的個(gè)數(shù) 當(dāng)a0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，所以原方程根的個(gè)數(shù) 當(dāng)a0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以原方程根的個(gè)數(shù)24.假設(shè)關(guān)于x的方程lg( ax) lg( ax )4的所有解都大于1，求a的解：由原方程可化為(lg a lg x)(lg a 2 lg x) 4，變形整理有2 22 lg x 3lg a lg x lg a 40 (*)x 1， lg x 0，由于方程(*)的根為正根，那么9lg2a 8(lg2a

19、4) 03Ig a 0解之得Ig a1 22(lg a 4) 02，從而o a11oo解：設(shè)ylog 1 u，22u X22x 3，由u 0得x 2x 30，知定義域?yàn)?,1) (3,)又u2(x 1)4，那么當(dāng) x (, 1)時(shí)，u是減函數(shù)；當(dāng)x 3,時(shí)，u是增函數(shù)，而y log 1 u2在R上是減函數(shù)y.(X2 3xlog123的單調(diào)增區(qū)間為，1，單調(diào)減區(qū)間為3,)題目2】求函數(shù)ylog 11252x-3x+2的單調(diào)區(qū)間。25求函數(shù)y log1 x 2x 3的單調(diào)區(qū)間.22正解】由】x2-32X5-3 x+ )的定義域?yàn)閤| x V 1或x > 5，25X+0得x V1或x >

20、5，即函數(shù)2/1y log i(2x當(dāng)XV 1時(shí)，tx2-3 x+5是減函數(shù),2X 2log11是減函數(shù)，所以X2-3X+-是增函數(shù);x 2當(dāng)X> 5時(shí)，t1 22X-3 x+5是增函數(shù),2logU是減函數(shù)，所以X2-3x+-是減函數(shù);x 2所以y1 -log 1 x -3 x+的增區(qū)間是-°°， 1；減區(qū)間是5，8，。 匕2 22能取遍所有正實(shí)數(shù)的問題.取遍一切正實(shí)數(shù)即函數(shù)值域是正實(shí)數(shù)集的子集那么有，解得函數(shù) f(x)=lg :(a2 1)x2+(a+l)x+1.(1)假設(shè)f (x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 假設(shè)f (x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

21、：(1)( a2 l)x2+( a+l)x+i> 0 對(duì) x e r恒成立.a2仁0時(shí)，a=± 1,經(jīng)檢驗(yàn) a= 1時(shí)恒成立；a21工0時(shí),a<- 1 或 a>aw 1 或 a>a2 仁0,即a=l時(shí)滿足值域?yàn)镽;a21工0時(shí),1 v a<1w a<.27 y log (a x +ax 1)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍?！菊狻慨?dāng)a=0時(shí)，y=0，滿足條件，即函數(shù) y=0的定義域?yàn)镽;當(dāng)az 0時(shí)，由題意得:2a 4a【評(píng)注】參數(shù)問題，分類要不重不漏，對(duì)于不等式2ax +bxc>0不一定是一元二次不等式。由得a的取值范圍為0, 4)o8.函數(shù)

22、y=log 1 : (1 x)( x+3)的遞減區(qū)間是2A.( 3, 1)【解析】設(shè)B.( a , 1) C.( a , 3)t = (1 x)( x+ 3) = x2 2x + 3= (x+ 1)2 + 4 由(1 x)( x+ 3) > 0 得一3< x < 1 當(dāng) xe ( 3, 1)時(shí)，t =(1D.( 1 ,十3 )x)( x+ 3)遞增 y = log 129.函數(shù)(1 x)(x+ 3)的遞減區(qū)間是(一3, 1)A.0 < a< 1log a(2 ax)在：0, 1上是x的減函數(shù)，貝U a的取值范圍是()B.a> 1 C.1< a<

23、2D.1v a< 2【解析】假設(shè)0< a< 1,那么函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；假設(shè)a> 1,那么當(dāng)0<x< 1時(shí)，2 ax>0恒成立即x< -，因此->1 a a-1 <a< 23.當(dāng) t=,即 log210. 求函數(shù) y=log a(2-a x-a2x)的值域。【解】由于 2-ax-a 2x>0,得-2<axv1。.： t=2-a x-a2x=(a1 2 9+)2+e( 0, 2)02 4又當(dāng) a>1 時(shí)，y=log at 遞增， y<log a2; 當(dāng) 0<a<1 時(shí)，y=log at 遞減

24、， y>log 2o故當(dāng)a>1時(shí)，所求的值域?yàn)?-a, Ioga2);當(dāng)0<a<1時(shí)，所求的值域?yàn)?log a2,+ )。xx11. 求函數(shù)y=log2 log 2(x1,8 )的最大值和最小值.24【解】令 t=log2x,x1,8 ,那么 0w log 2XW log 28 即 t 0,3 23 21 y=(log 2x 1)(log 2X 2)=( t 1)( t 2)=t2 3t +2=(t )2 t e： 0,3 242x=3,x=22=2. 2 時(shí)，y 有最小值=-當(dāng)t=0或t=3,即12.設(shè)函數(shù) y=f(x),【解】(1 )假設(shè) lg(lgy)=lg(3x

25、)+lg(3-x)log 2X=0 或 log 2x=3,也即 x=1 或 x=8 時(shí)，y且 lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),(1 )求 f(x)有意義，有最大值=2.的表達(dá)式及定義域;(2)求f(x)的值域。x 0, 那么3 x 0,即x 3,又- lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),/ lgy=3x(3-x)。. y=103x(3-x) (0<x<3) oig y 0,1.(2)v 3x(3-x)=-3x+9x=-3(x-)2+27 (0<x<3), 0<-3x2+9x<2427o 1<y< 104272427 y=f

26、(x)的定義域?yàn)?0, 3),值域?yàn)?1, 10 4 )13函數(shù)最大值比最小值大2,那么實(shí)數(shù)在區(qū)間上的時(shí)，求的最大值,最小值及在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),時(shí),15、函數(shù)y=loga(1 ax)(a>0且a工1)。求函數(shù)的定義域和值域；證明函數(shù)圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱。當(dāng)a> 1時(shí)，函數(shù)的定義域和值域均為(一®, 0);當(dāng)Ov a< 1時(shí)，函數(shù)的定義域和值域均為(0, +8)。1(2)由 y=log a(1 a )，得 1 a =a，,即 a =1 a，x=log a(1 a，) ,. f (x)=log a(1 a )=f(x)。v f(x)與 f11的圖象關(guān)于

27、直線y=x對(duì)稱,x函數(shù)y=loga(1 a )的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱16、x.設(shè)1 127,9f(x)，求函數(shù)log 327(log33x)的最大值。、12x 1f(x) log2- log2(x 1) log2(p x)17、函數(shù)x 1(1)求函數(shù)f(x)的定義域；求函數(shù)f(x)的值域。2log2(P+1) 2);(1)函數(shù)的定義域?yàn)?1, p)。(2)當(dāng) p>3時(shí),f(x)的值域?yàn)?,當(dāng) 1< p= 時(shí)，f(x)的值域?yàn)?一 ，1+log2(p+1)2(log i x)18、7 log i x 32y求函數(shù)x4(log 2)?(log i )22 X的最大值和最小值19： y

28、 loga(2ax在0, 1上是x的減函數(shù)，貝U a的取值范圍是答案：BA (0, 1)B ( 1 , 2)C. (0, 2)D .2 ,解析：此題作為選擇題，用排除法求解較簡，由于這里雖然有a 0, a1，故u 2 ax在0, 1 上定為減函數(shù)，依題設(shè)必有l(wèi)og323x，但是此函數(shù)的定義域?yàn)閍 1,故應(yīng)排除a和c,在b、d中要作選擇，可取a 3,那么函數(shù)為y它當(dāng)然不可能在區(qū)間0 , 1上是減函數(shù)，故又排除了D，從而決定選B20.函數(shù)圖象的對(duì)稱，即，解得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么它為偶函數(shù)，即分析：分清內(nèi)層與外層函數(shù)解：令 u(x)= -(x- 1)2+3<3,貝U f(x) >3=-

29、1,. f (x)值域?yàn)? , +).,1上遞增,).u(x)在(1 1上遞減，在(1, 1+上遞增.上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22 y=log 0.5 (X ax- a)在區(qū)間(上是增函數(shù)，故 t=x2 ax a在區(qū)間g,上是減函數(shù).從而.23.函數(shù)f(x)=loga(ax2 x),是否存在實(shí)數(shù)a,使它在區(qū)間2,4上是增函數(shù)？如果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，說明理由.解：設(shè)g(x)= ax x.當(dāng)a> 1時(shí)，為使函數(shù)y=f(x)=log a(ax x)在xC 2, 4上為增函數(shù)，只需 g(x)a> 1.當(dāng)Ova< 1時(shí)，為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax-x)

30、在x 2,4上為增函數(shù)，只需g(x)= ax -x在x 2,4上為減函數(shù),故無解.a不存在.二當(dāng)a> 1時(shí)，f(x)=log a(ax2-x)在 x 2, 4 上為增函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換及在實(shí)際中的應(yīng)用yf (x)與 yf (x)關(guān)于x軸對(duì)稱yf ( x)與 yf(x)關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱yf 1(x)與 yf (x)關(guān)于直線y x軸對(duì)稱yf (x)的圖像可將 y f(x)，x 0的局部作出，再利用偶對(duì)數(shù)函數(shù)圖象是對(duì)數(shù)函數(shù)的一種表達(dá)形式，形象顯示了函數(shù)的性質(zhì)。為研究它的數(shù)量關(guān)系提供了 “形的直觀性，它是探求解題途徑、獲得問題結(jié)果的重要途徑。一.利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變換研究復(fù)雜函數(shù)圖象的性質(zhì)(一) 圖象的平移變換例1. 畫出函數(shù)y log2(x 2)與y log2(x 2)的圖像，并指出兩個(gè)圖像之間的關(guān)系？解：函數(shù)y log2x的圖象如果向右平移 2個(gè)單位就得到y(tǒng) log2(x 2)的圖像；如果向左平移 2個(gè)單位就得到y(tǒng) log2(x 2)的圖像，所以把y2)的圖象向右平移4個(gè)單位得到y(tǒng) log2(x 2)的圖象注：圖象的平移變換：1.水平平移：函數(shù)y f(x b)，(a0)的圖像，可由yf (x)的圖像向左(+)或向右平移a個(gè)單位而得到.2豎直平移：函數(shù)yf(x)b，(b0)的圖像，可由yf (x)的圖像向上(+)或向下平移b個(gè)單位而得到.(二)圖像的對(duì)稱變換2例2畫出函