高一數(shù)學高中數(shù)學必修4第二章平面向量單元測試題及標準答案解析

1、第二章測試(時間：120分鐘，總分值：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題 給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的)1. 有以下四個表達式： |a+ b|= |a |+ |b|; |a- b匸±|a|b|); a2>|a|2; |a b| = |a| |b|.其中正確的個數(shù)為()A . 0B. 2C. 3D. 42. 以下命題中，正確的選項是()A . a= ( 2,5)與 b= (4, 10)方向相同B . a= (4,10)與 b = ( 2, 5)方向相反C. a= ( 3,1)與 b= ( 2, 5)方向相反D . a= (2,4

2、)與b= ( 3,1)的夾角為銳角3. a, b均為單位向量，它們的夾角為60°那么|a+ 3b| = ()A. 7B. 10C. 13D. 414. 向量 a= 8+尹，x , b = (x+ 1,2),其中 x>0,假設 a/ b,那么x的值為()C. 2D. 05. 在 ABC中，M是BC的中點，AM= 1,點P在AM上且滿TTT T T足AP= 2PM，貝S AP (PB + PC)等于()4一 9代4 - 3-C4 - 9-D6.假設向量 a = (1,1), b= (2,5), c= (3, x),滿足條件(8a b) c =30,那么 x=()7.向量a= ( 1

3、,1)，且a與a+ 2b方向相同，那么ab的取值范圍是()A . (- 1,1)B . ( 1 ,+x)C . (1,+x)8 .設單位向量ei, e2的夾角為60°那么向量4ei + 4倉與向量8D .(汽 1)的夾角的余弦值為()3A4c 25C.375BQ5飛7D亍9.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O, E為線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，假設AC= a,BD = b,那么AF =()A.：a+2b廠21,B.3a+ 3b1 1Ca + 4b1 2D.3a + 3b10.點B為線段AC的中點，且A點坐標為一3,1, B點坐33，貝S C點坐標為(1, 3)

4、55B. 4, 44,2D. 2,4|a|=2|b|z 0,且關于x的方程x2 + |a|x + a b= 0有實根, 那么a與b夾角的取值范圍是11.A. 0,nB3,nC. 3,2nnD.6,12. 在 ABC所在平面內(nèi)有一點T T T TP,如果 RA+PB+ PC = AB,貝卩 PAB與厶ABC的面積之比是1B.13D.42C3二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分.將答案填在 題中橫線上)13. a= (2cosB,2sin®,b = (3, 3),且 a 與 b 共線，0 0,2 n,那么 0=.14. 假設 |a|= 2帖，b= (- 1,3),假設 a丄b,

5、那么 a=.15. 在厶ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,假設ABAC=BA BC= 2,那么 c=.16. 關于平面向量a, b, c,有以下三個命題：假設 a b = a c,貝S b= c;假設 a= (1, k), b= (-2,6), a/ b,那么 k=- 3;非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a b|,那么a與a+ b的夾角 為60°其中真命題的序號為.(寫出所有真命題的序號)三、解答題(本大題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、 證明過程或演算步驟)17. (10 分) |a|= 3, |b|= 2, a 與 b 的夾角為 60° c=

6、3a+ 5b, d= ma 3b.(1) 當m為何值時，c與d垂直？(2) 當m為何值時，c與d共線？18. (12分)如下圖，在 ABC中，/ C為直角，CA= CB, D是CB的中點，E是AB上的點，且 AE= 2EB,求證：AD丄CE.19. (12 分)在 ABC 中，A(2 , - 1), B(3,2), C( 3, 1),AD為BC邊上的高，求|AD|與點D的坐標.t t t20. (12分)在直角坐標系中，0A= (4, 4), OB= (5,1), OBt t t在OA方向上的射影數(shù)量為|OM|,求MB的坐標.21 . (12 分)如圖，在平面斜坐標系 xOy中./ xOy=

7、60°,平面上任一點 Pt關于斜坐標系的坐標是這樣定義的； 假設OP= x© + ye2(其中e1, e?分別 為與x軸，y軸同方向的單位向量)，那么點P的斜坐標為(x, y).(1)假設點P的斜坐標為(2, 2),求點P到0的距離|0P|;求以0為圓心，以1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程.22. 12 分如圖，在四邊形 ABCD 中，BC=2AD衣 R, |AB| =TT T|AD|= 2, |CB CD|= 2.3,且厶BCD是以BC為斜邊的直角三角形.(1) 求入的值；T T(2) 求CB BA的值.1解析 對于僅當a與b同向時成立.對于左邊|a b|>0,

8、 而右邊可能w 0,二不成立.對于T a2 =|a|2,a2>|a|2不成立.對于 當a丄b時不成立，綜上知，四個式子都是錯誤的.答案 A2解析 在 B 中，a= (4,10)= 2( 2, 5)= 2b,a與b方向相反.答案 B3. 解析 v|a + 3b|2 = (a + 3b)2 = a2 + 9b2 + 6a b = 1 + 9 + 6|a|b|cos60 = 13,.|a + 3b|= 13.答案 C14. 解析vab,A(8 + 2x)x 2-x(x +1) = 0,即 x2 = 16, 又 x>0, °x= 4.答案 B5. 解析 M為BC的中點，得PB+

9、PC= 2PM = AP,T T TT.AP (PB + PC) = AP2.心2PM 討23.TT/.AP2= |AP|249.答案 A6. 解析 8a- b= 8(1,1)-(2,5) = (6,3), c= (3, x),(8a b) c= (6,3) (3，- x)= 18+ 3x.又(8a b) c= 30,.18+ 3x= 30, x= 4.答案 C7. 解析 依題意可設a+ 2b=?a(?>0),小1那么 b= 2( k- 1)a,1 2 1a b= 2 1a =21x 2= k-1> 1.答案 B8. 解析 T3ei + 4e2ei = 3e2 + 4ei e =

10、3x 12 + 4X 1 x 1 x cos60 =5 , |3e1 + 4e?|2 = 9e 2 + 16e2 + 24e1 e2 = 9x 12 + 16x 12 + 24 x 1x 1x cos60 = 37.|3e1 + 4創(chuàng)=37.設3e1 + 4e2與&的夾角為B,貝S55COS0=37x 1= 37.答案 DT T T9. 解析 女口圖所示，AF = AD + DF ,由題意知，DE: BE= DF: BA= 1: 3.5 = 3AB.=2a+ 3b-f 1111AF = 2a+ b+ 3(qa答案 B10. 解析設a與b的夾角為0,= |a|2 4a b?0,.b<

11、; 址.=_ab <_JaL=1 ab、4，cos = |a|b|<4|a|b| = 2.nT 0 0, n , 0 3, n .答案 B11解析 設C(x, y)，那么由AB= BC,得13=x 2， y 2 ,x 2= 2,3 1答案 Cx= 4,C(4,2).y= 2,fffffff f12. 解析 因為PA+PB+ PC = AB= PB PA,所以 2PA+ PC= 0,fffPC= 2PA= 2AP,所以點P是線段AC的三等分點如下圖.所以1AB與KBC的面積之比是3.答案 A13. 解析 由 a lib,得 2/3cos0= 6sin0, TcosM 0,、/3 f

12、廠、n. 7 ntan 0= g，又 0 0,2, ) 0= 6或百.答案n或7 n14. 解析 設 a = (x, y)，那么有 x2+ y2 = 20又 a丄 b,.a b = 0,.一x+ 3y= 0.由解得x= 3 2, y= 2,或x= 3 2, y=- 2,a= (3 2,.2)，或 a= ( 3 2, 2).答案 (3 2,-2)或( 3 .2, 2)15. 解析由題知AB AC+ BA BC = 2,TTTTTTTTT即AB AC AB BC= AB (AC + CB) = AB2= 2? c=|AB|= 2.答案 216. 解析當a= 0時，不成立；對于，假設a/b，那么2k

13、=6,k= 3,成立；對于，由于|a| = |b|= |a b|,那么以|a|, |b|為鄰邊的平行四邊 形為菱形，如圖./ BAD = 60 ° AC= a+b,由菱形的性質可知，a與a+ b的夾角為/BAC= 30 °答案17. 解 (1)令 cd= 0,那么(3a + 5b) (ma 3b)= 0,即 3m|a|2 15|b|2 + (5m 9)a b= 0,解得m=I9.29故當m=14時，c丄d.(2)令 c=乃，貝S 3a+ 5b= Xma 3b)即(3 入i)a + (5 + 3；)b = 0,a, b不共線,5=3,解得5'3入m= 0,5+ 3 A

14、 0,9 故當m= 5時，c與d共線.18. 證明 設此等腰直角三角形的直角邊長為 a,那么T TT T T TAD CE= (AC+ CD) (CA + AE)T T T T T T T T=AC CA+ CD CA+ AC AE+ CD AE_2丄門丄2J t丄aL2 _2_ a+ 0 + a 3 a ? + 2 3 a 221=a2 + 3a2+3 a2 = 0,T TAD 丄 CE,.AD 丄 CE.T19解 設 D 點坐標為(x, y)，那么AD = (x 2, y+ 1),TTBC= ( 6, 3), BD = (x 3, y 2),T TVD在直線BC上，即BD與BC共線，TT存

15、在實數(shù)入使BD = BC,即(x 3, y 2)= X 6, 3).x 3= 6 入-*x 3= 2(y 2),y 2= 3 X即 x 2y+ 1= 0.又 TAD 丄 BC,.AD BC= 0, 即(x 2, y+ 1)( 6, 3)= 0.一6(x 2) 3(y + 1) = 0.x= 1,由可得y= 1.|AD|=. 1 2 2+ 22= 5,T即 |AD|= 5, D(1,1).20. 解設點M的坐標為M(x, y).T TTOB在OA方向上的射影數(shù)量為|OM|,TTT TOM 丄 MB ,QM MB = 0.TT又OM = (x, y), MB = (5 x,1 y),X(5 x)

16、+ y(1 y)= 0.T T又點O, M , A三點共線，二OM /OA.x _y_x= 2, 解得y= 2.x 5x + y 1 y = 0,/. x y4=二，T T TMB = OB OM = (5 2,1 + 2)= (3,3).TT21. 解(1)因為點P的斜坐標為(2, 2),故OP = 2ei 2e2, |OP|2 =(2e1 2e2)2 = 8 8e1 e2= 8 8cos60 = 4,TOP| = 2,即 |OP| = 2.T(2)設圓上動點 M的坐標為(x, y)，那么OM = xe1 + ye2,T又 |OM|= 1.故(xe1 + ye2)2 = 1.x2 + y2 + 2xye1 e2 = 1.即 x2 + y2 + xy= 1.故所求方程為x2+ y2 + xy 1 = 0.TT22. 解(1)因為 BC= :AD,所以 BC/AD,TT且 |BC|= ?|AD|.TT因為 |AB|= |A