(完整word版)高等概率論讀書報(bào)告

1、高等概率論讀書報(bào)告MF1221021 王開凡概率論自創(chuàng)立以來，已經(jīng)從起初分析賭博中的問題發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流分支之一?，F(xiàn)代概率論的研究方向和研究方法已經(jīng)獲得了極大發(fā)展，特別是近幾十年，概率論和其他學(xué)科逐漸交叉結(jié)合，形成了一些新的學(xué)科分支和增長(zhǎng)點(diǎn)，并且在科學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中都取得了突出成果。這些成果的取得，都源于概率論公理化體系的建立。1933年， 克爾莫格羅夫提出的公理化體系已經(jīng)成為目前為止得到最為廣泛認(rèn)可的概率論的理論基礎(chǔ)，公理化體系的建立標(biāo)志著概率論成為一門具有堅(jiān)實(shí)邏輯基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支，它不僅讓概率理論結(jié)構(gòu)清晰、邏輯嚴(yán)密， 并且讓概率理論本身和與概率論相關(guān)的其他數(shù)學(xué)理論獲得了實(shí)質(zhì)性發(fā)展。因

2、此研讀概率論的發(fā)展史，尤其是其公理化的歷史，對(duì)我們探索概率思想的發(fā)展變化及其未來的發(fā)展有重要意義。十九世紀(jì)概率論經(jīng)過法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯和泊松、德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯、 俄國(guó)數(shù)學(xué)家齊切比雪夫等人的進(jìn)一步研究，積累了很多重要成果。遺憾的是，當(dāng)時(shí)的概率論仍缺乏一些基本概念（如概率、隨機(jī)事件、隨機(jī)變量等）的清晰定義，由于沒有嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，一些悖論應(yīng)運(yùn)而生， 其中最著名的的是法國(guó)數(shù)學(xué)家貝特朗給出的一個(gè)集合概率的悖論。悖論敲響了警鐘，人們不得不重新審視概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1900 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為數(shù)學(xué)問題的講演，提出來23 個(gè)指引二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要問題，其中第六問題涉

3、及概率論的公理化。1909 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾首次把概率論與測(cè)度論結(jié)合起來，定義了可數(shù)事件集的概率。相對(duì)古典概率而言，這一工作拓展了對(duì)概率的認(rèn)識(shí)；1917 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦構(gòu)建了概率論的第一公理體系；1919 年，奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯完成了概率的頻率定義和統(tǒng)計(jì)定義的公理化，之后還相繼出現(xiàn)了一些主觀概率的公理體系。然而， 所以這些工作都只是前奏，它們或欠缺合理性，或缺乏權(quán)威性。隨著大數(shù)定律和極限理論的深入研究人們逐漸意識(shí)到概率論與測(cè)度論之間存在著深刻的聯(lián)系，概率論公理化的曙光才真正來臨。1933 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家克爾莫格羅夫總結(jié)了前人的工作，在他的概率論基本概念中首次利用測(cè)度論構(gòu)建了科學(xué)的概

4、率論公理化體系。該體系為大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所接受，從此概率論為近代數(shù)學(xué)最重要的分支之一，并得到迅速的發(fā)展。概率論的發(fā)展歷史一般分為四個(gè)時(shí)期：（ 1） 萌 芽時(shí)期（ 1653年之前） ，以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為主要手段，分析貿(mào)易、保險(xiǎn)、賭博、占卜等人類實(shí)際生活領(lǐng)域中的一些問題。（ 2） 古 典概率論時(shí)期（1654-1811 年） ，用代數(shù)及組合方法為研究手段，以研究離散型隨機(jī)變量為主。（ 3） 分析概率論時(shí)期（1812-1932），用微分方程、特征函數(shù)等分析方法為研究手段，以研究連續(xù)型隨機(jī)變量為主。（ 4） 現(xiàn)代概率論時(shí)期（1933 年至今） ，以集合論、測(cè)度論的思想方法為主要理論基礎(chǔ)，研究方向呈現(xiàn)多元化。概率論

5、發(fā)展各階段的標(biāo)志性著作是：（ 1） 惠更斯的 論賭博中的計(jì)算。 該書是歷史上最早的概率論著作，它的出版被看做是概率論誕生的標(biāo)志。（ 2） 拉普拉斯的分析概率論。 該書對(duì)拉普拉斯之前的古典概率理論進(jìn)行了系統(tǒng)完整的總結(jié)，并在概率推理中引入了當(dāng)時(shí)已經(jīng)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分析方法，使概率論進(jìn)入了分析概率論時(shí)期，開創(chuàng)了概率論發(fā)展的新時(shí)期。（ 3） 克爾莫格羅夫的概率論基本概念。 該書在歷史上首次建立了科學(xué)的概率論公理化體系，為概率論奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，從而使其成為一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支，促進(jìn)了概率論在二十世紀(jì)的迅速發(fā)展。20 世紀(jì) 30 年代以來，因?yàn)楦怕收摴砘w系的建立以及科學(xué)研究中的一些實(shí)際問題的推動(dòng)，概

6、率論得到了快速的發(fā)展，不斷取得理論上的新突破。目前主要研究方向有極限理論、獨(dú)立增量過程、馬爾科夫過程、平穩(wěn)過程和時(shí)間序列、鞅和隨機(jī)微分方程、點(diǎn)過程等。（ 1） 極 限理論極限理論主要研究與隨機(jī)變量序列或隨機(jī)過程序列的收斂性相關(guān)的問題。 20 世紀(jì) 30 年代以后，隨機(jī)變量序列的極限理論（主要是中心極限定理）的研究， 是將獨(dú)立序列情形的結(jié)果推廣到鞅差序列等情形，以及研究收斂速度問題。近年來，由于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的需要，人們開始研究強(qiáng)相依隨機(jī)變量序列的非中心極限定理。自1951 年唐斯克提出不變?cè)恚S機(jī)過程的極限定理）后，有關(guān)隨機(jī)過程序列的弱收斂的研究成了極限理論的中心課題，普羅霍洛夫及斯科羅霍德在這

7、方面做出了最主要的貢獻(xiàn)。1964 年斯特拉森的工作出現(xiàn)后，引起了有關(guān)隨機(jī)過程序列的強(qiáng)收斂的研究，這就是強(qiáng)不變?cè)?。近年來，鞅論方法已滲透到這一領(lǐng)域，使許多經(jīng)典結(jié)果的證明得到簡(jiǎn)化和統(tǒng)一處理，并且還導(dǎo)致了一些新的結(jié)果。（ 2） 獨(dú) 立增量過程人們最早知道的獨(dú)立增量過程是在物理現(xiàn)象中觀察到的布朗運(yùn)動(dòng)和泊松運(yùn)動(dòng)，一般的獨(dú)立增量過程的研究，歸功于萊維，它在20 世紀(jì)40 年代已臻成熟。在這些研究中，包含了許多重要的方法和概念，概率論的許多近代研究課題都直接或間接地受其啟發(fā)與影響。（ 3） 馬 爾科夫過程在實(shí)際中遇到的很多隨機(jī)現(xiàn)象有如下的共同特性：它的未來的演變，在已知它目前狀態(tài)的條件下與以往的狀況無關(guān)。

8、描述這種隨時(shí)間推進(jìn)的隨機(jī)現(xiàn)象的演變模型就是馬爾科夫過程。20 世紀(jì) 50 年代以前，研究馬爾科夫過程的主要工具是微分方程和半群理論（即分析方法）。 1936 年前后就凱斯探討馬爾科夫過程的軌道性質(zhì)， 直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運(yùn)用，才使這方面的研究工作進(jìn)一步深化，并形成了對(duì)軌道分析必不可少的強(qiáng)馬爾科夫性概念。1942 年，伊藤用他創(chuàng)立的隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程理論來研究一類特殊而重要的馬爾科夫過程擴(kuò)散過程，開辟了研究馬爾科夫過程的又一重要途徑。近年來，鞅論方法也已滲透到馬爾科夫過程的研究中，它與隨機(jī)微分方法結(jié)合在一起，已成為目前除了多維擴(kuò)散過程的工具。此外，馬

9、爾科夫過程與分析學(xué)中的位勢(shì)論有密切的聯(lián)系。對(duì)馬爾科夫過程的研究，推動(dòng)了位勢(shì)理論的發(fā)展，并為研究偏微分方程提供了概率論的方法。近十多年發(fā)展起來的吉布斯機(jī)場(chǎng)和無窮粒子隨機(jī)系統(tǒng)，是由于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的需要而提出的。（ 4） 平 穩(wěn)過程和時(shí)間序列許多自然的和生產(chǎn)過程中的隨機(jī)現(xiàn)象表現(xiàn)出某種平穩(wěn)性。一種平穩(wěn)性是過程在任意一些時(shí)刻上的聯(lián)合概率分布隨時(shí)間推移不變，這種平穩(wěn)性稱為嚴(yán)平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)過程的研究與遍歷理論有密切的聯(lián)系。如果上述對(duì)概率分布的要求放寬為僅對(duì)二階相關(guān)矩的要求，即過程在任意兩時(shí)刻上的協(xié)方差隨時(shí)間推移不變，則稱這種平穩(wěn)性為寬平穩(wěn)。關(guān)于寬平穩(wěn)過程的研究，辛欽、 柯爾莫哥洛夫和維納等人運(yùn)用傅里葉分析和泛函

10、分析的工具，在40 年代已經(jīng)找出了過程的相關(guān)函數(shù)及過程本身的譜分解式，并且較完美地解決了有應(yīng)用意義的預(yù)測(cè)問題。許多應(yīng)用問題還要去根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)去建立這些數(shù)據(jù)所來自的隨機(jī)過程的模型。為此產(chǎn)生了時(shí)間序列分析這一課題，提出了寬平穩(wěn)序列的自回歸滑動(dòng)平均模型以及一些非線性模型。（ 5） 鞅 和隨機(jī)微分方程鞅是另一類重要的隨機(jī)過程。從 20 世紀(jì) 30 年代起， 萊維等人就開始研究鞅序列，把它作為獨(dú)立隨機(jī)變量序列的部分和的推廣。40 年代到 50 年代初，杜布對(duì)鞅進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收斂定理等重要結(jié)果。1962年。P.A.邁耶解決了杜布提出的連續(xù)時(shí)間的上鞅分解為鞅及增長(zhǎng)之差的問題

11、。在解決這個(gè)問題的過程中， 出現(xiàn)了很多新鮮而深刻的概念，式鞅和隨機(jī)過程一般理論的內(nèi)容大大豐富起來。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，并引起人們用它所提供的新方法新概念對(duì)概率論中許多經(jīng)典的內(nèi)容重新審議，把以往認(rèn)為是復(fù)雜的東西納入鞅論的框架而更加簡(jiǎn)化。此外， 利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分方程的研究也隨之發(fā)展。 隨機(jī)微分方程理論不僅可以用來研究馬爾科夫過程，它還是解決濾波問題的必要工具。最近出現(xiàn)的流形上的隨機(jī)微分方程又和微分幾何及分析力學(xué)的研究發(fā)生了密切的聯(lián)系。鞅論還對(duì)本學(xué)科以外的位勢(shì)理論、調(diào)和分析及復(fù)變函數(shù)論等提供了有用單位工具。（ 6） 點(diǎn) 過程點(diǎn)過程是從所謂計(jì)數(shù)過程發(fā)展出來的，它們的特點(diǎn)是，可用落在不相重疊的集合的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)的聯(lián)合概率分布來刻畫整個(gè)過程的概率規(guī)律。最基本的計(jì)數(shù)過程是泊松過程，1943年，C.帕爾姆將它作為最簡(jiǎn)單的輸入流應(yīng)用于研究電話業(yè)務(wù)問題；1955 年，辛欽又以嚴(yán)密的數(shù)