大學(xué)物理之平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

1、10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)一一 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波沿設(shè)有一平面簡(jiǎn)諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 波速為波速為 ，坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為tAyOcosxuOyxuAAOPx10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 考察波線上考察波線上 點(diǎn)點(diǎn)(坐標(biāo)坐標(biāo) ), , 點(diǎn)比點(diǎn)比 點(diǎn)的振點(diǎn)的振 動(dòng)落后動(dòng)落后 , , 點(diǎn)在點(diǎn)在 時(shí)刻的位移是時(shí)刻的位移是 點(diǎn)在點(diǎn)在 時(shí)刻的位移，由此得時(shí)刻的位移，由此得uxt tt 表示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn) 在在 時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的距離時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的距離.Oyy

2、xuAAOPxtAyOcostOPxPOPtO10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)ttAttyyOPcos)(uxtA cos 由于由于 為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振動(dòng)，述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振動(dòng)，具有一般意義，即為沿具有一般意義，即為沿 軸正方向傳播的軸正方向傳播的平平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程.Px10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：利用利用xtAxTtAuxtAy2cos2coscosT2

3、2uT和和10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波函數(shù)波函數(shù))(cosuxtAy質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度)(sinuxtAtyv)(cos222uxtAtya10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)二二 波函數(shù)的物理含義波函數(shù)的物理含義（波具有時(shí)間的周期性）（波具有時(shí)間的周期性）),(),(TtxytxytAycos 則則x2令令xtAy2cosOyt 1 一定，一定， 變化變化 xt表示表示 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ty x10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波線上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖波線

4、上各點(diǎn)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)Ct 令令（定值）（定值） xAy2cos則則 y o xxtAy2cos 2 一定一定 變化變化xt 該方程表示該方程表示 時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的位移的位移, 即即 時(shí)刻的波形（時(shí)刻的波形（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ttxy 10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播.yxuO3 、 都變都變xt10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)tAyOc

5、osyxuAAOPx如圖，設(shè)如圖，設(shè) 點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為Ouxt 點(diǎn)振動(dòng)比點(diǎn)振動(dòng)比 點(diǎn)超前了點(diǎn)超前了PO4 沿沿 軸方向傳播的波動(dòng)方程軸方向傳播的波動(dòng)方程 x10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)從形式上看：從形式上看：波動(dòng)是波形的傳播波動(dòng)是波形的傳播.從實(shí)質(zhì)上看：從實(shí)質(zhì)上看：波動(dòng)是振動(dòng)的傳播波動(dòng)是振動(dòng)的傳播. 對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從物理意義上去理解和把握物理意義上去理解和把握. 故故 點(diǎn)的振動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為：點(diǎn)的振動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為：P)(cos)(uxtAttyyo10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)

6、例例1 一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿 軸正向軸正向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). 求：求： ( (2) ) 波形圖；波形圖；s0 .1t( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖. m5 . 0 x( (1) )波動(dòng)方程；波動(dòng)方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式)(2cosxTtAy10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)20,0tyyv00 xt)(2cosxTtAyy

7、AO2)0 . 20 . 2(2cosxty(m)10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) ( (2) )求求 波形圖波形圖s0.1t2cos)0 .1 (xy波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 時(shí)刻波形圖時(shí)刻波形圖s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xtyxsin(m)10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) ( (3) ) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律并作圖 m5 . 0 x2)0 . 20 . 2(2cos)0 . 1 (xty 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程m5 .0 xcos ty(m)0m/y1

8、.0-1.0s/t2.0Oy*處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線m5 .0 x123412341.010-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) 例例2 一平面簡(jiǎn)諧波以速度一平面簡(jiǎn)諧波以速度 沿直線傳播，波線上點(diǎn)沿直線傳播，波線上點(diǎn) A 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方 程程-1sm20u)4cos(1032tyA求求: :( (1) )以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；( (2) )以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程；( (3) )求傳播方向上點(diǎn)求傳播方向上點(diǎn)C、D 的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；( (4) )分別求出分別求出 BC

9、，CD 兩點(diǎn)間的相位差兩點(diǎn)間的相位差. .uABCD5 m9 mxo8 m單位分別為單位分別為m，s).yt, ,; (10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)( (1) ) 以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程m10 uTm1032As5 . 0T0)m10s5 . 0(2cos)m103(2xty)(2cosxTtAyuABCD5 m9 mxo8 m10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)ABABxx 21052B)s4cos()m103(12tyB)m10s5 . 0(2cos)m103(2xty( (2) ) 以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，

10、寫(xiě)出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波動(dòng)方程tyA)s4cos()m103(12uABCD5 m9 mxo8 m10-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) ( (3) ) 寫(xiě)出傳播方向上點(diǎn)寫(xiě)出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)點(diǎn)C 的相位比點(diǎn)的相位比點(diǎn)A 超前超前2)s4cos()m103(12ACtyC513)s4cos()m103(12tm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(1210-2 10-2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)點(diǎn)點(diǎn) D 的相位落后于點(diǎn)的相位落后于點(diǎn) A 59)s4cos()m103(12tm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(12AD