數(shù)值分析--正交多項式

1、2 2 正交多項式正交多項式一、正交函數(shù)族與正交多項式一、正交函數(shù)族與正交多項式.,)()(2.1) 0d)()()(),( ,)(,)(),( 帶權帶權(x)正交(x)正交定義5定義5上上在在與與則稱則稱，且且上的權函數(shù)上的權函數(shù)為為若若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba . ,1 ,.,)(2.2) ), 2 , 1 , 0,( , , , 0)(),( ,),(,),(),(,10 標準正交函數(shù)族標準正交函數(shù)族 數(shù)族數(shù)族帶權帶權(x)的正交函(x)的正交函則稱該函數(shù)系為則稱該函數(shù)系為時時當當特別地特別地上上為為則稱函數(shù)族則稱函數(shù)族且滿足且滿足給定函數(shù)族給定函數(shù)族設在設在

2、 knkkinAbaxkikiAkixxxxxba ,2sin,2cos,sin,cos, 1 上的正交函數(shù)族上的正交函數(shù)族為為例如，三角函數(shù)族例如，三角函數(shù)族 xxxx. 0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1 , 1( 其他內積其他內積 kxkxkxkx.,)()( .,)()(2.2),)( ,)(,0,)( 00交多項式交多項式次正次正上的上的為權函數(shù)的為權函數(shù)的為以為以稱稱多項式序列多項式序列上的正交上的正交為權函數(shù)的為權函數(shù)的為以為以，則稱，則稱滿足正交性滿足正交性若多項式序列若多項式序列上的權函數(shù)上的權函數(shù)為為次多項式次多項式的的上首項系數(shù)上首項系數(shù)是是設設nbaxxp

3、baxxpxpbaxnabaxpnnnnn 定義6定義6 , ( ), 1, ,:na bxxx只要給定上的權函數(shù)由利用逐個正交化手續(xù)立得正交多項式序列(2.3) ., 2 , 1 ,),(),()( , 0)(100 nppppxxxpxpjnjjjjnnn. )(, 0),( )3(.)(,),(),()()2(. 1)()(110項式正交項式正交的多的多與任一次數(shù)小于與任一次數(shù)小于且且時，時，當當?shù)木€性組合的線性組合均可表為均可表為的首項系數(shù)為的首項系數(shù)為性質：性質：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn 注意：注意：這些多項這些多項式是線性無關的式是線性無關的 , 2 ,

4、1),/(),( ),/(),( 0 )(1)( (2.4) , 1 , 0 ),()()()( 4111011 npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，其中其中）有遞推關系）有遞推關系（ ;),()1)( .,)()(50內的單重實根內的單重實根個根都是在個根都是在的的則則序列序列上的正交多項式上的正交多項式為權函數(shù)的為權函數(shù)的為以為以）設）設（bannxpbaxxpnn 二、勒讓德多項式二、勒讓德多項式. . 式式Legendre多項Legendre多項 次次稱為稱為的正交多項式的正交多項式上帶權上帶權區(qū)間區(qū)間n(2.5) ), 2 , 1 , 0( ,

5、)1(dd!21)( 1)(1 , 12 nxxnxPxnnnnn .) !(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn 其首項系數(shù)其首項系數(shù)(2.6) ), 2 , 1 , 0( ,)1(dd)!2(!)(12 nxxnnxPnnnn 勒讓德多項式為為的的首項系數(shù)為首項系數(shù)為:勒讓讓德多項式性xxxxxnmxxPxPmnmnmnnnmmmnmnmd ) 1(dd) 1(dd!21d )()( ., i)( 112211次分部積分做不妨時當證：(2.7) . ,122, , 0d )()( 11 nmnnmxxPxPnm正交性正交性(1)xxxxxnmxxxxnmnnnmmmnmnn

6、nmmmnmd )1(dd)1(dd!21 )1(dd)1(dd!2111211211112112 xxxxxnmnmnmnmmmnmmd )1(dd)1(dd!21)1(112222 . 0)1(dd!2)!2()1(11211 nmnmnnmmxxnmmxxnnxxPnmnnnnd)1() !(2)!2()1(d )( . ii)(11222112 時時當當ttnnnntxdcos) !2()!2(2/2/122sin .122 3)12)(12(2)22)(2(2) !2()!2(2 nnnnnnnn(2.8) . )()1()( xPxPnnn 奇偶性奇偶性(2).n)1 , 1()(

7、 個互異的實零點個互異的實零點內部有內部有在在 xPn(3)(2.9) ), 2 , 1( ),(1)(112)(,)( , 1)( 1110 nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn遞推關系遞推關系(4) ),35(21)( ),13(21)( 3322xxxPxxP 可得可得三、切比雪夫多項式三、切比雪夫多項式切比雪夫多項式.切比雪夫多項式.次次稱為稱為正交化所得正交多項式正交化所得正交多項式，序列，序列權函數(shù)為權函數(shù)為區(qū)間為區(qū)間為n, 111)(,1 , 12nxxxx .0),cos()(cos(2.10) ), 2 , 1 , 0, 11( ),arccoscos()( nxTxnx

8、xnxTnn，則，則若令若令可表為可表為 ,34)(, 12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(, 1)0cos()(332210 xxxTxxxTxxxTxT :切切比比雪雪夫夫多多項項式式的的性性質質(2.11) ).()(2)( ,)( , 1)( )1(1110 xTxxTxTxxTxTnnn遞推關系遞推關系1).(n,2)(1 nnnxxT的的系系數(shù)數(shù)為為的的最最高高次次冪冪 . ,cos . 1 ,)1cos(coscos2)1(cos 即得遞推關系式即得遞推關系式代入代入事實上，只需由事實上，只需由 xnnnn(2.12) . 0 , 0 , 2/ , , 0

9、d)()(11 )2(112 nmnmnmxxTxTxnm 正交性正交性. ;)( )3(的偶次冪的偶次冪只含只含為偶數(shù)時為偶函數(shù)，且為偶數(shù)時為偶函數(shù)，且當當?shù)钠娲蝺绲钠娲蝺缰缓缓瑸槠鏀?shù)時為奇函數(shù)，且為奇數(shù)時為奇函數(shù)，且當當奇偶性奇偶性xnxnxTn ), 2 , 1( ,2)12(cos n1 , 1)( )4(nknkxxTkn 個不同的零點個不同的零點上有上有在在四、切比雪夫多項式零點插值四、切比雪夫多項式零點插值五、其他常用正交多項式五、其他常用正交多項式第第二二類類切切比比雪雪夫夫多多項項式式 1 1. . . 多項式多項式第二類切比雪第二類切比雪夫稱為稱為的正交多項式的正交多項式上帶權上帶權區(qū)間區(qū)間(2.14) ,1arccos)1sin()( 1)(1 , 122xxnxUxxn . , 2/, , 0d1)()( 112 nmnmxxxUxUnm ).()(2)( ,2)( , 1)( 1110 xUxxUxUxxUxUnnn拉蓋爾多項式拉蓋爾多項式 2.2. . 拉蓋爾多項式拉蓋爾多項式稱為稱為的正交多項式的正交多項式上帶權上帶權區(qū)間區(qū)間(2.15) ),(dd)( )(), 0 xnnnxnxexxexLex . ,) !(, , 0d )()( 20 nmnnmxxL