數(shù)值分析--正交多項(xiàng)式

1、2 2 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式一、正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式一、正交函數(shù)族與正交多項(xiàng)式.,)()(2.1) 0d)()()(),( ,)(,)(),( 帶權(quán)帶權(quán)(x)正交(x)正交定義5定義5上上在在與與則稱(chēng)則稱(chēng)，且且上的權(quán)函數(shù)上的權(quán)函數(shù)為為若若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba . ,1 ,.,)(2.2) ), 2 , 1 , 0,( , , , 0)(),( ,),(,),(),(,10 標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)族 數(shù)族數(shù)族帶權(quán)帶權(quán)(x)的正交函(x)的正交函則稱(chēng)該函數(shù)系為則稱(chēng)該函數(shù)系為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)特別地特別地上上為為則稱(chēng)函數(shù)族則稱(chēng)函數(shù)族且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足給定函數(shù)族給定函數(shù)族設(shè)在設(shè)在

2、 knkkinAbaxkikiAkixxxxxba ,2sin,2cos,sin,cos, 1 上的正交函數(shù)族上的正交函數(shù)族為為例如，三角函數(shù)族例如，三角函數(shù)族 xxxx. 0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1 , 1( 其他內(nèi)積其他內(nèi)積 kxkxkxkx.,)()( .,)()(2.2),)( ,)(,0,)( 00交多項(xiàng)式交多項(xiàng)式次正次正上的上的為權(quán)函數(shù)的為權(quán)函數(shù)的為以為以稱(chēng)稱(chēng)多項(xiàng)式序列多項(xiàng)式序列上的正交上的正交為權(quán)函數(shù)的為權(quán)函數(shù)的為以為以，則稱(chēng)，則稱(chēng)滿(mǎn)足正交性滿(mǎn)足正交性若多項(xiàng)式序列若多項(xiàng)式序列上的權(quán)函數(shù)上的權(quán)函數(shù)為為次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式的的上首項(xiàng)系數(shù)上首項(xiàng)系數(shù)是是設(shè)設(shè)nbaxxp

3、baxxpxpbaxnabaxpnnnnn 定義6定義6 , ( ), 1, ,:na bxxx只要給定上的權(quán)函數(shù)由利用逐個(gè)正交化手續(xù)立得正交多項(xiàng)式序列(2.3) ., 2 , 1 ,),(),()( , 0)(100 nppppxxxpxpjnjjjjnnn. )(, 0),( )3(.)(,),(),()()2(. 1)()(110項(xiàng)式正交項(xiàng)式正交的多的多與任一次數(shù)小于與任一次數(shù)小于且且時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)木€性組合的線性組合均可表為均可表為的首項(xiàng)系數(shù)為的首項(xiàng)系數(shù)為性質(zhì)：性質(zhì)：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn 注意：注意：這些多項(xiàng)這些多項(xiàng)式是線性無(wú)關(guān)的式是線性無(wú)關(guān)的 , 2 ,

4、1),/(),( ),/(),( 0 )(1)( (2.4) , 1 , 0 ),()()()( 4111011 npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，其中其中）有遞推關(guān)系）有遞推關(guān)系（ ;),()1)( .,)()(50內(nèi)的單重實(shí)根內(nèi)的單重實(shí)根個(gè)根都是在個(gè)根都是在的的則則序列序列上的正交多項(xiàng)式上的正交多項(xiàng)式為權(quán)函數(shù)的為權(quán)函數(shù)的為以為以）設(shè)）設(shè)（bannxpbaxxpnn 二、勒讓德多項(xiàng)式二、勒讓德多項(xiàng)式. . 式式Legendre多項(xiàng)Legendre多項(xiàng) 次次稱(chēng)為稱(chēng)為的正交多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式上帶權(quán)上帶權(quán)區(qū)間區(qū)間n(2.5) ), 2 , 1 , 0( ,

5、)1(dd!21)( 1)(1 , 12 nxxnxPxnnnnn .) !(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn 其首項(xiàng)系數(shù)其首項(xiàng)系數(shù)(2.6) ), 2 , 1 , 0( ,)1(dd)!2(!)(12 nxxnnxPnnnn 勒讓德多項(xiàng)式為為的的首項(xiàng)系數(shù)為首項(xiàng)系數(shù)為:勒讓讓德多項(xiàng)式性xxxxxnmxxPxPmnmnmnnnmmmnmnmd ) 1(dd) 1(dd!21d )()( ., i)( 112211次分部積分做不妨?xí)r當(dāng)證：(2.7) . ,122, , 0d )()( 11 nmnnmxxPxPnm正交性正交性(1)xxxxxnmxxxxnmnnnmmmnmnn

6、nmmmnmd )1(dd)1(dd!21 )1(dd)1(dd!2111211211112112 xxxxxnmnmnmnmmmnmmd )1(dd)1(dd!21)1(112222 . 0)1(dd!2)!2()1(11211 nmnmnnmmxxnmmxxnnxxPnmnnnnd)1() !(2)!2()1(d )( . ii)(11222112 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ttnnnntxdcos) !2()!2(2/2/122sin .122 3)12)(12(2)22)(2(2) !2()!2(2 nnnnnnnn(2.8) . )()1()( xPxPnnn 奇偶性奇偶性(2).n)1 , 1()(

7、 個(gè)互異的實(shí)零點(diǎn)個(gè)互異的實(shí)零點(diǎn)內(nèi)部有內(nèi)部有在在 xPn(3)(2.9) ), 2 , 1( ),(1)(112)(,)( , 1)( 1110 nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn遞推關(guān)系遞推關(guān)系(4) ),35(21)( ),13(21)( 3322xxxPxxP 可得可得三、切比雪夫多項(xiàng)式三、切比雪夫多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式.切比雪夫多項(xiàng)式.次次稱(chēng)為稱(chēng)為正交化所得正交多項(xiàng)式正交化所得正交多項(xiàng)式，序列，序列權(quán)函數(shù)為權(quán)函數(shù)為區(qū)間為區(qū)間為n, 111)(,1 , 12nxxxx .0),cos()(cos(2.10) ), 2 , 1 , 0, 11( ),arccoscos()( nxTxnx

8、xnxTnn，則，則若令若令可表為可表為 ,34)(, 12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(, 1)0cos()(332210 xxxTxxxTxxxTxT :切切比比雪雪夫夫多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的性性質(zhì)質(zhì)(2.11) ).()(2)( ,)( , 1)( )1(1110 xTxxTxTxxTxTnnn遞推關(guān)系遞推關(guān)系1).(n,2)(1 nnnxxT的的系系數(shù)數(shù)為為的的最最高高次次冪冪 . ,cos . 1 ,)1cos(coscos2)1(cos 即得遞推關(guān)系式即得遞推關(guān)系式代入代入事實(shí)上，只需由事實(shí)上，只需由 xnnnn(2.12) . 0 , 0 , 2/ , , 0

9、d)()(11 )2(112 nmnmnmxxTxTxnm 正交性正交性. ;)( )3(的偶次冪的偶次冪只含只含為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)，且為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)?shù)钠娲蝺绲钠娲蝺缰缓缓瑸槠鏀?shù)時(shí)為奇函數(shù)，且為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)，且當(dāng)當(dāng)奇偶性奇偶性xnxnxTn ), 2 , 1( ,2)12(cos n1 , 1)( )4(nknkxxTkn 個(gè)不同的零點(diǎn)個(gè)不同的零點(diǎn)上有上有在在四、切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值四、切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)插值五、其他常用正交多項(xiàng)式五、其他常用正交多項(xiàng)式第第二二類(lèi)類(lèi)切切比比雪雪夫夫多多項(xiàng)項(xiàng)式式 1 1. . . 多項(xiàng)式多項(xiàng)式第二類(lèi)切比雪第二類(lèi)切比雪夫稱(chēng)為稱(chēng)為的正交多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式上帶權(quán)上帶權(quán)區(qū)間區(qū)間(2.14) ,1arccos)1sin()( 1)(1 , 122xxnxUxxn . , 2/, , 0d1)()( 112 nmnmxxxUxUnm ).()(2)( ,2)( , 1)( 1110 xUxxUxUxxUxUnnn拉蓋爾多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式 2.2. . 拉蓋爾多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式稱(chēng)為稱(chēng)為的正交多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式上帶權(quán)上帶權(quán)區(qū)間區(qū)間(2.15) ),(dd)( )(), 0 xnnnxnxexxexLex . ,) !(, , 0d )()( 20 nmnnmxxL