微積分——無窮大量與無窮小量講解.ppt

1、（一）（一） 無窮大量無窮大量絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大量無窮大量.時的變化趨勢。時的變化趨勢。當(dāng)當(dāng)我們討論我們討論111 xxy越大。越大。就越來就越來時，時，越來越接近越來越接近當(dāng)當(dāng)|11|1 xx.lim|8 . 2 yyEyyE記記做做是是無無窮窮大大量量，恒恒成成立立，則則稱稱后后，不不等等式式個個時時刻刻以以有有那那么么一一個個時時刻刻，在在那那在在其其變變化化過過程程中中，總總，變變量量數(shù)數(shù)如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正定定義義特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或

2、注意注意 11lim1xx可以證明可以證明 2021limlglim)1(1limxxxxxx注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxx.,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx （二）無窮小量（二）無窮小量定義定義2.9:以以0為極限的變量，稱為為極限的變量，稱為無窮小量無窮小量.無無窮窮小小量量。為為恒恒成成立立，則則稱稱變變量量

3、以以后后，不不等等式式一一個個時時刻刻，在在那那個個時時刻刻變變化化過過程程中中，總總有有那那么么的的，如如果果在在變變量量正正數(shù)數(shù)亦亦即即，對對于于任任意意給給定定的的yyy |, 021lim nn.21是是無無窮窮小小量量時時，變變量量當(dāng)當(dāng)nnyn 例如例如, 01lim xx.1時的無窮小量時的無窮小量是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xxy, 0lim20 xx.02時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性

4、必要性,)(limAxf 設(shè)設(shè)，對對于于任任意意給給定定的的0 總有那么一個時刻，總有那么一個時刻，在那個時刻以后，在那個時刻以后，與一個無窮小量的和。與一個無窮小量的和?？梢员硎緸榭梢员硎緸樽兞孔兞渴鞘菫闃O限的必要充分條件為極限的必要充分條件以以變量變量定理定理AyAy:5 . 2恒成立。恒成立。不等式不等式 |Ay是一個無窮小量，是一個無窮小量，因此因此Ay , AyAy即即，則，則記為記為的和。的和。與無窮小量與無窮小量是是所以所以 Ay充分性充分性. 0lim, 其其中中設(shè)設(shè)Ay個時刻以后，個時刻以后，有那么一個時刻，在那有那么一個時刻，在那則對任意的則對任意的, 0 恒成立。恒成立。

5、不等式不等式 |恒恒成成立立。即即 |AyAy lim故故是是無無窮窮小小量量。變變量量則則是是有有界界變變量量是是無無窮窮小小量量，變變量量如如果果變變量量定定理理yy ,6 . 2在這一時刻以后，恒有在這一時刻以后，恒有變量，所以，存在變量，所以，存在在某一時刻以后是有界在某一時刻以后是有界設(shè)設(shè)證明：證明：, 0 MyMy |時刻以后，恒有時刻以后，恒有那么一個時刻，在那個那么一個時刻，在那個，總有，總有于任意的于任意的是無窮小量，所以，對是無窮小量，所以，對又因?yàn)橛忠驗(yàn)? M |有有中較晚的時刻以后，恒中較晚的時刻以后，恒于是，在上述兩個時刻于是，在上述兩個時刻 MMyy|是無窮小量。是

6、無窮小量。成立，故成立，故y 推論推論常量與無窮小量的乘積仍是無窮小量常量與無窮小量的乘積仍是無窮小量xxx1sinlim40求求例例是有界變量。是有界變量。，即，即而而因?yàn)橐驗(yàn)榻饨鈞xxx1sin1|1sin|. 0lim0 01sinlim0故故xxx（三）無窮小與無窮大的關(guān)系（三）無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理2.7.1)1(是無窮小量是無窮小量是無窮大量，則是無窮大量，則如果如果yy.01那那個個時時刻刻以以后后，恒恒有有總總有有那那么么一一個個時時刻刻，在在意意給給定定的的是是無無窮窮大大量量，則則對對于于任任）設(shè)設(shè)（證證明明 y在變量在變量 y 的變化過程中，的變化過程中，.1)0(

7、)2(是無窮大量是無窮大量是無窮小量，則是無窮小量，則如果如果yy |1|1|yy即即同同理理可可證證是是無無窮窮小小量量。因因此此，)2(1y 無窮小量雖然都是趨于無窮小量雖然都是趨于0的變量，但不同的的變量，但不同的無窮小連量趨于無窮小連量趨于0的速度卻不一定相同。的速度卻不一定相同。（四）無窮小量的階（四）無窮小量的階下表：下表：的速度卻不一樣。請看的速度卻不一樣。請看趨于趨于都是無窮小量，但它們都是無窮小量，但它們時時例如當(dāng)例如當(dāng)0,2 ,02xxxx x1 0.5 0.1 0.01 0.001 02x2 1 0.2 0.02 0.002 0 x21 0.25 0.01 0.0001

8、0.0000001 0顯然，顯然，x2比比x與與2x趨于趨于0的速度快得多。的速度快得多。快慢是相對的，是相互比較而言。因此有快慢是相對的，是相互比較而言。因此有窮小量，窮小量，是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無，設(shè)設(shè)定義定義 10. 2)(, 0lim o 記做記做較高階的無窮小量，較高階的無窮小量，是比是比則稱則稱如果如果。無無窮窮小小量量，記記做做是是等等價價的的與與時時，稱稱無無窮窮小小量量。特特別別當(dāng)當(dāng)是是同同階階的的是是比比則則稱稱為為常常量量）（如如果果 1,0lim ccc較低階的無窮小量。較低階的無窮小量。是比是比則稱則稱如果如果 ,lim )(0, 0limlim22

9、020 xoxxxxxxxxx 無窮小量，可以記做無窮小量，可以記做較高階的較高階的比比時，時，當(dāng)當(dāng)因?yàn)橐驗(yàn)檩^較低低階階的的無無窮窮小小量量。是是比比時時，反反之之，當(dāng)當(dāng)20 xxx 無無窮窮小小量量。是是同同階階的的與與時時，當(dāng)當(dāng)xxxxxxx20,2121lim2lim00 小結(jié)小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;三個定理三個定理;一個推論一個推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮小（ 大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)

10、；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.思考題思考題若若0)( xf，且且Axfx )(lim，問問：能能否否保保證證有有0 A的的結(jié)結(jié)論論？試試舉舉例例說說明明.思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空題一、填空題: :1 1、 凡凡無無窮窮小小量量皆皆以以_ _ _ _ _ _ _ _ _為為極極限限. .)(,_2的水平漸近線的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)直線直線條件下條件下、在、在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其中其中、._,)(,4是無窮小是無窮小則則是無窮大是無窮大若若、在同一過程中、在同一過程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能使能使應(yīng)滿足什么條件應(yīng)滿足什么條件問問是無窮大是無窮大函數(shù)函數(shù)時