第2講-第二章 平面彈性問題基本變量及方程1_52708405

1、1第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總彈塑性力學(xué)課堂教學(xué)系統(tǒng)系統(tǒng)制作：雷麗萍 曾攀 (清華大學(xué)機械工程系)1:532實際的問題總是空間問題，為什么課程要首先研究平面問題呢？數(shù)學(xué)分析過程相對較為簡單；理論模型建立的需要；發(fā)展歷史的一個過程（階段）；與實際工程問題之間的聯(lián)系。1:533第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基

2、本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:5342.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法(1) 變形體變形體 物體內(nèi)任意兩點之間可發(fā)生相對移動相對移動；這必然涉及到材料的性質(zhì)。 從幾何形狀的復(fù)雜程度考慮，變形體又可分為簡單變簡單變形體形體和任意變形體任意變形體；材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)主要研究簡單變形體，而彈性力學(xué)則處理任意變形體。變形體在邊界上有Sp外力和Su位移作用位移的描述形狀改變的描述力的描述材料的描述1:535外力其它物體或外部環(huán)境對物體所施加的作用。由于外力作用而引起的物體內(nèi)部各部分

3、之間的相互作用。 內(nèi)力2.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法1:5362.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法體積力（簡稱體力）體積力（簡稱體力）：作用在物體體積內(nèi)的力。分布在整個物體或者物體中某個部分的每個質(zhì)點上。或外部環(huán)境對物體所施加的作用。例如：重力、慣性力、磁力。 面積力（簡稱面力）面積力（簡稱面力）：分布在物體表面上的力，或者說兩個物體通過表面的相互作用而產(chǎn)生的力。例如：桌面所受到書的壓力、桌腿對地面施加的壓力。1:53外力的基本形式：外力的基本形式：1:537應(yīng)力應(yīng)力描述了變形體內(nèi)部之間通過力（而且是通過近距離接觸作用力）進行相互作用的強度。如果我們把連續(xù)介質(zhì)

4、用一張假想的光滑面假想的光滑面把它一分為二，那么被分開的這兩部分就會透過這張曲面相互施加作用力。顯然，這種作用力也會因為假想曲面的不同而不同，所以，必須用一個不依賴于假想曲面的物理量來描述連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部的相互作用的狀態(tài)描述連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部的相互作用的狀態(tài)。對于連續(xù)介質(zhì)來說，擔(dān)當此任的就是應(yīng)力張量，簡稱為應(yīng)力。2.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法內(nèi)力內(nèi)力82.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法（2) 基本變量的定義基本變量的定義位位 移移應(yīng)應(yīng) 變變應(yīng)應(yīng) 力力材料參數(shù)材料參數(shù)物體變形后的位置物體變形后的位置物體的變形程度物體的變形程度物體的受力狀態(tài)物體的受力狀態(tài)物體的材料特性物

5、體的材料特性1:5392.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法(3) 基本方程基本方程 基于位移、應(yīng)變、應(yīng)力位移、應(yīng)變、應(yīng)力這三大類變量，可以建立以下三大類方程： 受力狀況的描述：平衡方程平衡方程(equilibrium) 變形程度的描述：幾何方程幾何方程(strain-displacement relationship) 材料的描述：物理方程物理方程(或本構(gòu)方程或本構(gòu)方程)(stress-strain relationship or constitutive equation)1:5310直接針對對象的建模方法通用的建模方法簡單幾何形狀復(fù)雜幾何形狀材料力學(xué)彈性力學(xué)2.1變形體的描述

6、與指標記法變形體的描述與指標記法(4) 研究的基本技巧研究的基本技巧112.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法采用微小體元dxdydz的分析方法，這樣在給定對象的幾何 和邊界 的前提下，對其進行求解(可以處理任意變形體問題)1:5312 由于將要處理復(fù)雜的3D問題，三大類力學(xué)變量及方程均要針對3D空間進行構(gòu)建，也涉及到力學(xué)變量在3D空間上的分解，因此，引入針對3D空間的指標記法，將使得問題的表達更加簡潔。123F FFFiF其中下標i 默認變化1,2,3，并且指沿三個坐標軸的分量變化1,2,3i其中下標i變化1,2,3，并且指沿三個坐標軸的分量變化可以忽略，默認iF2.1變形體的描

7、述與指標記法變形體的描述與指標記法(5) 指標記法指標記法 (indicial notation) 132.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法 自由指標自由指標(free index)： 即每項中只出現(xiàn)一次的下標, 如: ij，其中 i, j為自由指標，它們可以自由變化；在三維問題中，自由指標變化的范圍為 1、2、3，它表示直角坐標系中的三個坐標軸x, y, z。 啞指標啞指標(dumb index)： 在表達式的每一項中有重復(fù)的下標有重復(fù)的下標出現(xiàn)，如aijxj=bi : ，其中 j 為啞指標，i為自由指標；在三維問題中其變化的范圍為1、2、3 。 Einstein求和約定求和約

8、定(summation convention)：啞指標意味著求和。1:53142.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法若有一個方程組為11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb按一般的寫法，上式可表示為31,2,31,ijjiija xb若用指標記法，則為ijjia xb1:53152.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法 通常在某一選取的坐標系中描述物理量，但是這些物理量及其遵循的規(guī)律是客觀存在的，并不隨著坐標系的選取而改變，即應(yīng)具有坐坐標不變性標不變性。 在不同參考坐標中，相應(yīng)物理量的分

9、量之間應(yīng)滿足某種變化關(guān)系，以保證物理本質(zhì)的不變性本質(zhì)的不變性。 張量運算的目的就是研究坐標變化中的不變性關(guān)系坐標變化中的不變性關(guān)系。 若某張量方程在一個坐標系中成立，則在它轉(zhuǎn)化的所有坐標系中也一定成立。l 繁瑣的數(shù)學(xué)公式變得簡明、清晰l 張量的坐標不變性，使得分析問題不受具體的坐標系的限制作用作用1:53162.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法l 0 階張量：無自由指標的量，與坐標系選取無關(guān)，如溫度、質(zhì)量、能量等標量。l 1 階張量：有1個自由指標的量，如坐標xi，位移ui等矢量 。l 2 階張量：有2個自由指標的量，如應(yīng)力 ij 、應(yīng)變ij 。l n 階張量：有n個自由指標的量

10、，如Dijkl四階彈性系數(shù)張量1:53172.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法張量的性質(zhì)張量的性質(zhì) l 它是描述客觀存在的物理量，具有坐標不變性；l 在不同參考坐標下有不同的分量；l 分量之間滿足固定不變的變換關(guān)系。1:53182.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法Voigt標記標記(Voigt notation) 將高階自由指標高階自由指標的張量寫成低階張量低階張量(矩陣矩陣)形式的過程叫做Voigt標記，其規(guī)則叫作Voigt移動規(guī)則(Voigt kinematics rule) 在不同參考坐標下有不同的分量。例如應(yīng)力ij 為二階張量(second-order te

11、nsor)（有兩個自由指標），對于二維問題，具體寫出該張量為11122122ij為表達方便，我們可以將其排列為一個一維的列陣 ，即112212xxyyxy Voigt移動規(guī)則為以下次序1122121:53192.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法對于三維問題，二階應(yīng)力張量ij 為111213212223313233ij可以將其表達為一個一維的列陣 為112233231312xxyyzzyzxzxy 1:53Voigt移動規(guī)則的主要作用移動規(guī)則的主要作用：制定出統(tǒng)一的約定，按照該約定將高階張量排列成低階張量來表達如將二階應(yīng)力張量 ij 或應(yīng)變張量ij 排列成一階張量 和 （都為列向量

12、），將四階張量Dijkl (彈性系數(shù)) 排列成一個矩陣 ，這樣可以將一些復(fù)雜的張量關(guān)系 D 變?yōu)榫仃囘\算關(guān)系作為一種習(xí)慣，一般都三維問題應(yīng)力或應(yīng)變列陣的分量次序記為202.1變形體的描述與指標記法變形體的描述與指標記法Txxyyzzxyyzzx1:5321第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:5322力學(xué)描述的基本思路對象：三大類變量三大類方程幾何形狀材料性質(zhì)變形體主要針對材料的基本假設(shè)

13、針對對象的材料：簡化材料的行為，采用解析方法，將主要關(guān)注點放在處理復(fù)雜的幾何對象上2.2 彈性體的基本假設(shè)彈性體的基本假設(shè)ContinuityHomogeneityIsotropyLinear ElasticitySmall deformation23第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:53242.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程（1）應(yīng)力的分量的表達）應(yīng)力的分量的表達

14、,xxyyxyyx可以看出，二維直角坐標系下平面問題應(yīng)力變量應(yīng)該有可以看出，二維直角坐標系下平面問題應(yīng)力變量應(yīng)該有如果寫成指標形式，為：如果寫成指標形式，為： ij （i,j =1,2）xy（1）正負號約定：正面）正負號約定：正面正向為正、負面負向正向為正、負面負向為正為正（2）正應(yīng)力：）正應(yīng)力： 力的方向與受力面的法線方向相一致力的方向與受力面的法線方向相一致 剪應(yīng)力：力的方向與受力面的法線方向正交剪應(yīng)力：力的方向與受力面的法線方向正交1:53252.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程xyzdxdyt（平面問題為等厚度）a(x,y)bcdxx(x+dx,y)xx(x,y)yy(

15、x,y+dy)yy(x,y)yx(x+dx,y)yx(x,y)xy(x,y+dy)xy(x,y)xbyb各個各個方向合方向合力的平衡：力的平衡：約定：正面正向為正，負面負約定：正面正向為正，負面負向為正；向為正；有有四個側(cè)面，在平衡方程中，四個側(cè)面，在平衡方程中，應(yīng)考慮合力的平衡；應(yīng)考慮合力的平衡；應(yīng)力應(yīng)力在在經(jīng)過經(jīng)過dx 或或 dy 變化變化后的后的位置上有增量表達；位置上有增量表達；應(yīng)力在各個側(cè)面上為均勻分布。應(yīng)力在各個側(cè)面上為均勻分布。1:53262.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程以以 xx(x+dx,y)為為例，由高等數(shù)學(xué)中的例，由高等數(shù)學(xué)中的Taylor級數(shù)展開，有

16、級數(shù)展開，有.),(21),(),(),(222dxxyxdxxyxyxydxxxxxxxxxx約去二約去二階以上微量，有階以上微量，有dxxyxyxydxxxxxxxx),(),(),(對應(yīng)于對應(yīng)于bc-t對應(yīng)于對應(yīng)于ad-t沿沿x方向所有合力的平衡方向所有合力的平衡0),(),(),(),(dxdytbtdxyxtdxdyyxtdyyxtdyydxxxxyxyxxxx0 xyxxxbxy 0 xF1:53右側(cè)面上的x方向合力左側(cè)面上的x方向合力上側(cè)面上的x方向合力下側(cè)面上的x方向合力x方向的體積力合力272.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程同理同理，沿，沿y方向的平衡關(guān)系，

17、有方向的平衡關(guān)系，有0yyyxybyx所有合力關(guān)于任一點的力矩平衡所有合力關(guān)于任一點的力矩平衡dddd(d ) dd(d ) dd02222xyyxxyxyyxyxyyxxyx tx txy ty tyx 略去高次項后，有略去高次項后，有yxxy這就是這就是剪應(yīng)力互等定理剪應(yīng)力互等定理(reciprocal theorem of shear stress)。因此，以。因此，以后可以將這一關(guān)系直接引用到方程中去。后可以將這一關(guān)系直接引用到方程中去。1:53282.3 基本方程之一：平衡方程基本方程之一：平衡方程歸納上面的推導(dǎo)，有平面問題的平衡方程歸納上面的推導(dǎo)，有平面問題的平衡方程00 xyxx

18、xyyyxyxyyxbxybyx如果不如果不區(qū)別剪應(yīng)力區(qū)別剪應(yīng)力 xy 和和 yx ，則可則可寫為兩個方程，即寫為兩個方程，即00 xyxxxyyxyybxybyx寫成指寫成指標形式標形式,0iij jb其中其中 ij,j中中的下標的下標( , j)表示物理量表示物理量 ij對對 j 方向方向求偏導(dǎo)數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)。1:5329第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:53PAB302.4 基本

19、方程之二基本方程之二: 幾何方程幾何方程PBAuvxydyyxdxPAPAAPxxdyyuudxxvvdyyvv 定義定義x方向的相對伸長量為方向的相對伸長量為dxxuuxxxuddxuPBPBBPyy 定義定義y方向的相對伸長量為方向的相對伸長量為yyyvddyv 定義夾角的變化定義夾角的變化PA線與線與PA 線的夾角線的夾角 為為dxvdxxvv)()tan(xvPB線與線與PA 線的夾角線的夾角 為為dyudyyuu)(yu則定義夾角的總變化為則定義夾角的總變化為yuxvxy1:53312.4 基本方程之二基本方程之二: 幾何方程幾何方程歸納以上，則平面問題的幾何方程為歸納以上，則平面問

20、題的幾何方程為xxyyxyuxvyuvyx寫成指標形式寫成指標形式,1()2iji jj iuu注意：注意： (a) ui,j中的下標表示中的下標表示 ui對對 j方向求偏導(dǎo)數(shù)；方向求偏導(dǎo)數(shù)； (b) ) 21j(iijij1:5332第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:53332.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程xxxxxxxxyyyyyyyy=+EExxyyxxxx

21、EEyyxxyyyy（1）正應(yīng)力）正應(yīng)力xxyyyyyyxxxxEE111:53342.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程（2）剪應(yīng)力）剪應(yīng)力yxyxxyxyGxyxyGEExyxyxxyyyyyyxxxx11E為彈性模量 (elastic modulus or Youngs modulus)G 為剪切模量 (shear modulus)為泊松比 (Poisson ratio)2(1)EG1:53352.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程將物理方程寫成指標形式，有將物理方程寫成指標形式，有1ijijklklD1ijklD為四階張量，可以將它理解為一個常系數(shù)矩陣為四階

22、張量，可以將它理解為一個常系數(shù)矩陣ijijklklD寫成逆形式寫成逆形式其中其中 Dijkl為彈性系數(shù)矩陣（張量），為彈性系數(shù)矩陣（張量）， 為為 Dijkl 的逆的逆1ijklD1:53按照指標的規(guī)則，寫出物理方程的指標形式ijijklklC其中 為四階張量，可以根據(jù)指標規(guī)則寫出對應(yīng)關(guān)系，如表所示。ijklC362.5 基本方程之三：物理方程基本方程之三：物理方程GEExyxyxxyyyyyyxxxx11GEE2111212112222221111122211122211 21000101GEEEE12221112121222121122122222221111121122111112221

23、1 CCCCCCCCC采用Voigt規(guī)則，寫出物理方程的矩陣形式37第第2章章 平面彈性問題基本變量及方程平面彈性問題基本變量及方程2.1變形體的描述與指標記法2.2 彈性體的基本假設(shè)2.3 基本方程之一：平衡方程2.4 基本方程之二: 幾何方程2.5 基本方程之三：物理方程2.6 邊界條件2.7 基本方程匯總1:53382.6 邊界條件邊界條件邊界條件，即邊界條件，即Boundary condition，簡稱，簡稱BC。一般包括一般包括位移方面位移方面和和力平衡方面的邊界條件力平衡方面的邊界條件，即變形體的幾何，即變形體的幾何空間空間 ，其表面，其表面被位移邊界被位移邊界Su和力邊界和力邊界

24、Su完全不重疊地包圍完全不重疊地包圍有：有： = Su+ Sp且：且： Su Sp= 0其中其中: Su為給定的位移邊界，為給定的位移邊界， Sp為給定的力邊界。為給定的力邊界。 1:53392.6 邊界條件邊界條件位移邊界條件位移邊界條件平面問題中應(yīng)有關(guān)于平面問題中應(yīng)有關(guān)于x方向和方向和y方向的位移邊界條件。方向的位移邊界條件。on uuuSvv其中其中 ： 和和 為指定的沿為指定的沿x方向和方向和y方向位移方向位移(平面問題平面問題) Su為給定的位移邊界為給定的位移邊界uv1:53402.6 邊界條件邊界條件力的邊界條件力的邊界條件 在力的邊界上取微小體元在力的邊界上取微小體元dxdy_

25、t(平面問題平面問題)并考察它的平衡問題并考察它的平衡問題由微小體元的由微小體元的x方向合力平衡，有方向合力平衡，有ddd0 xxxyxy tx tps t 注意注意ds為邊界上斜邊的長度，為邊界上斜邊的長度，邊界外法線邊界外法線n的方向余弦為的方向余弦為d /dxnysd /dynxs則則xxxxyyxnnp1:53412.6 邊界條件邊界條件同樣，可建立同樣，可建立y方向合力和力矩的平衡方程，將微小體元的三個方向合力和力矩的平衡方程，將微小體元的三個平衡方程匯總，有平衡方程匯總，有pSonxxxxyyxyyyxyxynnpnnp1:53綜上所述，將邊界條件寫成指標形式綜上所述，將邊界條件寫成指標形式422.6 邊界條件邊界條件iiuuuon S 力力ijjipnpon S其中其中nj為邊界一點上外法線的方向余弦為邊界一點上外法線的