X射線衍射原理

1、第三章第三章 X射線的衍射方向射線的衍射方向1、衍射的兩個基本要素、衍射的兩個基本要素2、晶體的衍射方向、晶體的衍射方向（1）勞厄（）勞厄（Laue）方程）方程（2）布拉格（）布拉格（Bragg）方程）方程3、衍射花樣與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系、衍射花樣與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系4、倒易點陣中的衍射矢量與厄爾瓦德圖解、倒易點陣中的衍射矢量與厄爾瓦德圖解5、勞厄方程與布拉格方程的等效性、勞厄方程與布拉格方程的等效性使用使用X X射線研究射線研究問題，主要是利用問題，主要是利用在晶體中產(chǎn)生的在晶體中產(chǎn)生的現(xiàn)象現(xiàn)象。3.1.1 晶體的晶體的X射線衍射：射線衍射： 當(dāng)一束當(dāng)一束X射線照射到晶體上時，首先被射線照射到晶體上

2、時，首先被所所，每個電子都是一個每個電子都是一個，向空間輻射出與入，向空間輻射出與入射波同頻率的電磁波?？梢园丫w中射波同頻率的電磁波。可以把晶體中都看作都看作一個一個，同樣各自向空間輻射與入射波，同樣各自向空間輻射與入射波的電磁波。由于這些的電磁波。由于這些，使，使得空間某些方向上波相互得空間某些方向上波相互，在這個方向上，在這個方向上衍射線，而另一些方向上波相互相抵消，衍射線，而另一些方向上波相互相抵消，。 X射線在晶體中的射線在晶體中的，是是。晶體的點陣結(jié)構(gòu)使晶體對晶體的點陣結(jié)構(gòu)使晶體對X X射線、中子流和電子流等產(chǎn)射線、中子流和電子流等產(chǎn)生衍射。其中生衍射。其中X X射線法最重要，已測

3、定了二十多萬種晶射線法最重要，已測定了二十多萬種晶體的結(jié)構(gòu)，是物質(zhì)空間結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的主要來源。體的結(jié)構(gòu)，是物質(zhì)空間結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的主要來源。 晶體所產(chǎn)生的衍射花樣都反映出晶體內(nèi)部的原子晶體所產(chǎn)生的衍射花樣都反映出晶體內(nèi)部的原子分布規(guī)律。分布規(guī)律。 晶體的晶體的X射線衍射包括射線衍射包括兩個要素兩個要素：（1） ，由晶胞大?。ㄓ删О笮。╝）、類別和位向決定（）、類別和位向決定（hkl）。）。（2） ，取決于原，取決于原子的種類和它們在晶胞中的相對位置。子的種類和它們在晶胞中的相對位置。X X射線衍射理論所要解決的中心問題射線衍射理論所要解決的中心問題: : 在在衍射衍射現(xiàn)象現(xiàn)象與與晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)之間建

4、立起定性和定量的關(guān)系，之間建立起定性和定量的關(guān)系，這個關(guān)系的建立依靠一個參數(shù)聯(lián)系這個關(guān)系的建立依靠一個參數(shù)聯(lián)系-晶面間距晶面間距。3.1.2 衍射的兩個要素衍射的兩個要素晶體衍射方向就是晶體衍射方向就是X射線射入周期性排列的晶體射線射入周期性排列的晶體中的原子、分子，產(chǎn)生散射后次生中的原子、分子，產(chǎn)生散射后次生X射線干涉、射線干涉、疊加相互加強(qiáng)的方向。討論衍射方向的方程有：疊加相互加強(qiáng)的方向。討論衍射方向的方程有： 勞厄勞厄Laue方程方程和和 布拉格布拉格Bragg方程方程。 前者從一維點陣出發(fā)，后者從平面點陣出發(fā)，前者從一維點陣出發(fā)，后者從平面點陣出發(fā)，兩個方程是等效的兩個方程是等效的。

5、3.2 晶體的衍射方向晶體的衍射方向為什么在這個方向上能產(chǎn)生衍射，而不是其他方向？為什么在這個方向上能產(chǎn)生衍射，而不是其他方向？回答這個問題就涉及到回答這個問題就涉及到衍射方向衍射方向的問題的問題入射入射X射線射線中心線中心線衍射方向衍射方向底片底片The Nobel Prize in Physics 1914The Nobel Prize in Physics 1914Max von LaueMax von Laue Germany Frankfurt UniversityFrankfurt-on-the Main, Germany1879 - 1960勞厄勞厄19141914年獲物理獎年獲

6、物理獎 M. (Max von Laue,1879-1960) 18791879年年1010月月1010日生于日生于德國德國科布倫茨附近的科布倫茨附近的普法芬多爾夫。普法芬多爾夫。18981898年中學(xué)畢業(yè)后一邊在軍年中學(xué)畢業(yè)后一邊在軍隊服務(wù)，一邊在斯特拉斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)。隊服務(wù)，一邊在斯特拉斯堡大學(xué)學(xué)習(xí)。18991899年轉(zhuǎn)到哥廷根大學(xué)，研究理論物理，年轉(zhuǎn)到哥廷根大學(xué)，研究理論物理，19031903年年在在PlankPlank指導(dǎo)下獲博士學(xué)位，指導(dǎo)下獲博士學(xué)位，19091909年為慕尼黑年為慕尼黑大學(xué)理論物理所研究人員，大學(xué)理論物理所研究人員，19121912年起他先后年起他先后在蘇黎世大學(xué)、法

7、蘭克福大學(xué)，柏林大學(xué)任在蘇黎世大學(xué)、法蘭克福大學(xué)，柏林大學(xué)任教。教。19211921年成為普魯士科學(xué)院院士，年成為普魯士科學(xué)院院士，1921192119341934年是德國科學(xué)資助協(xié)會物理委員會主席，年是德國科學(xué)資助協(xié)會物理委員會主席，二戰(zhàn)中，二戰(zhàn)中，他是德國學(xué)者中抵制希特勒國家社他是德國學(xué)者中抵制希特勒國家社會主義的代表人物之一會主義的代表人物之一，因此失去物理所顧，因此失去物理所顧問位置，問位置，19551955年重被選進(jìn)德國物理學(xué)會，年重被選進(jìn)德國物理學(xué)會，19601960年年4 4月月2424日因車禍去世。日因車禍去世。 主要成就主要成就：在第一次世界大戰(zhàn)期間，他與：在第一次世界大戰(zhàn)期

8、間，他與維恩一起發(fā)展電子放大管，用于改進(jìn)軍用通維恩一起發(fā)展電子放大管，用于改進(jìn)軍用通訊技術(shù)，訊技術(shù)，1907年，他從光學(xué)角度支持愛因斯年，他從光學(xué)角度支持愛因斯坦狹義相對論，坦狹義相對論，1910年寫了一本專著，最重年寫了一本專著，最重要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了“X射線通過晶體的衍射射線通過晶體的衍射”。 勞厄勞厄(1) 直線點陣的衍射方向（衍射條件）直線點陣的衍射方向（衍射條件） 設(shè)有原子組成的直線點陣，相鄰兩原子間的距離為設(shè)有原子組成的直線點陣，相鄰兩原子間的距離為a a，如圖所示，如圖所示，X X射線入射方向射線入射方向S S0 0與直線點陣的交角與直線點陣的交角為為0 0。3.2.1

9、 3.2.1 勞厄勞厄LaueLaue方程方程S0原子直線點陣原子直線點陣 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= a若在與直線點陣交成若在與直線點陣交成角角的方向的方向S S發(fā)生衍射，則相鄰波列的發(fā)生衍射，則相鄰波列的光程差應(yīng)為波長光程差應(yīng)為波長的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 這就是原子直線點陣產(chǎn)生衍射的條件！這就是原子直線點陣產(chǎn)生衍射的條件！即即 OAPBH， H為整數(shù)為整數(shù) (H=0，1，2，) 。cosaOA 0cosaPB 因為：因為：S0原子直線點陣原子直線點陣 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= aHaaa)cos(coscoscos00于是，于是，J 研究研究衍射

10、方向就是確定衍射方向就是確定角角。因為由次生波原發(fā)出的因為由次生波原發(fā)出的X射線為射線為球面電磁波球面電磁波，故，故與直線點陣交角為與直線點陣交角為的方向的軌跡是以直線點陣的方向的軌跡是以直線點陣為軸的圓錐面。為軸的圓錐面。直線點陣衍射線形狀直線點陣衍射線形狀S0原子直線點陣原子直線點陣 0S入射角入射角OPB= 0散射角散射角POA= aHHHHH（a）當(dāng)）當(dāng)090o時，時，H等于等于n和和n（n=1，2，3，）的兩）的兩套圓錐面并不對稱套圓錐面并不對稱.（b）當(dāng)）當(dāng)090o時，時，h=0的圓錐面蛻化為垂直于直線點陣的的圓錐面蛻化為垂直于直線點陣的平面，這時平面，這時h等于等于n和和n的兩套

11、圓錐面就是對稱的了。的兩套圓錐面就是對稱的了。HHHHHHHHHH（a）若放置照像板與直線點陣垂直，）若放置照像板與直線點陣垂直，所得到的是一些同心圓。所得到的是一些同心圓。（b）若放置照像板與直線點陣平行，在一）若放置照像板與直線點陣平行，在一般情況下所得到的是一些曲線，在般情況下所得到的是一些曲線，在090o時時所得到的是一組雙曲線。所得到的是一組雙曲線。 設(shè)空間點陣的三個素平移向量為設(shè)空間點陣的三個素平移向量為a ,b和和c,入射入射的的X射線與它們的交角分別為射線與它們的交角分別為0，0和和0。衍。衍射方向與它們的交角分別為射方向與它們的交角分別為，和和，根據(jù)，根據(jù)上述的討論可知，角上

12、述的討論可知，角，和和應(yīng)滿足下列條應(yīng)滿足下列條件：件： 設(shè)空間點陣的三個平移向量為設(shè)空間點陣的三個平移向量為a ,ba ,b和和c,c,入射的入射的X X射線與它們的射線與它們的交角分別為交角分別為0 0，0 0和和0 0。衍射方向與它們的交角分別為。衍射方向與它們的交角分別為，和和 。根據(jù)上述討論可知，衍射角。根據(jù)上述討論可知，衍射角，和和在在x, y, zx, y, z三三個軸上應(yīng)滿足以下條件：個軸上應(yīng)滿足以下條件： a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) = L H，K，L， 0 0 ，1，2， 式中式中為波長，為波長，H, K, L 均為

13、整數(shù)，均為整數(shù)，HKL 稱為衍射指標(biāo)。稱為衍射指標(biāo)。上式稱為上式稱為勞埃（勞埃（Laue）方程）方程 衍射指標(biāo)衍射指標(biāo)和和晶面指標(biāo)晶面指標(biāo)不同，晶面指標(biāo)是互質(zhì)的整數(shù)，衍射指標(biāo)都是整數(shù)但不同，晶面指標(biāo)是互質(zhì)的整數(shù)，衍射指標(biāo)都是整數(shù)但不定是互質(zhì)的。為了區(qū)別起見，在以下的討論中我們用不定是互質(zhì)的。為了區(qū)別起見，在以下的討論中我們用hklhkl來表示晶面指標(biāo)。來表示晶面指標(biāo)。(2) 三維空間點陣衍射的條件三維空間點陣衍射的條件討論：討論： 勞厄方程中，對于每組勞厄方程中，對于每組HKLHKL，可得到三個衍射圓錐，可得到三個衍射圓錐，只有同時滿足勞厄方程組才能出現(xiàn)衍射，衍射方向只有同時滿足勞厄方程組才能

14、出現(xiàn)衍射，衍射方向是三是三個圓錐面的共交線。另外，個圓錐面的共交線。另外，不是完全彼此獨(dú)不是完全彼此獨(dú)立立，這三個參數(shù)直接還存在著一個函數(shù)關(guān)系：，這三個參數(shù)直接還存在著一個函數(shù)關(guān)系：F(F(，)0 0 例如例如當(dāng)當(dāng)，相互垂直時相互垂直時，則有，則有coscos2 2coscos2 2coscos2 21 1。，共計三個變量，但要求它們滿足上述的四個方共計三個變量，但要求它們滿足上述的四個方程，這在一般情況下是辦不到的，因而不能得到衍射圖。程，這在一般情況下是辦不到的，因而不能得到衍射圖。為了獲得衍射圖必須增加一個變量。為了獲得衍射圖必須增加一個變量?？刹捎脙煞N辦法：可采用兩種辦法：（1 1）一

15、種辦法是晶體不動（即一種辦法是晶體不動（即0 0，0 0，0 0固定），只固定），只 讓讓X X射線波長改變（射線波長改變（改變）；改變）； 即：變即：變，晶體不動（即，晶體不動（即0，0，0不變）不變） - 勞厄法勞厄法（2 2）另一種辦法是采用單色）另一種辦法是采用單色X X射線（射線（固定），但改變固定），但改變 0 0，0 0，0 0的一個或兩個以達(dá)到產(chǎn)生衍射的目的。的一個或兩個以達(dá)到產(chǎn)生衍射的目的。 不變，不變， 0，0，0中一個或兩改變中一個或兩改變 -回轉(zhuǎn)晶體法和粉末法?；剞D(zhuǎn)晶體法和粉末法。a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = K c(cos-cos0) =

16、 L 布拉格方程的導(dǎo)出布拉格方程的導(dǎo)出 布拉格方程的討論布拉格方程的討論The Nobel Prize in Physics 1915Sr.William Henry BraggSr.William Henry Bragg Jr.William Lawrence BraggJr.William Lawrence Bragg Great Britain Great Britain 布拉格布拉格19151915年物理獎年物理獎William Henry Bragg, 1862-1942) William Lawrence Bragg （1890-1971） 1862年7月2日生于英格蘭西部的坎伯蘭

17、，曾被保送進(jìn)威廉皇家學(xué)院學(xué)習(xí)，后進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院攻讀數(shù)學(xué)，并在卡文迪什實驗室學(xué)習(xí)物理。1885年在澳大利亞阿德萊德大學(xué)任教，1907年，被選進(jìn)倫敦皇家學(xué)會，1909年回英國利茲大學(xué)任教，1915年到倫敦大學(xué)任教，1935-1940年任皇家學(xué)會會長，在英國科學(xué)界負(fù)有盛名，并被授予巴黎、華盛頓、哥本哈根，阿姆斯特丹等國外科學(xué)院院士稱號，1942年3月病逝于倫敦。主要成就：可分為兩個階段，第一階段在澳大利亞，研究靜電學(xué)、磁場能量及放射射線，第二階段即1912年后，與兒子一起推導(dǎo)出布拉格關(guān)系式， 說明X射線波長與衍射角之間關(guān)系，1913年建立第一臺X射線攝譜儀，并將晶體結(jié)構(gòu)分析程序化。 布拉格父子

18、布拉格父子小布拉格是最年輕的諾貝爾獎獲得者，小布拉格是最年輕的諾貝爾獎獲得者，當(dāng)時當(dāng)時25歲。歲。1、布拉格方程的導(dǎo)出：、布拉格方程的導(dǎo)出：（1）單一原子面）單一原子面(晶面晶面)上的上的鏡面鏡面反射反射abnm任意兩個結(jié)點任意兩個結(jié)點a與與b上的散射波，在鏡上的散射波，在鏡面反射方向上散射波的光程差：面反射方向上散射波的光程差： am - nb = 0于是，同相位而得到干涉。于是，同相位而得到干涉。同理，不論同理，不論X X射線從什么方向入射，射線從什么方向入射，在對應(yīng)的在對應(yīng)的鏡面反射鏡面反射方向上，原子方向上，原子面上所有個結(jié)點的散射波能產(chǎn)生干涉。面上所有個結(jié)點的散射波能產(chǎn)生干涉。如果晶

19、體只有一個晶面，任何角度上的鏡面反射都能產(chǎn)生干涉，但晶體由多個晶面組成，如果晶體只有一個晶面，任何角度上的鏡面反射都能產(chǎn)生干涉，但晶體由多個晶面組成，而且而且X射線由于極強(qiáng)的穿透力，不僅表面原子，內(nèi)層原子也將參與鏡面反射。射線由于極強(qiáng)的穿透力，不僅表面原子，內(nèi)層原子也將參與鏡面反射。問題：問題：X X射線在一組晶面上的反射線，能否出現(xiàn)干涉、產(chǎn)生衍射需要哪些條件？射線在一組晶面上的反射線，能否出現(xiàn)干涉、產(chǎn)生衍射需要哪些條件？根據(jù)圖示，根據(jù)圖示，光程差：光程差：干涉加強(qiáng)的條件是：干涉加強(qiáng)的條件是：式中：式中：d晶面間距，晶面間距，n為整數(shù)，稱為整數(shù)，稱為反射級數(shù)；為反射級數(shù)； 為入射線或反射線為入

20、射線或反射線與反射面的夾角，稱為掠射角，與反射面的夾角，稱為掠射角，由于它等于入射線與衍射線夾角由于它等于入射線與衍射線夾角的一半，故又稱為半衍射角，把的一半，故又稱為半衍射角，把2 稱為衍射角。稱為衍射角。 nBDCBndsin2sin2dBDCBX X射線在晶體多個晶面上射線在晶體多個晶面上的衍射的衍射 （2）相鄰兩個晶面對）相鄰兩個晶面對X射線的衍射射線的衍射反射面法反射面法線線dBACDd因此，已經(jīng)證明：當(dāng)一束單色平行的因此，已經(jīng)證明：當(dāng)一束單色平行的X射線照射射線照射到晶體時，到晶體時，（1）同一晶面同一晶面上的原子的散射線，在晶面反射上的原子的散射線，在晶面反射方向上可以相互加強(qiáng)；

21、方向上可以相互加強(qiáng)；（2）不同晶面不同晶面的反射線若要加強(qiáng)，必要的條件的反射線若要加強(qiáng)，必要的條件是相鄰晶面反射線的光程差為波長的整數(shù)倍。是相鄰晶面反射線的光程差為波長的整數(shù)倍。* * * * * *布喇格方程是布喇格方程是X X射線在晶體產(chǎn)生衍射的必要條射線在晶體產(chǎn)生衍射的必要條件而非充分條件。有些情況下晶體雖然滿足布拉格件而非充分條件。有些情況下晶體雖然滿足布拉格方程，但不一定出現(xiàn)衍射線，即所謂系統(tǒng)消光。方程，但不一定出現(xiàn)衍射線，即所謂系統(tǒng)消光。2、布拉格方程的討論、布拉格方程的討論 選擇反射選擇反射 反射級數(shù)反射級數(shù) 干涉面和干涉指數(shù)干涉面和干涉指數(shù) 掠射角掠射角 產(chǎn)生衍射的極限條件產(chǎn)生

22、衍射的極限條件1、選擇反射、選擇反射（重點：與可見光的鏡面反射的區(qū)別）（重點：與可見光的鏡面反射的區(qū)別） X射線在晶體中的衍射實質(zhì)上是晶體中各原子散射波射線在晶體中的衍射實質(zhì)上是晶體中各原子散射波之間的干涉結(jié)果。只是由于衍射線的方向之間的干涉結(jié)果。只是由于衍射線的方向恰好相當(dāng)于恰好相當(dāng)于原原子面對入射線的反射，所以借用鏡面反射規(guī)律來描述衍子面對入射線的反射，所以借用鏡面反射規(guī)律來描述衍射幾何。將衍射看成反射，是布拉格方程的基礎(chǔ)。射幾何。將衍射看成反射，是布拉格方程的基礎(chǔ)。 但是，衍射是本質(zhì)，反射僅是為了使用方便。但是，衍射是本質(zhì)，反射僅是為了使用方便。 X射線的原子面反射和可見光的鏡面反射不同

23、。一束射線的原子面反射和可見光的鏡面反射不同。一束可見光以任意角度投射到鏡面上都可以產(chǎn)生反射，可見光以任意角度投射到鏡面上都可以產(chǎn)生反射，而原而原子面對子面對X射線的反射并不是任意的，只有當(dāng)射線的反射并不是任意的，只有當(dāng) 、 、d三者三者之間滿足布拉格方程時才能發(fā)生反射之間滿足布拉格方程時才能發(fā)生反射，所以把，所以把X射線這種射線這種反射稱為反射稱為選擇反射選擇反射。即衍射方向的選擇性。即衍射方向的選擇性。總結(jié)：總結(jié)：(a)可見光在任意入射角方向均能產(chǎn)生反射，而可見光在任意入射角方向均能產(chǎn)生反射，而X射線則只能在有限的布喇格角方向才產(chǎn)生反射。射線則只能在有限的布喇格角方向才產(chǎn)生反射。就平面點陣

24、（就平面點陣（hkl）來說，只有入射角）來說，只有入射角滿足此方滿足此方程時，才能在相應(yīng)的反射角方向上產(chǎn)生衍射。程時，才能在相應(yīng)的反射角方向上產(chǎn)生衍射。(b)可見光的反射只是物體表面上的光學(xué)現(xiàn)象，而可見光的反射只是物體表面上的光學(xué)現(xiàn)象，而衍射則是一定厚度內(nèi)許多間距相同晶面共同作用衍射則是一定厚度內(nèi)許多間距相同晶面共同作用的結(jié)果。的結(jié)果。2、反射級數(shù)、反射級數(shù)n為反射級數(shù)。ndsin2當(dāng)晶面間距（d值）足夠大，以致2dsin有可能為波長的兩倍或者三倍甚至以上倍數(shù)時，會產(chǎn)生二級或多級反射二級或多級反射。因此，反射級數(shù)是針對實際晶面（因此，反射級數(shù)是針對實際晶面（hkl）而言，對于）而言，對于虛擬晶

25、面虛擬晶面（例如（例如n(hkl)），只有一級反射。），只有一級反射。sin2nd這樣，把（把（hkl）晶面的晶面的n級反射級反射看成為與（看成為與（hkl）晶面平行、面間距為晶面平行、面間距為(nh,nk,nl) 的晶面的的晶面的一級反射一級反射。如果（hkl）的晶面間距是d，n(hkl)晶面間距是d/n。3、干涉面和干涉指數(shù)、干涉面和干涉指數(shù)我們將布拉格方程中的n隱含在d中得到簡化的布拉格方程： 晶面（hkl）的n級反射面n(hkl)，用符合（HKL）表示，稱為反射面或者干涉面。(hkl)是晶體中實際存在的晶面，（HKL）僅僅是為了使問題簡化而引入的虛擬晶面。干涉面的面指數(shù)稱為干涉指數(shù)，一

26、般有公約數(shù)n，例如（200）、（222）等。當(dāng)n=1，干涉指數(shù)變?yōu)榫嬷笖?shù)。SindnddSinndHKLhklHKLhkl2,2則有：令注意：實際測量的衍射譜中的衍射線條對應(yīng)的是干涉指數(shù)。即有可能注意：實際測量的衍射譜中的衍射線條對應(yīng)的是干涉指數(shù)。即有可能出現(xiàn)（出現(xiàn)（200200）、（）、（222222）、（）、（300300）等指數(shù)。）等指數(shù)。4、掠射角、掠射角角，即入射線或者反射線與晶面間的夾角。 入射線入射線反射線反射線晶面晶面1，當(dāng)用單色，當(dāng)用單色X射線（射線（ 一定一定）照）照射多晶體，晶面間距相同的晶面，射多晶體，晶面間距相同的晶面， 相同。相同。2， 一定，一定，d越小，越小，

27、 加大。即加大。即面間距小的晶面，在高角度處產(chǎn)面間距小的晶面，在高角度處產(chǎn)生衍射。生衍射。sin2d 2（111）（200）（220）（311）Silver5、產(chǎn)生衍射的極限條件、產(chǎn)生衍射的極限條件 根據(jù)布拉格方程，sin不能大于1，因此，產(chǎn)生衍射的條件為： （1）如果想觀察到面間距為d的這一晶面的衍射線（或衍射斑點），X射線的波長要小于等于這一晶面的二倍。同樣，如果要得到至少一個衍射線或點，X射線的波長必須小于參加反射的晶面中最大面間距的二倍，否則不能產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。 （2）如果晶面間距d一定， 越小，可得到的多級反射就越多。如果希望獲得更多的衍射圖（斑點或線條），可選用短波長的入射X射線。

28、221sin2ddd，或者，即這規(guī)定了這規(guī)定了X X衍射線或斑點的數(shù)目：衍射線或斑點的數(shù)目：（1 1）對于一定波長的）對于一定波長的X X射線而言（射線而言（ 一定）一定），晶體中能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是有限的。晶體中能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是有限的。（2 2）對于一定晶體而言（所有）對于一定晶體而言（所有d d值固定），在值固定），在不同波長的不同波長的X X射線下，能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是射線下，能產(chǎn)生衍射的晶面數(shù)是不同的。不同的。d2NaCl 晶體 主晶面間距為2.8210- -10 m對某單色X射線的布喇格第一級反射的掠射角為 15入射X射線波長二級反射的掠射角根據(jù)布喇格公式152 2.8210-

29、-10 151.4610- -10 (m)0.517731.18 思考題思考題1. 一晶體中晶面間距為2.25210-10 m對某單色X射線的布喇格一級反射的掠射角為 20，求（1）入射X射線的波長，（2）二級反射的掠射角。2. 一簡單立方晶胞參數(shù)分為0.3165 nm, 使用CuK（=1.54），衍射線中最高晶面指數(shù)（最高晶面指數(shù)是指H2+K2+L2為最大的晶面指數(shù)）是能到多少？ 3.一面心立方晶體（Al），a=0.405nm，用Cu-K（=1.54）X射線照射,問晶面(111)能產(chǎn)生幾條衍射線（即幾級反射）？能否使(440)晶面產(chǎn)生衍射？ 4. 要使某個晶體的衍射數(shù)量增加， 你選長波的X射

30、線還是短波的？3.3 衍射花樣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系衍射花樣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系 從布拉格方程可以看出，在波長一定的情況下，衍射線的方向是晶面從布拉格方程可以看出，在波長一定的情況下，衍射線的方向是晶面間距間距d的函數(shù)。如果將各晶系的的函數(shù)。如果將各晶系的d值代入布拉格方程，可得：值代入布拉格方程，可得： 布拉格方程能給出晶胞參數(shù)（晶胞大?。┡c晶體所屬晶系（晶胞形布拉格方程能給出晶胞參數(shù)（晶胞大小）與晶體所屬晶系（晶胞形狀）。狀）。但是，不能給出晶胞中原子的種類和位置。但是，不能給出晶胞中原子的種類和位置。 因此，在研究晶胞中原子的位置和種類的變化時，除布拉格方程因此，在研究晶胞中原子的位置和種類的變化

31、時，除布拉格方程外，還需要有其它的判斷依據(jù)。這種判據(jù)就是下一章要講的結(jié)構(gòu)因子外，還需要有其它的判斷依據(jù)。這種判據(jù)就是下一章要講的結(jié)構(gòu)因子和衍射線強(qiáng)度理論。和衍射線強(qiáng)度理論。）222222(4sinLKHa）2222222(4sincLaKH）22222222(4sincLbKaH立方晶系：正方晶系：斜方晶系：Intensity (%)354045505560657075808590951001051101151200102030405060708090100(44.68,100.0)1,1,0(65.03,14.9)2,0,0(82.35,28.1)2,1,1(98.96,9.3)2,2,0(

32、116.40,16.6)3,1,0(a) 體心立方 Fe a=b=c=0.2866 nmIntensity (%)3540455055606570758085909510010511011512001020304050607080901001,1,02,0,02,1,12,2,03,1,02,2,2(b) 體心立方 Wa=b=c=0.3165 nm(d) 體心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm(e) 面心立方：gFe a=b=c=0.360nmIntensity (%)35404550556065707580859095100105110115120010

33、20304050607080901001,0,11,1,00,0,22,0,01,1,22,1,12,0,22,2,01,0,33,0,1 3,1,0Intensity (%)3540455055606570758085909510010511011512001020304050607080901000,1,11,0,11,1,00,0,20,2,02,0,01,1,21,2,12,1,10,2,2 2,0,22,2,00,1,31,0,30,3,1 1,3,03,0,13,1,0Intensity (%)35404550556065707580859095100105110115120010

34、2030405060708090100(43.51,100.0)1,1,1(50.67,44.6)2,0,0(74.49,21.4)2,2,0(90.41,22.7)3,1,1(95.67,6.6)2,2,2(117.71,3.8)4,0,0 圖3- X射線衍射花樣與晶胞形狀及大小之間的關(guān)系 (c) 體心四方a=b=0.286nm,c=0.320nm衍射線的干涉指數(shù)衍射線的干涉指數(shù)干涉指數(shù)與點陣類型干涉指數(shù)與點陣類型(HKL)100110111200210211220221300310222H2+K2+L2123456891011簡單立方體心立方面心立方3.4 勞厄方程與布拉格方程的一致性勞厄

35、方程與布拉格方程的一致性勞埃（勞埃（Laue）方程）方程 a(cos-cos0) = H b(cos-cos0) = H c(cos-cos0) = H 0 0、0 0、0 0 與與、是入射線與衍射線與三個是入射線與衍射線與三個基本矢量基本矢量a ,ba ,b和和c c的交角。的交角。 為波長，為波長，相鄰原子散射相鄰原子散射線在衍射方向桑的光程差為線在衍射方向桑的光程差為H 、K 與與L。H, K, L 均為整數(shù)均為整數(shù)H,K,LH,K,L0 0 ，1，2， X方向找一原子，距離原點O為OR=(KL)a; 于是O點與R點原子散射線的光程差為(H K L)。同樣，在Y軸找一原子S，距離O原子(

36、HL)b ， Z方向找一T原子，距離O點（H K）c。于是從R, S, T到O點的光程差都為： (H K L) 。顯然，從R, S, T出發(fā)的散射線，在衍射方向上是同光程的。這就是說，過R,S,T三個結(jié)點的晶面，正好處于入射線和衍射線的鏡面反射位置。將勞厄方程平方：將勞厄方程平方：220222220222220222)coscoscos2(cos)coscoscos2(cos)coscoscos2(cos000gggLcKbHa為簡單，設(shè)晶體屬于立方晶系：為簡單，設(shè)晶體屬于立方晶系：故，故，a = b = c。上式相加得：上式相加得：2222022022222)()coscoscoscosco

37、s(cos2)coscos(cos)coscos(cos000gggLKHa1coscoscoscoscoscos02202222g直角坐標(biāo)系中，任一根直線的方向余弦的平方為直角坐標(biāo)系中，任一根直線的方向余弦的平方為1 1，即，即000coscoscoscoscoscosgg直角坐標(biāo)系中，方向余弦分別為直角坐標(biāo)系中，方向余弦分別為cos , cos 與與cosg g 和和cos 0, cos 0 與與cosg g0的兩個直線，其夾角的余弦等于：的兩個直線，其夾角的余弦等于：對于衍射，這兩條線分別為入射和衍射線，夾角為對于衍射，這兩條線分別為入射和衍射線，夾角為2 2 。于是上式可簡化為：于是上

38、式可簡化為：22222)(ndLKHa22222222222)(sin4)()2cos211 (LKHaLKHa或ndndsin2sin2或者利用立方體系晶面間距與晶胞參數(shù)和晶面指數(shù)關(guān)系：利用立方體系晶面間距與晶胞參數(shù)和晶面指數(shù)關(guān)系：于是有：于是有：布拉格方程。布拉格方程。3.5.1 布拉格方程的幾何表示布拉格方程的幾何表示3.5 衍射矢量方程和厄爾瓦德圖解衍射矢量方程和厄爾瓦德圖解 入射入射X X射線的波長是一定的，所以射線的波長是一定的，所以2/2/ 保持常量。保持常量。2/ 因此，（因此，（1 1）如果能夠形成衍射，衍射點一定在這個圓面）如果能夠形成衍射，衍射點一定在這個圓面( (三維空

39、間上是球三維空間上是球) )上。上。 （2 2）衍射點具體在那個位置上，取決于）衍射點具體在那個位置上，取決于1/d1/dHKLHKL 這個值的大小。這個值的大小。)1(2/1sinHKLHKLdHKLHKLdsin2布拉格方程布拉格方程反射球反射球)1(2/1sinHKLHKLd =1/dHKLHKLHKLdsin2布拉格方程布拉格方程因此，（因此，（1 1）若）若X X射線沿著球的直徑入射，球面上所有的點均滿足布拉格條件，射線沿著球的直徑入射，球面上所有的點均滿足布拉格條件，從球心到任意一點的連線是衍射方向。衍射點具體在那個位置上，取決于從球心到任意一點的連線是衍射方向。衍射點具體在那個位

40、置上，取決于1/d1/dHKLHKL 這個值的大小，即矢量這個值的大小，即矢量OBOB線的長度。線的長度。 （2 2） OBOB即是倒易矢量即是倒易矢量B因此，矢量因此，矢量OBOB就是倒易矢量，就是倒易矢量，原點在原點在O O點。點。這個球稱為這個球稱為反射球反射球。反射球反射球倒易空間倒易空間倒易矢量倒易矢量 如圖所示，當(dāng)一束如圖所示，當(dāng)一束X X射線被晶面射線被晶面P P反射時，假反射時，假定定N N為晶面為晶面P P的法線方向，入射線方向用單位矢的法線方向，入射線方向用單位矢量量S S0 0表示，衍射線方向用單位矢量表示，衍射線方向用單位矢量S S表示，則表示，則S-S-S S0 0為

41、為衍射矢量衍射矢量。NS0SS- S0（衍射矢量圖示）衍射矢量圖示）因此，衍射矢量因此，衍射矢量S-S0必垂直于晶面必垂直于晶面(hkl)。3.5.2 衍射矢量方程衍射矢量方程而設(shè)晶面的倒易矢量為：而設(shè)晶面的倒易矢量為： 則則 令令 (1)式中式中C為常數(shù)。將上式兩端取絕對值，則有為常數(shù)。將上式兩端取絕對值，則有由布拉格方程可知，由布拉格方程可知，代入式代入式(1)得出得出 ，改變形式得：改變形式得： .(2) lckbharrss/0Crss0sin200ssshkldCrCCr1Crss0rss0rss0此倒易空間表示衍射條件的矢量方程此倒易空間表示衍射條件的矢量方程 衍射矢量方程衍射矢量

42、方程3.5.2.2 矢量方程的討論矢量方程的討論 1，產(chǎn)生衍射的條件是入射線矢量、反，產(chǎn)生衍射的條件是入射線矢量、反射線矢量與倒易矢量構(gòu)成等腰三角形。射線矢量與倒易矢量構(gòu)成等腰三角形。 2，對于一個給定的，對于一個給定的X射線（射線（ 一定一定），），高晶面指數(shù)（高晶面指數(shù)（H, K, L大）要形成衍射，大）要形成衍射，要求要求S0-S 越大。即角度越高。越大。即角度越高。衍射矢量方程與勞厄方程一致性衍射矢量方程與勞厄方程一致性HcLbKaHassaarssa)(*00Kssb0Haa0coscosKb)cos(cos0矢量方程兩端同時點乘三個晶體點陣矢量矢量方程兩端同時點乘三個晶體點陣矢量

43、a, b, c,同樣有，同樣有，ggLc)cos(cos0cosasaLssc0 (1) (2) (3) 衍射矢量方程與布拉格方程等效性衍射矢量方程與布拉格方程等效性sin20ssssin20ss*0rss矢量S-S0 與倒易矢量 r* 平行，r*對應(yīng)的晶面為（hkl）。晶面與r* 垂直，并將入射光束S0和反射光束S的夾角平分。因此可將（hkl）看成是S0與S的反射面，于是按幾何關(guān)系得到：衍射矢量三角形衍射矢量三角形S是單位矢量，故.sin21sin2dd于是有 那些落在球面上的倒易點那些落在球面上的倒易點才能產(chǎn)生衍射才能產(chǎn)生衍射! 以以X射線波長的倒數(shù)射線波長的倒數(shù)1/為半徑為半徑畫一球（畫

44、一球（反射球）反射球）。 X射線沿球的直徑方向入射。射線沿球的直徑方向入射。 以以X射線傳出球面的那一點作射線傳出球面的那一點作為晶體倒易點陣原點，并將該為晶體倒易點陣原點，并將該倒易點陣倒易點陣引入引入。與反射球面相交的結(jié)點所對應(yīng)與反射球面相交的結(jié)點所對應(yīng)的晶面均可參與反射。球心與的晶面均可參與反射。球心與該結(jié)點的聯(lián)線，即使衍射方向。該結(jié)點的聯(lián)線，即使衍射方向。 O3.5.3 衍射的厄瓦爾德圖解衍射的厄瓦爾德圖解 反射球如何與倒易空間相結(jié)合？反射球如何與倒易空間相結(jié)合？a*b*厄瓦爾德圖解：衍射矢量方程與倒易點陣結(jié)合，厄瓦爾德圖解：衍射矢量方程與倒易點陣結(jié)合，表示衍射條件與衍射方向表示衍射條

45、件與衍射方向反射球中的反射球中的衍射矢量衍射矢量與與倒易矢量倒易矢量的等同，直接把正空間與的等同，直接把正空間與倒空間聯(lián)系起來了。倒空間聯(lián)系起來了。 應(yīng)用之一：產(chǎn)生衍射的極限條件應(yīng)用之一：產(chǎn)生衍射的極限條件dd21sin2，即d112所以，（所以，（1 1）要想探測到晶面間距為）要想探測到晶面間距為d d的衍射斑點，要滿足上述條件。（的衍射斑點，要滿足上述條件。（2 2）對于立方體系，要得到至少一個衍射斑點（線條）則必須要求對于立方體系，要得到至少一個衍射斑點（線條）則必須要求 d 2/ L不能得到這個晶面的衍射斑點不能得到這個晶面的衍射斑點倒易球S0反射球O反射面900思考題思考題 在實際電

46、子與在實際電子與X射線衍射測量中，得到的衍射射線衍射測量中，得到的衍射斑點或者衍射線條的數(shù)目是有限的嗎？應(yīng)用厄斑點或者衍射線條的數(shù)目是有限的嗎？應(yīng)用厄瓦爾德圖解如何解釋？瓦爾德圖解如何解釋？答：因為入射答：因為入射X X（或者電子）射線的波長有限，因（或者電子）射線的波長有限，因此反射球的大小是有限的。而衍射信號（斑點或此反射球的大小是有限的。而衍射信號（斑點或者線條）是反射球與倒易點（或者倒易球，如果者線條）是反射球與倒易點（或者倒易球，如果是粉末多晶）的交點，所以只有落在反射球內(nèi)的是粉末多晶）的交點，所以只有落在反射球內(nèi)的倒易點，才倒易點，才有可能有可能稱為衍射斑點，在稱為衍射斑點，在X

47、X射線衍射射線衍射中，成為衍射線條。所以可以說衍射斑點是有限中，成為衍射線條。所以可以說衍射斑點是有限個倒易點。個倒易點。思考題思考題 結(jié)合厄瓦爾德圖解，論述衍射斑點與倒易點結(jié)合厄瓦爾德圖解，論述衍射斑點與倒易點的關(guān)系。的關(guān)系。答：衍射斑點表達(dá)了有限個倒易點。衍射斑點的答：衍射斑點表達(dá)了有限個倒易點。衍射斑點的個數(shù)取決于入射線的波長。個數(shù)取決于入射線的波長。勞厄方程與布拉格方程的一致性勞厄方程與布拉格方程的一致性（另一種解釋：備份版本）（另一種解釋：備份版本）根據(jù)勞埃方程，我們現(xiàn)在要根據(jù)勞埃方程，我們現(xiàn)在要證明證明這樣的這樣的事實事實: :(1)(1)在在h=nhh=nh* *、k=nkk=n

48、k* *、l=nll=nl* *的衍射中，晶面的衍射中，晶面 指標(biāo)為（指標(biāo)為（h h* *k k* *l l* *）的平面點陣組中的每）的平面點陣組中的每 一點陣平面都是一點陣平面都是反射面反射面; ;(2)(2)其中兩相鄰點陣平面上的原子所衍射其中兩相鄰點陣平面上的原子所衍射X X射射 線的光程等于波長的整數(shù)倍線的光程等于波長的整數(shù)倍nn。 3.5 勞厄方程與布拉格方程的等效性勞厄方程與布拉格方程的等效性設(shè)設(shè)X X射線在入射方向的單位向量為射線在入射方向的單位向量為S S0 0，衍射方向的單位向量為，衍射方向的單位向量為S S，空間點陣的三個單位平移向量為，空間點陣的三個單位平移向量為a a

49、、b b和和c c，衍射矢量方程，衍射矢量方程兩端分別乘以兩端分別乘以a, b, ca, b, c： llckbhacsscklckbhabssbhlckbhaassa0003.5.1 衍射矢量與勞厄方程衍射矢量與勞厄方程設(shè)衍射束單位矢量設(shè)衍射束單位矢量S與點陣三個晶軸與點陣三個晶軸a、b、c間夾角分別為間夾角分別為 、 、 ；入射束單；入射束單位矢量位矢量S0與點陣三個晶軸間夾角分別為與點陣三個晶軸間夾角分別為 、 、 。 123123lckbha332211coscoscoscoscoscoslckbha332211coscoscoscoscoscos勞厄方程勞厄方程ccbbaa,令由矢量方程：由矢量方程：llckbhacsscklckbhabssbhlckbhaassa000可得到下列表達(dá)：可得到下列表達(dá)： 因為兩個向量的數(shù)量積等于零表示兩個向量互相因為兩個向量的數(shù)量積等于零表示兩個向量互相垂直，所以從上式可知向量垂直，所以從上式可知向量SSSS0 0與向量與向量 AB,BC,CA AB,BC,CA 垂直垂直. .這說明這說明S-SS-S0 0與與ABCABC所組成的平面垂直，也就所組成的平面垂直，也就是與平面點陣組