微積分第二章 極限及連續(xù)

1、極限的產(chǎn)生過程極限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是必須經(jīng)過歷代古極限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是必須經(jīng)過歷代古人的思考與實(shí)踐一步一步漸漸積累起來的，它也是社會實(shí)人的思考與實(shí)踐一步一步漸漸積累起來的，它也是社會實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)是踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對無限的對無限的恐懼恐懼”，他們避免明顯的，他們避免明顯的“取極限取極限”，而是借助于間接證，而是借助于

2、間接證法法歸謬法來完成有關(guān)的證明。歸謬法來完成有關(guān)的證明。微積分I 第二章 極限與連續(xù)2022-5-91微積分I 第二章 極限與連續(xù)到了到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中“指指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。 極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。極限思想的

3、進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積研究運(yùn)動、變化過程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。分的社會背景。2022-5-92微積分I 第二章 極限與連續(xù) 起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，

4、后來起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。當(dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人極限思想。當(dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊。到了們的懷疑與攻擊。到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限作出過各自的定義。到了并且都對極限作出過各自的定義。到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，

5、比較完整地闡述了極限概念及其柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論。理論。2022-5-93微積分I 第二章 極限與連續(xù)我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)名著我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的哲學(xué)名著莊子莊子記載著惠施的一句名言記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。一尺之錘，日取其半，萬事不竭?！币簿褪钦f，從一尺長的也就是說，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時(shí)間的流逝，竿會越來竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時(shí)間的流逝，竿會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠(yuǎn)不會等于零。這更是從越短，長度越來越趨近于零，但又永遠(yuǎn)不會等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。直觀上體現(xiàn)了極限思想

6、。 因此，極限是事物發(fā)展的一中趨勢，只需要無限接近即可，因此，極限是事物發(fā)展的一中趨勢，只需要無限接近即可，不必相等。因此，在這一章里不必相等。因此，在這一章里, 我們將建立極限的基本概念，我們將建立極限的基本概念，討論極限的基本性質(zhì)與計(jì)算方法討論極限的基本性質(zhì)與計(jì)算方法, 在此基礎(chǔ)上介紹連續(xù)函數(shù)的在此基礎(chǔ)上介紹連續(xù)函數(shù)的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì). 2022-5-94第二章、極限與連續(xù)第二章、極限與連續(xù)第一節(jié)：數(shù)列的極限一一. . 數(shù)列概念數(shù)列概念二二. . 數(shù)列極限數(shù)列極限三數(shù)列極限的性質(zhì)三數(shù)列極限的性質(zhì)一一. .數(shù)列概念數(shù)列概念定義定義2.1 是定義在正整數(shù)

7、集合上的函數(shù), 當(dāng)自變( )nyf n 量n 按正整數(shù)的順序取值時(shí), 稱函數(shù)值 相應(yīng)排列成的一串?dāng)?shù)ny(1),(2),( ),fff n為數(shù)列數(shù)列, 簡記為 f(n), f(n)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)(或通項(xiàng)). 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng), 第n項(xiàng)例例1：,21nny ,21,41,81,.161例例2：,1nyn, 1,21,31,.41例例3：,2) 1(1nny, 0, 1,.1 , 0微積分I 第二章 極限與連續(xù)2022-5-96數(shù)0, 此時(shí), 我們就說數(shù)列 yn 以 0為極限.二二. . 數(shù)列極限數(shù)列極限 對于數(shù)列 yn , 我們需要研究的問題是:當(dāng)n無限增大時(shí)(記為n ), 數(shù)列的一般

8、項(xiàng) yn 的變化趨勢. 特別地, 當(dāng)n無限增大時(shí), 如果 yn 能與某個(gè)確定的常數(shù)a無限接近, 則稱常數(shù)a為數(shù)列 yn 當(dāng) n 時(shí)的極限. 1n, 不難看出, 當(dāng)n 時(shí), yn 無限地趨近于常考察數(shù)列與常數(shù) 0的接近程度可用ny10nyn2022-5-97微積分I 第二章 極限與連續(xù)無論給定多么小的正數(shù), 在 n無限增大的變化過程中, 總有那么一個(gè)時(shí)刻N(yùn) , 在這個(gè)時(shí)刻以后（即nN 或 n 充分大以后）,1,nyn100nyn 由此可見, 對于數(shù)列 都小于那個(gè)正數(shù). 2022-5-98微積分I 第二章 極限與連續(xù)11,10要使110nyn則當(dāng) n10 時(shí),nx都能滿足與0的距離小于1.10 即

9、對于第10項(xiàng) 若再取一個(gè)更小的正數(shù)21,100 要使21 0,nxn則當(dāng) n100時(shí), 即自第100項(xiàng)后的任一項(xiàng)y101, y102, 都滿足10;100ny 來表示. 若令小于某個(gè)正數(shù)y11, y12 , 都能滿足10.10ny以后的任一項(xiàng)2022-5-99微積分I 第二章 極限與連續(xù)意給定的 , 總存在正整數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí), 不等式0 ,nya lim nnya ()nya n 如果不存在這樣的常數(shù) , 則稱數(shù)列yn沒有極限, 或者稱數(shù)列yn是發(fā)散發(fā)散的. 定義定義2 .2 設(shè) yn 為一數(shù)列, 如果存在常數(shù), a 對于任恒成立, 則稱常數(shù)a是數(shù)列 yn 當(dāng)n趨于無窮大時(shí)的極限, 或稱yn

10、收斂于 . a記為2022-5-910微積分I 第二章 極限與連續(xù)例1: 用極限定義證明：1( 1) lim1nnnn 證明證明 對任意給定的 , 要使不等式 0 nya 1(1)1nnn 1n 當(dāng)nN時(shí), 恒有0, 1( 1)1nnn 故1( 1) lim1nnnn 1n成立, 只需則對于任意給定的 1,N即可. 若取2022-5-911微積分I 第二章 極限與連續(xù)nya 注注 (1) 在數(shù)列極限定義中在數(shù)列極限定義中, 可以任意給定是很重要可以任意給定是很重要 的的, 如果讓正數(shù)如果讓正數(shù)任意小任意小, 則不等則不等 式式充分表達(dá)出充分表達(dá)出yn 與與a無限接近的意思無限接近的意思.(2)

11、 正整數(shù)正整數(shù)N與與有關(guān)有關(guān), 隨著隨著的給定而可選定的給定而可選定. (3) 數(shù)列極限定義只能驗(yàn)證某一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的極限數(shù)列極限定義只能驗(yàn)證某一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列的極限, 但不能用于求數(shù)列的極限但不能用于求數(shù)列的極限.2022-5-912微積分I 第二章 極限與連續(xù)1 lim02nn 11022nn 210,log,N 證明證明對任意給定的對任意給定的 0, 要使不等式要使不等式12,n 成立成立, 只需只需.21logn 則當(dāng)則當(dāng)n N時(shí)時(shí), 恒有恒有102n 1lim0.2nn 例例2 用極限定義證明：用極限定義證明：根據(jù)數(shù)列極限的定義：根據(jù)數(shù)列極限的定義：2022-5-913微積分I 第

12、二章 極限與連續(xù).32P90）（，練習(xí)：2022-5-9微積分I 第二章 極限與連續(xù)14. 01limnn證明：, 0證明：對|01|nn1,成立.12n只需,12N因此，取時(shí)，有當(dāng)Nn 成立|01|n. 01limnn三數(shù)列極限的性質(zhì)三數(shù)列極限的性質(zhì) 定理定理2.1.1 (極限的唯一性極限的唯一性) 如果數(shù)列如果數(shù)列 yn 收斂收斂, 則其極限唯一則其極限唯一.定理定理2.1.2 (有界性有界性) 如果數(shù)列如果數(shù)列 yn 收斂收斂, 則則 yn 一定有界一定有界. 注注 上述定理的逆不成立上述定理的逆不成立. 數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件, 有界數(shù)列不一定收斂有界

13、數(shù)列不一定收斂. 例如例如limnnya 0(0),或aa 定理定理2.1.3 (保號性保號性) 如果如果 ,且且nN 0 ( 0).nnyy 則存在正整數(shù)則存在正整數(shù)N, 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 恒有恒有2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一一. 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念二二. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)一一. 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念 在在2.1中中, 我們討論了特殊函數(shù)我們討論了特殊函數(shù)數(shù)列數(shù)列f(n)的極限的極限, 現(xiàn)在我現(xiàn)在我們來討論一般函數(shù)們來討論一般函數(shù)f(x)的極限的極限. 由于一般函數(shù)由于一般函數(shù) f(x)中的自變量中的自變量x 的變化趨勢通常可分為的變化趨勢通?？煞譃椤?x ”和和“

14、x x0”兩種兩種, 所以我們將所以我們將分兩種情況分別予以討論分兩種情況分別予以討論. 1. 當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù)(x)的極限的極限 仿照數(shù)列極限的定義仿照數(shù)列極限的定義, 下面我們給出下面我們給出 x 時(shí)時(shí), (x)的極限的極限的定義的定義. 定義定義2.3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) (x)當(dāng)當(dāng) 大于某一正數(shù)時(shí)有定義，大于某一正數(shù)時(shí)有定義，x如果存在如果存在常數(shù)常數(shù) A, 對于任意給定的對于任意給定的 , 總存在總存在00 x 使得當(dāng)使得當(dāng)x 滿足不等滿足不等式式 時(shí)時(shí), 不等式不等式xX|( )|f xA恒成立恒成立, 則稱常數(shù)則稱常數(shù) A為當(dāng)為當(dāng) x 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)(x) 的極限的極限, 或稱當(dāng)

15、或稱當(dāng)x 時(shí)時(shí)(x) 收斂于收斂于A, ,記作記作lim( )xf xA( )f xA（當(dāng)（當(dāng) x ）或或例例1 證明證明1 lim0 (0 )kxkx 證明證明1110,( )0,kkkf xAxxx 因因?yàn)闉橐故?110,()0, 則取正數(shù)則當(dāng)時(shí), 有kXxX 11(.kx 只只 要要) ) 即即 可可10kx 1lim0.kxx 恒恒成成立立. .故故由由函函數(shù)數(shù)極極限限的的定定義義知知 如果如果0 xx 把上面定把上面定) 那么只要那么只要且無限增大且無限增大(記作記作就可得就可得xXxXlim( )xf xA義中的義中的改為改為的定義的定義.x0 xx 同樣同樣,而而無限增大無限

16、增大 (記作記作) 那么只要把那么只要把xXxX 便得便得lim ( )xf xA的定義的定義. .改為改為由定義由定義2.2.1可以證明：可以證明：的充要條件是的充要條件是lim( )xf xAlim ( ) lim ( )xxf xf xA00lim( ) ( ) ()或 xxf xAf xAxx 定義定義2.4設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) (x) 在在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義, 如如( )f xA 2. 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) (x) 的極限的極限0 xx00,0, 0 xx 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,果存在常數(shù)果存在常數(shù)A,恒成立恒成立, 則稱常數(shù)則稱常數(shù)A為當(dāng)為當(dāng) x x0 時(shí)函數(shù)時(shí)

17、函數(shù)(x)的的極限極限. 記為記為00 xx 0.xx 注注表示表示(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 是否有定義并無關(guān)系是否有定義并無關(guān)系 , 我們關(guān)心的是我們關(guān)心的是 x x0 時(shí)時(shí), (x) 的變化趨勢而不是的變化趨勢而不是 (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處是否有意義處是否有意義.x x0 時(shí)時(shí) (x) 有沒有極限有沒有極限, 與與222( )1xf xx 222( )41xf xAx 只須只須1.2x 0, 0, 01 2當(dāng)時(shí)，x 2122lim41xxx 由于當(dāng)由于當(dāng) x=1 時(shí)時(shí),無定義無定義, 則當(dāng)則當(dāng) x1 時(shí)時(shí), 恒有恒有22241xx 成立成立. 即即2221xx 0, 要使要使 , 即即

18、( )f xA 故可取故可取2 2122 lim41xxx 證證明明證明證明 例例3.lim00 xxxx例：利用定義證明,)(:xxf設(shè)證明要使對于任意給定的, 0成立|)(|00 xxxxf.就可以了只需取時(shí)，當(dāng)|00 xx成立|)(|0 xxf.lim00 xxxx在定義在定義2.2.2中中, 極限過程極限過程 x x0包括了包括了x 同時(shí)從同時(shí)從 x0的左、右的左、右兩側(cè)無限的趨于兩側(cè)無限的趨于x0 . 但是但是, 有時(shí)我們只能或只需考慮有時(shí)我們只能或只需考慮 x 僅從僅從 x0的左側(cè)或右側(cè)趨于的左側(cè)或右側(cè)趨于 x0 （記為（記為 x x0- 或或 x x0 +）時(shí)）時(shí), f(x)的變

19、的變化趨勢化趨勢. 例如函數(shù)例如函數(shù)2yx只能從只能從2的右側(cè)趨于的右側(cè)趨于2, 從而就必須引進(jìn)函數(shù)左、右極限的概念從而就必須引進(jìn)函數(shù)左、右極限的概念. 00lim( )(+0)xxf xAf xA 或或 定義定義2.5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0右側(cè)某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義右側(cè)某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的對于任意給定的 0, 總存在總存在 0, 使得使得當(dāng)當(dāng)x 滿足不等式滿足不等式00 xx 時(shí)時(shí), , 有有( ) f xA 恒成立恒成立, 那么常數(shù)那么常數(shù)A就叫做函數(shù)就叫做函數(shù)(x)當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)的時(shí)的右極限右極限, 記做記做00lim( ) (-0)

20、xxf xAf xA 或或 就可以得到在就可以得到在 x0處的處的左極限左極限. 記為記為00 ,xx 類似地類似地, 在在 的定義中的定義中, 把把 改為改為0lim( ) xxf xA 00 xx 左極限和右極限統(tǒng)稱為左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限單側(cè)極限. 由極限定義易知以下的由極限定義易知以下的充要條件成立充要條件成立.定理定理2.1 函數(shù)函數(shù) y = (x) 當(dāng)當(dāng) x x0 時(shí)極限存在且為時(shí)極限存在且為 A 的充的充0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA 要條件是函數(shù)要條件是函數(shù)y = (x) 的左極限和右極限都存在且等于的左極限和右極限都存在且

21、等于A. 即即的極限是否存在？時(shí)研究當(dāng)例：設(shè))(,0. 0, 0, 1)(xfxxxxxf解：由于1lim)(lim00 xxxf. 1xxfxx00lim)(lim. 0).(lim)(lim00 xfxfxx顯然，.)(lim2.10不存在，根據(jù)定理xfx. 6 ,90P練習(xí)：不存在。證明：xxx|lim. 60 xxx|lim0證明：xxx0lim) 1(lim0 x; 1xxx|lim0 xxx0lim1lim0 x; 1).(lim)(lim00 xfxfxx顯然，.)(lim2.10不存在，根據(jù)定理xfx例例 4解解 0lim( )xf x 0lim(1)xx 1, 0( )1,

22、0 xxf xxx 討論當(dāng)討論當(dāng) 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) 的極限的極限.0 x當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 有有由于由于0lim( )xf x 0lim( )xf x 0lim ( )xf x，所以，所以不存在不存在.例例5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 討論討論 是否存在是否存在?1( )xf xe 0lim( )xf x解解0lim( )xf x 0lim( )xf x 因此因此 不存在不存在.0lim( )xf x10lim0 xxe 10limxxe 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 有有二二. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì) 由于函數(shù)極限的定義按自變量的變化過程不同有各種不由于函數(shù)極限的定義按自變量的變化過程不同有各種不同

23、的形式，下面僅以同的形式，下面僅以定理定理2.2.2(唯一性唯一性) 若若1() .n 注注 若極限不唯一若極限不唯一, 變化趨勢不定變化趨勢不定. 例如例如0lim( )xxf xA 0lim( )xxf x于函數(shù)極限性質(zhì)的一些定理于函數(shù)極限性質(zhì)的一些定理. 至于其他極限形式的性質(zhì)至于其他極限形式的性質(zhì), 只只要相應(yīng)地作一些修改便可得出要相應(yīng)地作一些修改便可得出.這種形式給出關(guān)這種形式給出關(guān)存在存在, 則極限值則極限值 A 唯一唯一.定理定理2.2.3 (局部有界性局部有界性) 若若證證取取 =1, 因?yàn)橐驗(yàn)?lim( ),xxf xA 則存在則存在0, 00 xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),( )1f

24、xA于是于是, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)00 xx ( )( )( )1f xf xAAf xAAA 取取1,MA當(dāng)當(dāng) 有有00 xx ( )f xM ( )f xM 0lim( )xxf xA 存在存在, 那么存在那么存在00 xx 常數(shù)常數(shù)M0和和0，使得當(dāng)，使得當(dāng)時(shí)時(shí),必存在那么一個(gè)時(shí)刻必存在那么一個(gè)時(shí)刻, 在此時(shí)刻以后在此時(shí)刻以后, 就恒有就恒有( )2Af xA 即即( )022AAf xA0, 證證設(shè)設(shè) A 0取正數(shù)取正數(shù) 2A ，由由 lim(x)= A 的定義的定義,定理定理2.2.4 (局部保號性局部保號性) 若若0lim()xxfxA 00 xx 且且 A 0 (或或 A 0, 使得當(dāng)使

25、得當(dāng)時(shí)時(shí), (x) 0 (或或(x) 0).2.3 無窮小與無窮大無窮小與無窮大一一. .無窮小無窮小二二. .無窮大無窮大三三. .無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì) 本節(jié)將討論在理論和應(yīng)用上都比較重要的兩種變量：本節(jié)將討論在理論和應(yīng)用上都比較重要的兩種變量：無窮小量和無窮大量無窮小量和無窮大量. 為敘述簡便我們用為敘述簡便我們用lim ( )f x來表示在來表示在自變量各種變化過程中函數(shù)的極限自變量各種變化過程中函數(shù)的極限.自變量的變化過程自變量的變化過程, 包包括括xx0 ， xx0 +， xx0 - ， x ， x+ , x - ，n 等等.一一. .無窮小無窮小x定義定義2.3.1 如果在自變

26、量如果在自變量 的某個(gè)變化過程中的某個(gè)變化過程中l(wèi)im ( )0f x ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)為為x在該變化過程中的在該變化過程中的無窮小量無窮小量, 簡稱簡稱無窮小無窮小. 簡單地說簡單地說, 以零為極限的變量稱為無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量. 例如例如1 .xx 是是時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量1lim0 xx .xex 是是時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量lim0 xxe .xex 是是時(shí)時(shí)的的無無窮窮小小量量lim0 xxe 注注 (1) 無窮小是極限為零的變量，不能把它與絕對值很小無窮小是極限為零的變量，不能把它與絕對值很小的非零常數(shù)相混淆的非零常數(shù)相混淆. 在常數(shù)中在常數(shù)中, 只

27、有零可以作為無窮小，但只有零可以作為無窮小，但無窮小卻不一定是零無窮小卻不一定是零. 1lim(2)1xx 12.xx 時(shí)時(shí) 不不是是無無窮窮小小量量(2) 一個(gè)變量一個(gè)變量f(x)是否為無窮小量與其自變量的變化過程是否為無窮小量與其自變量的變化過程有關(guān)有關(guān). 如如2( )1,f xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1x為無窮小量為無窮小量; 當(dāng)當(dāng)x不趨于不趨于1時(shí)時(shí), 則不是無窮小量則不是無窮小量.例例1 自變量自變量x在何變化過程中在何變化過程中, 下列變量下列變量 f (x)為無窮小？為無窮小？21(1) ( )1xf xx ；1(2) 1nxn ；2(3) ( )1.f xx 解解(1) 1,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)

28、時(shí)21( )1xf xx 為為無無窮窮小小; ;(2) ,n 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)11nxn 為為無無窮窮小小; ;(3) 無論無論 x 趨于何值趨于何值, 2 ( )1f xx 都都不不是是無無窮窮小小. .二二. .無窮大無窮大 定義定義2.3.2 如果在自變量如果在自變量x的某個(gè)變化過程中的某個(gè)變化過程中, 函數(shù)函數(shù) f(x)的的絕對值無限增大（即絕對值無限增大（即lim ( )f x ），）， 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(x)為為x在該變在該變化過程中的化過程中的無窮大量無窮大量，簡稱，簡稱無窮大無窮大. 注注 (1) 無窮大量是一個(gè)絕對值可以任意變大的變量無窮大量是一個(gè)絕對值可以任意變大的變量, 而不

29、而不是一個(gè)很大的常量是一個(gè)很大的常量. 當(dāng)當(dāng)( )f x取正值無限增大取正值無限增大(取負(fù)值絕對值取負(fù)值絕對值無限增大無限增大)時(shí)時(shí), 稱為正無窮大量稱為正無窮大量(負(fù)無窮大量負(fù)無窮大量). 注注 (2) 通常通常 是極限不存在的記號是極限不存在的記號. lim ( )f x 例例2 自變量自變量 x 在何變化過程中在何變化過程中, 下列變量為無窮大下列變量為無窮大?(1) ( )ln ;f xx (2) ( );xf xe 2(3) 1;nxn (4) ( )sin.f xx 解解 (1)當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí), 0 x x ( )ln;f xx 為為無無窮窮大大(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), x ;xe

30、為為無無窮窮大大(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),n 21n 為為無無窮窮大大; ;(4) 無論無論 x 趨于何值趨于何值, sinx 都不是無窮大都不是無窮大.三三. .無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的和、差、積仍為無窮小有限個(gè)無窮小的和、差、積仍為無窮小. 性質(zhì)性質(zhì)2 有界變量與無窮小的乘積為無窮小有界變量與無窮小的乘積為無窮小.推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.推論推論2 有極限的變量與無窮小的乘積仍為無窮小有極限的變量與無窮小的乘積仍為無窮小.由上面定理容易得到下面的推論由上面定理容易得到下面的推論.證明從略證明從略.1sinlim0 xxx例：求, 0lim0 xx解：. 1|1sin|x. 01sinlim0 xxx證明證明0lim( ),xxf xA 設(shè)設(shè)下面僅證明下面僅證明 時(shí)的情況時(shí)的情況.0 xx必要性必要性則對任意則對任意 , 存在存在 , 使得使得0 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，恒有時(shí)，恒有00 xx ( )f xA 0( )( ),( )().f xAxxxx 則則其其中中是是無無窮窮小小 當(dāng)當(dāng)( ),f xA 表示為常數(shù)與無窮小之和表示為常數(shù)與無窮小之和.( )f x即即 ( )0f