第10章 壓桿穩(wěn)定教學(xué)課件

1、第10章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念10.1細長壓桿的臨界力歐拉公式10.2壓桿的臨界應(yīng)力10.3壓桿的穩(wěn)定計算10.410.1 壓桿穩(wěn)定性的概念對于拉桿和短粗的壓桿，當(dāng)桿件橫截面上的應(yīng)力超過材料的抗拉、抗壓極限應(yīng)力時，就會發(fā)生破壞。這類桿件的破壞屬強度問題。但對于細長壓桿，在桿內(nèi)的應(yīng)力遠未達到材料的抗壓極限應(yīng)力時，其直線的平衡形式就可能突然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢问?，從而喪失承載能力而發(fā)生破壞。這類桿件的破壞屬穩(wěn)定問題。細長壓桿，由于不能保持原有直線形狀的平衡而突然發(fā)生彎曲破壞的現(xiàn)象，稱為壓桿的失穩(wěn)或屈曲。穩(wěn)定問題與前面研究過的強度、剛度問題一樣，對桿件的設(shè)計是十分重要的，由于鋼材強度高，在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中更

2、要重視穩(wěn)定問題。10.1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿的穩(wěn)定，實質(zhì)上是指受壓桿件保持其原有直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性?！胺€(wěn)定”和“不穩(wěn)定”是針對物體的平衡性質(zhì)而言的，一個小球可能處于的三種平衡狀態(tài)如圖所示。隨遇平衡狀態(tài)介于穩(wěn)定與不穩(wěn)定平衡狀態(tài)之間也稱為臨界狀態(tài)。10.1 壓桿穩(wěn)定性的概念當(dāng)FFcr :加干擾，變?yōu)閺澢?，擾動除去， 繼續(xù)偏移、彎折，原直線平衡是不穩(wěn)定的。當(dāng)F=Fcr :加干擾變?yōu)閺澢胶?，擾動除去， 仍在微彎狀態(tài)下平衡，則稱臨界平衡狀態(tài)。10.1 壓桿穩(wěn)定性的概念 當(dāng)FFcr 時，壓桿處于不穩(wěn)定平衡。喪失其直線形式的 平衡，稱為失穩(wěn)。 臨界力是使壓桿失穩(wěn)的最小荷載，是使壓桿保持直線平衡形式的最

3、大荷載。 壓桿失穩(wěn)后，改變了桿件的受力性質(zhì)，彎曲變形明顯增大,這時壓桿喪失了承載能力，不能正常地工作。為了保證壓桿安全可靠的工作，必須使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿正常工作時的荷載必須小于臨界力（臨界荷載）。10.2 細長壓桿的臨界力歐拉公式10.2.1 兩端鉸支理想壓桿的臨界力按照臨界力作用下，壓桿能在微彎狀態(tài)下平衡這一概念，來導(dǎo)出求臨界力的歐拉公式。截面彎矩：桿的撓曲線近似微分方程為令二階常系數(shù)線性微分方程通解為12sincosvCkxCkxvFxMcr)(EIvFEIxMvcr )(EIFkcr202 vkv10.2 細長壓桿的臨界力歐拉公式邊界條件 x=0，v=0 和 x=l，v=0

4、，確定待定系數(shù)C1 、 C2當(dāng) x=0，v=0 得 C2 =0。當(dāng) x=l，v=0得到1sin0Ckl 注意C2=0 ，C1不可能再等于零，否則v 0由此可知，必須sin0kl 0, 2kl，在kl0的最小解 kl 相應(yīng)于最小的臨界力2 222crFk llEI2cr2 EIFl兩端鉸支細長壓桿臨界力的歐拉公式1sinxvCl兩端鉸支壓桿的撓曲線為半波正弦曲線。10.2 細長壓桿的臨界力歐拉公式10.2.2 其他桿端約束下理想壓桿的臨界力前面推導(dǎo)了兩端鉸支理想壓桿的臨界力計算公式。對其它桿端約束下的壓桿，由于支承形式不同，對桿件的變形有不同的約束作用，其撓曲線形狀不同，臨界力也不相同。其它桿端

5、約束下壓桿臨界力的推導(dǎo)方法與兩端鉸支壓桿相同，不再一一推導(dǎo)。四種常見桿端約束下理想壓桿的臨界力及相關(guān)內(nèi)容列于表10.1中，以便查閱。10.2 細長壓桿的臨界力歐拉公式10.2 細長壓桿的臨界力歐拉公式從表10.1可以看出，當(dāng)材料、桿長和截面形狀、尺寸一定時，理想壓桿的臨界力與桿端約束有關(guān)，桿端約束越強，臨界力越大；各種支承情況下的臨界力計算公式形式相似，只是分母中 前面的系數(shù)不同，因此其統(tǒng)一形式可寫為22220()( )crEIEIFll式中的稱為長度系數(shù)，反映了不同的桿端支承對臨界力的影響，其值見表10.1；l0稱為壓桿的計算長度， l0= l。l10.3 壓桿的臨界應(yīng)力歐拉公式適用于應(yīng)力不

6、超過材料的比例極限p的情況。 細長壓桿在臨界狀態(tài)可維持直線形式的平衡22cr22222cr()FEEIilAAlE 為壓桿失穩(wěn)時橫截面對某一形心主慣性軸的慣性半徑； =l /i 稱為壓桿的長細比或柔度，它反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的綜合影響。/iIA臨界應(yīng)力10.3.1 臨界應(yīng)力和柔度10.3 壓桿的臨界應(yīng)力10.3.2 歐拉公式的適用范圍p22crEP2p= E或?qū)懽鳎?歐拉公式是由撓曲線微分方程推出來的，所以歐拉公式只可在crp的條件下使用，即 P 能使用歐拉公式的壓桿的最小柔度，臨界柔度。 不同的材料，不同的材料，P也不同。也不同。對于對于Q235鋼，鋼， E2

7、06 GPa，p=200MPa，有，有229p6p206 10100200 10E歐拉公式的適用條件 p的壓桿（用歐拉公式求臨界力），稱為大柔度桿或細長壓桿，壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)； p的壓桿（不能使用歐拉公式），稱為中小柔度桿或中長壓桿、短粗桿，發(fā)生彈塑性失穩(wěn)或強度破壞。10.3 壓桿的臨界應(yīng)力10.3.3 臨界應(yīng)力總圖 a、b是與材料有關(guān)的常數(shù)，由試驗測定，其量綱同應(yīng)力。當(dāng)cr=s 或b時，其相應(yīng)的柔度0為中長桿柔度的下限。 又稱中柔度桿，失穩(wěn)時，橫截面上的應(yīng)力比例極限，故屬于彈塑性穩(wěn)定問題。對于中長桿，一般采用經(jīng)驗公式計算其臨界應(yīng)力，如直線型經(jīng)驗公式：crab0P 中長桿0P0()sbab 0

8、62Q235鋼，有10.3 壓桿的臨界應(yīng)力將發(fā)生強度破壞。s短粗桿crsb()或小柔度桿：同一種材料制成的壓桿，根據(jù)柔度可將壓桿分為三類：大柔度壓桿或細長壓桿（ p）中柔度壓桿或中長壓桿（0 p）小柔度壓桿或短粗壓桿（ 0）22crcr22,()EEIFl,crcrcrabFA(),crsbcrcrFA或臨界應(yīng)力總圖：臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系曲線。 短粗桿的臨界應(yīng)力與柔度無關(guān)； 細長壓桿、中長壓桿越細長越容易失穩(wěn)。中長短粗細長10.3 壓桿的臨界應(yīng)力【例10.1】如圖所示圓鋼壓桿，由Q235鋼制成，已知桿長l=2m，直徑d=100mm。已知鋼材的彈性模量E=200GPa，試計算此壓桿的臨界力?！窘?/p>

9、】：查表得Q235鋼的=100。該壓桿為圓截面桿件，圓截面桿件對其任一形心軸的慣性半徑均相同，其值為42d100mm6425mm444IdiAd壓桿一端固定一端自由，其長度系數(shù)=2。故壓桿的柔度為32 2 1016010025plmmimm 該壓桿屬大柔度桿，其臨界力采用歐拉公式計算3429222(100 10)200 10 Pa64605kN()(2 2m)crmEIFl10.3 壓桿的臨界應(yīng)力【例10.2】矩形截面鋼壓桿由Q235鋼制成，如圖所示。已知壓桿長度l=6m，截面為bh=40mm90mm，彈性模量E=200GPa。計算此壓桿的臨界應(yīng)力?！窘狻浚翰楸淼肣235鋼的p=100。截面對

10、y軸、z軸的慣性半徑分別為壓桿一端固定一端鉸接，其長度系數(shù)=0.7，故該壓桿屬大柔度桿，其臨界力采用歐拉公式計算40mm11.55mm2 32 3yyIbiA90mm25.98mm2 32 3zzIhiA30.7212110011.55 10ypylmim22922200 10 Pa135MPa121cryE10.4 壓桿的穩(wěn)定計算10.4.1 壓桿的穩(wěn)定條件當(dāng)壓桿中的應(yīng)力達到臨界應(yīng)力cr時，壓桿將喪失穩(wěn)定。為了保證壓桿能安全工作，壓桿應(yīng)滿足的穩(wěn)定條件為 NcrststFAn式中：st為穩(wěn)定許用應(yīng)力；nst為穩(wěn)定安全系數(shù)。若令 st NFA上式為壓桿穩(wěn)定條件的實用計算式。式中為壓桿材料的許用壓

11、應(yīng)力；稱為穩(wěn)定系數(shù)，當(dāng)材料一定時，由于臨界應(yīng)力cr和穩(wěn)定安全系數(shù)nst均隨變化，所以是的函數(shù)；式中A為壓桿的橫截面面積，因為壓桿的臨界力是根據(jù)整根桿的失穩(wěn)確定的，所以在穩(wěn)定計算中，A按桿件的毛截面面積計算，不考慮釘孔等對截面局部削弱的影響。10.4 壓桿的穩(wěn)定計算鋼結(jié)構(gòu)中的軸心受壓構(gòu)件除了短粗桿或截面有較大削弱的桿有可能發(fā)生強度破壞外，一般情況下均是整體失穩(wěn)破壞。國內(nèi)外因壓桿突然失穩(wěn)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)物倒塌的重大事故屢有發(fā)生，并且往往是在其強度有足夠保證的情況下突然失去整體穩(wěn)定，故須特別加以重視。我國鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范根據(jù)國內(nèi)常用軸心受壓構(gòu)件的截面形式、尺寸以及加工條件等，將截面分為a、b、c、d四種類型，

12、并考慮鋼材品種和壓桿柔度，以表格的形式給出了壓桿穩(wěn)定系數(shù)，表10.3、10.4為部分值。我國木結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范按照樹種的強度等級規(guī)定了穩(wěn)定系數(shù)值的計算公式：TC17、TC15和TB20級：75211807523000TC13、TC11和TB17及TB15級：9121165912280010.4 壓桿的穩(wěn)定計算10.4 壓桿的穩(wěn)定計算10.4 壓桿的穩(wěn)定計算【例10.3】如圖所示三角架中，BC為圓截面鋼桿（Q235鋼a類），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的許用應(yīng)力=160MPa。試：校核BC桿的穩(wěn)定性；從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F1max；從BC桿的強度考慮，求結(jié)

13、構(gòu)所能承受的最大荷載F2max，并與F1max比較?！窘狻浚?. 校核BC桿的穩(wěn)定性計算BC桿的受力0yF 0sin450NBCFF049.5kNsin45NBCFF計算桿的柔度0.04m0.01m44IdiABC桿為兩端鉸支壓桿1 12 1m141.40.01mli查表10.3得0.376 10.4 壓桿的穩(wěn)定計算【例10.3】如圖所示三角架中，BC為圓截面鋼桿（Q235鋼a類），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的許用應(yīng)力=160MPa。試：校核BC桿的穩(wěn)定性；從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F1max；從BC桿的強度考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F2max，并與

14、F1max比較?！窘狻浚海?） 校核BC桿的穩(wěn)定性BC桿的橫截面面積 BC桿的穩(wěn)定性滿足要求。10.4 壓桿的穩(wěn)定計算【例10.3】如圖所示三角架中，BC為圓截面鋼桿（Q235鋼a類），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的許用應(yīng)力=160MPa。試：校核BC桿的穩(wěn)定性；從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F1max；從BC桿的強度考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F2max，并與F1max比較。【解】：2. 按BC桿的穩(wěn)定條件，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F1max ,max3260.376 1.26 10 m160 10 Pa75.8kNNBCFA001max,maxsin45

15、75.8kN sin4553.6kNNBCFF10.4 壓桿的穩(wěn)定計算【例10.3】如圖所示三角架中，BC為圓截面鋼桿（Q235鋼a類），已知F=35kN，a=1m，d=0.04m，材料的許用應(yīng)力=160MPa。試：校核BC桿的穩(wěn)定性；從BC桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F1max；從BC桿的強度考慮，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F2max，并與F1max比較?！窘狻浚?. 按BC桿的強度條件，求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F2max ,max3261.26 10 m160 10 Pa201.6kNNBCFA02max,max0sin45201.6kN sin45142.6kNNBCFFF1ma

16、x與F2max比較可知，BC桿的穩(wěn)定承載力比強度承載力小的多，忽略壓桿的穩(wěn)定問題將是十分危險的。10.4 壓桿的穩(wěn)定計算10.4.2 提高壓桿穩(wěn)定性的措施選擇合理的截面形式在截面面積相同的情況下，應(yīng)盡可能將材料布置在遠離中性軸的地方，以提高慣性矩I的值，增大慣性半徑i，從而減小壓桿的柔度，提高壓桿的臨界應(yīng)力。例如，采用空心圓截面比用實心圓截面合理；四根角鋼分散布置在截面的四角比集中布置在截面形心附近合理。10.4 壓桿的穩(wěn)定計算(2)減小壓桿的長度柔度與桿長l成正比，為減小柔度，提高臨界應(yīng)力，應(yīng)盡可能減小壓桿的長度l。如可在壓桿中點增設(shè)支座，使其計算長度減為原來的一半，這時臨界應(yīng)力為原來的4倍

17、。10.4 壓桿的穩(wěn)定計算加強桿端約束桿端約束越強，壓桿長度系數(shù)越小，柔度越小，臨界應(yīng)力越大，所以應(yīng)盡可能加強桿端約束。如將兩端鉸支的壓桿改為兩端固定時，其計算長度會減少一半，臨界應(yīng)力為原來的4倍。應(yīng)該指出，臨界應(yīng)力也與材料的性能有關(guān)。對細長桿，由歐拉公式可知，臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E成正比，但對同類材料，如鋼材，由于各種鋼材的彈性模量E大致相同，所以采用高強度鋼材并不能有效提高壓桿的臨界應(yīng)力，因此為提高壓桿穩(wěn)定性而采用價格較高的高強度鋼材是不合適的；對中長桿和短粗桿，由于臨界應(yīng)力與材料強度有關(guān)，選用強度較高的優(yōu)質(zhì)材料可以明顯提高壓桿的臨界應(yīng)力。p 本章小結(jié) 受壓桿件的穩(wěn)定問題，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中占有重要的地位。壓桿穩(wěn)定是指壓桿能保持其原有直線平衡形式的穩(wěn)定性。壓桿失穩(wěn)是指壓桿不能保持原有直線平衡形式的穩(wěn)定而發(fā)生彎曲破壞。壓桿由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力界限值，稱為臨界力。 細長壓桿失穩(wěn)時，橫截面上的應(yīng)力遠小于材料的強度極限應(yīng)力。因此，僅按強度要求設(shè)計壓桿是十分危險的。 計算臨界力Fcr和臨界應(yīng)力cr的歐拉公式分別為 只有對大柔度桿（細長桿），即 P的桿，才能應(yīng)用歐拉公式