高中三年級二輪復(fù)習(xí)專題：平面向量(老師)文科

1、專題平面向量考點(diǎn)整合1. 向量的概念(1) 零向量模的大小為 0,方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.a(2) 長度等于1個(gè)單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為(3) 方向一樣或相反的向量叫共線向量(平行向量).(4) 如果直線I的斜率為k,那么a = (1, k)是直線I的一個(gè)方向向量.(5) 向量的投影：|b|cos a, b叫做向量b在向量a方向上的投影.2. 向量的運(yùn)算(1) 向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運(yùn)算的根底，應(yīng)熟練掌握其運(yùn)算規(guī)律.(2) 平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，而不是向量，要注意運(yùn)算數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律與消去律.a b運(yùn)

2、算結(jié)果不僅與a, b的長度有關(guān)而且與a與b的夾角有關(guān)，即 a b = |a|b|cos a, b>.3. 兩非零向量平行、垂直的充要條件假設(shè) a= (x1, y1), b = (x2, y2),那么 a/ b? a = b? xy X2y1 = 0.a 丄 b? a b = 0? X1X2 + y1y2= 0.可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問題，但二者不能混淆.真題感悟1. (2021 )在四邊形ABCD中，AC= (1,2), BD = (-4,2)，那么該四邊形的面積為 ()A. 5B. 2 ,5C . 5D . 10答案C解析因?yàn)锳c bd = 0, AC丄 BD.四邊形 AB

3、CD 的面積 S= |AC|BD| = |x 5X 2 5 = 5.2. (2021 )點(diǎn) A( 1,1)、B(1,2)、C(- 2, 1)、D(3,4),那么向量 AB在CD方向上的投影為(A. 2 B. 2C.3、23 '152 D. - 2答案A3. (2021 )向量a, b, c在正方形網(wǎng)格中的位置如下列圖，假設(shè)c= ?a+ Q(人 吐R)，那么b=答案4解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，那么a = ( 1,1), b= (6,2), c= (- 1,3)，根據(jù) c= ?a+ Q? ( 1, 3) = X 1,1) + p(6,2)有?d- 6 卩=1,汁 2 尸3

4、,解 之得 X= 2 且 尸- 1，故 '=4.2 卩4. (2021 )在平行四邊形 ABCD中，AD = 1 , / BAD = 60 ° E為CD的中點(diǎn).假設(shè)AC BE= 1,那么AB的長為1答案1解析在平行四邊形 ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，那么BE= FD ,BE= FD = AD AB ,> > > 又 AC= AD + AB ACBE = (AD + AB) (AD qAB)=Ad21ad Ab+Ad Ab |Ab2=|AD|2 + |AD|AB|cos60 2|Ab|21、/1 t 1 t 2 彳=1+ -X 2|AB| 2|AB|2= 1.

5、1tTT 1 - |AB|AB|= 0，又 |AB|H 0, |AB|= 35. (2021 )如圖，在矩形 ABCD中，AB = '2, BC = 2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上,答案2解析方法一坐標(biāo)法.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么A(0,0), B( 2, 0), E( 2, 1), F(x,2).故AB= ( ,2, 0), AF = (x,2), AE = ( .2, 1),BF = (x .2, 2), AB aF = ( 一 2, 0) (x,2)= 2x.又AB Af = . 2, x= 1. BF = (1 一 2, 2

6、). AEbF = (-；2, 1)(12, 2)= '2 2 + 2 =2 方法二用AB, BC表示 AE, BF是關(guān)鍵.設(shè)DF = xAB,那么 CF = (x 1)AB.AB AF = Ab (AD + DF)=AB (AD + xAB)= xAB2= 2x, 又 Ab af = .'2, 2x= 2, Ae ebf = (Ab + BE) - bC+t 1 t t '2=AB + 2BC BC+ 22 1=弩1 AB2+*bC2='2 1 X 2 + * 4= 22 2BF = BC+ CF = Be + 豎1 Ab 富-1 Ab 2Ab題型與方法題型一

7、向量的概念與線性運(yùn)算n【例 11 (1)向量 a= (cos a, 2), b = (sin a, 1)，且 a II b，那么 tan a-等于()1 1A . SB.gC . 3D. 3 (2)|O)A|= 1 , |OB|= ,3, 6a OB= 0,點(diǎn) C 在/ AOB ,且/ AOC = 30° 設(shè)OC = mC)A+ nOfe, m(m, n R),那么 =.n 審題破題(1)直接根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求tana,再用差角公式求tan a 7 ; (2)尋找點(diǎn)C滿足的條件.答案(1)C(2)3解析(1) t a I b, cos a= 2sin a1 11 .n2小-ta

8、n a-, - - tan a .3.2 411 + 一葉2方法一 |OA|= 1, |OB|= 3, oA Ob= 0,不妨假設(shè)點(diǎn) C在AB上，且/ AOC = 30°以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，那么 A點(diǎn) 坐標(biāo)為(1,0), B 點(diǎn)坐標(biāo)為(0, . 3), C 點(diǎn)坐標(biāo)為 4， 43 , OC = mOA+ nOB (m, n R), 所以存在m = 3, n 1使假設(shè)成立，此時(shí) m= 3.44n方法二由條件|OA|= 1, |OB| 3, OA OB= 0,可建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸的直角坐標(biāo)系，那么 OA =

9、 (1,0), OB = (0, . 由OC= mOA + nOB,得OC = (m,；3n).又因?yàn)? AOC = 30°點(diǎn)C在/AOB,可得警=tan30%，13,即 m= 3.n反思?xì)w納向量的共線定理和平面向量根本定理是平面向量中的兩個(gè)帶有根本意義的定理平面向量根本定理是平面任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量唯一線性表示,這個(gè)定理的一個(gè)極為重要的導(dǎo)出結(jié)果是，如果a, b不共線，那么 入a +血=pia +妙的充要條件是 入=p且？2= p.共線向量定理有一個(gè)直接的導(dǎo)出結(jié)論， 即如果OA= xOB + yOC，那么A, B, C三點(diǎn)共線的充要條件是 x+ y= 1.AC變式訓(xùn)練

10、1如下列圖，在 ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分別交直線 AB,于不同的兩點(diǎn)M , N,(A . 2B . 4 9CQD . 9答案C解析 Mo = Ao-Amab+ AC 1 t 11 t 1 t=mAB= 2mAB+2AC.T 11 T 1 t同理 NO= 2 n AC+ 2AB , M , O, N 三點(diǎn)共線,-JaC + 1AB ,；AC= 0，由于Ab , AC不共線，根據(jù)平面向量根本定理1 1 -> 1 ->12mAB+2AC = 21 1 入T 1 入2 m2AB+ 22+£= 0且1 ；+- = 0，消掉入即得m+ n = 2,222 n故1

11、+ 4= 2(m+ n)丄 + -m n 2m n1 n 4m 19=2 5+ m+E?1(5+ 4) = 2題型二平面向量的數(shù)量積例2】(1)向量a和b的夾角為120° |a|= 1, |b|= 3，那么|5a b| =.(2)(2021 )在矩形ABCD中，邊AB、AD的長分別為2、1,假設(shè)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足|BMJ = 即，那么AM AN的取值圍是 |BC| |CD|審題破題 利用公式|a|2= aa直接計(jì)算；利用基向量法，把AM , AN都用AB, AD表示，再求數(shù)量積.答案(1)7(2) 1,4解析(1)|5a - b|2= (5a b)2= 25a2

12、10a b+ b21=25X 12 10X 1 X 3X + 32= 49,所以 |5a b|= 7.土 十內(nèi) 5 |BM| ICNInN 1A(2)如下列圖，設(shè)f =丁|BC| |CD|=X0W疋1)，那么Bm =泊C,CN= QD, DN = CN CD=(入-1)CD, Am An=(AB+ BM) (Ad + DN)=(AB+ ?BC) AD + ( 1)CD =(入一1)AB CD + 舊C AD=4(1 ?)+ 入=4 3 入當(dāng) 匸0時(shí)，AM aN取得最大值4; 當(dāng)入=1時(shí)，Am aN取得最小值1. AM aNj 1,4.反思?xì)w納向量的數(shù)量積計(jì)算有三種方法：(1)利用向量數(shù)量積的定

13、義，計(jì)算兩個(gè)向量的模與夾角；(2)根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，明確向量投影的含義；(3)建立坐標(biāo)系寫出向量坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)進(jìn)展運(yùn)算.變式訓(xùn)練 2(1)(2021 )在厶 ABC 中，/ A= 90° AB= 1 , AC= 2設(shè)點(diǎn) P, Q 滿足 AP= ?AB, AQ=(1 為AC,入 R 假設(shè) BQ CP = 2，那么 X=.2答案23解析由題意知 BQ = AQ AB = (1 ?)AC AB,CP= AP AC= ?AB AC，且 AB AC= 0,故 Bq cp= (z 1)Ac2 ?Ab2=4( Z 1)入=3 Z 4= 2，即 Z= 2.3(2)(2021 )向量 a

14、B與Ac的夾角為 120° 且 |AB|= 3, |AC|= 2假設(shè) AP =瓜B+ AC,且 Ap丄BC,那么實(shí)數(shù) 入的值為.答案712解析由AP丄BC知AP Bc= o,即AP Bc =(瓜B+AC)(ACab)=(卜 i)AB ac 入 AB2+AC2= g 1)X 3X 2X 2 入x 9+ 4 = o，解得 匸 g題型三平面向量與三角函數(shù)的綜合例 3向量 a= (cos a, sin a, b= (cosx, sinx), c= (sinx+ 2sin a, cosx+ 2cos 0)，其中 0< a<x< n.(1)假設(shè)a=n求函數(shù)f(x) = bc的最

15、小值與相應(yīng)x的值；4n假設(shè)a與b的夾角為3，且a丄c,求tan2a的值.審題破題求解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題.(1)應(yīng)用向量的數(shù)量積公式可得 f(x)的三角函數(shù)式，然后利用換元法將三角 函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)式， 由此可解得函數(shù)的最小值與對應(yīng)的 x值.注意利用換元法令t= sin x+ cos x時(shí)，要確定t的取值圍.(2)由夾角公式與 a丄c可得關(guān)于角 a的三角函數(shù) 等式，通過三角恒等變換可得結(jié)果.解(1) / b = (cosx, sinx),nc= (sinx+ 2sin a, cosx+ 2cos", a= 4,/ f(x)=

16、b c= cosxsin x + 2cosxsin a+ sin xcosx + 2sin x cos a= 2sin xcosx+ 2(sin x+ cosx).n2令 t= sinx+ cosx 4<x< n，那么 2sinxcosx= t2 1,且一1<t< .2.那么 y = t2+ 2t 1= t+孑 2 |, 1<t< 2,sinx+ cosx= 即.2sin x +=n4<x< nn n 5n 72<x+ 4<4n x+4=6n11 n x= 12 *函數(shù)f(x)的最小值為一3相應(yīng)x的值為*n(2) / a與b的夾角為3

17、, cosn= a b = cos ocosx + sin «sinx = cos(x a).3|a|b|n -0< a<x< n,0<x a< n,x a= 3.3 cos0sinx+ 2sin a+ sin a(cosx+ 2cos"= 0,n sin(x+ a) + 2sin2 a= 0, 即卩 sin 2 a+ 3 + 2sin2 a= 0. 35/2Sin2 a+ 2 cos2 a= 0, tan2 a=反思?xì)w納在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的

18、關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等； 另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題.在解決此類問題的過程中， 只要根據(jù)題目的具體要求， 在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題.'Tp變式訓(xùn)練 3(2021)設(shè)向量 a= ( 3sinx, sinx), b= (cosx, sinx), x 0,.設(shè)函數(shù)f(x)= a b，求f(x)的最大值. 解(1)由 |a|2= ( ;3sinx)2 + sin2x= 4sin2x, |b|2= cos2x+ si n2x= 1,與|a|= |b|,得 4sin2x= 1.又x 0,扌，從而 sinx= &#

19、163; 所以 x= n2 2 6(2)f(x) = a b= .'3sinx cosx+ sin2x-.'3 .11 2 sin2x 2cos2x + 少 c n , 1=sin 2x-6 + 2，當(dāng)x = n 0, 2時(shí)，sin 2x- f取最大值1.3所以f(x)的最大值為3,小題沖關(guān)ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為2, OA + AB + AC= 0且|OA|= |AB|，那么向量CA在 CB上的投影的長度為()A/.'3B. 3C. .'3D . - 3答案A解析由OA+Ab+ Ac = 0, 得 AB+ Ac = Ao.又O ABC外接圓的圓心，

20、OB = OC,(四邊形ABOC為菱形，AO丄BC. 由|OA|= |AB|= 2,知 AOC為等邊三角形. 故CA在 CB上的投影的長度為|CF|= 2cosn = '. '3.2. 如圖， ABC 中，/ C= 90 °且 AC =A . 2B . 3答案B解析 CM CB= (CB+ BM) CB= CB2 + CBX |bA = CB2 + |cb (CA- CB) = CB2= 3.3 3313. (2021 )設(shè)厶ABC, Po是邊AB上一定點(diǎn)，滿足 PoB = AB,且對于邊 AB上任一點(diǎn) P,恒 有 PB PC > PoB PoC，那么()A . Z ABC = 90 °